Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2012-2013 -Trường THPT Thuận Thành Số 1

TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH SỐ 1<br /> Web: http://bacninh.edu.vn/thptthuanthanh1<br /> Ngày 14/03/2013<br /> (Đề thi gồm 01 trang)<br /> <br /> ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG<br /> NĂM HỌC 2012 – 2013<br /> MÔN: TOÁN LỚP 10<br /> Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)<br /> <br /> Câu 1 (2,0 điểm). Giải phương trình :<br /> <br /> x3  3x2  2 (x  2)3  6x  0<br /> Câu 2 (2,0 điểm). Giải hệ :<br />  x 3  2 y 2  x 2 y  2 xy<br /> <br /> <br /> 2<br /> 3<br />  2 x  2 y  1  3 y  14  x  2<br /> <br />  1 <br /> <br /> <br /> BE  BC ,<br /> Câu 3 (1,5 điểm). Cho hình vuông ABCD. E,F là hai điểm thoả mãn:<br /> 3<br /> <br /> <br /> <br />  <br />  <br /> <br /> 1 <br /> CF   CD , AE  BF  I . Biểu diễn AI , CI theo AB, AD . Từ đó chứng minh góc AIC<br /> 2<br /> bằng 900 .<br /> <br /> Câu 4 (1,5 điểm). Chứng minh rằng nếu các cạnh và các góc của tam giác ABC thoả<br /> mãn điều kiện :<br /> <br /> b<br /> c<br /> a<br /> <br /> <br /> thì tam giác đó vuông.<br /> cosB cosC sinB.sinC<br /> Câu 5 (1,5 điểm). Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M(1;-1) là trung điểm của BC,<br /> 2<br /> 3<br /> <br /> trọng tâm G( ;0). Tìm tọa độ A, B, C?<br /> Câu 6 ( 1,5 điểm). Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn: a2  b2  c2  3. Tìm giá<br /> trị lớn nhất của biểu thức:<br /> <br /> P  ab2  bc2  ca2  abc.<br /> <br /> --------------------------------- Hết -------------------------------Họ tên thí sinh: …………………………………….. SBD: ……………………..<br /> ( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)<br /> <br /> Điểm<br /> 0.25<br /> <br /> x 3  3x 2  2 y 3  6 x  0  x3  3x ( x  2)  2 y 3  0<br /> <br /> Câu<br /> 1 (2điểm)<br /> <br /> Đáp án và biểu điểm Môn Toán lớp 10<br /> Đáp án<br /> ĐKXĐ: x  2 ; Đặt x  2  y , y  0 .Ta có pt:<br /> <br /> 0.75<br /> <br />  x3  3xy 2  2 y 3  0(1)<br /> <br /> x<br /> x<br />  1 hoặc  2 .<br /> y<br /> y<br /> <br /> Pt (1) là pt đẳng cấp bậc 3, giải pt thu được<br /> <br /> 0.25<br /> 0.75<br /> 0.25<br /> <br /> x  y<br /> <br /> 2 (2điểm)<br /> <br /> Giải pt được nghiệm là: x=2, x= 2  2 3 .Kết luận.<br /> ĐKXĐ: x 2  2 y  1<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> Phân tích pt (1) của hệ: ( x  y )( x 2  2 y )  0  <br /> <br /> 2<br /> x  2y<br /> <br /> TH1: x 2  2 y (loại do ĐKXĐ)<br /> TH2: x=y, thay vào pt(2) ta được:<br /> 2 x 2  2 x  1  3 x3  14  x  2(3) Ta thấy,<br /> <br />  x  2<br /> Đặt<br /> <br /> 3<br /> <br />  x 3  6 x 2  12 x  8  ( x 3  14)  6( x 2  2 x  1)<br /> <br /> x 2  2 x  1  a  0, x  2  b . Ta có pt: 2a  3 b3  6a 2  b<br /> <br />  3 b3  6a 2  b  2a  b3  6a 2  b3  6b 2 a  12ab 2  8a 3<br />  8a 3  6b 2 a  12ba 2  6a 2  0<br /> a  0<br /> <br /> 2<br />  <br /> 3  3 2<br /> 2a  b   b  3a  0(*)<br /> <br /> 2  4<br /> <br /> <br /> 3(1.5điểm)<br /> <br /> 0.25<br /> 0.25<br /> <br /> 0.25<br /> 0.25<br /> 0.25<br /> <br /> Dễ thấy pt(*) vô nghiệm .<br /> <br /> a  0 , giải pt thu được x  y  1  2.<br />   1 <br /> <br /> <br /> AE  AB  AD ,<br /> 3<br /> <br />    <br /> <br />   <br /> <br /> <br />  <br /> <br /> <br /> AI  AB  BI  AB  k BF  AB  k ( BC  CF )<br />  <br /> k <br />  (1  ) AB  k AD.<br /> 2<br />  <br /> <br />  6  2 <br /> <br /> 2<br /> Vì AI , AE cùng phương suy ra k  . Vậy AI  AB  AD.<br /> 5<br /> 5<br /> 5<br />     1  3 <br /> <br /> <br /> Lại có, CI  AI  ( AB  AD)  AB  AD<br /> 5<br /> 5<br />  <br />  AI .CI  0.<br /> a<br /> 4(1.5điểm) Từ giả thiết suy ra bcosC+ccosB <br /> .<br /> cosBcosC<br /> sin B sin C<br /> a 2  b2  c 2<br /> Áp dụng định lý Côsin, bcosC=<br /> , tương tự với ccosB .<br /> 2a<br />  bcosC+ccosB=a<br /> <br /> 0.25<br /> 0.25<br /> 0.5<br /> <br /> 0.25<br /> 0.25<br /> 0.25<br /> 0.25<br /> 0.5<br /> <br /> Từ đó, B  BC  B(3b  4; b)  C (3b  2; b  2).