Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2015-2016 - Trường THPT Liễn Sơn

Chia sẻ: Lê Ngọc Mai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

838
lượt xem 82
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nếu yêu thích môn Toán thì đừng bỏ qua "Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 cấp trường năm 2015-2016 - Trường THPT Liễn Sơn" này nhé! Vận dụng kiến thức và kỹ năng các em đã được học để thử sức mình với đề thi nhé! Chúc các em ôn tập và đạt kết quả cao trong kì thi!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2015-2016 - Trường THPT Liễn Sơn

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 SỞ GD VÀ ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN NĂM HỌC 2015 - 2016 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 10 (Thời gian làm bài 180 phút)    Câu 1. (2.5 điểm) Cho phương trình : x 2  3 x  2 x 2  9 x  20  m  1  0 (1) a. Giải phương trình (1) với m  5 . b. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn x 2  6 x  7  0 . Câu 2. (1.0 điểm) Giải phương trình : x 4  x 2  4  x 4  20 x 2  4  7 x Câu 3. (1.0 điểm) Giải bất phương trình : 3 x 2  2 x  15  3 x 2  2 x  8  7  y  y 2 x  6 x 2  Câu 4. (1.5 điểm) Giải hệ phương trình :  3 3 3 1  x y  19 x  Câu 5. (1.5 điểm) Cho tam giác ABC đều cạnh 3a . Lấy các điểm M , N , P lần lượt trên 4a . Chứng minh AM  PN . 5 Câu 6. (1.5 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC cân tại A  1;3 . Gọi D là điểm trên cạnh AB sao cho AB  3 AD và H là hình chiếu vuông góc của B trên CD . 1 3 Điểm M  ;   là trung điểm đoạn HC . Xác định tọa độ đỉnh C , biết đỉnh B nằm trên 2 2 đường thẳng có phương trình x  y  7  0 . Câu 7. (1.0 điểm) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a  b  c  3 . Tìm giá trị lớn nhất các cạnh BC , CA, AB sao cho BM  a, CN  2a, AP  của biểu thức : P  a b c  3 2  3 a3  b 2  c b  c  a c  a 2  b ------------------- HẾT ------------------- Họ và tên thí sinh : …………………………………….…….. Số báo danh : …………….. www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 Trang | 1 CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 SỞ GD VÀ ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN --------------------------- CÂU ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC : 2015 - 2016 MÔN TOÁN LỚP 10 NỘI DUNG Cho phương trình : x  3 x  2 x 2  9 x  20  m  1  0 (1)   2  a. Giải phương trình (1) với m  5 . Với m  5 , 1 trở thành  x  1 x  2  x  4  x  5   4  0 x 2 ĐIỂM 0.5  6 x  5  x 2  6 x  8   4  0 0.5 Đặt t  x 2  6 x  7 , ta được phương trình t  2 t  3  t  2  t  1  4  0  t 2  t  6  0     0.5 t  2  x 2  6 x  9  0  x  3 t  3  x 2  6 x  4  0  x  3  5 Vậy với m  5 thì 1 có ba nghiệm là : x  3, x  3  5 b. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn x2  6x  7  0 . 0.5 1   x  1 x  2  x  4  x  5   m  1   x  1 x  5   x  2  x  4    m  1      x 2  6 x  5  x 2  6 x  8   m  1 2 2 Đặt t  x  6 x  7   x  3  2  2 , ta được phương trình  t  2  t  1  m  1  t 2  t  1  m  2  1 có nghiệm thỏa mãn x 2  6 x  7  0   2  có nghiệm thỏa mãn 0.5 2  t  0 Lập bảng biến thiên của hàm số f  t   t 2  t  1, t   2;0 2 0 t 5 f t  1 Dựa vào bảng biến thiên ta được 1  m  5 Vậy giá trị m cần tìm là m   1;5 Giải phương trình : x 4  x 2  4  x 4  20 x 2  4  7 x www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 Trang | 2 CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 0.5 Nhận xét : Từ phương trình suy ra x  0 Ta có :  pt   x2  4 4  1  x 2  2  20  7 2 x x 4  1  3 , ta được phương trình t  t  21  7 x2 1  1  t  2  t  21  5  0   t  4    0 t  21  5   t 2 t4 x 1 4 