Đề thi học sinh giỏi Toán 8 năm 2021 có đáp án - Phòng GD&ĐT huyện Thanh Trì

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

23
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Với mong muốn giúp các bạn đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới, TaiLieu.VN đã sưu tầm và chọn lọc gửi đến các bạn "Đề thi học sinh giỏi Toán 8 năm 2021 có đáp án - Phòng GD&ĐT huyện Thanh Trì" hi vọng đây sẽ là tư liệu ôn tập hiệu quả giúp các em đạt kết quả cao trong kì thi. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi Toán 8 năm 2021 có đáp án - Phòng GD&ĐT huyện Thanh Trì

UBND HUYỆN THANH TRÌ ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH NĂNG KHIẾU PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC: 2020 – 2021 Môn: TOÁN 8 Thời gian làm bài:120 phút Bài 1: (4,0 điểm) 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 2 − 2 xy + y 2 + 4 x − 4 y − 5 2. Phân tích đa thức thành nhân tử: x 4 − 2 y 4 − x 2 y 2 + x 2 + y 2 Bài 2: (4,0 điểm) 1. Cho a là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng a 2 − 1  24 = 2. Tìm tất cả các số nguyên dương n để số a 11...1 − 77...7 là bình phương đúng(với 2n chữ số 1 , n chữ số 7 ). Bài 3:(3,0 điểm) 1. Giải phương trình: ( x 2 − 4 x + 11)( x 4 − 8 x 2 + 21) = 35 2. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn đồng thời các điều kiện: x+ y+z = 18 và xyz = −1. 2, x 2 + y 2 + z 2 = 1 1 1 Tính giá trị của S = + + xy + z − 1 yz + x − 1 xz + y − 1 Bài 4:(2,0 điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn a + b + c = 1. 1 Chứng minh: a 2 + b 2 + c 2 < . 2 Bài 5:(6,0 điểm) Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2a . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là AB , vẽ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB . Trên tia Ax lấy điểm D bất kì ( D khác A ). Qua O kẻ đường vuông góc với OD tại O , cắt By tại C . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên CD. 1. Chứng minh: AD.OC = OB.OD 2.Chứng minh: ∆ADH ∽ ∆BOH và ∆AHB vuông. 3. Gọi I là giao điểm của AC và BD , E là giao điểm của AH và DO , F là giao điểm của BH và CO. Chứng minh: E , I , F thẳng hàng. 4.Tìm vị trí của D trên Ax để diện tích tứ giác ABCD nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó? Bài 6: (1,0 điểm) Tìm x , y , z nguyên dương thỏa mãn: x3 − ( x + y + z ) = ( y + z) + 34 . 2 3 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = (Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay)
ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH NĂNG KHIẾU PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH TRÌ Năm học: 2020-2021 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (4,0 điểm) 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 2 − 2 xy + y 2 + 4 x − 4 y − 5 2. Phân tích đa thức thành nhân tử: x 4 − 2 y 4 − x 2 y 2 + x 2 + y 2 Lời giải 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 2 − 2 xy + y 2 + 4 x − 4 y − 5 = (x 2 − 2 xy + y 2 ) + 4( x − y ) − 5 = ( x − y ) 2 + 4( x − y ) + 4  − 9. = ( x − y + 2) 2 − 32 = ( x − y + 2 − 3)( x − y + 2 + 3) = ( x − y − 1)( x − y + 5) 2. Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 − 2 y 4 − x2 y 2 + x2 + y 2 = ( x4 − y 4 ) − ( x2 y 2 − x2 ) − ( y 4 − y 2 ) = (x 2 − y 2 )( x 2 + y 2 ) − x 2 ( y 2 − 1) − y 2 ( y 2 − 1) = ( x 2 + y 2 )( x 2 − y 2 ) − ( y 2 − 1)( x 2 + y 2 ) = (x 2 + y 2 )( x 2 − y 2 − y 2 + 1) = ( x 2 + y 2 )( x 2 − 2 y 2 + 1) . Bài 2: (4,0 điểm) 1. Cho a là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng a 2 − 1  24 = 2. Tìm tất cả các số nguyên dương n để số a 11...1 − 77...7 là bình phương đúng(với 2n chữ số 1 , n chữ số 7 ). Lời giải 1. Ta có: a 2 − 1 = (a + 1)(a − 1) +) Vì a là số nguyên tố lớn hơn 3 nên a là số lẻ ⇒ (a − 1) và (a + 1) là hai số chẵn liên tiếp. ⇒ (a − 1)(a + 1)8
+) Vì a là số nguyên tố lớn hơn 3 nên a ! 3 suy ra a − 1 hoặc a + 1 chia hết cho 3 Do đó: (a + 1)(a − 1)  3 Lại có: 3 và 8 nguyên tố cùng nhau nên (a + 1)(a − 1)  (3.8) Hay: a 2 − 1  24 với a là số nguyên tố lớn hơn 3. 2. Ta có= : a 11...1 − 77...7 (với 2n chữ số 1 , n chữ số 7 ). - Nếu n =1 ⇒ a =11 − 7 = 4 = 22 là số chính phương. - Nếu n > 1 ⇒ a = 111…111 − 777 … 77 = ….34 , là số chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên không là số chính phương. Vậy n = 1 . Bài 3:(3,0 điểm) 1. Giải phương trình: ( x 2 − 4 x + 11)( x 4 − 8 x 2 + 21) = 35 2. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn đồng thời các điều kiện: x+ y+z = 18 và xyz = −1. 2, x 2 + y 2 + z 2 = 1 1 1 Tính giá trị của S = + + xy + z − 1 yz + x − 1 xz + y − 1 Lời giải 1. Giải phương trình: (x 2 − 4 x + 11)( x 4 − 8 x 2 + 21) = 35 . Ta có: ( x 2 − 4 x + 11)( x 4 − 8 x 2 + 21) = ( x − 2) 2 + 7  ( x 2 − 4 ) + 5  35 ∀x. 2    ( x − 2) = 2 0 x − 2 = 0 Đẳng thức xảy ra khi:  2 ⇔ ⇔x=2 ( ) ( x − 2)( x + 2) = 2   x − 4 =0  0 Do đó: ( x 2 − 4 x + 11)( x 4 − 8 x 2 + 21) = 35 ⇔ x =2 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {2} . 2. Ta có: ( x + y + z ) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2 ( xy + y 2 + xz ) . ⇔ 4 = 18 + 2( xy + yz + xz ) ⇔ xy + yz + xz = −7 Vì x + y + z = 2 ⇒ z = 2 − ( x + y ) Khi đó: xy + z − 1 = xy + 2 − ( x + y ) − 1 = xy − x − y + 1 = ( x − 1)( y − 1)
