Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Kon Tum

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đây là tài liệu thực sự hữu ích cho các em học sinh nằm trong đội tuyển học sinh giỏi môn Toán cấp trường. Đề thi có hướng dẫn giải chi tiết, hi vọng giúp các em ôn tập và củng cố kiến thức, đạt điểm cao trong kì thi quan trọng này. Mời các em tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Kon Tum

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH KON TUM MÔN TOÁN – LỚP 12 NĂM HỌC 2020 - 2021 TOANMATH.com Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Đề thi gồm 01 trang + 05 bài toán tự luận Câu 1. (2,5 điểm) Cho hàm số f  x    x 4  2mx 2  m 2  1 . Tìm m để đồ thị hàm số f  x  có ba điểm cực trị và ba điểm đó cùng gốc tọa độ O lập thành tứ giác nội tiếp đường tròn. sin 3 x  3 cos 3x  1 Câu 2. (4,0 điểm) 1. Giải phương trình  0 với x    ;0  . cos x  x  3  x  y  y  1  4  5 y 1 2. Giải phương trình  .  2 x  2 y  4  4  3 x  2 y  2 y  1   2 Câu 3. (5,0 điểm) 1. Một nhóm gồm 9 học sinh một lớp trong đó có ba bạn Việt, Nam và Hùng đi dự đại hội Đoàn trường, ban tổ chức sắp xếp ngẫu nhiên 9 học sinh này ngồi vào một dãy ghế được đánh số từ 1 đến 9. Tính xác suất để số ghế của bạn Hùng bằng trung bình cộng số ghế của hai bạn Việt và Nam. u1  2020 2. Cho dãy số  un  thỏa  2 .  n  5n  5  un   2n  6n  2  un 1 , n  1, 2, 3... 2  2n u  Tính lim  2 n  .  n  Câu 4. (6,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có BC  AD  a, AC  BD  b, AB  CD  c . 1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD theo a, b, c . 2. Biết mặt phẳng  ABC  vuông góc với mặt phẳng  ABD  . Chứng minh rằng cos A.cos B  cos C ; với A, B, C là ký hiệu ba góc tương ứng với các đỉnh A, B, C của tam giác ABC . 3. Gọi S là diện tích toàn phần của tứ diện ABCD . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S2 S2 S2   . a 2b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 Câu 5. (2,5 điểm) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a 2  b 2  c 2  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của abc 2 2 biều thức P   a  b 1 2 2  c2  2 . c  2ab 2 ab c ------------------------- HẾT -------------------------
HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Cho hàm số f  x    x  2mx  m 2  1 . Tìm m để đồ thị hàm số f  x  có ba điểm cực trị và 4 2 ba điểm đó cùng gốc tọa độ O lập thành tứ giác nội tiếp đường tròn. Lời giải f   x   4 x  4mx  4x   x  m  3 2 x  0 4 x   x2  m  0   2 . x  m Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì : m  0 .    Ba điểm cực trị là A  0;  m 2  1 ; B m ; 1 ; C  m ; 1 .       BA  m ;  m 2 ; BO  m ;1 .  Để ba điểm A , B , C và gốc tọa độ O  0;0  tạo thành tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi    C  ). B  C  180  B  90 (do B   m  0  BA.BO  0  m  m2  0   . m  1 Vậy m  1 . sin 3x  3 cos 3 x  1 Câu 2.1: Giải phương trình  0 với x    ;0  . cos x Lời giải Trường hợp 1: sin 3x  0 . sin 3 x  3 cos 3x  1     0  x   k  cos x  2   sin 3x  3 cos 3x  1 1  sin 3 x  3 cos 3x  1 2   2  x k    6 3  sin   3 x   sin   3  6 x    2 k  18 3    13  Theo đề bài x    ;0  và x   k nên x   ; . 2  8 18  Trường hợp 2: sin 3x  0  sin 3x  3 cos 3 x  1     0  x   k  cos x  2    sin 3x  3 cos 3 x  1 1   sin 3 x  3 cos 3 x  1 2   2  x k  2   6 3  sin   3x   sin    3  6  x    k 2  18 3
 5  11   Theo đề bài x    ;0  và x  k nên x   ; ; . 2  6 6 18   5  11  13  Vậy nghiệm của phương trình trên là x   ; ; ; ; .  6 6 18 8 18   x  3  x  y  y  1  4  5 y 1 Câu 2.2: Giải phương trình  .  2 x  2 y  4  4  3 x  2 y  2 y  1  2 Lời giải  x  y  y  1  0  Điều kiện: 2 x  2 y  4  0 . 2 y  1  0  Ta có 1   x  y   3  x  y  y  1  4  y  1  0 . Đặt u  x  y , v  y  1  u  0, v  0  . u  v Khi đó 1 trở thành u 2  3uv  4v 2  0   . u  4v  vn  Với u  v ta có x  2 y  1, thay vào  2  ta được: 6 y  2  2 y 1  4 y  1  0 . Dễ dàng ta tìm được y  1  x  3 . Vậy nghiệm của phương trình là 3;1 . Câu 3.1: Một nhóm gồm 9 học sinh một lớp trong đó có ba bạn Việt, Nam và Hùng đi dự đại hội Đoàn trường, ban tổ chức sắp xếp ngẫu nhiên 9 học sinh này ngồi vào một dãy ghế được đánh số từ 1 đến 9. Tính xác suất để số ghế của bạn Hùng bằng trung bình cộng số ghế của hai bạn Việt và Nam. Lời giải Số phần tử không gian mẫu n()  9! Gọi A là biến cố mà số ghế của bạn Hùng bằng trung bình cộng số ghế của hai bạn Việt và Nam Gọi số ghế của Hùng, Việt, Nam lần lượt là h, v, n vn h, v, n   Có h  mà  2 h, v, n 1;9  v, n cùng lẻ hoặc cùng chẵn Mỗi bộ v, n cùng lẻ hoặc cùng chẵn do 1 h duy nhất. Các bộ v, n thõa mãn là ( Chưa xét hoán vị ) 1;3 ; 1;5  ; 1;7  ; 1;9  ;  3;5  ;  3; 7  ;  3;9   5;7  ;  5;9  ;  7;9  ;  2; 4  ;  2; 6  ;  2;8  4; 6  ;  4;8 ;  6;8  16 bộ v, n
 16.2!.1 cách xếp h, v, n thõa mãn  n  A   16.2!.1 .6! 16.2!.1.6! 4  P  A   . 9! 63 u1  2020 Câu 3.2: Cho dãy số  un  thỏa  2 .  n  5n  5  un   2n  6n  2  un 1 , n  1, 2, 3... 2  2n u  Tính lim  2 n  .  n  Lời giải  n  1  3  n  1  1 u 2 n 2  5n  5 Ta có un1  un  2  n  6n  2  2  n 2  3n  1 2 n  n  1  3  n  1  1  n  1  3  n  1  1 u 2 2 n 2  3n  1  . un 1  2  n 2  3n  1 n 1 2  n  1  3  n  1  1 22  n  1  3  n  1  1 2 2      n  1  3  n  1  1 u  ….   n  1  3  n  1  1 u  n 2  5n  5 .404 2 2  n 2 1 23  n  2   3  n  2   1 2n  2  1  3  2  1  1 2n 2 2     n 2  3n  1 Vậy un  .404 . 2n 1  2n u  Suy ra lim  2 n   808 .  n  Câu 4: Cho tứ diện ABCD có BC  AD  a, AC  BD  b, AB  CD  c . 1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD theo a, b, c . 2. Biết mặt phẳng  ABC  vuông góc với mặt phẳng  ABD  . Chứng minh rằng cos A.cos B  cos C ; với A, B, C là ký hiệu ba góc tương ứng với các đỉnh A, B, C của tam giác ABC . 3. Gọi S là diện tích toàn phần của tứ diện ABCD . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S2 S2 S2   . a 2b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 Lời giải
