Đề thi chọn HSG cấp huyện lớp 9 môn Toán năm 2013 - 2014 - Sở GD&ĐT Cẩm Giang

PHÒNG GD - ĐT CẨM GIÀNG<br /> <br /> ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP<br /> HUYỆN<br /> NĂM HỌC 2013 - 2014<br /> Môn: Toán 9<br /> Thời gian làm bài:150 phút<br /> <br /> Sưu tầm: Phạm Văn Cát<br /> THCS Cẩm Định Cẩm Giàng<br /> HD<br /> <br /> (Đề thi gồm 01 trang<br /> <br /> Ngày thi 16-10-2013<br /> <br /> Câu 1( 2 điểm)<br /> a)Cho biểu thức: A = (x2 - x - 1 )2 + 2013<br /> Tính giá trị của A khi x =<br /> <br /> 3<br /> 3  1 1<br /> <br /> <br /> <br /> 3<br /> 3 1 1<br /> <br /> b) Cho (x + x2  2013 ).(y + y 2  2013 )=2013. Chứng minh x2013+ y2013=0<br /> Câu 2 ( 2 điểm)<br /> a) Giải phương trình: x2+ 5x +1 = (x+5)<br /> b) Chứng minh<br /> <br /> x2  1<br /> <br /> a<br /> b<br /> c<br /> <br /> <br />  2 , với a, b, c>0<br /> bc<br /> ac<br /> ba<br /> <br /> Câu 3 ( 2 điểm)<br /> a) Tìm số dư của phép chia đa thức (x+2) (x+4) (x+6) (x+8) +2013 cho đa thức<br /> x2+10x+21<br /> b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3y2+x2+2xy+2x+6y+2017<br /> Câu 4 ( 3 điểm)<br /> 1)Cho tam giácABC, Â= 900, AB < AC, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt<br /> là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh:<br /> a) DE2=BH.HC<br /> b) AH3=BC.BD.CE<br /> 2)Cho tam giác ABC, BC= a, AC=b, AB=c. Chứng minh sin<br /> Câu 5( 1 điểm)<br /> Cho a, b, c là 3 cạnh một tam giác. Chứng minh:<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1 1 1<br /> <br /> <br />   <br /> a bc bc a c  a b a b c<br /> <br /> .................... Hết ...............<br /> <br /> Â<br /> a<br /> <br /> 2 bc<br /> <br /> ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9<br /> Nội dung<br /> <br /> Câu<br /> 1 a)<br /> <br /> 3<br /> <br /> x=<br /> <br /> 3  1 1<br /> <br /> =<br /> <br /> 3(<br /> <br /> <br /> <br /> 3<br /> 3 1 1<br /> <br /> =<br /> <br /> 3(<br /> <br /> 3  1  1)  3(<br /> 3  1 1<br /> <br /> 3  1  1)<br /> <br /> 3  1  1  3  1  1) 2 3<br /> <br /> 2<br /> 3  1 1<br /> 3<br /> <br /> Thay x = 2 vào biểu thức A ta có:<br /> A = (22 – 2 – 1)2 + 2013 = 1 + 2013 = 2014<br /> Vậy khi x =<br /> <br /> Biểu<br /> điểm<br /> 0,25<br /> <br /> 3<br /> 3  1 1<br /> <br /> 3<br /> <br /> <br /> <br /> 3 1 1<br /> <br /> thì giá trị của biểu thức A là 2014<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> ----------------------------------------------------------------------------------(x + x2  2013 ).(y + y 2  2013 )=2013<br /> b)<br /> <br /> (x - x2  2013 )(x + x2  2013 ).(y + y 2  2013 )=2013(x - x2  2013 )<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> -2013.(y + y 2  2013 )=2013(x - x2  2013 )<br /> -y - y  2013 =x - x  2013<br /> 2<br /> <br /> Tương tự: -x - x2  2013 = y - y 2  2013<br /> <br /> b)<br /> <br /> + y2013=0<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 2013<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> x2+ 5x +1 = (x+5) x 2  1<br /> x2+1 + 5x = (x+5) x 2  1<br /> x2+1 + 5x - x x 2  1 - 5 x 2  1 =0<br /> x 2  1 ( x 2  1 -x) +5(x- x 2  1 )=0<br /> ( x 2  1 -x) ( x 2  1 - 5) = 0<br /> ( x 2  1 -x) = 0 hoặc ( x 2  1 - 5) = 0<br /> x 2  1 =x hoặc x 2  1 = 5<br /> x2+ 1 = x2 (không có x thỏa mãn), hoặc x2+ 1 = 25<br /> x2 = 24<br /> x =  24<br /> Vậy nghiệm của