Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2015-2016 - Trường THPT Tam Quan

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> SỞ GD & ĐT BÌNH ĐỊNH<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 NĂM 2015- 2016<br /> <br /> TRƯỜNG THPT TAM QUAN<br /> <br /> MÔN THI: TOÁN<br /> <br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)<br /> <br /> Câu I: (1,5 điểm). So sánh các số thực sau ( Không dùng máy tính gần đúng).<br /> <br /> 3 2 và<br /> <br /> 2 3<br /> <br /> 1<br /> x2  x  2<br /> 2x  4<br />  2<br /> <br /> Câu II: (3,0 điểm). Cho A <br /> x  2 x  7 x  10 x  5<br /> a) Rút gọn A.<br /> b) Tìm x nguyên để A nguyên.<br /> Câu III: (5,0 điểm).<br /> 1) Mỗi học sinh lớp 10A1 đều chơi bóng đá hoặc bóng chuyền. Biết rằng có 25 bạn chơi<br /> bóng đá, 20 bạn chơi bóng chuyền và 10 bạn chơi cả hai môn thể thao này. Hỏi lớp 10A1 có<br /> bao nhiêu học sinh.<br /> 2) Cho các nữa khoảng A  ( a; a  1], B  [b; b  2). Đặt C  A  B. Với điều kiện<br /> nào của các số thực a và b thì C là một đoạn? Tính độ dài của đoạn C khi đó .<br /> 3) Tìm một tính chất đặc trưng cho các phần tử của mỗi tập hợp sau:<br /> <br /> 1 1 1 1 1 <br /> , , <br />  2 6 12 20 30 <br /> <br /> a) A   , ,<br /> <br /> 2 3 4 5 6 <br /> , , <br />  3 8 15 24 35 <br /> <br /> b) B   , ,<br /> <br /> Câu IV: (3,0 điểm).<br /> 1) Tìm m để phương trình x 2  1  m4  m2  1 có bốn nghiệm phân biệt.<br /> <br /> 2) Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh:<br /> <br />  x4  3  4 y<br /> <br /> <br />  y4  3  4 x<br /> <br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 1<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> Câu V: (4,0 điểm).<br /> <br /> 1) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM và K là điểm trên<br /> 1<br /> cạnh AC sao cho AK  AC . Chứng minh ba điểm B, I ,K thẳng hàng.<br /> 3<br /> 2) Cho tứ giác ABCD. Các điểm M, N, P và Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và<br /> DA. Chứng minh hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.<br /> Câu VI: (3,5 điểm). Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB và CD vuông góc với nhau.<br /> Trong đoạn AB lấy điểm M khác 0. Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N.<br /> Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến với đường tròn (O) tại N ở điểm P. Chứng<br /> minh rằng:<br /> a) Các điểm O, M, N, P cùng nằm trên một đường tròn.<br /> b) Tứ giác CMPO là hình bình hành.<br /> c) CM.CN = 2R2<br /> ---HẾT--Họ và tên thí sinh: ........................................................ Số báo danh: ...................................<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 2<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> CÂU<br /> <br /> I.<br /> (1,5đ)<br /> <br /> NỘI DUNG ĐÁP ÁN<br /> Giả sử<br /> <br /> 3 2 > 2 3 <br /> <br /> <br /> <br /> 3 2 2 3 3 2<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> 3 2<br /> <br /> 2<br /> <br />  <br /> <br />  2 3<br /> <br />  <br /> <br /> <br /> 2 3<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br />  18  12 (BĐT đúng)<br /> <br /> a) (1,5 đ) x2-7x+10=(x-5)(x-2). Điều kiện để A có nghĩa là<br /> x ≠5và x ≠2<br /> <br /> 1<br /> x2  x  2<br /> 2x  4<br /> 1<br /> x2  x  2<br /> 2x  4<br /> A<br />  2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> x  2 x  7 x  10 x  5 x  2 ( x  5)( x  2) x  5<br /> II<br /> (3,0 đ)<br /> <br /> x  5  x 2  x  2  (2 x  4)( x  2)<br /> <br /> ( x  5)( x  2)<br />  x 2  8 x  15 ( x  5)( x  3)  x  3<br /> <br /> <br /> <br /> ( x  5)( x  2) ( x  5)( x  2)<br /> x2<br /> b) (1,5 đ) A <br /> <br /> ( x  2)  1<br /> 1<br />  1 <br /> , với x nguyên, A nguyên khi và chỉ khi<br /> x2<br /> x2<br /> <br /> 1<br /> nguyên, khi đó x-2=1 hoặc x-2 =-1 nghĩa là x=3, hoặc x=1.