Đề thi KSCL học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm 2022-2023 có đáp án - Trường THPT Quảng Xương 2, Thanh Hóa

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:33

Thêm vào BST

Báo xấu

12
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Để đạt thành tích cao trong kì thi sắp tới, các bạn học sinh có thể sử dụng tài liệu “Đề thi KSCL học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm 2022-2023 có đáp án - Trường THPT Quảng Xương 2, Thanh Hóa” sau đây làm tư liệu tham khảo giúp rèn luyện và nâng cao kĩ năng giải đề thi, nâng cao kiến thức cho bản thân để tự tin hơn khi bước vào kì thi chính thức. Mời các bạn cùng tham khảo đề thi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi KSCL học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm 2022-2023 có đáp án - Trường THPT Quảng Xương 2, Thanh Hóa

SỞ GD & ĐT THANH HÓA ĐỀ KSCL HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2022 – 2023 TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 2 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) MÃ ĐỀ 110 Câu 1. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn f ( x ) > 0 , ∀x ∈  . Biết f ( 0 ) = 1 và f '( x) = 2 − 2 x . Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình f ( x ) = m có hai nghiệm thực f ( x) phân biệt. A. m > e . B. 0 < m ≤ 1 . C. 0 < m < e . D. 1 < m < e . Câu 2. Tìm tập xác định của hàm số y ln = ( x2 + x − 2 − x .) A. ( −∞; −2 ) . B. ( −∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ ) . C. (1; +∞ ) . D. ( −∞; −2] ∪ ( 2; +∞ ) . Câu 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn [ −2022; 2022] để hàm số ( y = f ( x ) = ( x + 1) ln x + ( 2 − m ) x đồng biến trên khoảng 0;e 2 . ) A. 2029. B. 2022. C. 2025. D. 2027. ( )( Câu 4. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và có đạo hàm là f ′ ( = x x − 4 x 2 −3 x + 2 ( x − 3) . Hàm số x) 2 2 ) có bao nhiêu điểm cực đại? A. 3. B. 0. C. 2. D. 1. Câu 5. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông, mặt bên ( SAB ) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng 3 7a vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SCD) bằng . Thể 7 tích V của khối chóp S . ABCD là 1 3 2 3 3a 3 A. V = a 3 . B. V = a . C. V = a . D. V = . 3 3 2 x 8 Câu 6. Cho hàm số f ( x ) có f ( 3) = 3 và f ′ ( x ) = , ∀x > 0 . Khi đó ∫ f ( x ) dx bằng x +1− x +1 3 197 29 181 A. 7 . B. . C. . D. . 6 2 6 Câu 7. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Hình chiếu của S lên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm H của BC . Biết AB = a , AC = a 3 , SB = a 2 . Thể tích của khối chóp S . ABC bằng a3 3 a3 6 a3 3 a3 6 A. . B. . C. . D. . 