Đề thi HSG môn Toán lớp 10 năm 2014-2015 - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

Chia sẻ: Hương Nắng Mai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

381
lượt xem 30
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời quý thầy cô và các em học sinh tham khảo "Đề thi HSG môn Toán lớp 10 năm 2014-2015 - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc". Thông qua việc tham khảo tài liệu để quý thầy cô tích lũy thêm kiến thức bài giảng, kinh nghiệm ra đề và có thêm tài liệu ôn thi hữu ích cho học sinh. Các em ôn tập và rèn luyện kỹ năng giải đề.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi HSG môn Toán lớp 10 năm 2014-2015 - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2014-2015 ĐỀ THI MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC (Dành cho học sinh THPT không chuyên) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (2,0 điểm). Tìm tập xác định của hàm số: f  x   2014  x2  2 x  3  2015 x2  2x . Câu 2 (1,0 điểm). a) Chứng minh rằng hàm số f  x   x đồng biến trên khoảng  1;   . x 1 b) Chứng minh rằng hàm số f  x   2015  x  2015  x là một hàm số lẻ. Câu 3 (1,0 điểm). Giải phương trình: 19  3x  4  x 2  x  6  6 2  x  12 3  x . Câu 4 (1,0 điểm).  x 2  2 y 2  3xy  y  1  0  2 2 x  y  y  3  0  Giải hệ phương trình:  Câu 5 (1,0 điểm). Tìm tất cả các giá trị của m sao cho bất phương trình  m  1 x 2  2  m  2  x  2m  2  0 vô nghiệm (x là ẩn, m là tham số). Câu 6 (1,0 điểm). Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn tâm O và G là trọng tâm của tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trọng tâm tam giác OBC, OCA, OAB và G’ là trọng tâm tam giác MNP. Chứng minh rằng O, G, G’ thẳng hàng. Câu 7 (1,0 điểm). Cho tam giác ABC không vuông và có các cạnh BC  a, CA  b, AB  c . Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thỏa mãn a 2  b 2  2c 2 và tan A  tan C  2 tan B thì tam giác ABC đều. Câu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC không là tam giác vuông và nội tiếp đường tròn (I) ( đường tròn (I) có tâm là I ); điểm H  2; 2  là trực tâm tam giác ABC. Kẻ các đường kính AM, BN của đường tròn (I). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết M  5;3  , N 1;3 và đường thẳng BC đi qua điểm P  4; 2  . Câu 9 (1,0 điểm). www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 Trang | 1 CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a  b  c  2015 . Chứng minh rằng:  2015  a 2015a  a 2 2015b  b 2 2015c  c 2 2015  b 2015  c    6  2 2   .   bc ca ab a b c   -------------Hết------------- www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 Trang | 2 CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 ĐÁP ÁN Nội dung trình bày Câu 1 (2,0 điểm) Điểm  x 2  2 x  3  0  2 x  2x  0  Hàm số f  x  xác định khi và chỉ khi   1  x  3    x  2  x  0  0,5 2  x  3 . Vậy tập xác định của hàm số f  x  là S   1;0    2;3  1  x  0  2 1,0 0,5 (1,0 điểm) a.(0,5 điểm) Với mọi x1 , x2   1;   , x1  x2 ta có: K  f  x1   f  x2  x1  x2 x1 x  2 x  1 x2  1  1 x1  x2 0,25 x1  x2  1  x2  x1  1 x1  x2 1   0  x1  x2  x1  1 x2  1  x1  x2  x1  1 x2  1  x1  1 x2  1 0,25 (Do x1 , x2   1;   ). Do đó K  0  f  x  đồng biến trên  1;   . b.