Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp huyện năm 2019-2020 - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

57
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp huyện năm 2019-2020 - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc dành cho các bạn học sinh lớp 10 và quý thầy cô tham khảo giúp các bạn học sinh có thêm tài liệu chuẩn bị ôn tập cho kì thi học sinh giỏi sắp tới được tốt hơn cũng như giúp quý thầy cô nâng cao kỹ năng biên soạn đề thi của mình. Mời các thầy cô và các bạn tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp huyện năm 2019-2020 - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

PHÒNG GD-ĐT SÔNG LÔ KÌ THI CHỌN HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2019-2020 MÔN TOÁN LỚP 9 Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi này gồm 01 trang Ngày thi : 06/11/2019 2 x 9 x  3 2 x 1 Câu 1 (2 điểm) Cho biểu thức: P    x 5 x 6 x  2 3 x a) Rút gọn biểu thức P . b) Tìm các giá trị của x để P  0 .   Câu 2 (2 điểm) Cho biết x  2019  x 2 y  2019  y 2  2019 .  Tính giá trị biểu thức A  x 2019 y 2019 . 1 1 Câu 3 (2 điểm) Giải phương trình: x  x   x   2. 2 4 Câu 4 (2 điểm) Tìm tất cả các số nguyên  x; y  thỏa mãn:  x  2019  y  y  1 y  2  y  3 . 2 Câu 5 (2 điểm) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 1  p  p 2  p3  p 4 là số tự nhiên. Câu 6 (2 điểm) Các cạnh a, b, c của tam giác ABC thỏa mãn đẳng thức: 1 1 1 1 abc    với p  . Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? Vì sao? p p a p b p c 2 Câu 7 (2 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  3 . 1 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của P  2  2  2  2 2 2 . a b c a b c Câu 8 (4 điểm) Qua điểm K nằm ngoài đường tròn (O;R), kẻ đường thẳng cắt đường tròn (O) tại A và B (A nằm giữa K và B, AB < 2R). Gọi d là đường trung trực của KB, H là hình chiếu của O trên d. Gọi I là trung điểm của OK, N là trung điểm của AB, M là giao điểm của d và KB. a) Chứng minh tứ giác OHMN là hình chữ nhật và AK = 2OH. b) Tính IH theo R. Câu 9 (1 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Gọi M là trung điểm của AC . Đường thẳng qua A vuông góc với BM cắt BC tại D . Chứng minh DB  2DC . Câu 10 (1 điểm) Trên đường tròn cho 6 điểm phân biệt. Hai điểm bất kì trong 6 điểm này đều được nối với nhau bằng một đoạn thẳng màu xanh hoặc màu đỏ. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có ba cạnh cùng màu. ==== HẾT ==== Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ tên thí sinh.........................................................SBD:..................Phòng thi................