2 2 6 6 Câu 8. Cho mặt cầu có diện tích bằng 72π ( cm 2 ) . Bán kính R của khối cầu bằng: A. R = 6 ( cm ) . B. R = 3 2 ( cm ) . C. R = 6 ( cm ) . D. R = 3 ( cm ) . Câu 9. Cho hình hình đa diện đều loại {3;3} có cạnh bằng a . Gọi S là diện tích tất cả các mặt của hình đa diện ( H ) có đỉnh là trung điểm của các cạnh của hình đa diện trên. Khẳng định nào sau đây đúng? a2 3 a2 3 a2 3 A. . B. S = 2a 2 3 . C. S = . D. S = . 3 4 2 Câu 10. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y 4 sin x + 3 − 1 lần lượt là = A. 4 2 − 1 và 7 . B. 2 và 4 . C. 4 2 và 8 . D. 2 và 2 . Câu 11. Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 HS nam và 4 HS nữ vào một dãy ghế sao cho: HS nam ngồi kề nhau, HS nữ ngồi kề nhau? A. 362880 . B. 48 . C. 17280 . D. 34560 . Trang 1
u + 3u3 − u2 =−21 Câu 12. Cho cấp số cộng ( un ) thỏa mãn  5 . Tính số hạng thứ 100 của cấp số. 3u7 − 2u4 = −34 A. u100 = −243 . B. u100 = −295 . C. u100 = −231 . D. u100 = −294 . a x +b Câu 13. Cho hàm số y = có bảng biến thiên sau x +c Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a > 0, b > 0, c > 0 . B. a < 0, b > 0, c < 0 . C. a < 0, b < 0, c > 0 . D. a < 0, b < 0, c < 0 . Câu 14. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông. Mặt bên ( SAB ) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Mặt phẳng ( β ) đi qua trung điểm của BC và vuông góc với SC. Thiết diện của hình chóp S . ABC cắt bởi ( β ) là A. Hình thang cân. B. Tam giác vuông. C. Tam giác đều. D. Tam giác cân. Câu 15. Cho hình chóp có 20 cạnh. Tính số mặt của hình chóp đó. A. 20 . B. 11 . C. 12 . D. 10 . Câu 16. Chiều cao h của hình trụ có diện tích toàn phần bằng 12π a và bán kính đáy r = 2a là 2 3a A. 2a . B. . C. 3a. D. a. 2 Câu 17. Cho hàm số y = ax3 + 3 x + d ( a; d ∈  ) có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a > 0, d > 0 . B. a < 0, d > 0 . C. a > 0, d < 0 . D. a < 0, d < 0 . n  2   Câu 18. Cho n là số tự nhiên thỏa mãn A  C  C  4 n  6 . Số hạng không chứa x trong khai triển  x  2 2 1    n n n   x là A. 7920 . B. 7920 . C. 126720 . D. 126720 . Câu 19. Cho ba số thực dương a, b, c khác 1 . Đồ thị các hàm số y a= log b x= log c x được cho trong = x ,y ,y hình vẽ dưới đây. Mệnh đề nào dưới đây đúng? Trang 2
A. a
Câu 26. Cho lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ . Biết A B vuông góc đáy. Đường thẳng AA′ tạo với đáy một góc bằng 45° . Góc giữa hai mặt phẳng ( ABB′A′ ) và ( ACC ′A′ ) bằng 30° . Khoảng cách từ A đến BB′ và CC ′ lần lượt bằng 5 và 8. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên BB′ , CC ′ và H ′ , K ′ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A′ trên BB′ , CC ′ . Thể tích lăng trụ AHK . A′H ′K ′ bằng 200 2 200 3 A. V = 100 . B. V = 100 2 . C. . D. V = . 