Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 - Sở GDĐT Bạc Liêu - Kèm đáp án

Chia sẻ: Pham Linh Dan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

51
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Để giúp các bạn có thêm phần tự tin cho kì thi học sinh giỏi sắp tới và đạt kết quả cao. Dưới đây là đề thi học sinh giỏi môn Toán 12 cấp tỉnh của sở giáo dục và đào tạo Bạc Liêu mời các bạn tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 - Sở GDĐT Bạc Liêu - Kèm đáp án

Họ và tên thí sinh:……………………..………….. Chữ ký giám thị 1: Số báo danh:……………………………..………... …………….……………….. SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012 CHÍNH THỨC (Gồm 01 trang) * Môn thi: TOÁN (BẢNG A) * Ngày thi: 05/11/2011 * Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ Bài 1: (5 điểm) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 3 . Chứng minh rằng: a + b + c = a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 . Bài 2: (5 điểm) 2 4 Cho dãy số ( vn ) thỏa v1 = − , v2 = − , 3 5 vn+1.vn + 2vn+2.vn+1 − 3vn+2.vn = vn+2 − 3vn+ 1 + 2vn , vn ≠ −1 ; ( n ≥ 1) Tìm vn. Bài 3: (5 điểm) Cho tập hợp M = {1; 2;3;...; 2011} . Hỏi trong tập hợp M có bao nhiêu phần tử chia hết cho ít nhất một trong ba số 2, 5 và 11? Bài 4: (5 điểm) Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, F, K là các điểm xác định bởi: AI = α AB, AF = β AC , AK = γ AD. Chứng minh điều kiện cần và đủ để I, F, K thẳng 1 1 1 hàng là: = + (biết rằng α ≠ 0, β ≠ 0, γ ≠ 0 ). β α γ --- HẾT ---
SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012 CHÍNH THỨC (Gồm 02 trang) * Môn thi: TOÁN (BẢNG A) * Ngày thi: 05/11/2011 * Thời gian: 180 phút HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: (5 điểm) Ta có a + b + c ≥ a2b2 + b2c2 + c2a2 ⇔ a4 + b4 + c4 + 2(a + b + c) ≥ a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) (1,0đ) ⇔ a4 + 2a + b4 + 2b + c4 + 2 c ≥ (a2 + b2 + c2)2 ⇔ a4 + 2a + b4 + 2b + c4 + 2 c ≥ 9 (1,0đ) Do đó ta chỉ cần chứng minh a4 + 2a + b4 + 2b + c4 + 2 c ≥ 9 Mà a4 + 2a = a4 + a + a ≥ 3 3 a 4 .a.a = 3a2 (0,5đ) Tương tự b4 + 2b ≥ 3b2; c4 + 2c ≥ 3c2 (1,0đ) Vậy a4 + 2a + b4 + 2b + c4 + 2 c ≥ 3(a2 + b2 + c2) = 9 (0,5đ) Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1. (1,0đ) Bài 2: (5 điểm) vn+1.vn +2vn+2.vn+1 -3vn+2.vn = vn+2 -3vn+ 1 + 2vn ⇔ vn +1.vn + vn + vn +1 + 1 = 3vn + 2 .vn + 3vn + 2 + 3vn + 3 −2(vn + 2 .vn +1 + vn + 2 + vn +1 + 1) (1,0đ) ⇔ (vn +1 + 1)(vn + 1) = 3(vn+ 2 + 1)(vn + 1) − 2(vn + 2 + 1)(vn +1 + 1) 1 3 2 ⇔ = − (do vn ≠ −1, ∀n ) (1,0đ) vn + 2 + 1 vn +1 + 1 vn + 1 1 Đặt un = ta được un + 2 = 3un +1 − 2un (1,0đ) vn + 1 ⎡x = 1 Xét phương trình đặc trưng x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔ ⎢ 1 ⎣ x2 = 2 un = a + b.2n với u1 = 3 , u 2 = 5 ta được : ⎧a + 2b = 3 ⎧a = 1 (1,0đ) ⎨ ⇔ ⎨ ⎩a + 4b = 5 ⎩b = 1 1 Bảng A-Ngày 1
