Đề thi chọn HSG tỉnh lớp 9 cấp THCS môn Toán năm học 2018 - Sở GD&ĐT Quảng Ninh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TỈNH QUẢNG NINH<br /> ĐỀ THI CHÍNH THỨC<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM 2018<br /> Môn thi: TOÁN – Bảng A<br /> Ngày thi: 06/03/2018<br /> Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề<br /> <br /> Bài 1 (3,0 điểm)<br /> 3<br /> <br /> a) Rút gọn biểu thức<br /> <br /> 2  7  2 10  3 3 3 4  3 3 2  1<br /> 5  2 1<br /> <br /> b) Cho hai số dương x, y thỏa mãn x3  y  x 3 y <br /> <br /> x<br /> 1<br /> . Tính giá trị của biểu thức<br /> 27<br /> y<br /> <br /> Bài 2 (3,0 điểm)<br /> a) Với mọi số nguyên n, chứng minh rằng : n(n  2)(73n2  1) 24<br /> b) Tìm số tự nhiên n để 24  27  2n là số chính phương.<br /> Bài 3 (5,0 điểm)<br /> a) Giải hệ phương trình : 2  3x  3x2  7x  1<br /> 3x  y2  2  x  2  y  1  5<br /> b) Giải hệ phương trình : <br /> 2x  y2  y  6<br /> <br /> Bài 4 (7,0 điểm)<br /> Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa hai điểm A và B. Trên cùng một nửa mặt<br /> phẳng bở là đường thẳng AB, vẽ nửa đường tròn đường kính AB và nửa đường tròn<br /> đường kính BC. Lấy điểm M thuộc nửa đường tròn đường kính BC  M  B;M  C  . Kẻ<br /> MH vuông góc với BC  H  BC  , đường thẳng MH cắt nửa đường tròn đường kính AB tại<br /> K. Hia đường thẳng AK và CM giao nhau tại E.<br /> a) Chứng minh rằng HKB  CEB và BE2  BC.AB<br /> b) Từ C kẻ CN  AB (N thuộc nửa đường tròn đường kính AB), đường thẳng NK cắt<br /> CE tại P. Chứng minh rằng NP = PE<br /> c) Chứng minh rằng khi NE là tiếp tuyến của nửa đường tròn đường kính AB thì<br /> NE  2.NC<br /> <br /> Bài 5 (2,0 điểm)<br /> Cho a, b là các số dương thỏa mãn a  b  2ab  12<br /> Tìm giá trị nhỏ nhấ của biểu thức A <br /> <br /> a 2  ab b2  ab<br /> <br /> a  2b 2a  b<br /> <br /> ĐÁP ÁN ĐỀ HỌC SINH GIỎI LỚP 9 QUẢNG NINH 2017-2018<br /> Câu 1.<br /> a) Rút gọn biểu thức<br /> 3<br /> <br /> 2  7  2 10  3 4  3 2  1<br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 5 2<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> 3<br /> <br /> <br /> 5  2 1<br /> 5  2 1<br /> 1<br /> b) Ta có x3  y  x 3 y   27x3  27y  1  27x 3 y  0<br /> 27<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  <br /> <br /> 3<br /> 3<br />   3x   3 3 y  1  3.3x. 3 y  0  3x  3 y  1 .  3x  3 3 y<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 3<br /> <br /> <br /> <br /> 4 1<br /> <br />   3.<br /> 2<br /> <br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> 2<br /> y  1  1  3x    0<br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> x  3<br /> x<br /> Do x, y >0 nên suy ra 3x  3 3 y  1  <br />   9.<br /> y<br /> y  1<br /> <br /> 27<br /> x<br /> Vậy giá trị của biểu thức là 9<br /> y<br /> <br /> Câu 2.<br /> a) Ta có n(n  2)(73n2  1)  72n2 .n.