3 3 Câu 27. Một bể nước lớn của một khu công nghiệp có phần chứa nước là một khối nón đỉnh S phía dưới (hình vẽ), đường sinh SA = 27 ( m ) . Có một lần lúc bể nước chứa đầy, người ta phát hiện nước trong bể không đạt yêu cầu về vệ sinh nên lãnh đạo khu công nghiệp cho thoát hết nước để làm vệ sinh bể chứa. Công nhân cho thoát nước ba lần qua một lỗ ở đỉnh S . Lần thức nhất khi mực nước tới điểm M thuộc SA thì dừng, lần thứ hai khi mực nước tới điểm N ∈ SA thì dừng, lần thứ ba mới thoát hết nước. Biết lượng nước mỗi lần thoát là bằng nhau. Tính độ dài đoạn MN . A. 27 ( 3 ) ( m) . 2 −1 B. 9 3 9 ( 3 ) 4 − 1 ( m ) . C. 9 3 9 ( 3 ) 2 − 1 ( m ) . D. 9 3 3 ( 3 ) ( m) . 2 −1 Câu 28. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong khoảng ( −2022; 2022 ) để phương trình 9 x − 2. ( m − 1) 3x + m 2 − 3m + 5 = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả mãn x1 + x2 > 2 0 A. 2016 B. 2017 C. 2021 D. 2022 Câu 29. Cho hình chóp S . ABC với đáy ABC là tam giác vuông tại B có AC = 2 BC , đường trung tuyến BM , đường phân giác trong CN và MN = a . Các mặt phẳng ( SBM ) và ( SCN ) cùng vuông góc với mặt 3 3a 3 phẳng ( ABC ) . Thể tích khối chóp S . ABC bằng . Gọi I là trung điểm của SC . Khoảng cách 8 giữa hai đường thẳng MN và IB bằng a 3 a 3 A. . B. . C. 3a . D. 3a . 4 8 4 8  1 x + x khi x ≥ 0 Câu 30. Cho hàm số f ( x ) xác định trên  thỏa mãn f ( x ) =  2e + 1 . Biết rằng:  x.cosx khi x < 0  ln 2 1 a 5 0 ∫ f ( x). dx = 2 ln 2 + b ln 2 + c ln . Trong đó a, b, c là những số nguyên. Khi đó S = + 3.b − c bằng: 3 a A. 5 . B. 6 . C. e + 1 . D. 1 . Câu 31. Tìm tấtcả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng ( d ) := mx − 3m cắt đồ thị ( C ) của hàm số y = x 3 − 3 x 2 tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x12 + x2 2 + x32 = y 15 . 3 3 A. m = . B. m = −3 . C. m = 3 . D. m = − . 2 2 Trang 4
Câu 32. Cho khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a= 2a . Hình chiếu = , BC vuông góc của đỉnh A′ lên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm H của cạnh AC . Góc giữa hai mặt phẳng ( BCB′C ′) và ( ABC ) bằng 60° . Tính thể tích của khối tứ diện A. A′B′C ′ . 3 3a 3 3a 3 3a 3 3a 3 A. . B. . C. . D. . 2 4 8 2 Câu 33. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  , bảng biến thiên của hàm số f ′ ( x ) như sau  x2 + 1  Số điểm cực trị của hàm số g ( x ) = f   là  x  A. 6 . B. 2 . C. 1 . D. 4 . 8 Câu 34. Cho các số thực a, b, c lớn hơn 1 thỏa log 2 ( abc ) =1 + − 4ab . Khi ấy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức c 1 1 1 T = log 2 a2 2 + log 2b3 2 + log 2 c6 2 bằng 2 3 6 1 1 3 A. . B. . C. 6 2 . D. . 2 4 2 Câu 35. Cho hai hàm số đa thức bậc bốn y = f ( x ) và y = g ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới, trong đó đường đậm hơn là đồ thị hàm số y = f ( x ) . Biết rằng hai đồ thị này tiếp xúc với nhau tại điểm có hoành độ bằng −3 và cắt nhau tại hai điểm nữa có hoành độ lần lượt là −1 và 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số h ( x ) f ( x ) − g ( x ) trên đoạn [ −3;3] = bằng 12 − 10 3 10 − 9 3 12 − 8 3 A. . B. − 3 . C. . D. . 