Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2013-2014 - Sở GD&ĐT Bình Phước

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT<br /> <br /> BÌNH PHƯỚC<br /> <br /> NĂM HỌC 2013 - 2014<br /> <br /> ĐỀ THI CHÍNH THỨC<br /> <br /> MÔN: TOÁN- LỚP 12<br /> Thời gian làm bài: 180 phút<br /> <br /> 2x  3<br /> (1)<br /> x2<br /> 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số (1).<br /> 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) , biết tiếp tuyến đó cắt đường tiệm cận đứng và<br /> tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho AB  2 IB , với I (2,2) .<br /> Câu II:(THPT:5,0 điểm; GDTX: 6,0 điểm)<br /> Câu I:(THPT:4,0 điểm; GDTX: 4,0 điểm) Cho hàm số: y <br /> <br /> 2<br /> <br />  x  y<br />  2x 1  2y 1 <br /> 2<br /> 1. Giải hệ phương trình: <br />  x  y x  2y  3x  2y  4<br /> <br /> <br /> 2. Giải phương trình:<br /> <br /> (x, y  ).<br /> <br /> sin 2x  3tan 2x  sin 4x<br />  2.<br /> tan 2 x  sin 2x<br /> <br /> Câu III:(THPT:4,0 điểm; GDTX:4,0 điểm)<br /> 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có A(5, 7) , điểm<br /> C thuộc vào đường thẳng có phương trình: x  y  4  0 . Đường thẳng đi qua D và<br /> trung điểm của đoạn AB có phương trình: 3 x  4 y  23  0 . Tìm tọa độ của B và C ,<br /> biết điểm B có hoành độ dương.<br /> 2. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O, R) . Gọi P, Q lần lượt là các điểm di<br /> động trên cung nhỏ AB , AC sao cho P, Q, O thẳng hàng. Gọi D , E lần lượt là hình<br /> chiếu vuông góc của P lên các đường thẳng BC , AB tương ứng và D ', E ' lần lượt là<br /> hình chiếu vuông góc của Q lên các đường thẳng BC , AC . Gọi K là giao điểm của hai<br /> đường thẳng DE và D ' E ' . Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác KDD ' (theo R ).<br /> Câu IV:(THPT:3,0 điểm; GDTX:3,0 điểm) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình<br /> chữ nhật, tam giác SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa<br /> mặt phẳng ( SCD) và mặt phẳng đáy bằng 600 .<br /> 1. Tính thể tích khối chóp S . ABCD theo a .<br /> 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và DB theo a .<br /> Câu V:(THPT:2,0 điểm; GDTX:3,0 điểm) Cho a, b, c là ba số dương. Tìm giá trị lớn nhất của<br /> biểu thức:<br /> <br /> P<br /> <br /> 1<br /> a 2  b2  c2  1<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br />  a  1  b  1  c  1 <br /> <br /> Trang | 1<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> Câu VI:(THPT:2,0 điểm) Cho dãy số (un ) được xác định:<br /> <br /> 2<br /> <br /> u1 <br /> 2013<br /> .<br /> <br /> 2<br /> u (2  9u )  2u (2  5u ), n  1<br /> n 1<br /> n 1<br /> n<br />  n<br /> Xét dãy số vn <br /> <br /> u<br /> u1<br /> u<br />  2   n . Tìm lim vn .<br /> 1  u1 1  u2<br /> 1  un<br /> <br /> ------------------HẾT----------------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu.<br />  Giám thị không giải thích gì thêm.<br /> Lưu ý: Đối với thí sinh học tại các trung tâm GDTX thì không làm câu VI.<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 2<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> HƯỚNG DẪN CHẤM THI<br /> Câu<br /> I<br /> <br /> Ý<br /> 1<br /> <br /> Lời giải<br /> Cho hàm số: y <br /> <br /> 2x  3<br /> . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của<br /> x2<br /> <br /> Điểm<br /> 2,0<br /> <br /> hàm số .<br /> 0,25<br /> <br /> TXĐ: D  R \ 2<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  phương trình đường TCN: y = 2<br /> <br /> lim y  2<br /> x <br /> <br /> lim y  ; lim y  <br /> x  2<br /> <br /> y/ <br /> <br />  phương trình đường TCĐ: x = 2<br /> <br /> x  2<br /> <br /> 1<br /> <br />  x  2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  0 x  D<br /> <br />  Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.<br /> Hàm số không có cực trị.<br /> Bảng biến thiên:<br /> <br /> x<br /> <br /> -∞<br /> <br /> y’<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> +∞<br /> <br /> 2<br /> -<br /> <br /> +∞<br /> <br /> 2<br /> y<br /> -∞<br /> Giao điểm với trục tung: A(0; 3/2)<br /> Giao điểm với trục hoành: B(3/2;0)<br /> Đồ thị:<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> 2<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> Trang | 3<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> <br /> 2<br /> <br /> Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó cắt đường<br /> tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho<br /> AB  2IB , với I(2;2).<br /> <br /> 2,0<br /> <br />  2 x0  3 <br /> Gọi M  x0 ;<br />   (C )<br /> x0  2 <br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> PTTT của (C) tại M: y  <br /> <br /> 1<br /> <br />  x0  2<br /> <br /> 2<br /> <br /> x<br /> <br /> 2<br /> 2 x0  6 x0  6<br /> <br />  x0  2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,5<br /> Do AB  2 IB và tam giác AIB vuông tại I  IA = IB nên hệ số góc<br /> 1<br /> của tiếp tuyến k = 1 hoặc k = -1. vì y / <br />  0 nên ta có hệ số góc<br /> 2<br />  x  2<br /> tiếp tuyến k = -1.<br /> 0,5<br />  x0  1<br /> 1<br /> <br /> <br /> II<br /> <br /> 1<br /> <br />  x0  1<br /> <br /> 2<br /> <br />  1  <br />  x0  3<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  có hai phương trình tiếp tuyến:<br /> y  x  2 ; y   x  6<br /> Giải hệ phương trình:<br /> 2<br /> <br />  x  y<br />  2x 1  2y 1 <br /> <br /> 2<br />  x  y x  2y  3x  2y  4<br /> <br /> <br /> (1)<br /> <br /> 2,5<br /> <br /> x, y <br /> <br /> (2)<br /> <br /> 1<br /> <br /> x   2<br /> <br /> Đk: <br /> y   1<br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> x  y 1  0<br /> Pt(2)  x 2   3 y  3 x  2 y 2  2 y  4  0  <br />  x  2 y  4  0 (loai )<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 4<br /> <br /> CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA<br /> MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017<br /> 2<br /> 1,25<br />  x  y   4 xy<br /> <br /> Pt(1)  2 x  1  2 y  1 <br /> <br /> 2<br /> <br />   x  y 2  4 xy <br />  2  x  y   2  2 4 xy  2  x  y   1  <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br />  8 4xy  3   4xy  3 4 xy  5<br /> 4 xy  3  0<br /> <br /> 2<br />  4 xy  5 4xy  3  8 (loai) (do 1   x  y   4 xy  4 xy  5  0)<br /> <br /> 1 <br /> 3<br /> <br /> x  y  1  x  <br /> x  2<br /> <br /> <br /> 2<br /> Hệ đã cho tương đương: <br /> <br /> 3<br /> 3<br /> xy  <br /> <br /> y <br /> y   1<br /> <br /> 4<br /> <br /> <br /> 2<br /> 2<br /> <br /> <br />  1 3 3 1<br /> Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm:   ;  ,  ;  <br />  2 2  2 2<br /> 2<br /> <br /> Giải phương trình:<br /> <br /> sin2x  3tan2x  sin 4x<br /> 2<br /> tan2x  sin 2x<br /> <br /> cos 2 x  0<br /> Đk: <br /> (*)<br />  tan 2 x  sin 2 x  0<br /> Pt tương đương:<br /> 3 sin 2 x  tan 2 x  sin 4 x  0<br />  3sin 2 x cos 2 x  sin 2 x  sin 4 x cos 2 x  0<br /> <br /> 0,75<br /> <br /> 2,5<br /> 0,5<br /> 0,75<br /> <br />   cos 2 x  1 sin 2 x  sin 4 x   0<br /> <br /> <br /> <br /> <br />  x  2  k<br />  cos 2 x  1<br /> <br /> cos 2 x  1  0<br /> <br /> <br /> <br />  sin 2 x  0   x  k<br /> <br /> 2<br /> sin 4 x  sin 2 x  0<br /> <br /> 1<br /> <br />  cos 2 x  <br />  x     k<br /> <br /> 2<br /> <br /> 3<br /> <br /> Nghiệm x  <br /> <br /> <br /> 3<br /> <br /> III<br /> <br /> 1<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  k thỏa mãn (*)<br /> <br /> Phương trình có 2 họ nghiệm: x  <br /> <br /> 0,75<br /> <br /> <br /> 3<br /> <br />  k<br /> <br /> Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD 2,0<br /> có A(5, 7) , điểm C thuộc vào đường thẳng có phương trình:<br /> x  y  4  0 . Đường thẳng đi qua D và trung điểm của đoạn AB có<br /> phương trình: 3 x  4 y  23  0 . Tìm tọa độ của B và C , biết điểm<br /> B có hoành độ dương.<br /> Gọi C  c; c  4   d1 , M là trung điểm AB, I là giao điểm của AC và d2: 0,5<br /> 3x – 4y – 23 = 0.<br /> <br /> www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807<br /> <br /> Trang | 5<br /> <br />