Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 cấp cụm năm 2020-2021 có đáp án - Phòng GD&ĐT Yên Định

Chia sẻ: Công Nữ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

51
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Thông qua việc giải trực tiếp trên Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 cấp cụm năm 2020-2021 có đáp án - Phòng GD&ĐT Yên Định này các em sẽ nắm vững nội dung bài học, rèn luyện kỹ năng giải đề, hãy tham khảo và ôn thi thật tốt nhé! Chúc các em đạt kết quả cao trong kì thi chọn HSG sắp tới!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 cấp cụm năm 2020-2021 có đáp án - Phòng GD&ĐT Yên Định

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP CỤM YÊN ĐỊNH Năm học 2020 - 2021 Môn: Toán 7 Đề chính thức Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày 02 tháng 02 năm 2021 (Đề có 01 trang, gồm 05 câu) Câu I: (5,0 điểm) 7 3 3 2 7 9  3    .5    :   5 4 16 1. Thực hiện phép tính: A    7 2    . 2 .5  512 x  16 y  25 z  9 2. Cho   và 2 x 3  5  11 . Tính B  x  y  z  2021 . 9 16 25 x y z t 3. Cho biểu thức M     với x, y, z, t là các số x y z x yt y zt x zt tự nhiên khác 0. Chứng minh M 10  1025 . Câu II: (5,0 điểm) 2 2 2 2 2013 1. Tìm x, biết:    ...   . 2.3 3.4 4.5 xx  1 2015 z  x 2. Cho x, y, z  0 và x  y  z  0 . Tính giá trị biểu thức P  1  1  1   . y  x  y  z 7n  8 3. Tìm số tự nhiên n để phân số có giá trị lớn nhất. 2n  3 Câu III: (4,0điểm) 1. Tìm một số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau. nn  1 2. Tìm các số nguyên dương n và các số nguyên tố p sao cho p   1. 2 Câu IV: (5,0 điểm) . Cho  ABC có góc A nhỏ hơn 900. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ đoạn thẳng AM sao cho AM vuông góc với AB và AM = AB, trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B vẽ đoạn thẳng AN sao cho AN vuông góc với AC và AN = AC. a) Chứng minh rằng:  AMC =  ABN. b) Chứng minh: BN  CM. c) Kẻ AH  BC (H  BC). Chứng minh AH đi qua trung điểm của MN. Câu V: (1,0 điểm) Cho các số thực dương a và b thỏa mãn: a 100  b100  a 101  b101  a 102  b102 Hãy tính giá trị của biểu thức: P  a 2014  b 2015 . ---------------- Hết --------------- Thí sinh không sử dụng máy tính cầm tay và tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP CỤM YÊN ĐỊNH Năm học 2020 - 2021 Môn: Toán Hướng dẫn chấm Ngày 02 tháng 02 năm 2021 (Hướng dẫn chấm có 03 trang, gồm 05 câu) Câu Nội dung Điểm 7 3 3 7 3 2 7 9  3  2  9 3    .5    :    .5    :  5 4 1. A    7 2     16  5   4 16   2  12 7 3  2 6 2  33 1  .   2.0 2 .5  512 2 .5  2 .2 7 2 7 2 2 .5  2 .2 7 2 7 2 2 5 2 7 2 2 2  2. Ta có: 2x3 – 5 = 11  x3 = 8  x = 2 0,5 2  16 y  25 z  9 y  25 z  9 Do đó:     2 9 16 25 16 25 I 0,75 (5đ)  y = 16.2 + 25 = 57; z = 25.2 – 9 = 41 Vậy B = 2 – 57 + 41 + 2021 = 2007. 