<br /> x2<br /> 1)(2 đ) Gọi A là tập hợp các học sinh lớp 10A1 chơi bóng đá<br /> B là tập hợp các học sinh lớp 10A1 chơi bóng chuyền. Vì mỗi bạn của lớp 10A1<br /> đều chơi bong đá hoặc bóng chuyền nên A  B là tập các học sinh của lớp. Để đếm<br /> số phần tử của A  B . Số phần tử của A là 25 Hs và của B là 20 hs. Nhưng khi đó<br /> các phần tử thuộc A  B được đếm hai lần( 10 lần).<br /> III<br /> Vậy số phần tử của A  B là 25+20 -10 = 35. Lớp 10A1 có 35 hs.<br /> (5,0đ)<br /> <br /> 2) (2 đ) C  [b; b  2)  (a; a  1] là một đoạn  b  a  b  2  a  1<br />  b  1  a  b  2.<br /> (*)<br /> Khi đó, C  [b; b  2)  (a; a  1]  [b; a  1] là đoạn có độ dài a  b  1<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> / n  N ,1  n  5<br />  n(n  1)<br /> <br /> <br /> 3) (1 đ) a) A  <br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 3<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> <br /> <br /> n<br /> / n  N , 2  n  6<br /> 2<br />  n  1)<br /> <br /> <br /> b) A  <br /> <br /> 1) (1,5 đ) Ta có: m4  m 2  1  0<br />  x 2  m4  m 2  2<br /> PT   2<br />  x  m2  m 4  m 2 (1  m2 )<br /> <br /> <br /> (1)<br /> (2)<br /> <br /> (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m vì m4  m 2  2  0<br /> m  0 và 1  m 2  0<br /> <br /> (2) có 2 nghiệm phân biệt<br /> PT có 4 nghiệm phân biệt<br /> IV<br /> <br /> <br /> <br />  m  (1;1) \{0} và m 4  m 2  2  m 2  m4<br /> <br /> m  ( 1;1) \{0} và m4  m 2  1  0<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> m  ( 1; 1) \{0}<br /> <br /> m  ( 1;1) \{0} , kết luận<br /> <br /> (3,0đ)<br /> x  3<br /> <br /> 4 (*)<br /> 2) (1,5 đ) . §iÒu kiÖn ®Ó hÖ cã nghiÖm lµ: <br /> y  34<br /> <br /> <br />  x4  3  4 y<br /> <br />  x4  3  4 y<br /> (a )<br />  4<br /> 4<br /> 4<br />  y  3  4x<br />  x  y  4( x  y)  0 (b)<br /> <br /> Víi ®iÒu kiÖn (*), ta cã: <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> (b)   x  y   x  y  x 2  y 2  4   0  x  y  0  x  y<br /> <br /> <br /> <br />  x  y   x 2  y 2   4  0 ).<br /> <br /> (v× x, y  3 4  0 nªn<br /> <br /> Thay vµo (a): x 4  3  4 y  x 4  4 x  3  0  x 4  1  4  x  1  0<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />   x  1 x3  x 2  x  3  0   x  1 x 2  2 x  3  0  x  1<br /> 2<br /> <br /> v× x2  2 x  3   x  1  2  0 .<br /> So víi ®iÒu kiÖn (*), ta cã: x  y  1  3 4 .<br /> x 1<br /> y 1<br /> <br /> VËy hÖ ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt : <br /> <br /> V<br /> (4,0đ)<br /> <br />    <br /> <br /> <br /> 1) (2,0 đ) Đặt u  BA ;v  BC .Ta có<br /> <br />     1   1  <br /> <br /> <br />  2 1<br /> BK  BA  AK  u  AC  u  ( BC  BA)  u  v (1)<br /> 3<br /> 3<br /> 3<br /> 3<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 4<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br />  1  <br /> <br />  1 1<br /> BI  ( BA  BM )  u  v (2)<br /> 2<br /> 2<br /> 4<br />  <br /> <br />  <br /> <br /> <br /> <br /> Từ (1) và (2) suy ra 2u  v  3BK , 2u  v  4 BI vậy 3BK  4 BI hay<br />  4 <br /> BK  BI<br /> 3<br /> <br /> Do đó ba điểm B, I, K thẳng hàng<br /> <br />    <br /> <br /> <br /> 2) (2,0 đ) Gọi G là trọng tâm tam giác ANP .Khi đó GA  GN  GP  0<br /> Ta có<br /> <br />         <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> GC  GM  GQ  GA  AC  GN  NM  GP  PQ<br />      <br /> <br /> <br /> <br />    <br /> <br />  GA  GN  GP  AC  ( NM  PQ)  AC  CA  0<br />    <br /> <br /> Vậy GC  GM  GQ  0 Suy ra G là trọng tâm tam giác CMQ<br /> <br /> C<br /> <br /> M<br /> <br /> O<br /> <br /> A<br /> <br /> B<br /> <br /> VI<br /> (3,5đ)<br /> <br /> E<br /> <br /> F<br /> <br /> N<br /> P<br /> <br /> a) (1,5 đ)<br /> kính OP.<br /> <br /> D<br /> <br /> * Tam giác OMP vuông tại M nên O, M, P thuộc đường tròn đường<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 5<br /> <br />