<br /> Suy ra, B  900  C  A  900.<br /> <br /> <br /> <br /> 5(1.5điểm) Gọi A(x;y). Ta có, MA  3MG , suy ra A(0;2)<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> 3<br /> <br /> Pt đường thẳng BC ( qua M, nhận MG ( ;1) ) làm VTPT:<br /> x  3y  4  0<br /> B  BC  B(3b  4; b)  C (3b  2; b  2)<br /> <br /> 0.5<br /> 0.25<br /> 0.5<br /> 0.25<br /> <br /> Tam giác ABC vuông tại A<br />  <br /> <br /> 0.25<br /> 0,25<br /> <br /> TH1: b  0  B(4;0), C (2; 2)<br /> <br /> 0.25<br /> <br />  AB. AC  0  (3b  2)(3b  4)  (b  4)(b  2)  0<br /> <br /> TH2: b= -2 , ngược lại.<br /> 6(1.5điểm) Vai trò a,b,c bình đẳng, giả sử b là số ở giữa<br /> <br /> 0.25<br /> <br />  (b  a )(b  c )  0  a(b  a )(b  c )  0<br />  P  a(b  a )(b  c )  b(a 2  c 2 )  b(a 2  c 2 )<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> Áp dụng BĐT Côsi,<br /> a2  c2 a2  c2<br />  P  b (a  c )  4b<br /> .<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> a c a c<br /> b2 <br /> <br /> 2<br /> 2 )3  4  P  2.<br />  4(<br /> 3<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1. Vậy giá trị lớn nhất của khi P<br /> bằng 2.<br /> Ghi chú: các cách giải khác đúng cho điểm tương ứng<br /> <br /> 0.75<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> GIÁO VIÊN VÀ HUẤN LUYỆN VIÊN HÀNG ĐẦU<br /> -<br /> <br /> Học Online trực tiếp với các Thầy, Cô là chuyên gia bồi dưỡng HSG Quốc gia chuyên môn<br /> cao, giàu kinh nghiệm và đạt nhiều thành tích.<br /> Học kèm Online trực tiếp với Huấn luyện viên giỏi là các anh chị đã tham gia và đạt giải<br /> cao trong kì thi HSG Quốc gia các năm trước.<br /> Chương trình được sắp xếp hệ thống, khoa học, toàn diện giúp học sinh nắm bắt nhanh<br /> kiến thức và tối ưu kết quả học tập.<br /> <br /> -<br /> <br /> CÁCH HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP HỌC THÚ VỊ - HIỆU QUẢ<br /> -<br /> <br /> Lớp học Online ít học sinh: Mỗi lớp từ 5 - 10 em để Giáo viên và Huấn luyện viên bám sát,<br /> hỗ trợ kịp thời cho các em nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.<br /> Thời gian học linh động, sắp xếp hợp lý giúp các em dễ dàng lựa chọn cho mình khung<br /> thời gian tốt nhất để học.<br /> Mỗi bài học được chia thành nhiều buổi học (mỗi bài có tối thiểu 2 buổi học):<br /> <br /> + Buổi đầu tiên huấn luyện viên hướng dẫn các em học Online trực tiếp: Phần lý<br /> thuyết, phương pháp giải toán - các ví dụ minh họa điển hình & bài tập tự luyện do giáo viên<br /> cung cấp. Trong quá trình học các em được trao đổi, thảo luận Online trực tiếp với các bạn<br /> cùng học và huấn luyện viên để nắm rõ và hiểu sâu thêm các vấn đề trong bài học.<br /> + Buổi học tiếp theo: Sau khi về nhà các em đã làm bài tập tự luyện thì ở buổi học này<br /> Huấn luyện viên sẽ đánh giá bài làm của các em và sửa bài. Trong quá trình sửa bài các em<br /> thảo luận Online trực tiếp với HLV, các bạn cùng lớp để hoàn thiện bài làm và mở rộng thêm<br /> các dạng toán mới.<br /> <br /> HỌC CHỦ ĐỘNG – HỌC THOẢI MÁI VÀ TIẾT KIỆM<br /> -<br /> <br /> -<br /> <br /> Các em không cần đến lớp, không cần đi lại mất thời gian, công sức, tiền của. Hãy chọn<br /> cho mình góc học tập yên tĩnh, tập trung và 01 máy tính có kết nối internet là chúng bắt<br /> đầu học Online trực tiếp như ở lớp.<br /> Mỗi tuần học 2 buổi, có nhiều lớp học, ca học trong ngày giúp các em hoàn toàn chủ động<br /> thời gian học tập của mình.<br /> Các chuyên đề luôn được mở giúp các em có thể học nhanh chương trình, trong thời gian<br /> ngắn nhất.<br /> Kết nối với các thầy cô, huấn luyện viên Online trực tiếp giúp việc giải đáp các vấn đề<br /> nhanh hơn - hiệu quả hơn.<br /> Được kết giao với các bạn học khác là những học sinh yêu thích, đam mê và giỏi toán trên<br /> toàn quốc.<br /> Học phí phù hợp. Đội ngũ tư vấn, cskh nhiệt tình, tận tâm hỗ trợ các em trong suốt quá<br /> trình học.<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 1<br /> <br />