Đề thi học sinh giỏi cấp huyện lớp 9 có đáp án môn: Toán học - Trường THCS Cự Khê (Năm học 2015-2016)

Chia sẻ: Tạ Duy Phương | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

106
lượt xem 19
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các bạn học sinh và quý thầy cô hãy tham khảo đề thi học sinh giỏi cấp huyện lớp 9 môn "Toán học - Trường THCS Cự Khê" năm học 2015-2016 kèm đáp án để hệ thống lại kiến thức đã học cũng như kinh nghiệm ra đề. Hy vọng đề thi sẽ giúp các bạn đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi cấp huyện lớp 9 có đáp án môn: Toán học - Trường THCS Cự Khê (Năm học 2015-2016)

PHÒNG GD & ĐT THANH OAI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 TRƯỜNG THCS CỰ KHÊ MÔN TOÁN HỌC NĂM HỌC: 2015 2016 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: ( 4đ ) Cho biểu thức x 1 1 P = : 2 và Q = x 4 7 x 2 15 ( với x > 0, x ≠ 1 ) x x x x x x a) Rút gọn biểu thức P b) Với giá trị nào của x thì Q – 4P đạt giá trị nhỏ nhất? Bài 2: ( 4đ ) Cho ba số dương a , b , c . Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 ≥ 3( ) a b c a 2b b 2c c 2a Bài 3: ( 4đ ) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x 2 3 y 2 2 xy 2 x 10 y 4 0 Bài 4: ( 6đ) Trên đường tròn tâm (o), bán kính R lấy hai điểm A và B tùy ý. Giả sử C là một điểm nằm phía trong AB ( C ≠ A, C ≠ B ). Kẻ đường kính AD của đường tròn tâm (o). Cát tuyến đi qua C vuông góc với đường kính AD tại H cắt đường tròn tâm (o) tại M và N. Đường thẳng đi qua M và D cắt AB tại E. Kẻ EG vuông góc với AD tại G a) Chứng minh rằng: BDHC và AMEG cùng thuộc một đường tròn b) Chứng minh rằng: AM 2 = AC . AB c) Chứng minh rằng: AE . AB + DE . DM = 4R 2 Bài 5 ( 2đ) Các góc nhọn của tam giác ABC thỏa mãn điều kiện CosA + CosB + CosC = CosA.CosB CosB.CosC CosC.CosA Chứng minh rằng tam giác ABC đều ................... Hết ......................
PHÒNG GD & ĐT THANH OAI HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TRƯỜNG THCS CỰ KHÊ MÔN TOÁN HỌC NĂM HỌC: 2015 2016 Câu Đáp án Điểm 1/a x 1 1đ P . x ( x 1)( x x 1) x (x x 1) 0,5đ ( x 1)( x 1) 0,5đ x 1 1/b Q – 4P = x 4 7 x 2 15 4 x 4 0,5 = ( x 4 8 x 2 16) ( x 2 4 x 4) 1 0,25 = ( x 2 4) 2 ( x 2) 1 ≥ 1 Với mọi x 0,25 x2 4 0 Dấu đẳng thức xảy ra khi { x 2 0 0,5  x 2 Vậy Min Q 4P = 1 khi x 2 0,5 2 Với x, y, z > 0 ta có 1 1 1 1 0,5 x y z ≥ 3 xyz , ≥ 3. 3 x y z xyz 1 1 1 0,5  ( x y z )( ) ≥ 9 x y z 1 1 1 9  x y z ≥ x y z * 0,5 Áp dụng * ta có: 1 1 1 9 1 1 1 9 1 1 1 9 ≥ , ≥ , ≥ a b b a 2b b c c b 2c c a a c 2a 1 Cộng vế ta được: 1 1 1 1 1 1 0,5 3( ) ≥ 9( ) a b c a 2b b 2c c 2a 1 1 1 1 1 1  ≥ 3( ) a b c a 2b b 2c c 2a 0,5 Dấu đẳng thức xảy ra khi: a = b = c 0,5 3 Biến đổi phương trình  [ x 2 2 x( y 1) ( y 1) 2 ] – ( 4 y 2 8 y 4) 7 0 1  ( x y 1) 2 (2 y 2) 2 7 0 1  (3 y x 1)( y x 3) 7 1 Do đó: 3 y x 1 và y x 3 là ước của 7 0,5 Vậy : ( x, y ) ( 7; 3 ), ( 1; 3 ) , ( 3; 1 ) , ( 3 ; 1 ) 0,5
4/a Vẽ hình Tứ giác BDHC và tứ giác AMEG là tứ giác nội tiếp 1 Vì có tổng hai góc đối bằng 180 0 4/b ∆AHC đồng dạng ∆ABD ( g. g ) 0,5 AH AC => AB AD 0,5 Nên AH. AD = AB. AC 0,5 Áp dụng hệ thức lượng với tam giác vuôngMAD Ta có: MA 2 = AH. AD 0,5  AM 2 = AB. AC 0,5 4/c ∆AGE đồng dạng ∆ABD ( g. g ) N D 0,5  AE. AB = AG. AD 0,5 ∆DGE đồng dạng ∆DMA ( g. g ) G 0,5  DE. DM = DG. DA 0,5 Vậy AE. AB + DE. DM = AD(AG + GD) H • 0,5 O = AD 2 = 4R 2 . 0,5 A E B C M 5 Đặt CosA = x , CosB = y, Cos C = z ( ta có x ; y ; z > 0 ) 0,25 x + y + z = xy yz zx 0,25  ( x y )2 ( y z )2 ( z x) 0 0,25 ( x y ) = 0 2 ( y z ) 2 = 0 0,5 ( z x ) 2 = 0 => x y z 0,25 Hay CosA = CosB = Cosc  A = B = C 0,25 Vậy ∆ABC đều 0,25
Ban giám hiệu Người duyệt đề Người ra đề / đáp án PHT. Vũ Thị Hồng Thắm Trịnh Văn Đông Đàm Trọng Tuấn