Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2014-2015 - Trường THPT Yên Định 2

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> SỞ GD&ĐT THANH HÓA<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG<br /> <br /> TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 2<br /> <br /> NĂM HỌC 2014- 2015<br /> MÔN : TOÁN - KHỐI 10<br /> <br /> §Ò CHÝNH THøC<br /> <br /> (Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề)<br /> <br /> Câu 1 (5điểm):<br /> Cho parabol y = - 2x2 (P) và đường thẳng d: y = ax + a – 2<br /> 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (P).<br /> 2. Tìm số nguyên a sao cho d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B thoã mãn AB = 5<br /> <br /> Câu 2 (2 điểm):<br /> Giải phương trình:<br /> <br /> x  5 ( x  x  5 )3  2<br /> <br /> Câu 3 (2 điểm):<br /> 4 x 3  y 3  x  2 y<br /> <br /> Giải hệ phương trình:  2<br /> 52 x  82 xy  21 y 2  9<br /> <br /> <br /> Câu 4 (2 điểm):<br /> Giải bất phương trình:<br /> <br /> x x<br /> 1  2( x 2  x  1)<br /> <br /> 1<br /> <br /> Câu 5 (2 điểm): Cho tam giác ABC có diện tích S. Chứng minh rằng:<br /> cotA + cotB + cotC =<br /> <br /> a 2  b2  c2<br /> 4S<br /> <br /> Câu 6 (2 điểm):<br /> Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm trên d điểm M sao cho vectơ:<br /> MA  2MB  3MC có độ dài nhỏ nhất.<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 1<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> Câu 7 (2 điểm):<br /> Biết toạ độ trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt là H(2;2), I(1;2)<br /> 5 5<br /> 2 2<br /> <br /> và trung điểm M( ; ) của BC. Tìm toạ độ A, B, C biết xB > xC<br /> Câu 8 (2 điểm):<br /> Cho ba số thực dương x, y, z thoã mãn x  z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:<br /> xz<br /> y2<br /> x  2z<br /> <br /> <br /> P= 2<br /> y  yz xz  yz x  z<br /> <br /> ………………………………..Hết…………………………………<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 2<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG<br /> MÔN TOÁN – NĂM HỌC 2014 – 2015<br /> Câu 1:<br /> 1. (2 điểm): Tự vẽ<br /> 2. (3 điểm): Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là: 2x2 + ax + a – 2 = 0 (*) có<br />  = (a – 4)2 với a  4 thì (*) có hai nghiệm x1 = -1 và x2 =<br /> 2  a (2  a) 2<br /> A(-1;-2) và B(<br /> ). ta có AB =<br /> ;<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> 2a<br /> . Khi đó<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 5  AB = 5 <br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> 2<br /> <br />  2  a   2  a <br />  1  <br />  2  5 <br /> <br /> <br />  2<br />   2<br /> <br /> <br /> <br /> a 4  8a 3  17 a 2  8a  4  0  ( a  2)(a 3  6a 2  5a  2)  0<br /> <br /> Với a 3  6a 2  5a  2  0  a(a  1)( a  5)  2 thì không tồn tại số nguyên a thoã mãn. Vậy<br /> a = 2 là giá trị duy nhất cần tìm.<br /> Câu 2: (3 điểm)<br /> ĐKXĐ: x  5<br /> a  x<br /> <br /> b  x  5<br /> <br /> <br /> Đặt: <br /> <br /> (a > b  0 )<br /> <br /> ba  b 3  2<br /> b(a  b) 3  2<br /> b( a  b) 2<br /> a<br /> a 3<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />   9 hoặc <br /> Ta có:  2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> b 2<br /> 25<br /> b<br /> ( a  b)<br /> a  b  5<br /> (a  b) (a  b)  25<br /> <br /> <br /> <br /> Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình là: x = 9; x =<br /> <br /> 81<br /> 16<br /> <br /> Câu 3: ( 2 điểm)<br /> Ta có – 9(4x3 – y3) = (x + 2y)(52x2 – 82xy + 21y2)  8x3 + 2x2y – 