un = 1 + 2 n 1 ⇒ vn = −1 (1,0đ) 1 + 2n Bài 3: (5 điểm) Gọi A là tập hợp các phần tử trong M chia hết cho 2. Gọi B là tập hợp các phần tử trong M chia hết cho 5. (1,0đ) Gọi C là tập hợp các phần tử trong M chia hết cho 11. Ta cần tính A ∪ B ∪ C Áp dụng công thức: A∪ B ∪C = A + B + C − A∩ B − B ∩C − A∩C + A∩ B ∩C (1,0đ) Theo giả thiết ta có: ⎡ 2011⎤ ⎡ 2011⎤ ⎡ 2011⎤ ⎡ 2011⎤ A =⎢ ⎥ = 1005 , B = ⎢ 5 ⎥ = 402 , C = ⎢ 11 ⎥ = 182 , A ∩ B = ⎢ 10 ⎥ = 201 , ⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ 2011⎤ ⎡ 2011⎤ ⎡ 2011⎤ B ∩C = ⎢ = 36 , A ∩ C = ⎢ = 91 , A ∩ B ∩ C = ⎢ ⎥ = 18 , (2,0đ) ⎣ 55 ⎥⎦ ⎣ 22 ⎥ ⎦ ⎣ 110 ⎦ Trong đó [x ] là phần nguyên của số thực x. Do đó: A ∪ B ∪ C = 1005 + 402 + 182 − 201 − 36 − 91 + 18 = 1279 (1,0đ) Vậy số các số cần tìm là 1279 Bài 4: (5 điểm) * Ta có: KI = AI − AK = α AB − γ AD (1,0đ) KF = AF − AK = β AC − γ AD (0,5đ) Mà : AC = AB + AD ⇒ KF = β AB + ( β − γ ) AD (0,5đ) * Điều kiện cần và đủ để K, I, F thẳng hàng là tồn tại số thực k sao cho: KF = k KI (1,0đ) ⇔ β A B + (β − γ ) A D = kα A B − k γ A D ⇔ (β − kα ) AB + (β − γ + k γ ) A D = 0 (0,5đ) * Vì AB, AD không cùng phương nên: ( β − kα ) AB + ( β − γ + kγ ) AD = 0 ⎧ β − kα = 0 ⇔⎨ (1,0đ) ⎩ β − γ + kγ = 0 β γ −β ⇔ α = γ ( do α ≠ 0, β ≠ 0, γ ≠ 0 ) 1 1 1 ⇔ + = (0,5đ) α γ β ---Hết--- 2 Bảng A-Ngày 1
Họ và tên thí sinh:……………………..………….. Chữ ký giám thị 1: Số báo danh:……………………………..………... …………….……………….. SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012 CHÍNH THỨC (Gồm 01 trang) * Môn thi: TOÁN (BẢNG B) * Ngày thi: 05/11/2011 * Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ Bài 1: (5 điểm) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 3 . Chứng minh rằng: a + b + c = a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 . Bài 2: (5 điểm) Cho dãy số ( un ) thỏa u1 = 3 , u2 = 5 , un+ 2 = 3un +1 − 2un (n ≥ 1). Chứng minh rằng: u2011 ≡ 3 ( mod 2011) . Bài 3: (5 điểm) Trong một kỳ thi học sinh giỏi Toán đề thi gồm có ba câu. Biết rằng mỗi thí sinh làm được ít nhất một câu, có 25 thí sinh làm được câu thứ nhất, có 20 thí sinh làm được câu thứ hai, có 14 thí sinh làm được câu ba, có 12 thí sinh làm được câu thứ nhất và thứ hai, có 10 thí sinh