Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 năm 2020-2021 - Phòng GD&ĐT Phú Thọ

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

8
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn học sinh tham khảo "Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 năm 2020-2021 - Phòng GD&ĐT Phú Thọ" tài liệu tổng hợp nhiều câu hỏi bài tập khác nhau nhằm giúp các em ôn tập và nâng cao kỹ năng giải đề. Chúc các em ôn tập hiệu quả và đạt được điểm số như mong muốn!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 năm 2020-2021 - Phòng GD&ĐT Phú Thọ

UBND HUYỆN PHÚC THỌ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học: 2020 – 2021 Môn: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) (Đề thi có 01 trang) Bài I: (5 điểm) Câu 1: a) Chứng minh rằng: 8 − 55 + 8 + 55 = 22 1 1 1 + + b) Tính giá trị của biểu thức: 5 5 7 7 13 13 + +1 + +1 + +1 7 13 13 5 7 5 x 2+ 3 2− 3 Câu 2: Tìm x biết, = + 2020 2 + 4 + 2 3 2 − 4 − 2 3 Bài II: (4 điểm) Câu 1: Giải phương trình: 2 x − 1 − 2 x − 1 = −1 Câu 2: Giải phương trình: 3x − 1 − 2 x + 5 = 4 Bài III: (3,5 điểm) Câu 1: Cho x Z , chứng minh rằng số sau là số chính phương: M = ( x + 1)( x + 3)( x + 4)( x + 6) + 9 Câu 2: Cho a, b, c > 0 và a+ b+ c =3 . 1 1 1 Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= + + . a b c Bài IV: (6 điểm) Cho hình vuông ABCD, lấy điểm E trên cạnh BC. Trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CF = CE. Gọi K là giao điểm của EF và BD, O là giao điểm của AC và BD; DE cắt BF tại H, M là trung điểm của EF. Chứng minh rằng: a) DH ⊥ BF; b) Tứ giác OKMC là hình chữ nhật; c) A, H, K thẳng hàng. Bài V: (1,5 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD với AB = 2.AD. Lấy điểm K trên cạnh BC. Đường thẳng AK cắt đường thẳng CD tại H. 1 1 4 Chứng minh rằng = + . AD AH AK 2 2 2 Hết (Giám thị không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh:............................................................. Số báo danh:........................ UBND HUYỆN PHÚC THỌ HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học: 2020 – 2021 Môn: Toán Bài Nội dung Điểm Bài 1 5 điểm Câu 1 8 − 55 + 8 + 55 = 22 a 55 55 VT = 8 − 55 + 8 + 55 = 8 − 2. + 8+ 2 4 4 11 11 5 5 11 11 5 5 = − 2. . + + + 2. . + 0,5đ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 11 5 11 5 = − + + 2 2 2 2 0.5đ 11 5 11 5 11 = − + + = 2. = 22 = VP 2 2 2 2 2 0,5đ b 1 + 1 + 1 5 5 7 7 13 13 + +1 + +1 + +1 7 13 13 5 7 5 1 1 1 = + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 + + 7 + + 13 + + 0,5 đ 7 13 5 13 5 7 7 5 13 7. 13 + 5. 13 + 7. 5 7. 13 + 5. 13 + 7. 5 = = 1 1 1 7. 13 + 5. 13 + 7. 5 5. 7. 13. + + 5. 7. 13. 7 13 5 5. 7. 13 0,5 đ 7. 13 + 5. 13 + 7. 5 = =1 0,5 đ 7. 13 + 5. 13 + 7. 5