9 9 9 ( ) Câu 36. Cho hàm số y =x3 − 3mx 2 + 3 m 2 − 1 x − m3 ( m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt. A. 3 . B. 2 . C. 1 . D. 0 . Câu 37. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng [ −2022; 2022] sao cho hàm số y = x3 + 3mx − 2 đồng biến trên khoảng (1; +∞ ) ? −2 A. 4049 . B. 2024 . C. 2048 . D. 4012 . Trang 5
Câu 38. Hai quả bóng giống nhau có cùng bán kính là 15 và hai quả bóng giống nhau có bán kính nhỏ hơn được đặt sao cho mỗi quả bóng đều tiếp xúc với các quả bóng khác ( 4 quả bóng đều nằm trên một mặt phẳng). Tính diện tích bề mặt của quả bóng có bán kính nhỏ hơn. ( A. 60π 7 − 4 3 . ) ( B. 60π 7 + 4 3 . ) C. 60π . D. 15π . Câu 39. Cho hai hàm y = f ( x ) và y = g ( x ) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ. Khi đó tổng số nghiệm của phương trình f ( g ( x ) ) = 0 và g ( f ( x ) ) = 0 là A. 25 . B. 22 . C. 21 . D. 26 . x +1 Câu 40. Cho hàm số y = có đồ thị ( H ) . Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) là hai điểm phân biệt thuộc ( H ) sao 2x −1 cho tiếp tuyến của ( H ) tại A , B song song với nhau. Độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng AB bằng A. 3 2 . B. 3 . C. 6 . D. 2 6 . Câu 41. Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 0,1, 2,3, 4,5, 6 . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S . Tính xác suất để số được chọn là một số chia hết cho 6 . 13 2 17 11 A. . B. . C. . D. . 60 9 45 45 Câu 42. Cho hình chóp S . ABC có AB a= a 3, SB a 6= a= a 3, SB a 6 và = , AC = , AB , AC =  BAS BCS 900 . Tính sin của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( SAC ) . ABC   = = = 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 13 6 11 3 x−2 Câu 43. Có bao nhiêu giá trị m nguyên thuộc đoạn [ −2022; 2022] để đồ thị hàm số y = có 2 x − 2mx + 2m + 3 hai đường tiệm cận đứng? A. 0 . B. 2022 . C. 4044 . D. 2024 . Câu 44. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [ −20; 20] để phương trình sau có nghiệm ( log 2 x 2 + m + x x 2 + 4= ) ( 2m − 9 ) x − 1 + (1 − 2m ) x2 + 4 A. 12 . B. 23 . C. 25 . D. 10 . Câu 45. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  và thoả mãn điều kiện 1 a 2 f ( x ) − 3 f (1 − x )= 4 x − 1, ∀x ∈  . Biết rằng tích phân I = x. f ' ( x ).dx ∫= , (với a, b là các số nguyên 0 b a dương, và là phân số tối giản). Tính T= a + b . b A. T = −7 . B. T = 7 . C. T = 0 . D. T = 1 . Câu 46. Phương trình cos x + cos 3 x + 2 cos 5 x = nhiêu nghiệm thuộc khoảng ( 0; 2022π ) ? 0 có bao A. 10110 . B. 4044 . C. 2022 . D. 6066 . Trang 6