PT là x =  24<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br />  x+y =0  x =-y  x<br /> <br /> 2 a)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> (b  c)a<br /> bca<br /> bca<br /> <br />  (b  c)a <br /> 2a<br /> a<br /> 2<br /> bca<br /> bc<br /> a<br /> 2a<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2a<br /> a<br /> bc abc<br /> <br /> 3<br /> <br /> Ta có<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> b<br /> 2b<br /> c<br /> 2a<br /> <br /> <br /> ,<br /> ac abc<br /> ba abc<br /> a<br /> b<br /> c<br /> 2(a  b  c)<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> bc<br /> ac<br /> b  a (a  b  c )<br /> <br /> Tương tự:<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Dấu bằng xảy ra khi b+c =a, c + a =b, a+ b= c (Điều này không có)<br /> a<br /> b<br /> c<br /> <br /> <br /> 2<br /> bc<br /> ac<br /> ba<br /> <br /> Vậy<br /> <br /> 4 a)<br /> <br /> b)<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> (x+2) (x+4) (x+6) (x+8) +2013 =( x +10x+16)( x +10x+24) +2013<br /> =( x2+10x+21- 5).( x2+10x+21+3) +2013<br /> =( y- 5).( y+3) +2013, đặt y = x2+10x+21<br /> = y2- 2y+1998 chia cho y dư 1998<br /> (x+2) (x+4) (x+6) (x+8) +2013 cho đa thức x2+10x+21dư 1998<br /> A= 3y2+x2+2xy+2x+6y+2017<br /> = (y+x+1)2+2(1+y) 2+2014<br /> Vậy minA = 2014 khi y =-1 và x =0<br /> <br /> 5<br /> <br /> A<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,5<br /> <br /> 0, 5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,25<br /> <br /> E<br /> D<br /> <br /> B<br /> <br /> a)<br /> <br /> b)<br /> <br /> H<br /> <br /> C<br /> <br /> Vì D, E là hình chiếu của H trên AB, AC, nên DH  AB, HE  AC<br /> Tứ giácADHE có DAE =90 0, ADH =90 0, AEH =90 0<br /> Tứ giácADHE là hình chữ nhật<br /> AH = DE, mà AH2=BH.HC nên DE2=BH.HC<br /> <br /> Ta có AH2=BH.HC  AH3=BH.HC.AH<br /> AH.CB = AB.AC, BA2=BH.BC, AC2=CH.BC<br />  AH3=BC.BD.CE<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> A<br /> <br /> I<br /> C<br /> <br /> B<br /> D<br /> <br /> Vẽ đường phân giác AD của tam giác ABC<br /> <br /> BD DC<br /> BD DC BD  DC<br /> CB<br /> a<br /> =<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> AB AC<br /> AB AC AB  AC AB  AC b  c<br /> Vẽ BI  AD  BI  BD<br /> <br /> Ta có<br /> <br /> Â BI<br /> Â<br /> BD<br /> Â<br /> a<br /> Ta có sin <br /> . Vậy sin <br />  sin <br /> 2 AB  AC<br /> 2 bc<br /> 2 AB<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 6<br /> <br /> 1<br /> x<br /> <br /> 1<br /> y<br /> <br /> 4<br /> x y<br /> 1<br /> 11 1<br />     (I)<br /> <br /> x y 4 x y <br /> <br /> Với x  0, y  0 ta có ( x  y)2  4 xy   <br /> <br /> 0,25<br /> <br /> a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên a+b-c >0, a+c -b >0, c +b- a >0,<br /> Áp dụng bđt(I) với các số x= a+b-c, y= a+c -b dương ta có:<br /> 1<br /> 1<br /> 4<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> a b c a c b a b c  a c b a<br /> 1<br /> 1<br /> 4<br /> 2<br /> Tương tự:<br /> <br /> <br /> <br /> bac bca cbaabc b<br /> 1<br /> 1<br /> 4<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> c ba c  a b c ba c  a b c<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1 1 1<br /> <br /> <br /> <br />    (đpcm)<br /> a bc bc a c  a b a b c<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br />