Ta được : x 2  2  1  4  x 4  5 x 2  4  0    do x  0  x x  2 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x  1, x  2 2 Đặt t  x      Giải bất phương trình :  bpt    0.5 3 x 2  2 x  15  3 x 2  2 x  8  7   3x 2  2 x  15  4   0.5 3x 2  2 x  8  3  0   1 1   3x 2  2 x  1   0 2 2 3x  2 x  8  3   3x  2 x  15  4 1  2 x   3  3x  2 x  1  0   x  1   0.5 1 Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là S   ;    1;   3  Chú ý : Có thể giải phương trình, xét dấu sau đó suy ra nghiệm của bất phương trình. Hoặc có thể giải trực tiếp bất phương trình bằng ẩn phụ  y  y 2 x  6 x 2  Giải hệ phương trình :  3 3 3 1  x y  19 x  Nhận xét : Với x  0 thi hệ vô nghiệm y1   y y2   6    y   6  x2 x  x x   Hệ phương trình    1  y 3  19  1  y   3 y  1  y   19    3 x  x   x x   y  a  x  Đặt  , ta được hệ 1 b   y  x  www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 0.5 0.5  ab  6 a  6   3 b  3ab  19 b  1 Trang | 3 CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 0.5 y 1  1   x  6  y  6 x  x  x   Suy ra   2  3 , 2 1 6x  x 1  0    y 1  y  3  y  2  x  1   1  Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là  x; y    ; 2  ,  x; y     ;3  3   2  Chú ý : Có thể giải cách sau : Với x  0 , hệ tương đương 19 xy  19 x 2 y 2  144 x 3 3 2   6  xy   19  xy   19  xy   6  0 …  3 3 3 6  6 x y  144 x  Cho tam giác ABC đều cạnh 3a . Lấy các điểm M , N , P lần lượt trên các cạnh 4a . Chứng minh AM  PN . BC , CA, AB sao cho BM  a, CN  2a, AP  5 A P N B   C M            0.5 2  1  AB  AC 3 3       1     1     1    0.5 AP 4 PN  PA  AN   AP  AC   AB  AC   AB  AC 3 AB 3 15 3    2  1   4  1        0.5 AM .PN   AB  AC   AB  AC  3 3 3  15    8 4   2   1   AB 2  AB. AC  AB. AC  AC 2 45 45 9 9   3 6   1 2     AB 2  AB. AC   AB 2  AB. AC 45 45 15 15 9 2 2   a 2   3a  .cos600  0 15 15 Suy ra AM  PN (đpcm) Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC cân tại A  1;3 . Gọi D là điểm trên cạnh AB sao cho AB  3 AD và H là hình chiếu vuông góc của B trên 1 3 CD . Điểm M  ;   là trung điểm đoạn HC . Xác định tọa độ đỉnh C , biết 2 2 đỉnh B nằm trên đường thẳng có phương trình x  y  7  0 . Ta có : 2MB  MC  0  2 AB  AC  3 AM  AM  www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 Trang | 4 CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 x A E D H M B C I Kẻ Ax song song BC , gọi E  CD  Ax , I là trung điểm của BC Ta có tam giác DAE đồng dạng tam giác DBC AE DA 1 1    AE  BC  IB BC DB 2 2  AEBI là hình chữ nhật  AEBI nội tiếp đường tròn đường kính EI Ta có IM song song BH  IM  CD  AEIM nội tiếp đường tròn đường kính EI  AEBM nội tiếp đường tròn đường kính EI  AMB  900  AM  BM   3 9  3  Ta có AM   ;    1; 3   pt BM : x  3 y  5  0 2 2 2 x  y  7  0  x  4   B  4; 3 Tọa độ B là nghiệm của hệ  x  3 y  5  0  y  3   1     5 5  5  AD  AB  D  2;1  DM   ;    1; 1 3 2 2 2 pt CD : x  y  1  0 ; pt BH : x  y  1  0  x  y  1  0  x  1 Tọa độ H thỏa mãn hệ    H  1;0  x  y 1  0 y0   Do M là trung điểm của CH, suy ra C  2; 3  Chú ý : Có thể chứng minh AM  BM bằng cách khác : 0.5  0.5 0.5 Kẻ d vuông góc BC, gọi I, J lần lượt là giao của d với CD và CA, E là trung điểm của BH. Chứng minh E là trực tâm tam giác IBM, D là trọng tâm tam giác JBC, IE song song AM, suy ra AM  BM . Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a  b  c  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P  a b c  3 2  3 2 a  b  c b  c  a c  a2  b 3 Ta có 0.5 2 1 2   1  9  a  b  c   a a.  b.1  c . c    a 3  b 2  c    1  c  a a    1  a 1 c a a   1  a  ac  3   2 a b c 9 9 www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 Trang | 5