Câu 47. Bác Hoa đem gửi tiết kiệm số tiền 400 triệu đồng ở hai loại kỳ hạn khác nhau. Bác gửi 250 triệu đồng theo kỳ hạn 3 tháng với lãi suất 1,1%/1 quý. Số tiền còn lại bác gửi theo kỳ hạn 1 tháng với lãi suất x %/1 tháng. Biết rằng nếu không rút lãi thì số lãi sẽ được gộp vào gốc để tính lãi cho kỳ hạn tiếp theo. Tính x (làm tròn đến chữ số thứ hai sau dấu phẩy), biết rằng sau một năm, số tiền gốc và lãi bác Hoa thu được là 425.250.000 đồng. A. 0, 79 . B. 0, 75 . C. 0,98 . D. 0,85 . Câu 48. Có bao nhiêu bộ số nguyên ( x; y ) thỏa mãn đồng thời các điều kiện 0 ≤ x, y ≤ 2022 và  2y   2021x + 1  ( xy + 2 x + 3 y + 6 ) log 2022   ≤ ( 2 x + 4 y − xy − 8 ) log 2021    y+2  x−4  A. 6054 . B. 3 . C. 4036 . D. 2020 . Câu 49. Cho hình trụ có O, O′ là tâm hai đáy. Xét hình chữ nhật ABCD có A, B cùng thuộc ( O ) và C , D cùng thuộc ( O′ ) sao cho AB = 2a 3 , BC = 4a đồng thời ( ABCD ) tạo với mặt phẳng đáy hình trụ góc 30° . Thể tích khối trụ bằng. B. 16 3π a . 3 A. 12π a 3 . C. 16π a 3 . D. 12 3π a 3 . Câu 50. Cho khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB′ bằng 2 , khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB′ và CC ′ lần lượt bằng 1 và 3 , hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng 2 3 ( A′B′C′) là trung điểm M của B′C ′ và A′M = . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 3 2 3 A. 2 . B. 1 . C. 3 . D. . 3 ------------------ Hết ------------------ Trang 7
BẢNG ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C D D D D B C B D A D B B C B D D C C B A C C C C 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 A C B C B C C A A D C B A C C A C A B B A B C A A LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn f ( x ) > 0 , ∀x ∈  . Biết f ( 0 ) = 1 và f '( x) = 2 − 2 x . Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình f ( x ) = m có hai nghiệm thực f ( x) phân biệt. A. m > e . B. 0 < m ≤ 1 . C. 0 < m < e . D. 1 < m < e . Lời giải Chọn C f ′( x) f ′( x) Ta có = 2 − 2x ⇒ ∫ dx =2 x ) dx . ∫ (2 − f ( x) f ( x) ⇔ ln f ( x ) = 2 x − x 2 + C ⇔ f ( x ) =x . Mà f ( 0 ) = 1 suy ra f ( x ) = e 2 x − x . 2 2 A.e 2 x − ( ) Ta có 2 x − x 2 =− x 2 − 2 x + 1 = − ( x − 1) ≤ 1 . Suy ra 0 < e 2 x − x ≤ e và ứng với một giá trị thực t < 1 2 2 1 1 thì phương trình 2x − x 2 = có hai nghiệm phân biệt. t sẽ Vậy để phương trình f ( x ) = m có 2 nghiệm phân biệt khi 0 < m < e1 = e. Câu 2. Tìm tập xác định của hàm số y ln = ( x2 + x − 2 − x . ) A. ( −∞; −2 ) . B. ( −∞; −2 ) ∪ ( 2; +∞ ) . C. (1; +∞ ) . D. ( −∞; −2] ∪ ( 2; +∞ ) . Lời giải Chọn D   x2 + x − 2 − x > 0 Điều kiện xác định  . 2 x + x − 2 ≥ 0   x2 + x − 2 > x2   x2 + x − 2 − x > 0   x ≥ 0 x > 2  2 ⇔ ⇔ .   x + x−2≥0  x2 + x − 2 ≥ 0  x ≤ −2   x < 0  Vậy D = ( −∞; −2] ∪ ( 2; +∞ ) . Câu 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn [ −2022; 2022] để hàm số y = f ( x ) = ( x + 1) ln x + ( 2 − m ) x đồng biến trên khoảng 0;e 2 . ( ) A. 2029. B. 2022. C. 2025. D. 2027. Lời giải Chọn D x +1 Ta có: y = f ' ( x ) ln x + ' = +2−m x 1 1 Yêu cầu bài toán ⇔ f ′ ( x )= ln x + + 3 − m ≥ 0 ⇔ ln x + + 3 ≥ m ; ∀x ∈ ( 0; e 2 ) . x x 1 Xét hàm số: g ( x )= ln x + + 3 với x ∈ ( 0; e 2 ) . x 1 1 Ta có: g ' ( x ) = − 2 = 0 ⇔ x = 1 . x x Bảng biến thiên: Trang 8