Câu 2 x 2+ 3 2− 3 = + 2020 2 + 4 + 2 3 2 − 4 − 2 3 x 2+ 3 2− 3 = + 2020 2 + ( 3 + 1) 2 2 − ( 3 − 1) 2 x 2+ 3 2− 3 = + 2020 2 + ( 3 + 1) 2 2 − ( 3 − 1) 2 0,75 đ x 2 + 3 2 − 3 (2 + 3).(3 − 3) + (2 − 3).(3 + 3) = + = 2020 3+ 3 3− 3 9−3 x 6 = x = 2020 2020 6 0,75 đ Bài 2 Nội dung 4 điểm Câu 1 ĐK: x 1 2x −1 +1 = 2 x −1 2 x −1 + 2 2 x −1 + 1 = 4 x − 4 2 x − 1 = x − 2 ĐK: x 2 1đ 2x −1 = x2 − 4x + 4 x2 − 6 x + 5 = 0 Giải được x = 1 (loại); x = 5 (TMĐK) 1đ Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = { 5} Câu 2 3x − 1 − 2 x + 5 = 4 (1) 5 Xét x < − thì PT (1) trở thành 1 − 3x + 2 x + 5 = 4 x = 2 (loại) 2 5 1 8 1đ Xét − x thì PT (1) trở thành 1 − 3x − 2 x − 5 = 4 −5 x = 8 x=− 2 3 5 (TMĐK) 1 Xét x > thì PT (1) trở thành 3x − 1 − 2 x − 5 = 4 x = 10 (TMĐK) 3 8 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = − ;10� 1đ 5 Bài 3 Nội dung 3,5 điểm Câu 1 M = ( x + 1)( x + 3)( x + 4)( x + 6) + 9 = ( x + 1)( x + 6)( x + 3)( x + 4) + 9 = ( x 2 + 7 x + 6)( x 2 + 7 x + 12) + 9 Đặt x 2 + 7 x + 6 = a Z 0,75 đ Khi đó M = a.(a + 6) + 9 = a 2 + 6a + 9 = (a + 3) 2 = ( x 2 + 7 x + 9) 2 là số chính phương với x Z . 0,75đ
Câu 2 1 1 1 3 3 3 a+b+c a+b+c a+b+c 0,5 đ P= + + 3P = + + = + + a b c a b c a b c b c a c a b 3P = 1 + + + 1 + + + 1 + + a a b b c c b a c a c b 0,5 đ 3P = 3 + ( + ) + ( + ) + ( + ) a b a c b c Vì a, b, c >0, áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: b a b a c a c b 0,5đ + 2 . = 2; + 2; + 2 dấu “=” xẩy ra khi a=b=c=1. a b a b a c b c Do đó 3P 9 P 3 Vậy GTNN của P = 3 khi a=b=c=1. 0,5đ Bài 4 Nội dung 6 điểm A B K H E a) O I M N D C F Ta có BC ⊥ DF (vì Tứ giác ABCD là hình vuông) 0,5đ ﾷ ∆ECF vuông cân tại C (vì ECF = 900 ; CE = CF ) ﾷ EF = CFE C ﾷ = 450 mà ﾷACD = 450 (ABCD là hình vuông) ﾷ FE = ﾷACD(= 450 ) AC // KF C 0,5đ Mà AC ⊥ BD tại O do đó KF ⊥ BD Xét ∆BDF có hai đường cao BC và FK cắt nhau tại E 0,5đ Suy ra E là trực tâm của ∆BDF DH là đường cao của ∆BDF Vậy DH ⊥ BF. 0,5đ b) Vì ∆ECF vuông cân tại C, có CM là đường trung tuyến CM ⊥ FE CMK ﾷ = 900 (1) 0,5đ vì Tứ giác ABCD là hình vuông AC ⊥ BD KOC ﾷ = 900 (2) 0,5đ Có OKM ﾷ = 900 (vì KF ⊥ BD ) (3) 0,5đ Xét tứ giác OKMC có ﾷ OKM ﾷ = KOC ﾷ = CMK = 900 (theo (1), (2) và (3)) Vậy tứ giác OKMC là hình chữ nhật. 0,5đ c) Gọi OM cắt CK tại I; OM cắt CH tai N.
1 Vì ∆ECF vuông tại C, có CM là đường trung tuyến CM= EF. 2 1 Vì ∆EHF vuông tại H, có HM là đường trung tuyến HM= EF. 2 0,5đ Do đó CM=HM (4) 1 Vì ∆BHD vuông tại H có HO là đường trung tuyến HO = BD 2 1 1 Có CO = AC = BD (vì ABCD là hình vuông) 2 2 Do đó HO = CO (5) Từ (4) và (5) suy ra OM là đường trung trực của đoạn thẳng CH 0,5đ OM ⊥ CH tại N. Chứng minh ON là đường trung bình của ∆AHC AH // ON 0,5đ Chứng minh OI là đường trung bình của ∆AKC AK // OI Khi đó AH, AK cùng thuộc một đường thẳng 0,5đ Vậy A, K, H thẳng hàng Bài 5 Nội dung 1,5 điểm A B 1 3 2 K G D C H Kẻ AG ⊥ AH , G nằm trên đường thẳng CD. Xét ∆ADG và ∆ABK có ﾷ =B D ﾷ = 900 (vì ABCD là hình chữ nhật) ﾷA = ﾷA (cùng phụ với ﾷA ) 1 2 3 ∆ADG : ∆ABK ( g − g ) 0,5đ AG AD 1 AK = = AG = AK AB 2 2 0,5đ Xét ∆AGH vuông tại A có đường cao AD, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: 1 1 1 1 1 1 1 4 = + = + = + AD AH AG AH ( AK ) 2 2 2 2 2 AD 2 AH 2 AK 2 0,5đ 2 (Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tương ứng)