SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br />
TỈNH ĐỒNG NAI<br />
ĐỀ THI CHÍNH THỨC<br />
<br />
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9<br />
NĂM HỌC 2013-2014<br />
Môn : Toán<br />
Thời gian làm bài : 150 phút<br />
Ngày thi: 04/4/2014<br />
<br />
Câu 1. (4 điểm)<br />
Tìm các số thực x thỏa x4 2x3 x2 2x 1 0<br />
Câu 2. (4 điểm)<br />
x3 2y 1<br />
Giải hệ phương trình: 3<br />
<br />
<br />
y 2x 1<br />
<br />
Câu 3. (4 điểm)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
m2 2 n<br />
Cho m và n là hai số nguyên dương lẻ thỏa 2<br />
n 2 m<br />
<br />
1) Hãy tìm một cặp gồm hai số nguyên dương lẻ m;n thỏa các điều kiện đã<br />
cho với m 1 và n 1<br />
2) Chứng minh m2 n2 2 4mn<br />
Câu 4. (4 điểm)<br />
1) Tính số các ước dương của số 1000<br />
2) Tính số các ước dương chẵn của số 1000<br />
Câu 5. (4 điểm)<br />
Cho tam giác ABC có ba góc CAB, ABC, BCA đều là góc nhọn. Gọi (O) là<br />
đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với hai cạnh AB, AC lần lượt<br />
tại D, E. Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng OB và DE, gọi N là giao điểm<br />
của hai đường thẳng OC và DE.<br />
Chứng minh bốn điểm B, C, M, N cùng thuộc một đường tròn.<br />
<br />
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 9 ĐỒNG NAI 2013-2014<br />
Câu 1.<br />
Chia 2 vế cho x 2 ta được:<br />
x4 2x3 x2 2x 1 0 x 2 <br />
<br />
1<br />
1<br />
<br />
2 x 1 0<br />
2<br />
x<br />
x<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
1<br />
1<br />
<br />
<br />
x 2 x 1 0<br />
x<br />
x<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
1 <br />
<br />
x 1 2<br />
x <br />
<br />
1<br />
1<br />
x 1 2 (1) hoặc x 1 2 (2)<br />
x<br />
x<br />
<br />
Giải (1) ta được<br />
x<br />
<br />
1 2 2 2 1<br />
1 2 2 2 1<br />
hoặc x <br />
(3)<br />
2<br />
2<br />
<br />
Giải (2) vô nghiệm<br />
Vậy chỉ có hai giá trị của x ở (3) thỏa bài toán<br />
Câu 2<br />
3<br />
<br />
x 2y 1<br />
x3 y3 2x 2y 0<br />
3<br />
<br />
y 2x 1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x y x 2 y2 xy 2 0<br />
y x(1) hoặc x2 y2 xy 2 0 (2)<br />
<br />
Với y = - x . Khi đó x3 2x 1 0 x 1 . x2 x 1 0<br />
x 1 hoặc x2 x 1 0(3)<br />
<br />
Khi x = 1 thì y 1<br />
Giải (3) ta được x <br />
<br />
1 5<br />
1 5<br />
hoặc x <br />
2<br />
2<br />
<br />
Với x <br />
<br />
1 5<br />
1 5<br />
y<br />
2<br />
2<br />
<br />
Với x <br />
<br />
1 5<br />
1 5<br />
y<br />
2<br />
2<br />
2<br />
<br />
y 3y2<br />
<br />
(2) x <br />
2 0 (vô nghiệm)<br />
2<br />
4<br />
<br />
<br />
Hệ đã cho có 3 nghiệm như trên<br />
<br />
Câu 3<br />
3.1 Với m = 11 và n = 41 thỏa các điều kiện của bài toán<br />
Vì khi đó m2 2 123 41 và n2 2 1683 11<br />
3.2 Vì m2 2 n mà n2 n nên m2 n2 2 n (1)<br />
Tương tự m2 n2 2 m (2)<br />
Gọi d là ước chung lớn nhất của m và n m2 n2 d<br />
Theo chứng minh trên m2 n2 2 m m2 n2 2 d 2 d<br />
d 1(3) ; nếu d lớn hơn 1 thì d = 2 mâu thuẫn với m và n lẻ<br />
<br />
Từ (1), (2) , (3) suy ra m2 n2 2 mn<br />
Cuối cùng vì m lẻ nên m 2k 1 (với k ) m2 4k(k 1) 1<br />
Tương tự n2 4l(l 1) 1 (với l <br />
<br />
)<br />
<br />
Suy ra m2 n2 2 4 . Từ đó có điều phải chứng minh<br />
Câu 4.<br />
4.1 Ta có 1000 23.53<br />
Gọi k là một ước dương của 1000. Suy ra k 2n.5m với n, m <br />
<br />
thỏa n 3 và m 3<br />
<br />
Vậy số ước dương của 1000 là 4.4=16<br />
4.2 Gọi k là một ước dương chẵn của 1000. Suy ra k 2n.5m với n, m<br />
1 n 3 và m 3<br />
Vậy số ước dương chẵn của 1000 là 3.4=12.<br />
<br />
thỏa<br />
<br />
Câu 5.<br />
<br />
A<br />
E M<br />
D<br />
<br />
B<br />
<br />
N<br />
<br />
O<br />
<br />
C<br />
<br />
1<br />
2<br />
<br />
Theo giả thiết AD = AE ADE cân tại A CEM AED 900 BAC<br />
1<br />
2<br />
<br />
Mà COM OBC OCB 900 BAC<br />
Vậy CEM COM COEM là tứ giác nội tiếp<br />
Theo giả thiết OE AC . từ đó BM CM<br />
Tương tự CN BN BCMN là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC<br />
<br />
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