Dựa vào bảng biến thiên suy ra g ( x ) ≥ 4 với mọi x ∈ 0; e 2 . ( ) Từ đó suy ra −2022 ≤ m ≤ 4. Vậy có 2027 giá trị của m thỏa mãn. ( )( ) Câu 4. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và có đạo hàm là f ′ ( = x 2 x 2 − 4 x 2 −3 x + 2 ( x − 3) . Hàm số x) có bao nhiêu điểm cực đại? A. 3. B. 0. C. 2. D. 1. Lời giải Chọn D Ta có f ′ ( x ) = x 2 ( x − 2 ) ( x − 1)( x − 3)( x + 2 ) 2 x = 0 x = 2  f ′( x) = 0 ⇔ x = . −2  x = 1 x = 3  Bảng biến thiên: Vậy hàm số đã cho có 1 điểm cực đại. Câu 5. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông, mặt bên ( SAB ) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SCD) bằng 3 7a . Thể tích V của khối chóp S . ABCD là 7 1 3 2 3a 3 A. V = a 3 . B. V = a . C. V = a 3 . D. V = . 3 3 2 Lời giải Chọn D Gọi H là trung điểm của AB ⇒ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD) Gọi x là độ dài cạnh của hình vuông ABCD . Ta có 3 3 3 SH = = x,VS . ABCD x. 2 6 Trang 9
Kẻ HK ⊥ CD, K ∈ CD Kẻ HL ⊥ SK , L ∈ SK Suy ra HL ⊥ ( SCD) và d ( A,( SCD)) = d (H,( SCD)) HS .HK 21 = HL = = x HS 2 + HK 2 7 21.x 3 7.a Từ giả thiết ta có: = ⇒ x a 3. = 7 7 ( ) 3 3.x 3 3. a 3 3 3 Vậy VS= . ABCD = = a. 6 6 2 x 8 Câu 6. Cho hàm số f ( x ) có f ( 3) = 3 và f ′ ( x ) = , ∀x > 0 . Khi đó ∫ f ( x ) dx bằng x +1− x +1 3 197 29 181 A. 7 . B. . C. . D. . 6 2 6 Lời giải Chọn B x Xét ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ x + 1 − x +1 dx . Đặt t = x + 1 ⇒ x + 1 = t 2 ⇒ x = t 2 − 1 ⇒ dx = 2tdt . f ′ ( x ) dx = x t 2 −1 ( t − 1) . ( t + 1) ⋅ 2tdt = 2t + 2 dt Khi đó, ∫ ∫ x + 1 − x + 1 dx = ∫ t 2 − t ⋅ 2tdt = ∫ t. ( t − 1) ∫( ) = t 2 + 2t + C = ( x + 1) + 2 x + 1 + C . Mà f ( 3) = 3 ⇔ ( 3 + 1) + 2 3 + 1 + C = 3 ⇔ C = −5 . ⇒ f ( x ) = ( x + 1) + 2 x + 1 − 5 = x + 2 x + 1 − 4 . 8 8 8  x2 4  19 197 ⇒ ∫ f ( x ) dx = ∫( ) ( x + 1) − 4 x  = 36 − = 3 x + 2 x + 1 − 4 dx =  + . 3 3  2 3 3 6 6 Câu 7. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Hình chiếu của S lên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm H của BC . Biết AB = a , AC = a 3 , SB = a 2 . Thể tích của khối chóp S . ABC bằng a3 3 a3 6 a3 3 a3 6 A. . B. . C. . D. . 2 2 6 6 Lời giải Chọn C Trang 10