13xy2 + 3y3 = 0 <br /> (x - y)(8x2 + 10xy – 3y2) = 0  (x-y)(4x - y)(2x + 3y) = 0<br /> Từ đó tìm được nghiệm của hệ là (1 ;1) ; (-1 ; -1)<br /> Câu 4 : (2 điểm)<br /> ĐKXĐ : x  0<br /> Nhận xét : 2(x2 – x + 1) – 1 = 2x2 – 2x + 1 > 0 với mọi x  2( x 2  x  1)  1, x nên mẫu số<br /> âm vậy bất phương trình đã cho tương đương với:<br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 3<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> x  x  1  2( x 2  x  1)  2( x 2  x  1)  1  x  x<br /> a  1  x<br /> <br /> Đặt <br /> <br /> b  x<br /> <br /> suy ra a2 + b2 = x2 – x + 1<br /> <br /> Vậy bất phương trình trở thành:<br /> 2( a 2  b 2 )  a  b  ( a  b) 2  0  a  b <br /> <br /> vậy nghiệm của bất phương trình là x <br /> <br /> x  1 x  x <br /> <br /> 3 5<br /> (t / m)<br /> 2<br /> <br /> 3 5<br /> 2<br /> <br /> Câu 5: (2 điểm)<br /> Ta có: cos A <br /> <br /> 1<br /> 2S<br /> b2  c2  a2<br /> . Mặt khác từ S = bc sin A suy ra SinA =<br /> 2<br /> bc<br /> 2bc<br /> <br /> b2  c2  a2<br /> suy ra cot A <br /> 4S<br /> <br /> Tương tự ta có:<br /> a2  c2  b2<br /> cot B <br /> 4S<br /> cot C <br /> <br /> a2  b2  c2<br /> 4S<br /> <br /> Suy ra: cotA + cotB + cotC =<br /> <br /> a2  b2  c2<br /> 4S<br /> <br /> Câu 6: (2 điểm)<br /> Lấy điểm D trên AB sao cho DA = 2DB. Gọi E là trung điểm của CD ta có:<br /> MA  2 MB  3MC  3MD  3MC  3ME . Suy ra điểm M cần tìm là hình chiếu của điểm E trên<br /> <br /> đường thẳng d<br /> Câu 7 : (2 điểm)<br /> * Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta chứng minh được : IH  3IG<br /> 4<br /> 3<br /> <br /> Từ đó tìm ra G( ;2 )<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 4<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br />  Phương trình đường thẳng BC đi qua M và vuông góc với MI nên BC có phương<br /> trình : 3x + y – 10 = 0<br />  Phương trình đường thẳng AH đi qua H và vuông góc với BC nên AH có phương trình :<br /> x – 3y + 4 = 0<br />  Phương trình đường thẳng AG đi qua A và G nên AG có phương trình là :<br /> 3x – 7y + 10 = 0<br /> Ta có điểm A là giao điểm của AH và AG nên A(-1 ; 1)<br /> Do B thuộc BC nên B có toạ độ dạng : B(a ; 10 – 3a). Do M là trung điểm của BC nên C có<br /> toạ độ dạng C(5 – a; 3a - 5).<br /> Mặt khác vì H là trực tâm nên BH vuông góc với AC, tương đương với<br /> BH . AC  0  a 2  5a  6  0  a  2, a  3 . Vì xB > xC nên a = 3<br /> <br /> vậy A(-1;1); B(3;1); C(2;4)<br /> Câu 8: 2 điểm<br /> Ta có:<br /> y2<br /> 2z<br /> 1<br /> 2<br /> xz<br /> y<br /> x  2z<br /> yz<br /> x<br /> P 2<br /> <br /> <br />  2<br /> <br /> <br /> xz<br /> z<br /> y  yz xz  yz x  z<br /> y<br /> 1 1<br /> 1<br /> yz<br /> x<br /> yz<br /> x<br /> 2z<br /> y<br /> 1<br /> y<br /> x<br /> <br />  z <br /> y<br /> x<br /> z<br /> 1<br /> 1 1<br /> z<br /> y<br /> x<br /> xz<br /> yz<br /> <br /> <br /> <br /> a2<br /> b2<br /> 1  2c 2<br />  2<br /> <br /> b2  1 a 1 1 c2<br /> <br /> trong đó ta ký hiệu: a 2 <br /> Chú ý : a 2 b 2 <br /> <br /> *<br /> <br /> x 2 y 2 z<br /> , b  , c  ( a , b, c  R  )<br /> y<br /> z<br /> x<br /> <br /> x 1<br /> <br />  1 do x  z<br /> z c2<br /> <br /> a2<br /> b2<br /> 2ab<br /> F<br />  2<br /> <br />  2<br /> 2<br /> 2<br /> b  1 a  1 ab  1 (b  1)(a  1)(ab  1)<br /> <br /> Trong đó F = a2(a2 + 1)(ab + 1) + b2(b2 + 1)(ab + 1) – 2ab(b2 + 1)(a2 + 1)<br /> = ab(a4 + b4 – 2ª2b2) + (a4 + b4 – a3b – ab3) + (a2 + b2 – 2ab)<br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 5<br /> <br />