Đề thi cuối học kỳ I năm học 2016-2017 môn Hàm biến phức và biến đổi laplace

Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM<br /> <br /> KHOA KHOA HOÏC ỨNG DỤNG<br /> <br /> BOÄ MOÂN TOAÙN<br /> <br /> ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2016-2017<br /> MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE<br /> Maõ moân hoïc: MATH 121201 Thôøi gian : 90 phuùt (21/12/2016)<br /> Ñeà thi goàm 3 trang<br /> Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu<br /> Maõ ñeà: 0001-0010-1100-2016-2112-0402 (Noäp laïi ñeà naøy)<br /> <br /> PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm)<br /> (Choïn 1 trong caùc caâu A, B, C, D roài ñieàn vaøo BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM ôû trang 6)<br /> <br /> Câu 1 Ảnh của đường thẳng y = 0 qua phép biến hình w = e3- iz = u +iv là<br /> A) Đường tròn u2 + v2 = e6<br /> C) Đường tròn u2 + v2 = e3<br /> Câu 2 Khẳng định nào sau đây sai?<br /> <br /> B) Đường thẳng u = 0.<br /> D) Đường thẳng v = 0<br /> <br /> A) Nếu hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa vaø thoûa ñieàu kieän (C-R) trên hình tròn mở D  z : z  3i  9 thì<br /> hàm f (z ) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D .<br /> B) Nếu hàm phức f ( z ) = u(x,y) + iv(x,y) khoâng khả vi trên miền D thì các hàm u(x,y) và v(x,y) khoâng<br /> thỏa điều kiện Cauchy – Reimann trên miền D<br /> C) Hàm phức f (z ) = u(x,y) + iv(x,y) liên tục trên miền D khi và chỉ khi các hàm u(x,y), v(x,y) liên tục<br /> trên miền D.<br /> D) Nếu hàm v(x,y) không điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) không giải tích trên D.<br /> 5<br /> -8i<br /> Caâu 3 Cho soá phöùc z =<br />  i 9 + e . Khi ñoù:<br /> 2i<br /> <br /> C) Rez = 2 + cos8, Imz = sin8<br /> D) Rez = 2+ cos8, Imz = -2 – sin8<br /> <br /> A) Rez = 2 + cos8, Imz = -sin8<br /> B) Rez = 10 + cos8, Imz = sin8<br /> Caâu<br /> <br /> 4<br /> <br /> Trong<br /> <br /> maët<br /> <br /> phaúng<br /> <br /> phöùc<br /> <br /> cho<br /> <br /> caùc<br /> <br /> F  z : z  1  5i  6. Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai?<br /> <br /> taäp<br /> <br /> hôïp<br /> <br /> ñieåm<br /> <br /> E  z : z  2  i  z  6i  ,<br /> <br /> A) Taäp E khoâng bò chaën.<br /> C) Taäp F laø hình troøn đóng taâm -1+5i baùn kính baèng 6.<br /> B) Taäp F laø laø taäp compact. D) Taäp E laø ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng noái 2 -i vôùi 6i.<br /> Caâu 5 Haøm phöùc f(z) =<br /> <br /> 6 z<br /> <br /> = u + iv coù phaàn thöïc vaø phaàn aûo laø:<br /> z z2<br /> <br /> 7x<br /> 7y<br /> ,v= 2<br /> 2<br /> x y<br /> x  y2<br /> 5x<br />  5y<br /> ,v= 2<br /> B) u = 2<br /> 2<br /> x y<br /> x  y2<br /> <br /> A) u =<br /> <br /> C) u =<br /> <br /> 2<br /> <br /> 7x<br />  7y<br /> ,v= 2<br /> 2<br /> x y<br /> x  y2<br /> 2<br /> <br /> D) moät keát quaû khaùc<br /> <br /> Caâu 6 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai?<br /> A) Neáu a laø ñieåm baát thöôøng coâ laäp cuûa haøm f(z) vaø lim f ( z )   , lim( z  a) m f ( z )  A<br /> z a<br /> <br /> z a<br /> <br /> (vôùi 0  A   ) thì a laø cöïc ñieåm caáp m cuûa haøm f(z).<br /> B) z  3 laø cöïc ñieåm caáp 2 cuûa haøm f ( z ) <br /> C)<br /> <br /> e z  12 z<br /> 3<br />   4 ( z  3)2 dz = 2i(e  12)<br /> z 2<br /> <br /> e z  12 z<br /> ( z  3) 2<br /> <br /> D)<br /> <br />  e z  12 z <br /> e z  12 z<br /> dz = 2 i Re s <br /> ,3<br /> 2<br /> i 3 ( z  3)2<br />  ( z  3) <br /> z4<br /> <br /> -1-<br /> <br />  x'3 y  0<br /> , vôùi ñieàu kieän x(0)= y(0)= 0 ta laøm nhö sau:<br />  x  y '4 y  1<br /> <br /> Caâu 7 Ñeå giaûi heä phöông trình vi phaân: <br /> <br /> XP  3Y  0<br /> <br /> <br /> <br /> <br />  Ñaët X  L x , Y  L y  vaø bieán ñoåi Laplace hai veá ta ñöôïc:  X  P  4Y  1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> p<br /> <br /> 3<br /> <br />  X  p p  1 p  3<br /> <br /> Giaûi heä phöông trình vôùi X, Y laø aån ta ñöôïc <br /> 1<br /> Y<br /> <br />  p  1 p  3<br /> <br /> A<br /> B<br /> C<br /> <br /> X  p  P 1  P  3<br /> <br /> Phaân tích thaønh caùc phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc <br /> vôùi A, B, C, D, E laø<br />  Y D  E<br /> <br /> P 1 P  3<br /> <br /> <br /> caùc haèng soá maø ôû ñaây ta khoâng tìm.<br /> <br /> <br />  x  A  Bet  Ce3t<br /> Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm <br /> t<br /> 3t<br />  y  De  Ee<br /> <br /> Khaúng ñònh naøo sau ñaây ñuùng?