PHÒNG GD&ĐT SÔNG LÔ HDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 2019 – 2020 Môn Toán – Lớp 9 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Câu Hướng dẫn chấm Điểm Điều kiện để P xác định là : x  0; x  4; x  9 . P 2 x 9  x 3    x  3  2 x 1  x 2  0,25  x 3  x 2   x x 2   x 1  x 2  x 1 1  x  3 x  2  x  3 x  2 x 3 0,25 0,5 x 1 Với x  0; x  4; x  9 , ta có P  0   0  x 3 0  x 9 x 3 0,5 Kết luận: 0  x  9 và x  4 thì P  0 0,5  Ta có: x  2019  x2   2019  x 2  x y  2019  y 2  2019   2019  x 2  x  0,5  y  2019  y 2  2019  x2  x (1) 0,5 2 Tương tự ta có: x  2019  x  2019  y  y 2 2 (2) 0,5 Từ (1) và (2) suy ra x  y  0  x   y  A0 0,5 1 ĐKXĐ x 4 0,5 2  1 1 1 1   2 x  x   x   2   x     2 3 2 4  4 2 0,5 1 1 1 1  x    2  0 (vì x    2  0 ) 4 2 4 2 0,5  x  2  2 (tmđk) 0,5 Phương trình đã cho tương đương  x  2019    y 2  3 y  y 2  3 y  2  2 Đặt t  y 2  3 y Khi đó pt trở thành:  x  2019  t  t  2   x  2019  t 2  2t 2 2 + Nếu t  0 ta có t 2  t 2  2t  t 2  2t  1  t 2  t 2  2t  t  1 2 0,5 t   x  2019    t  1 ( vô lí) 2 2 2 4 + Nếu t  0 ta có y 2  3 y  0  y  y  3  0  3  y  0 0,5 Vì y  Z nên y 3; 2; 1;0 0,5 Suy ra  x; y   2019;0 ,  2019; 1 ,  2019; 2  2019; 3 0,5 Theo bài ra ta có 1  p  p 2  p3  p 4  n2  n  N *  5 4  4 p  4 p 2  4 p3  4 p 4  4n2 (1) 0,5
Suy ra:  2 p 2  p    2n    2 p 2  p  2  0,5 2 2 2  2 p2  p  2n  2 p2  p  2  2n  2 p2  p  1 Theo (1) ta có 4  4 p  4 p 2  4 p3  4 p 4   2 p  p  1 2 0,5 p  2 p  3  0  p  3 ( do p là số nguyên tố p  0 ) 2 Thử lại với p  3 ta có 1  p  p 2  p3  p 4  1  3  32  33  34  11 (tm) 0,5 Vậy p  3 0,5 1 1 1 1    p p c p a p b pc p p b p  a   p  p  c   p  a  p  b  2p c a b 0,5   p  p  c   p  a  p  b  6 ab a b    a  b  c  a  b  c  b  c  a  a  c  b  ab a b 2a 1 0,5      a  b   c2 c2   a  b  2 2 4ab 2b  2b  a  b   a 2  b2  2ab  c 2  c 2  b2  a 2 0,5 Suy ra tam giác ABC vuông tại A 1 1 1 1 1 1 9 27 Ta có:  2 2     2 a b c ab bc ca abc  a  b  c   ab  bc  ca 2 27 1 P  (1)  ab  bc  ca  a  b2  c 2 2 2 0,5 Áp dụng AM-GM ta 3  a 2  b2  c 2  2ab  2bc  2ca  có  a  b  c   ab  bc  ca  2 2 2 2    27  3  0,5 7 27  a 2  b2  c 2 (2)  ab  bc  ca  2 1 1 0,5 Từ (1) và (2) suy ra P  a 2  b2  c 2   t  với t  a2  b2  c2  3 a b c 2 2 2 t t 1 8t 2 8 10 Khi đó P       9 t 9 3 3 3 10 0,5 Dấu “=” khi t  3  a  b  c  1. Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng khi và 3 chỉ khi a  b  c  1 8a
B N M A C K O I H d 0,5 Chứng minh OHMN là hình chữ nhật, KB AB KA 0,5 OH = MN=MB-NB=    KA  2OH 2 2 2 Gọi C là trung điểm của KA ta có KC  KA . Do đó OH =KC 0,5 2 HOI= CKI( c-g-c) Suy ra IH = IC (1) OA R 8b Do IC là đường trung bình OKA nên IC   2 2 0,5 R Từ (1) và (2) Suy ra IH  2 A M H B D C K 9 Kẻ CK vuông góc AD, K  AD . Gọi H là giao điểm AD với BM DC CK 0,5 Vì BH//CK nên  (1) DB BH DC CK 2 HM Mặt khác   (2) DB BH BH Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao ta có: AM 2 HM .BM HM  AM  1 2 0,5      ,thay vào (2) ta được DB  2DC AB 2 BH .BM BH  AB  4
Giả sử 6 điểm A, B, C, D, M, N trên cùng 1 đường tròn. Từ 1 điểm vẽ đến 5 điểm còn lại được 5 đoạn thẳng thì có ít nhất 3 đoạn thẳng cùng màu. Giả sử 3 đoạn thẳng AB, AC, AD cùng màu đỏ( nếu cùng màu xanh thì 0,5 10 lập luận tương tự). Xét tam giác BCD nếu có 1 cạnh, chẳng hạn BC màu đỏ thì tam giác ABC có 3 0,5 cạnh màu đỏ. Trái lại thì tam giác ABC có ba cạnh màu xanh.