1 1 ⇒ = xy + z − 1 ( x − 1)( y − 1) 1 1 1 1 Tương tự : = ; = yz + x − 1 ( y − 1)( z − 1) zx + y − 1 ( z − 1)( x − 1) 1 1 1 = ⇒S + + xy + z − 1 yz + x − 1 xz + y − 1 1 1 1 = + + ( x − 1)( y − 1) ( y − 1)( z − 1) ( z − 1)( x − 1) z −1+ x −1+ y −1 = ( x − 1)( y − 1)( z − 1) = ( x + y + z) − 3 ( x − 1)( y − 1)( z − 1) 2−3 = xyz − ( xy + yz + zx ) + ( x + y + z ) − 1 −1 = −1 + 7 + 2 − 1 −1 = . 7 −1 Vậy S = . 7 Bài 4: (2,0 điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn a + b + c = 1. 1 Chứng minh: a 2 + b 2 + c 2 < . 2 Lời giải Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ⇒ c < a + b. ⇒ c 2 < c ( a + b) Tương tự: b 2 < b(a + c) a 2 < a (b + c) ⇒ a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca ) (1) Mà: a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ca ) = (a + b + c) 2 = 1 ⇒ 2(ab + bc + ca ) =1 − (a 2 + b 2 + c 2 ) ( 2) Từ (1) và ( 2 ) suy ra a 2 + b 2 + c 2 < 1 − ( a 2 + b 2 + c 2 )
Hay: 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) < 1 1 ⇔ a 2 + b2 + c2 < (đpcm) 2 Bài 5: (6,0 điểm) Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2a . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là AB , vẽ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB . Trên tia Ax lấy điểm D bất kì ( D khác A ). Qua O kẻ đường vuông góc với OD tại O , cắt By tại C . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên CD. 1. Chứng minh: AD.OC = OB.OD 2. Chứng minh: ∆ADH ∽ ∆BOH và ∆AHB vuông. 3. Gọi I là giao điểm của AC và BD , E là giao điểm của AH và DO , F là giao điểm của BH và CO. Chứng minh: E , I , F thẳng hàng. 4. Tìm vị trí của D trên Ax để diện tích tứ giác ABCD nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó? Lời giải x y M a) Chứng minh: AD.OC = OB.OD Xét ∆AOD và ∆BCO , ta có: = CBO DAO = 90°   (cùng phụ với  ADO = COB AOD ) ⇒ ∆AOD ∽ ∆BCO (g.g) AD OD ⇒ = BO OC ⇒ AD.OC = OB.OD . Vậy AD.OC = OB.OD b) * Chứng minh: ∆ADH ∽ ∆BOH
Ta có:   (chứng minh trên) ADO = BOC ODH  (cùng phụ với HOD  = COH ) ⇒  = BOC ADO + ODH  + COH  Hay:   ADH = BOH (1) Mà: ∆AOD ∽ ∆BCO (theo câu a) AD OD ⇒ = ( 2) OB OC Xét ∆DOH và ∆OCH , ta có: = CHO DHO = 90° ODH  (cùng phụ với DOH  = COH ) ⇒ ∆DOH ∽ ∆OCH (g.g) DH OD ⇒ = ( 3) OH OC AD DH Từ ( 2 ) và ( 3) suy ra: = ( 4) OB OH Xét ∆ADH và ∆BOH , ta có:   ADH = BOH (do (1) ) AD DH = (do ( 4 ) ) OB OH Vậy: ∆ADH ∽ ∆BOH (c.g.c) * Chứng minh: ∆AHB vuông Ta có: ∆ADH ∽ ∆BOH (c.g.c) ⇒  AHD = OHB Mà  = AHD + OHA  =° OHD 90  + OHA ⇒ OHB  =°90 ⇒ AHB =° 90 Vậy ∆AHB vuông tại H c) Chứng minh: E , I , F thẳng hàng. Ta có: ∆ABH vuông tại H có HO là đường trung tuyến 1 1 ⇒ HO = AB ⇒ OA = OB = OH = AB 2 2 - Xét ∆ADO và ∆HDO , ta có: OA = OH (chứng minh trên)