<br /> C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai.<br /> B) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû ñuùng. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.<br /> Câu 8 Giả sử L f(t) = F(p). Khẳng định nào sau đây sai?<br /> A) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng.<br /> <br /> A)Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L f(t) =<br /> <br /> 1<br /> 1  e Tp<br /> <br /> T<br /> <br />  pt f (t )dt<br /> <br /> e<br /> 0<br /> <br /> khi 0  t  <br /> sin t<br /> 1<br /> vaø f(t+2) = f(t) thì L f(t) =<br />  0 khi   t  2<br /> 1   2p<br /> <br /> B)Neáu f (t )  <br /> t<br /> <br /> <br /> <br /> 0<br /> <br /> <br /> <br /> C) L   f (u )du  <br /> <br /> F ( p)<br /> p<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> t<br /> <br /> e<br /> <br /> 2π<br /> <br /> e<br /> <br />  pt sin tdt<br /> <br /> 0<br /> <br /> p3<br /> <br /> 3u<br /> D) L   e ch2udu   p(( p  3) 2  4)<br /> <br /> 0<br /> <br /> Câu 9 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số u ( x, y )  6 x 2  6 y 2  5 y  2 , v  12 xy  5 x  2 . Khẳng<br /> định nào sau đây đúng?<br /> A) u điều hòa, v không điều hòa.<br /> C) u, v điều hòa nhưng không là các hàm điều hòa liên hợp.<br /> B) u, v là các hàm điều hòa liên hợp. D) v điều hòa, u không điều hòa<br /> Caâu 10 Cho phöông trình vi phaân: y '3 y = u (t  2 )e5(t  2 ) (1) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(0) = 4.<br /> Ñeå giaûi phöông trình vi phaân naøy ta laøm nhö sau: Ñaët Y = Y(p)= L y(t)<br />  Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình (1 ) ta ñöôïc: pY  3Y =<br /> <br />  Giaûi phöông trình (2) vôùi Y laø aån ta ñöôïc : Y=<br /> <br /> e 2p<br /> +4<br /> p5<br /> <br /> e 2p<br /> 4<br /> +<br /> ( p  3)( p  5)<br /> p3<br /> <br />  Phaân tích veá phaûi cuûa (3) thaønh phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc: Y =<br /> <br /> B)Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai.<br /> <br /> (3)<br /> <br /> 1  2p  1<br /> 1 <br /> 4<br /> e <br /> <br />  p 5  p  3 + p  3<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1 3 ( t  2  ) 5 ( t  2<br /> e<br /> e<br /> u (t  2 ) + 4 e3t<br /> 2<br /> C) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng.<br /> <br />  Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm: y =<br /> A) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai.<br /> <br /> <br /> <br /> (2)<br /> <br /> D)Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.<br /> <br /> -2-<br /> <br /> PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm)<br /> 1<br /> <br /> Caâu 11 (1 ñieåm) Khai trieån Laurent haøm f ( z )  ( z  i) 2 e z  i quanh ñieåm baát thöôøng coâ laäp z  i .<br /> Phaân loại điểm bất thường cô lập z  i . Tính tích phaân I <br /> <br />  ( z  i) e<br /> 2<br /> <br /> 1<br /> z i<br /> <br /> dz .<br /> <br /> z  3i  9<br /> <br /> Caâu 12 (2 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình tích phân<br /> t<br /> <br /> y(t)= 3  e 5t  5  y (u ) cos 2(t  u )du<br /> 0<br /> <br /> Tính lim y (t ) roài döïa vaøo keát quaû ñoù xaùc ñònh giaù trò (gaàn ñuùng) cuûa y (t ) sau khoaûng thôøi gian t<br /> t  <br /> <br /> ñuû lôùn.<br /> Caâu 13 (2 ñieåm)<br /> a) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân<br /> y ' '7 y '6 y  1  sin 3t vôùi ñieàu kieän y (0)  0 vaø y ' (0)  0<br /> b) Chứng tỏ rằng sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm của phương trình vi phân, y (t ) , biểu diễn<br /> xấp xỉ một dao động điều hòa theo thời gian t . Xác định vị trí cân bằng và biên độ dao động này.<br /> --------------------------------------------------------------------------------------------------------Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi.<br /> CHUAÅN ÑAÀU RA<br /> Nội dung kiểm tra<br /> Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức)<br /> G1: 1.1, 1.2<br /> Töø caâu 1 ñeán caâu 10<br /> Caâu 11: Khai trieån ñöôïc chuoãi Laurent, tính ñöôïc<br /> thaëng dö vaø aùp duïng tính tích phaân.<br /> Caâu 12, Caâu 13: Aùp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi<br /> phöông trình vi phaân roài öùng duïng vaøo ñôøi soáng.<br /> <br /> G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3<br /> G1: 1.1, 1.2<br /> G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3<br /> <br /> Ngaøy 19 thaùng 12 naêm 2016<br /> Thoâng qua Boä moân Toaùn<br /> <br /> -3-<br /> <br /> -4-<br /> <br /> -5-<br /> <br />