Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2014-2015 - Trường THPT Con Cuông

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> SỞ GD&ĐT NGHỆ AN<br /> <br /> ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG<br /> <br /> TRƯỜNG THPT CON CUÔNG<br /> <br /> NĂM HỌC 2014 – 2015<br /> <br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> MÔN: TOÁN - KHỐI 10<br /> Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)<br /> <br /> Câu 1. (6,0 điểm) Cho phương trình:<br /> <br />  m  1 x 2   3m  1 x  2m  3  0<br /> <br /> (1)<br /> <br /> a) Giải phương trình (1) khi m = 2<br /> b) Giả sử x1; x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m sao cho<br /> <br /> 1 1<br />  2<br /> x1 x2<br /> <br /> Câu 2. (4,0 điểm) Giải hệ phương trình:<br /> <br /> 5 x 2 y  4 xy 2  3 y 3  2( x  y )  0<br /> <br />  2<br /> 2<br /> x  y  2<br /> <br /> Câu 3. (2,0 điểm) Cho a,b,c là các số thực không âm có a + b + c = 1. Chứng minh rằng:<br /> <br /> 2  a 3  b 3  c3   3abc  a 2  b 2  c 2<br /> Câu 4. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh rằng:<br /> <br />  2  2  <br /> <br /> <br />  <br /> AB . AC  AB. AC<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br />  4 R 2 sin A sin B sin C<br /> <br /> Câu 5. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC. M là điểm thuộc cạnh BC sao cho MC = 2MB, N là<br /> điểm thuộc cạnh AC sao cho NA = 2NC. Gọi K là giao điểm của MA và BN. Chứng minh<br /> rằng: AK = 6.KM<br /> Câu 6. (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, đường phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại<br /> D và cắt đường tròn ngoài tiếp tam giác ABC tại E(2;1) khác A. Viết phương trình đường<br /> thẳng BE biết đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD có phương trình<br /> <br /> x2  y 2  4x  6 y  3  0 .<br /> ---- Hết ---Họ tên thí sinh:............................................................. Số báo danh:...................................<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 1<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)<br /> Câu<br /> 1.<br /> a)<br /> <br /> Nội dung<br /> <br /> Điểm<br /> 6.0<br /> 2,0<br /> 0,5<br /> <br /> 2<br /> <br /> Khi m  2 PT (1) có dạng: x  7 x  7  0<br /> <br />   49  28  21  0<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> PT (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 <br /> <br /> 7  21<br /> 7  21<br /> và x1 <br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> b)<br /> <br /> 4,0<br /> <br /> m  1  0<br /> a  0<br /> <br /> <br /> 2<br />    0  3m  1  4  m  1 2m  3  0<br /> <br /> <br /> Để PT(1) có 2 nghiệm  <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> m  1<br />  2<br /> <br /> m  2 m  13  0<br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> m  1<br />  m  1 (*)<br /> <br /> m<br /> <br /> 3m  1<br /> 2m  3<br /> Theo hệ thức Viet ta có: x1  x2 <br /> và x1 x2 <br /> m 1<br /> m 1<br /> Theo bài ra:<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> 1 1<br /> x  x2<br />  2 1<br /> 2<br /> x1 x2<br /> x1 x2<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 3<br /> <br /> m<br /> 3m  1<br /> m5<br /> <br /> 2<br /> 0<br /> 2<br /> <br /> 2m  3<br /> 2m  3<br />  m  5<br /> <br /> 1,0<br /> <br />  3<br />  2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Kết hợp (*) ta được giá trị cần tìm của m là: m   ; 5     ;   \ 1<br /> 2.