Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2015-2016 - Trường THPT Tân Kỳ

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> SỞ GD & ĐT NGHỆ AN<br /> <br /> KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG<br /> <br /> TRƯỜNG THPT TÂN KỲ<br /> <br /> NĂM HỌC 2015 – 2016<br /> MÔN THI: TOÁN - KHỐI 10<br /> ( Thời gian làm bài: 150 phút)<br /> <br /> 2<br /> Câu 1: (6 điểm) Cho f ( x)  x  2m  1x  m  1<br /> <br /> a) Tìm điều kiện của m để phương trình: f ( x )  mx  m 2  1 có hai nghiệm trái dấu.<br /> b) Tìm điều kiện của m để bất phương trình: f  x   0 nhận mọi x  R làm nghiệm.<br /> <br /> Câu 2: ( 6 điểm )<br /> 2<br /> a) Giải phương trình: x  2. 7  x  2. x  1   x  8 x  7  1 .<br /> <br />  xy  y 2  2 y  x  1  y  1  x<br /> <br /> b) Giải hệ phương trình: <br /> 3. 6  y  3. 2 x  3 y  7  2 x  7<br /> <br /> <br /> Câu 3: ( 6 điểm )<br /> a) Cho tam giác ABC M thuộc cạnh AC sao cho MA  2.MC , N thuộc BM sao cho<br /> <br /> NB  3.NM , P thuộc BC sao cho PB  k .PC . Tìm k để ba điểm A, N, P thẳng hàng.<br /> b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A, B và AD = 2BC. Gọi<br /> H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường chéo BD và E là trung điểm của đoạn<br /> <br /> 5<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> HD. Giả sử H  1;3 , phương trình đường thẳng AE : 4 x  y  3  0 và C  ; 4  .<br /> Tìm tọa độ các đỉnh A, B và D của hình thang ABCD.<br /> <br /> Câu 4: (2 điểm)<br /> 2<br /> 2<br /> Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện x  y  1 .<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 1<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> 4 x 2  2 xy  1<br /> Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P <br /> 2 xy  2 y 2  3<br /> <br /> …………………Hết…………………<br /> Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị xem thi không giải thích gì thêm.<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 2<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM<br /> Câu<br /> 1<br /> <br /> Đáp án<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> Cho f ( x)  x 2  2m  1x  m  1<br /> a) Tìm điều kiện của m để phương trình: f ( x)  mx  m 2  1 có hai<br /> nghiệm trái dấu.<br /> b) Tìm điều kiện của m để bất phương trình f x   0 nhận mọi x  R<br /> làm nghiệm.<br /> <br /> a)<br /> <br /> f ( x)  mx  m 2  1  x 2  3m  2x  m 2  m  2  0<br /> <br /> (3<br /> <br /> 1<br /> <br /> Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và khi<br /> <br /> 0.5<br /> 1.0<br /> <br /> điểm)<br />  m2  m  2  0<br /> <br /> m  2<br /> <br /> m  1<br /> <br /> 1.0<br /> <br /> Kết luận: …<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> b)<br /> <br /> Bất phương trình f x   0 nhận mọi x  R làm nghiệm<br /> <br /> (3<br /> <br /> khi và chỉ khi ' 0 vì hệ số a = 1 > 0<br /> <br /> 0.5<br /> <br />  '  0  m 2  3m  0<br /> <br /> 1.0<br /> <br />  3  m  0<br /> <br /> 1.0<br /> <br /> Kết luận:...<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> điểm)<br /> <br /> 2<br /> <br /> a) Giải phương trình: x  2. 7  x  2. x  1   x 2  8 x  7  1 .<br />  xy  y 2  2 y  x  1  y  1  x 1<br /> <br /> b) Giải hệ phương trình: <br /> 3. 6  y  3. 2 x  3 y  7  2 x  7 2 <br /> <br /> <br /> a<br /> <br /> Điều kiện: x  1;7 <br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> Trang | 3<br /> <br /> (3<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> 0.5<br /> pt  x  1   x  17  x   2 7  x  x  1  0<br /> <br /> <br /> <br /> điểm)<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> x 1  7  x<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> x 1  2  0<br /> <br /> 0.5<br /> <br />  x 1  7  x<br /> <br />  x 1  2<br /> <br /> <br /> x  4<br /> <br /> x  5<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 1  y  6<br /> <br /> Điều kiện:  x  0<br /> (*)<br /> 2 x  3 y  7  0<br /> <br /> <br /> 0.5<br /> <br /> Vì x = 0 và y = 1 không phải là nghiệm của phương trình nên<br /> <br /> (3<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> So sánh điều kiện và kết luận nghiêm:...<br /> b<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> điểm)<br /> <br /> pt 1  y  x  y  1   y  x  1 <br /> <br /> <br /> 1<br />  (x  y  1)  y  1 <br /> <br /> y 1  x<br /> <br /> <br /> y  x 1<br /> y 1  x<br /> <br /> <br /> 0<br /> <br /> <br /> <br /> 0.25<br /> <br />  x  y  1  0  y  x  1 (do điều kiện (*))<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> Thay vào PT (2) ta được: 3 5  x  3 5x  4  2x  7 (3)<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> ĐK: 4 / 5  x  5<br /> (3)  (7  x)  3 5  x  3(x  5x  4 )  0<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> 3<br />  (4  5x+x 2 ) <br /> <br /> 0<br />  3 5  x  (7  x)<br /> 5x  4  x <br /> <br /> <br /> <br /> 0.25<br /> <br /> x  1  y  2<br />  x 2  5x+4  0  <br /> x  4  y  5<br /> <br /> 0.25<br /> <br /> So sánh điều kiện và kết luận nghiêm:...<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 4<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> 3<br /> <br /> a) Cho tam giác ABC M thuộc cạnh AC sao cho MA  2.MC , N<br /> thuộc BM sao cho NB  3. NM , P thuộc BC sao cho PB  k .PC .<br /> Tìm k để ba điểm A, N, P thẳng hàng.<br /> b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A,<br /> B và AD = 2BC. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên<br /> đường chéo BD và E là trung điểm của đoạn HD. Giả sử H  1;3 ,<br /> 5<br /> <br /> <br /> <br /> phương trình đường thẳng AE : 4 x  y  3  0 và C  ; 4  . Tìm tọa<br /> 2 <br /> độ các đỉnh A, B và D của hình thang ABCD.<br /> a)<br /> <br /> A<br /> <br /> (3<br /> điểm)<br /> M<br /> <br /> N<br /> B<br /> P<br /> <br /> C<br /> <br /> Ta có:<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> NB  3.NM  AB  AN  3. AM  AN  AB  3. AM  4.AN<br /> 1<br /> 1<br />  AN  AB  . AC 1<br /> 4<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> PB  k .PC  AB  AP  k AC  AP  AB  k . AC  1  k  AP ( k  1)<br /> <br />  AP <br /> <br /> 1<br /> k<br /> AB <br /> AC<br /> 1 k<br /> 1 k<br /> <br /> 2<br /> <br /> Ba điểm A, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> 0.5<br /> 0.5<br /> <br /> 0.5<br /> <br /> h<br />  1<br /> 1  k  4<br /> <br /> AP  h. AN  <br />  k  h<br />  1 k 2<br /> <br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 5<br /> <br />