Dựng hình hộp chữ nhật AMBN .QCPD (tham khảo hình vẽ) Gọi x, y, z lần lượt là ba kích thước của hình hộp chữ nhật AMBN .QCPD .  2 1 2 2 2 x  2 a  c  b  x  y  c 2 2 2    1 Theo giả thiết, ta có  y 2  z 2  b 2   y 2   b 2  c 2  a 2  .  2  2  x  z 2  a 2  2 1 2 2 2 z  2 a  b  c   1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD theo a, b, c .  AB   AMBN   a 2  b2  c 2 Ta có CD   QCPD   d  AB, CD   d   AMBN  ,  QCPD    z  .  2  AMBN  //  QCPD  a 2  b2  c 2 Vậy d  AB, CD   . 2 2. Chứng minh rằng cos A.cos B  cos C . Cách 1: Sử dụng bổ đề sau:   P  ,  R       P  ,  Q    180      Nếu  P    Q   d   R  và   .   Q  ,  R       P  ,  Q       Áp dụng vào bài toán như sau: Gọi   ABD  ,  AMBN     ;  ABC  ,  AMBN     . d  D,  AMBN   z x  y 2 2 Ta có tan    1 . d  N , AB  xy
d  C ,  AMBN   z x2  y2 Tương tự, cũng có tan     2 . d  C , AB  xy Từ 1 và  2   tan   tan      . Do  ABC    ABD       45 a 2  b2  c2 2 a 2  c2  b2 b2  c 2  a 2  z 2  x2  y 2   x2 y 2  .c  . 2 2 2 a 2  b 2  c 2 a 2  c 2  b2 b2  c 2  a 2   . . 2ab 2ac 2bc  cos C  cos A.cos B (đpcm). Cách 2: Dựng CH  AB vì  ABC    ABD   CH   ABD  . Ta có CH  a.sin B ; BH  a.cos B . Áp dụng định lý cosin trong tam giác BHD , ta có DH 2  BH 2  BD 2  2 BH .BD.cos  ABD 2 2 2 2    DH  a cos B  b  2 a.cos B.b.cos A (vì ABD  CAB )  DH 2  a 2 cos 2 B  b 2  2 ab cos A cos B Lại có CHD vuông tại H , nên DH 2  CD 2  CH 2  CD 2  CH 2  DH 2  c 2  a 2 sin 2 B  a 2 cos 2 B  b 2  2ab cos A cos B a 2  b2  c2  cos A.cos B   cos C . 2ab Vậy cos C  cos A.cos B (đpcm). S2 S2 S2 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức   . a 2b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 S2 S2 S2 Đặt T    . a 2b2 b 2 c 2 c 2 a 2 Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , ta có a  2 R sin A , b  2 R sin B , c  2 R sin C . Tứ diện ABCD , có BC  AD  a, AC  BD  b, AB  CD  c  S  4.S ABC  8 R 2 sin A sin B sin C . Suy ra T  4  sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C  .  1  Ta có T  4  sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C   4 1   cos 2 A  cos 2 B   sin 2 C   2   T  4 1  cos  A  B  cos  A  B   sin 2 C 
 T  4  2  cos C .cos  A  B   cos 2 C   T  4  2  cos C.  cos  A  B   cos  A  B     8 1  cos A cos B cos C   9 1 (vì cos A cos B cos C  ). 8 Suy ra T  9 . Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức T bằng 9 , xảy ra khi ABC đều. Câu 5: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a 2  b 2  c 2  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biều thức abc 2 2 P  a  b 1 2 2  c2  2 . c  2ab 2 ab c Lời giải Ta có c  2ab  c  a  b  3 . 2 2 2 2 xyz   Dễ thấy  x  y  z   3 x 2  y 2  z 2  x 2  y 2  z 2  2 3 abc 1 1 1 1 Từ đó suy ra P   a  b 1  2 2  2 2  c2  2  2 3 ab ab c c 2 2 1 c abc    a  b  ab  c 3 3 3 2  ab  bc  ca   3P  a  b  c  a  b  c  abc 6 3 a2 b2 c 2 6  3P  3 3 abc  3 3 abc   3 6 abc  3 3 abc  abc 3 abc 6 Đặt t  6 abc , 0  t  1 . Ta được 3P  3t  3t 2  2 . t 6 Xét f  t   3t  3t 2  liên tục trên  0 ;1 và có t2 12 f   t   3  6t  3   3t  6 t 4  2   0 ,t   0 ;1 . t t3 nên f  t  nghịc biến trên  0 ;1 suy ra f  t   f 1  9  3  P  3 3  1. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 3  1 đạt được khi a  b  c  1 . ------------------------- HẾT -------------------------