(0,5 điểm) Tập xác định của hàm số là D   2015; 2015 . Với mọi x  D , ta có  x  D , f   x   2015  x  2015  x   3   2015  x  2015  x   f  x  suy ra f  x  0,25 0,25 là hàm số lẻ. (1,0 điểm)  x 2  x  6  0   3  x  2 . Điều kiện xác định: 2  x  0 3  x  0  0,25 Bất phương trình đã cho tương đương với: 19  3 x  4  2  x  3  x   6  2  x  2 3 x  Đặt t  2  x  2 3  x , t  0 ta có: t 2  2  x  4 3  x   4  2  x  3  x   14  3 x  4  2  x  3  x  t  1 Thay vào phương trình trên ta được: 5  t  6t  t  6t  5  0   t  5 2 www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 0,25 2 Trang | 3 CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 +) t  1  2  x  2 3  x  1  2  x  4  3  x   4  2  x  3  x   1 0,25 2  3 x  13  4  x  x  6  0 vô nghiệm do 3  x  2 +) t  5  2  x  2 3  x  5  2  x  4  3  x   4  2  x  3  x   25 16   x 2  x  6   11  3 x  2   4  x  x  6  11  3 x   11  3x  0  2 0,25 25 x 2  50 x  25  0    11  x  1 thỏa mãn điều kiện. x  3  Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S  1 . 4 (1,0 điểm)  x 2  2 y 2  3 xy  y  1  0 1  I   2 x  y2  y  3  0  2   0,25  x  y 1 Ta có 1   x  y  1 x  2 y  1  0   x  2y 1 y  2 Với x  y  1 thay vào (2) ta được 2 y  3 y  2  0   y   1  2 +) y  2  x  1 . 2 1 2 0,25 3 2 +) y    x   .  y  1 Với x  2 y  1 thay vào (2) ta được 5 y  3 y  2  0   2 y  5  2 +) y  1  x  1 . +) y  2 9 x . 5 5  3 1 9 2 Vậy, hệ (I) có nghiệm  x; y  là: 1;2  ,  1;  1 ,   ;   ,  ;  .  2 2 5 5 5 0,25 0,25 (1,0 điểm) Bất phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi 0,25  m  1 x 2  2  m  2  x  2m  2  0 x  TH1. Nếu m  1 thì 6 x  4  0, x  2  x   , x  3 vô lí. 0,25 TH2. Nếu m  1 thì  m  1 x 2  2  m  2  x  2m  2  0 x  m  1  0 m  1   2  2  '   m  2    m  1 2m  2   0   m  4m  6  0  www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 0,25 Trang | 4 CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 m  1     m  2  10  m  2  10 .     m  2  10 0,25   Vậy tập hợp các giá trị của m là S  ; 2  10 . 6 (1,0 điểm) Bài này học sinh không nhất thiết phải vẽ hình. Kết quả cơ bản: cho tam giác ABC trọng tâm G. Khi đó với mọi điểm O ta có       OA  OB  OC  3.OG . Do M, N, P lần lượt là trọng tâm các tam giác OBC, OCA, OAB nên:      OB  OC  3.OM     OC  OA  3.ON       OA  OB  3.OP              Cộng từng vế 3 hệ thức trên ta được: 2 OA  OB  OC  3 OM  ON  OP        2.3.OG  3.3.OG '  2.OG  3.OG '  O, G, G ' thẳng hàng. 7 0,5  0,5 (1,0 điểm) Theo định lí hàm số sin và côsin ta có: a sin A abc tan A   2 2R 2  2 2 cos A b  c  a R b  c2  a2  2bc abc abc , tan C  Tương tự ta có tan B  . R  c2  a 2  b2  R  a2  b2  c 2  abc abc abc  tan A  tan C  2.tan B    2. R b2  c 2  a 2  R  a 2  b2  c 2  R  a 2  c 2  b2   0,25 0,25 1 1 1  2  2. 2 2 2 2 2 2 2 b c a a b c a  c b 2   c 2  a 2  b 2  a 2  b 2  c 2    b 2  c 2  a 2  a 2  c 2  b 2   2 b  c  a 2 2 2  a 4  b2  c 2  a  b  c    c  a  b  2 2 2 4 0,25 2 2 2 2   2 b4   a 2  c 2  2   a 2  a 2  b 2  2c 2    c 2  b 2  c 2  2b 2   0  b  c (do a 2  b 2  2c 2 ), 8 kết hợp với a 2  b 2  2c 2  a  b  c . Vậy tam giác ABC đều. (1,0 điểm) Nhận xét. Các tứ giác BHCM, AHCN là các hình bình hành suy ra nếu gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA thì E, F cũng tương ứng là trung điểm 7 5 0,25 3 5 của HM, HN. Do đó M  ;  , N  ;  . 2 2  2 2 www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 Trang | 5