0,25 3. + Ta có: x  x ; y  y ; z z ; t  t 0.5 x y z x y x  y t x  y y z t  z t x z t zt x y z t 0,5 M < (  )(  ) => M < 2 xy xy zt zt 0,25 + Có M10 < 210 (Vì M > 0) mà 210 = 1024 < 1025 0.25 Vậy M10 < 1025 2 2 2 2 2013 1.    ...   2.3 3.4 4.5 x x  1 2015 1 1 1 1 1 1 1 1  2013 1,0  2       ...    2 3 3 4 4 5 x x  1  2015 1 1  2013 2 2013 2 2  2    1     x  2014.  2 x  1  2015 x  1 2015 x  1 2015 1.0 z  x xz yx z y 0,5 2. Ta có: P  1  1  1    y . .  x  y  z x y z II Từ x  y  z  0  x  z  y; y  x   z; z  y  x 0,5 (5đ) y z x Suy ra: P  . .  1 (vì x, y, z  0) 0,5 x y z 7 n  8 27 n  8 72n  3  5 7 5 3. Ta có:     . 0,5 2n  3 22n  3 22n  3 2 22n  3 5 0,5 Phân số đã cho có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất. 22n  3 Từ đó suy ra: 2n-3=1  n  2. Vậy giá trị lớn nhất của phân số đã cho bằng 6 0,5 khi n  2. III (4,0đ) 2
1. Theo bài toán ta có: N = aabb = 1100a + 11b = 11(100a + b) Để N là một số chính phương ta phải có:100a + b = 99a + (a + b) = 11t 2 (t  N) 1,0 Mà 99a  11 nên a + b  11 => a + b = 11. Vậy 99a + 11 = 11(9a + 1) = 11t2 => 9a + 1 = t2 (1) 1,0 Cho a từ 1 đến 9 chỉ có a = 7 thoã mãn (1); Từ đó suy ra b = 4 . Số phải tìm là 7744 = 882 0.5 2. Với n = 1 thì p = 0, không là số nguyên tố. Với n = 2 thì p = 2, là số nguyên tố. 0,25 Với n = 3 thì p = 5, là số nguyên tố. 0,25 0,25 n 2  n  2 n  1n  2  Với n  4, ta viết p dưới dạng: p   2 2 Ta xét hai trường hợp: n  1 .n  2 0,25  Nếu n lẻ (n  5) thì p  , là tích của hai số nguyên lớn hơn 1 2 nên p là hợp số. n  2 0,25  Nếu n chẵn (n  4) thì p  n  1. , là tích của hai số nguyên lớn hơn 2 1 nên p là hợp số. 0,25 Đáp số: n  2; p  2 và n  3; p  5 . F N D M E A I K IV B H C (5,0đ) a) (2đ) Xét  AMC và  ABN, có: AM = AB (gt) AC = AN (gt) 2,0  MAC =  NAC ( = 900 +  BAC) Suy ra  AMC =  ABN (c - g - c) b) (2đ) Gọi I là giao điểm của BN với AC, K là giao điểm của BN với MC. Xét  KIC và  AIN, có: 1.5  ANI =  KCI (  AMC =  ABN)  AIN =  KIC (đối đỉnh) 0,5   IKC =  NAI = 900, do đó: MC  BN 3
c) (1đ) Kẻ ME  AH tại E, NF  AH tại F. Gọi D là giao điểm của MN và AH. - Ta có:  BAH +  MAE = 900(vì  MAB = 900) Lại có  MAE +  AME = 900, nên  AME =  BAH Xét  MAE và  ABH , vuông tại E và H, có:  AME =  BAH (chứng minh trên) MA = AB Suy ra  MAE =  ABH (cạnh huyền-góc nhọn)  ME = AH - Chứng minh tương tự ta có  AFN =  CHA  FN = AH 0.5 Xét  MED và  NFD, vuông tại E và F, có: ME = NF (= AH)  EMD =  FND(phụ với  MDE và  FDN, mà  MDE =  FDN)   MED =  NFD  BD = ND. Vậy AH đi qua trung điểm của MN. 0.5 Ta có đẳng thức: a 102  b102  a 101  b101 a  b   aba100  b100  với mọi a, b. 0,5 Kết hợp với: a 100  b100  a 101  b101  a 102  b102 V Suy ra: 1  a  b   ab  a  1b  1  0. 0,5 (1,5đ) a  1  1  b100  1  b101  1  b102  b  1 0,25  b  1  1  a  1  a  1  a  a  1 100 101 102 0.25 Do đó P  a 2014  b 2015  12014  12015  2. Chú ý: 1. Thí sinh có thể làm bài bằng cách khác, nếu đúng vẫn được điểm tối đa. 2. Nếu thí sinh chứng minh bài hình mà không vẽ hình thì không chấm điểm bài hình. 4