= OHD OAD = 90° DO là cạnh chung Vậy: ∆ADO ∽ ∆HDO (cạnh huyền – cạnh góc vuông) ⇒ DA = DH Mà OA = OH (chứng minh trên) Nên OD là đường trung trực của AH Suy ra E là trung điểm của AH . Chứng minh tương tự,ta có: BC = CH và F là trung điểm của BH . ⇒ EF là đường trung bình của ∆ABH ⇒ EF // AB Ta có: BC // AD , áp dụng hệ quả định lý Talet suy ra: IB BC IB CH = ⇒ = (vì DA = DH và BC = CH ) ID AD ID DH IB CH DBC có = nên HI // BC (Định lí Talet đảo) ID DH Gọi M là giao điểm của HI và AB , suy ra HM // BC nên IM // BC IH DI DBC có HI // BC nên = (5) BC DB IM AM  ABC có IM // BC nên = (6) BC AB DI AM  ABD có IM // AD nên = (7) DB AB IH IM Từ (5) , (6) và (7) suy ra = do đó IM = IH BC BC Vậy I là trung điểm của HM . Xét ∆AHM có: E là trung điểm của AH , I là trung điểm của HM Nên EI là đường trung bình của ∆AHM ⇒ EI //AM Suy ra: EI //AB mà EF //AB nên E , I , F thẳng hàng. d) Tìm vị trí của D trên Ax để diện tích tứ giác ABCD nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó? Tứ giác ABCD có BC // AD (cùng vuông góc với AB )nên tứ giác ABCD là hình thang vuông ( AD + BC). AB ( DH + CH ). AB Do đó: S ABCD = = (vì DA = DH và BC = CH ) 2 2 DC. AB Hay S ABCD = 2
Mà AB không đổi nên S ABCD đạt giá trị nhỏ nhất khi DC có độ dài nhỏ nhất ⇔ CD = AB (vì CD ≥ AB ) ⇔ Hình thang vuông ABCD là hình chữ nhật  AD = BC   DH = DA AB ⇔ ⇔ AD = CH = CB 2  AB = CD AB Vậy S ABCD đạt GTNN khi D nằm trên tia Ax sao cho AD = . 2 Bài 6: (1,0 điểm) Tìm x , y , z nguyên dương thỏa mãn: x3 − ( x + y + z ) = ( y + z) + 34 . 2 3 Lời giải Đặt x= a; y + z= b (a > 0; b ≥ 2) Ta có: a 3 − (a + b) 2 = b3 + 34 ⇔ a 3 − b3 = (a + b) 2 + 34 ⇔ ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) = (a + b) 2 + 34 Vì: (a + b) 2 + 34 > 0 ⇒ a − b > 0 ⇔ a > b a − b = ⇒ a 2 + ab + b 2 = (a + b) 2 + 34 * Nếu: 1 ⇔ a 2 + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 + 34 ⇔ ab + 34 = 0 (vô lí vì a > 0, b > 0 ) ( a + b) + 34 2 * Nếu: a − b ≥ 2 ⇒ a + ab + b 2 2 ≤ 2 ⇔ 2a 2 + 2ab + 2b 2 ≤ a 2 + 2ab + b 2 + 34 a ≤ 5 ⇔ a 2 + b 2 ≤ 34 ⇒  b ≤ 5 b ≥ 2 b ≥ 2 Mà:  ⇒ a − b ≥ 2 a ≥ 4 4 ≤ a ≤ 5  Do đó: 2 ≤ b ≤ 5 a − b ≥ 2  Mà a , b nguyên dương nên xảy ra các trường hợp: - Trường hợp 1:
=b 2= x 4 = x 4  ⇔ ⇔ a = 4 y + z = 2 y = z = 1 Thay x= 4; y= z= 1 vào phương trình (1) , ta được: 43 − 62 = 23 + 34 ⇔ 28 = 42 (vô lí) - Trường hợp 2: =b 2= x 5 = x 5  ⇔ ⇔ a = 5 y + z = 2 y = z = 1 Thay x= 5; y= z= 1 vào phương trình (1) , ta được: 53 − 7 2 = 23 + 34 ⇔ 76 = 42 (vô lí) - Trường hợp 3: x = 5    y = 1 =b 3= x 5   ⇔ ⇒  z = 2 = a 5  = y + z 3     y = 2    z = 1 Thay x= 5; y + z= 3 vào phương trình (1) , ta được: 53 − 82 = 33 + 34 ⇔ 61 = 61 (thỏa mãn điều kiện) Vậy: ( x; y; z ) ∈ {( 5;1; 2 ) ; ( 5; 2;1)} = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =