Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8 năm 2010-2011 - Trường THCS Đáp Cầu

Chia sẻ: Pham Nguyen | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

803
lượt xem 147
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuẩn bị tốt kiến thức về số chính phương, tia phân giác với đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8 năm 2010-2011 của trường THCS Đáp Cầu nhằm giúp các bạn học sinh lớp 8 bước vào kỳ thi học sinh giỏi một cách tốt nhất. Mời các em cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8 năm 2010-2011 - Trường THCS Đáp Cầu

PHÒNG GD&ĐT TP BẮC NINH CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG THCS ĐÁP CẦU Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 MÔN TOÁN Năm 2010-2011 Thời gian: 120 phút Bài 1(3 ®iÓm): T×m x biÕt: a) x2 – 4x + 4 = 25 x  17 x  21 x  1 b)   4 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 0 1 1 1    0. Bài 2 (1,5 ®iÓm): Cho x, y, z ®«i mét kh¸c nhau và x y z yz xz xy TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A  2  2  2 x  2 yz y  2 xz z  2xy Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. HA ' HB' HC' a) Tính tổng   AA' BB' CC' b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM. (AB  BC  CA ) 2 c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất? AA' 2  BB' 2  CC' 2
ĐÁP ÁN  Bài 1(3 điểm): a) Tính đúng x = 7; x = -3 ( 1 điểm ) b) Tính đúng x = 2007 ( 1 điểm ) c) 4 – 12.2 +32 = 0  2 .2 – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm ) x x x x x x x x x  2 (2 – 4) – 8(2 – 4) = 0  (2 – 8)(2 – 4) = 0 ( 0,25điểm ) x 3 x 2 x 3 x 2  (2 – 2 )(2 –2 ) = 0  2 –2 = 0 hoặc 2 –2 = 0( 0,25điểm ) x 3 x 2  2 = 2 hoặc 2 = 2  x = 3; x = 2 ( 0,25điểm )  Bài 2(1,5 điểm): 1 1 1 xy  yz  xz   0  0  xy  yz  xz  0  yz = –xy–xz ( 0,25điểm ) x y z xyz x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) yz xz xy Do đó: A    ( 0,25điểm ) ( x  y)(x  z) ( y  x )( y  z ) (z  x )(z  y ) Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm )  Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d  N, 0  a , b, c, d  9, a  0 (0,25điểm) 2 Ta có: abcd  k với k, m  N, 31  k  m  100 (0,25điểm) (a  1)(b  3)(c  5)(d  3)  m2 abcd  k 2  abcd  1353  m2 (0,25điểm) Do đó: m2–k2 = 1353  (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123 m+k = 41  m–k = 11 hoặc m–k = 33 m = 67 m = 37  k = 56 hoặc k = 4 (0,25điểm) Kết luận đúng abcd = 3136 (0,25điểm)  Bài 4 (4 điểm):
Vẽ hình đúng (0,25điểm) 1 .HA'.BC S HBC 2 HA' a)   ; (0,25điểm) S ABC 1 AA ' .AA '.BC 2 SHAB HC' SHAC HB' Tương tự:  ;  (0,25điểm) S ABC CC' SABC BB' HA' HB' HC' SHBC S HAB SHAC       1 (0,25điểm) AA' BB' CC' SABC SABC SABC b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC  ;  ;  (0,5điểm ) IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC . .  . .  . 1 (0,5điểm ) IC NB MA AC BI AI AC BI  BI .AN.CM  BN.IC.AM (0,5điểm ) c)Vẽ Cx  CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD  BC + CD (0,25điểm) -  BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 2 2 2  AB + AD  (BC+CD) AB2 + 4CC’2  (BC+AC)2 4CC’2  (BC+AC)2 – AB2 (0,25điểm) 2 2 2 Tương tự: 4AA’  (AB+AC) – BC 4BB’2  (AB+BC)2 – AC2 -Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2)  (AB+BC+AC)2 (AB  BC  CA ) 2  4 (0,25điểm) AA'2  BB'2  CC'2 Đẳng thức xảy ra  BC = AC, AC = AB, AB = BC  AB = AC =BC   ABC đều Kết luận đúng (0,25điểm) A C’ B’ x H N M I A’ C B D *Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó
PHÒNG GD&ĐT TP BẮC NINH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS ĐÁP CẦU NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn: TOÁN - LỚP 8 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I: (2 điểm)  1 1  x 1 a) Rút gọn biểu thức: A   2   : x 2  2x  1  x  x x 1 b) Xác định các hệ số a, b để đa thức f(x) = x3  ax  b chia hết cho đa thức x2  x  6 Câu II: (2 điểm) Giải các phương trình sau: 15x 12 4 a) 2   1 x  3x  4 x  4 x  1 b) x  x  2  x  1 x  1  24 Câu III: (2 điểm) 1 1 1 a) Cho x, y, z là các số khác không và đôi một khác nhau thỏa mãn:    0. x y z yz xz xy Tính giá trị của biểu thức: A  2  2  2 . x  2yz y  2xz z  2xy x2  2x  2011 b) Cho biểu thức M = với x > 0 x2 Tìm x để M có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Câu IV: (3 điểm ) Cho hình thoi ABCD có BAD  1200 . Gọi M là một điểm nằm trên cạnh AB, hai đường thẳng DM và BC cắt nhau tại N, CM cắt AN tại E. Chứng minh rằng: a) AMD ∽ CDN và AC 2  AM.CN b) AME ∽ CMB . Câu V: (1 điểm) Cho a , b là các số dương thỏa mãn: a 3  b 3  a 5  b 5 . Chứng minh rằng: a 2  b 2  1  ab =============Hết============ Họ và tên thí sinh:...................................................Số báo danh:.................................. Chữ ký của giám thị số 1:................................ Chữ ký của giám thị số 2:..................................
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM: CÂU PHẦN NỘI DUNG ĐIỂM a) ĐKXĐ 0,25 đ 1đ Rút gọn A:  1 1  x 1 A 2   : x 2  2x  1  x  x x 1  1 1  x 1 A  : 0,25 đ  x  x  1 x  1   x  12    2 I 1  x  x  1 A . 0,25 đ 2đ x  x  1 x  1 x 1 A x 0,25 đ 2 b) f(x) chia hết cho x  x  6  f(x) chia hết cho (x + 3)(x -2) 1đ  f(- 3) = 0  3a  b  27 (1) 0,25 đ Tương tự ta có f(2) = 0  2a  b  8 (2) 0,25 đ Trừ hai vế của (1) cho (2) ta được: - 5a = 35  a  7 0,25 đ Thay a = - 7 vào (1) tìm được b = 6 0,25 đ a) ĐKXĐ: x  4 ; x  1 0,25 đ 1đ 15x 12 4 2   1 x  3x  4 x  4 x  1 15x 12 4    1  x  4  (x  1) x  4 x  1  15x  12  x  1  4  x  4   x 2  3x  4 0,25 đ 2  x  4x  0 x  0  x x  4  0   0,25 đ  x  4 x = 0 (thỏa mãn đ/k) ; x = - 4(không thỏa mãn đ/k) II Vậy nghiệm của phương trình là x = 0 0,25 đ 2đ b) x  x  2  x  1 x  1  24 1đ  x  x  1 x  2  x  1  24    x2  x x 2  x  2  24  0,25 đ 2 Đặt x  x = t . Phương trình trở thành: t  t  2   24  t 2  2t  24  0 Giải phương trình tìm được t = - 4 ; t = 6 0,25 đ * Với t = - 4 => x2  x  4 2 2  1  15  x  x  4  0   x     0 (phương trình vô  4 4 0,25 đ
nghiệm) * Với t = 6 => x2  x  6   x  2  x  3  0 Gi¶i ph¬ng tr×nh ®îc: x= - 2 ; x = 3 0,25 đ a) Từ giả thiết: 1đ 1 1 1 yz  xz  xy   0  0  yz  xz  xy  0 (vì x,y,z >0) x y z xyz  yz  xy  xz  x 2  2yz  x 2  yz  xy  xz   x  z  x  y  Tương tự ta có: z 2  2xy =  z  x  z  y  0,25 đ y  2xz =  y  z  y  x  2 yz xz xy Khi đó: A     x  z  x  y   y  z  y  x   z  x  z  y  yz  y  z   xz  z  x   xy  x  y   0,25 đ  x  z  x  y  y  z  yz  y  z   xz  x  z   xy  x  z    y  z       x  z  x  y  y  z  yz  y  z   xz  x  z   xy  x  z   xy  y  z   III  x  z  x  y  y  z  0,25 đ 2đ x  x  z  y  z   y  y  z  x  z    x  z  x  y  y  z    x  z  x  y  y  z   1  x  z  x  y  y  z  0,25 đ 2 2 2 b) x  2x  2011 2011x  2.2011x  2011 0,25 đ 1đ Ta có: M =  x2 2011x 2 x2  2.2011x  1  20112  2010x 2  0,25 đ 2011x2 2 2   x  2011  2010x 2   x  2011  2010 2010  2 2 2011x 2011x 2011 2011 0,25 đ 2 Dấu “=” xấy ra   x  2011  0  x  2011 (thỏa mãn) 2010 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là đạt được khi x  2011 0,25 đ 2011 A E N M IV a) B D 1đ 1,5 đ C 0,25 đ
Vẽ hình chính xác * Xét  AMD và  CDN có AMD  CDN ( so le trong) ADM  CND ( so le trong) 0,25 đ   AMD  CDN ( g. g ) 0,25 đ * Vì  AMD  CDN  AM . CN = AD . CD 0,25 đ Vì BAD  1200  CAD  600  ACD đều 0,25 đ  AD = CD = AC 2 0,25 đ  AM . CN = AC 0,25 đ 2 Vì AM . CN = AC theo (a) AM AC   AC CN Chứng minh MAC  ACN  600 0,25 đ   MAC  CAN ( c . g . c) 0,25 đ  ACM  CNA b) 0,25 đ 1,25 đ Mà ACM  ECN  600  CNA  ECN  600  AEC  600 0,25 đ Xét AME và CMB có AME  BMC ( đối đỉnh); AEM  MBC  600  AME CMB ( g . g) 0,25 đ 2 2 a  b  1  ab  a 2  b 2  ab  1    a  b  a 2  b 2  ab   a  b    a 3  b3  a  b 0,25 ® V 1đ 0,25 ® 1đ     a 3  b3 a 3  b3   a  b  a 5  b 5    2a 3b3  ab 5  a 5b 0,25 ®   ab a 4  2a 2 b 2  b 4  0  2  ab  a 2  b2   0 đúng  a, b > 0 0,25 ® Ghi chó: NÕu HS cã c¸ch lµm kh¸c mµ kÕt qu¶ ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a