<br /> <br /> 0,5<br /> 4,0<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> 3<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 5x y  4 xy  3 y  ( x  y )( x  y )  0<br /> <br /> 2<br /> 2<br /> x  y  2<br /> <br /> <br /> Hệ đã cho  <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 4 x  y  5 xy 2  2 y 3  x3  0 (*)<br /> <br />  2<br /> 2<br /> x  y  2<br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Ta thấy x = 0 không là nghiệm của hệ nên từ PT (*) đặt: t <br /> <br /> t  1<br /> 2t  5t  4t  1  0   1<br /> t <br />  2<br /> 3<br /> <br /> 2<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> y<br /> ta được PT:<br /> x<br /> 0,5<br /> <br /> Trang | 2<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> y  x<br /> <br />  x  1  x  1<br /> <br /> <br /> 2<br /> 2<br />  y  1  y  1<br /> x  y  2<br /> <br /> Khi t = 1 ta có: <br /> <br /> <br /> <br /> 2 2<br /> 2 2<br /> 1<br /> <br /> x <br /> x  <br /> 1<br /> y  x<br /> <br /> 5<br /> <br /> 5<br /> Khi t  ta có: <br /> <br />  <br /> 2<br /> 2<br />  x2  y 2  2<br /> y  2<br /> y   2<br /> <br /> <br /> <br /> 5<br /> 5<br /> <br /> <br /> <br />  2 2 2   2 2  2 <br /> ;<br /> ;<br /> ;<br /> <br /> 5<br /> 5  5<br /> 5 <br /> <br /> <br /> Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm: 1;1 ;  1; 1 ; <br /> 3.<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> 0,5<br /> 2,0<br /> <br /> Do vai trò của a,b,c trong bất đẳng thức là như nhau nên không mất tính tổng quát ta<br /> giả thiết rằng a  b  c  0 .<br /> Khi đó: a  a  c   b  b  c   0  a  a  b  a  c   b  a  b  b  c <br /> <br /> 0,5<br /> <br />  a  a  b  a  c   b  b  a  b  c   0 (1)<br /> Mà  a  c  b  c  c  0  c  c  a  c  b   0 (2)<br /> Từ (1) và (2) suy ra: a  a  b  a  c   b  b  a  b  c    a  c  b  c  c  0<br /> <br />  a3  b3  c3  3abc  a 2b  a 2c  b2c  b2a  c 2b  c 2a<br />  a3  b3  c3  6abc   a  b  c  ab  bc  ca <br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> 3<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Kết hợp giả thiết a  b  c  1  a  b  c  6abc  ab  bc  ca (3)<br /> Từ đẳng thức a 3  b3  c3  3abc   a  b  c   a 2  b 2  c 2   ab  bc  ca  <br /> <br /> <br /> <br />  a3  b3  c3  3abc  a 2  b 2  c 2   ab  bc  ca  (4)<br /> <br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> <br /> <br /> Cộng (3) và (4) ta được: 2 a 3  b 3  c3  3abc  a 2  b 2  c 2 (đpcm).<br /> 4.<br /> <br /> 2,0<br /> <br />  2  2  <br /> <br /> <br /> <br /> VT  AB . AC  AB. AC<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br />  AB 2 . AC 2  AB 2 . AC 2 .cos 2 A  AB. AC .sin A<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> Theo định lí Sin ta có: AB  2 R sin C và AC  2 R sinB<br /> Vậy: VT  4 R 2 sin A sin B sin C  VP (đpcm).<br /> 5.<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br />    <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Đặt: AB  a ; AC  b và AK  t . AM<br />   2t   t <br /> Khi đó: BK    1 a  .b<br /> 3<br /> 3<br /> <br /> <br /> <br />  2<br /> BN  a  b<br /> 3<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> 3,0<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> Trang | 3<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  2t<br />  t <br />   2 <br />  1 a  .b  m   a  b <br /> 3<br /> 3 <br />  3<br /> <br /> <br /> <br /> Do B, N, K thẳng hàng nên  m : BK  mBN  <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 3<br />  2t<br /> <br />  1  m<br /> m<br /> 3<br /> <br /> <br /> <br /> 7<br /> <br /> <br />  t  2m<br /> t  6<br /> 3<br />  7<br /> 3<br /> <br /> <br />  6 <br />  <br /> <br /> <br /> Suy ra AK  . AM  AK  6.KM  AK  6.KM (đpcm).<br /> 7<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 6.<br /> <br /> 2,0<br /> Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.<br /> <br /> 180  BID 180  2 BAD<br /> Ta có: IBD <br /> <br />  90  BAD<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> A<br /> <br /> I<br /> <br />  BAE  CAE<br /> <br />  BAD  DBE<br /> Mặt khác: <br /> CBE  CAE<br /> <br /> <br /> 1,0<br /> B<br /> <br /> D<br /> <br />  IBE  IBD  DBE  90  BAD  DBE  90<br /> Suy ra BE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam<br /> giác ABD.<br /> <br /> E<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> 2<br /> Gọi đường thẳng BE có dạng: a  x  2   b  y  1  0, a  b  0<br /> <br /> <br /> <br /> Theo bài ra đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD có tâm I  2;3  và R = 4<br /> Do BE là tiếp tuyến chứng minh trên nên<br /> <br /> d  I ; BE   R <br /> <br /> 4a  2b<br /> a 2  b2<br /> <br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br />  4  2a 2  b2  4ab  0<br /> <br /> Chọn a = 1 ta được b  2  6<br /> Vậy có hai đường thẳng BE cần tìm:<br /> <br /> x<br /> <br /> C<br /> <br /> <br /> <br /> 6  2 y  6  0 x <br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> <br /> <br /> 62 y 6 0<br /> <br /> Trang | 4<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> GIÁO VIÊN VÀ HUẤN LUYỆN VIÊN HÀNG ĐẦU<br /> -<br /> <br /> Học Online trực tiếp với các Thầy, Cô là chuyên gia bồi dưỡng HSG Quốc gia chuyên<br /> môn cao, giàu kinh nghiệm và đạt nhiều thành tích.<br /> Học kèm Online trực tiếp với Huấn luyện viên giỏi là các anh chị đã tham gia và đạt<br /> giải cao trong kì thi HSG Quốc gia các năm trước.<br /> Chương trình được sắp xếp hệ thống, khoa học, toàn diện giúp học sinh nắm bắt nhanh<br /> kiến thức và tối ưu kết quả học tập.<br /> <br /> CÁCH HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP HỌC THÚ VỊ - HIỆU QUẢ<br /> -<br /> <br /> Lớp học Online ít học sinh: Mỗi lớp từ 5 - 10 em để Giáo viên và Huấn luyện viên bám<br /> sát, hỗ trợ kịp thời cho các em nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.<br /> Thời gian học linh động, sắp xếp hợp lý giúp các em dễ dàng lựa chọn cho mình khung<br /> thời gian tốt nhất để học.<br /> Mỗi bài học được chia thành nhiều buổi học (mỗi bài có tối thiểu 2 buổi học):<br /> <br /> + Buổi đầu tiên huấn luyện viên hướng dẫn các em học Online trực tiếp: Phần<br /> lý thuyết, phương pháp giải toán - các ví dụ minh họa điển hình & bài tập tự luyện do giáo<br /> viên cung cấp. Trong quá trình học các em được trao đổi, thảo luận Online trực tiếp với các<br /> bạn cùng học và huấn luyện viên để nắm rõ và hiểu sâu thêm các vấn đề trong bài học.<br /> + Buổi học tiếp theo: Sau khi về nhà các em đã làm bài tập tự luyện thì ở buổi học<br /> này Huấn luyện viên sẽ đánh giá bài làm của các em và sửa bài. Trong quá trình sửa bài<br /> các em thảo luận Online trực tiếp với HLV, các bạn cùng lớp để hoàn thiện bài làm và mở<br /> rộng thêm các dạng toán mới.<br /> <br /> HỌC CHỦ ĐỘNG – HỌC THOẢI MÁI VÀ TIẾT KIỆM<br /> -<br /> <br /> Các em không cần đến lớp, không cần đi lại mất thời gian, công sức, tiền của. Hãy<br /> chọn cho mình góc học tập yên tĩnh, tập trung và 01 máy tính có kết nối internet là<br /> chúng bắt đầu học Online trực tiếp như ở lớp.<br /> Mỗi tuần học 2 buổi, có nhiều lớp học, ca học trong ngày giúp các em hoàn toàn chủ<br /> động thời gian học tập của mình.<br /> Các chuyên đề luôn được mở giúp các em có thể học nhanh chương trình, trong thời<br /> gian ngắn nhất.<br /> Kết nối với các thầy cô, huấn luyện viên Online trực tiếp giúp việc giải đáp các vấn đề<br /> nhanh hơn - hiệu quả hơn.<br /> Được kết giao với các bạn học khác là những học sinh yêu thích, đam mê và giỏi toán<br /> trên toàn quốc.<br /> Học phí phù hợp. Đội ngũ tư vấn, cskh nhiệt tình, tận tâm hỗ trợ các em trong suốt quá<br /> trình học.<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 5<br /> <br />