làm được câu thứ hai và thứ ba, có 7 thí sinh làm được câu thứ nhất và thứ ba, và có 1 thí sinh đạt điểm tối đa vì giải được cả ba bài. Hỏi có bao nhiêu thí sinh dự thi? Bài 4: (5 điểm) Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, F, K là các điểm xác định bởi: AI = α AB, AF = β AC , AK = γ AD. Chứng minh điều kiện cần và đủ để I, F, K thẳng 1 1 1 hàng là: = + (biết rằng α ≠ 0, β ≠ 0, γ ≠ 0 ). β α γ --- HẾT ---
SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012 CHÍNH THỨC (Gồm 02 trang) * Môn thi: TOÁN (BẢNG B) * Ngày thi: 05/11/2011 * Thời gian: 180 phút HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1: (5 điểm) Ta có a + b + c ≥ a2b2 + b2c2 + c2a2 ⇔ a4 + b4 + c4 + 2(a + b + c) ≥ a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) (1,0đ) ⇔ a4 + 2a + b4 + 2b + c4 + 2 c ≥ (a2 + b2 + c2)2 ⇔ a4 + 2a + b4 + 2b + c4 + 2 c ≥ 9 (1,0đ) Do đó ta chỉ cần chứng minh a4 + 2a + b4 + 2b + c4 + 2 c ≥ 9 Mà a4 + 2a = a4 + a + a ≥ 3 3 a 4 .a.a = 3a2 (0,5đ) Tương tự b4 + 2b ≥ 3b2; c4 + 2c ≥ 3c2 (1,0đ) Vậy a4 + 2a + b4 + 2b + c4 + 2 c ≥ 3(a2 + b2 + c2) = 9 (0,5đ) Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1. (1,0đ) Bài 2: (5 điểm) ⎡x = 1 Xét phương trình đặc trưng x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔ ⎢ ⎣x = 2 un = a + b.2 với u1 = 3 , u 2 = 5 ta được : n (2,0đ) ⎧a + 2b = 3 ⎧a = 1 ⎨ ⇔ ⎨ ⎩a + 4b = 5 ⎩b = 1 un = 1 + 2 n (1,0đ) u2011 = 1 + 22011 ≡ 3(mod2011) (theo định lý Fecrmat) (2,0đ) Bài 3: (5 điểm) Gọi A là tập hợp các thí sinh làm được câu thứ nhất. (0,5đ) Gọi B là tập hợp các thí sinh làm được câu thứ hai. (0,5đ) Gọi C là tập hợp các thí sinh làm được câu thứ ba. (0,5đ) Ta cần tính A ∪ B ∪ C Áp dụng công thức: A∪ B ∪C = A + B + C − A∩ B − B ∩C − A∩C + A∩ B ∩C (1,0đ) Theo giả thiết ta có: A = 25 , B = 20 , C = 14 , A ∩ B = 12 , B ∩ C = 10 , A ∩ C = 7 , A ∩ B ∩ C = 1. (1,5đ) Do đó A ∪ B ∪ C = 25 + 20 + 14 − 12 − 10 − 7 + 1 = 31 (1,0đ) Vậy số thí sinh dự thi là 31. 1 Bảng B-Ngày 1
Bài 4: (5 điểm) * Ta có: KI = AI − AK = α AB − γ AD (1,0đ) KF = AF − AK = β AC − γ AD (0,5đ) Mà : AC = AB + AD ⇒ KF = β AB + ( β − γ ) AD (0,5đ) * Điều kiện cần và đủ để K, I, F thẳng hàng là tồn tại số thực k sao cho: KF = k KI (1,0đ ⇔ β A B + (β − γ ) A D = kα A B − k γ A D ) ⇔ (β − kα ) AB + (β − γ + k γ ) A D = 0 (0,5đ) * Vì AB, AD không cùng phương nên: ( β − kα ) AB + ( β − γ + kγ ) AD = 0 ⎧ β − kα = 0 ⇔⎨ (1,0đ) ⎩ β − γ + kγ = 0 β γ −β ⇔ α = γ ( do α ≠ 0, β ≠ 0, γ ≠ 0 ) 1 1 1 ⇔ + = (0,5đ) α γ β ---Hết--- 2 Bảng B-Ngày 1