(n  2)  (n 1)n(n  1)(n  2) 24<br /> b) Ta thử n = 1,2,3 đều không thỏa mãn . Với n > 4 thì ta có<br /> 4<br /> 2  27  2n  k 2  24 (9  2n 4 )  k 2  k 4 . Đặt k=4h với h là số tự nhiên.Ta có:<br /> 9  2n4  h 2  2n4<br /> <br /> h  3  2 x<br /> <br />  h 2  9   h  3 h  3  h  3  2 y  6  2.3  2 y  2 x  2 x. 2 y x  1<br /> x  y  n  4<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2 x  2<br /> n  8<br /> <br /> . Vậy n = 8 là giá trị phù hợp<br />   y x<br /> <br /> 2  1  3 h  5  k  20<br /> <br /> <br /> Câu 3.<br /> a) ĐKXĐ: x <br /> <br /> 2<br /> 3<br /> <br /> Phương trình<br />  3x 2  7x  2  2  3x  1  0   3x  1 x  2  <br /> <br /> 1  3x<br /> <br /> 0<br /> 2  3x  1<br /> 1<br /> 2<br /> 4<br /> 1<br /> <br /> <br />  1  3x  <br />  2  x   0. Do x   2  x   0 <br /> 2x  0<br /> 3<br /> 3<br /> 2  3x  1<br />  2  3x  1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> 3<br /> <br /> Suy ra 1 – 3x =0  x  (TMDK) . Vậy phương trình có nghiệm x <br /> <br /> 1<br /> 3<br /> <br /> b) ĐKXĐ:  x  2  y  1  0. Cộng theo hai vế phương trình của hệ ta được:<br /> x22<br /> <br />  x  2  y  1  y  1  0(*)<br /> <br /> x  2<br /> . phương trình (*) <br /> y  1<br /> <br /> Xét <br /> <br /> <br /> <br /> x  2  y 1<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br />  0  x  2  y 1  x  y  3<br /> <br /> Thay vào 2x  y2  y  6 được y2  y  12  0   y  4  y  3  0  y  4 (Vì y  1)<br /> Nên x = 7.<br /> x  2<br /> .Khi đó x  2  2<br /> y  1<br /> <br /> Xét <br /> <br />  x  2  .  y  1  y  1  0 phương trình vô nghiệm<br /> <br /> Vậy hệ phương trình có nghiệm  x;y   7;4 <br /> Câu 4.<br /> <br /> E<br /> Q<br /> N<br /> <br /> K<br /> <br /> P<br /> <br /> M<br /> <br /> A<br /> <br /> C<br /> <br /> OH O'<br /> <br /> B<br /> <br /> a) Ta có BME  BKE  900 nên BMKE nội tiếp  HKB  CEB mà HKB  BAE (cùng phụ<br /> với HKA) nên CEB  BAE<br /> <br /> Xét BEC và BAE có: CEB  BAE và ABE chung nên đồng dạng<br /> <br /> <br /> BE BC<br /> <br />  BE 2  BC.AB<br /> AB BE<br /> <br /> b) Xét tam giác ABN vuông tại N có NC  AB<br /> Suy ra BN2  BC.AB  BN  BE<br /> Hay BNE cân tại B  BNE  BEN (1)<br /> Theo câu a thì CEB  BAE mà BAE  BNP  CEB  BNP (2).<br /> Từ (1) và (2)  PNE  PEN  PNE cân tại P  NP  PE<br /> c) Gọi Q là giao điểm của tia BP và NE<br /> Vì BP = BE và PN = PE nên BQ  NE<br /> NE là tiếp tuyến của (O) nên ON  NE. Do đó ON // BQ  BNO  QBN<br /> Mà BNO  NBO  QBN  NBO hay BN là tia phân giác của CBQ mà NQ  BQ và<br /> NC  BC nên NQ = NC . Vì BQ là đường trung trực của NE nên NE  2.NQ suy ra<br /> NE = 2.NC<br /> Câu 5.<br /> <br /> a  b<br /> Ta có 12  a  b  2ab <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br />  (a  b)  a  b  4. Khi đó<br /> <br />  a2<br /> a  b <br /> b <br /> b2 <br />  a<br /> A  a  b. <br /> <br /> <br /> a<br /> <br /> b<br /> .<br /> <br /> <br /> 4.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> 2<br /> 2<br />  a  2b 2a  b <br />  a  b   2ab<br />  a  2ab 2ab  b <br /> 2<br /> <br /> a  b<br />  4.<br /> 2<br /> a  b<br /> <br /> 2<br /> a  b <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 8<br /> 3<br /> <br /> 2<br /> <br /> Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A <br /> <br /> a 2  ab b2  ab<br /> 8<br /> là khi và chỉ khi a = b = 2<br /> <br /> a  2b 2a  b<br /> 3<br /> <br />