( ) 2 Xét tam giác ABC vuông tại A có: BC = AB 2 + AC 2 = a 2 + a 3 =2a . H là trung điểm của BC nên BH = a . (a 2 ) 2 Xét tam giác SBH vuông tại H có: SH= SB 2 − HB 2 = − a2 a . = 1 1 2 là: S ABC Diện tích đáy ABC = =AB. AC a 3. 2 2 1 1 1 a3 3 Thể tích của khối chóp S . ABC là: V = .a. .a 2 3 = SH .S ABC = . 3 3 2 6 Câu 8. Cho mặt cầu có diện tích bằng 72π ( cm 2 ) . Bán kính R của khối cầu bằng: A. R = 6 ( cm ) . B. R = 3 2 ( cm ) . C. R = 6 ( cm ) . D. R = 3 ( cm ) . Lời giải Chọn B. Theo công thức diện tích mặt cầu ta có: S = 4π R 2 . S 72π Suy ra R = = = = 3 2 ( cm ) . 18 4π 4π Câu 9. Cho hình hình đa diện đều loại {3;3} có cạnh bằng a . Gọi S là diện tích tất cả các mặt của hình đa diện ( H ) có đỉnh là trung điểm của các cạnh của hình đa diện trên. Khẳng định nào sau đây đúng? a2 3 a2 3 a2 3 A. . B. S = 2a 2 3 . C. S = . D. S = . 3 4 2 Lời giải Chọn D Cho hình hình đa diện đều loại {3;3} cạnh a là tứ diện đều cạnh a . A B D C a Khi đó ( H ) là bát diện đều cạnh bằng . 2 a Ta có ( H ) có 8 mặt, mỗi mặt là tam giác đều cạnh . 2 a2 3 a2 3 ⇒ S 8. = = . 16 2 Câu 10. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y 4 sin x + 3 − 1 lần lượt là = A. 4 2 − 1 và 7 . B. 2 và 4 . C. 4 2 và 8 . D. 2 và 2 . Lời giải Chọn A Ta có : −1 ≤ sin x ≤ 1 ⇔ 2 ≤ sin x + 3 ≤ 4 ⇔ 2 ≤ sin x + 3 ≤ 2 ⇔ 4 2 − 1 ≤ y 4 sin x + 3 − 1 ≤ 4.2 − 1 7 = = Trang 11
Do đó giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là 4 2 − 1 và 7 . Câu 11. Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 HS nam và 4 HS nữ vào một dãy ghế sao cho: HS nam ngồi kề nhau, HS nữ ngồi kề nhau? A. 362880 . B. 48 . C. 17280 . D. 34560 . Lời giải Chọn D Số cách xếp HS nam trong nhóm nam là 6! cách Số cách xếp HS nữ trong nhóm nữ là 4! cách Số cách xếp 2 nhóm nam và nữ là 2! cách Số cách sắp xếp 6 HS nam và 4 HS nữ vào một dãy ghế sao cho: HS nam ngồi kề nhau, HS nữ ngồi kề nhau là: 2!.4!.6! = 34560 cách. u + 3u3 − u2 =−21 Câu 12. Cho cấp số cộng ( un ) thỏa mãn  5 . Tính số hạng thứ 100 của cấp số. 3u7 − 2u4 = −34 A. u100 = −243 . B. u100 = −295 . C. u100 = −231 . D. u100 = −294 . Lời giải Chọn B u5 + 3u3 − u2 =−21 u1 + 4d + 3 ( u1 + 2d ) − u1 − d =21  − u1 + 3d =−7 u = 2  ⇔ ⇔ ⇔ 1 . 3u7 − 2u4 = −34 3 ( u1 + 6d ) − 2 ( u1 + 3d ) =  −34 u1 + 12d =−34 d = −3 Số hạng thứ 100 là u100 =+ 99 ( −3) =295 . 2 − a x +b Câu 13. Cho hàm số y = có bảng biến thiên sau x +c Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a > 0, b > 0, c > 0 . B. a < 0, b > 0, c < 0 . C. a < 0, b < 0, c > 0 . D. a < 0, b < 0, c < 0 . Lời giải Chọn B Dựa vào BBT, ta có: Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = = 1 < 0. a − Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = c = ⇒ c = 1 < 0. − 1 − Lại có y′ < 0 ⇔ ac − b < 0 ⇔ b > ac ⇒ b > ( −1) . ( −1) = 1 > 0 . Vậy a < 0, b > 0, c < 0 → chọn B. Câu 14. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông. Mặt bên ( SAB ) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Mặt phẳng ( β ) đi qua trung điểm của BC và vuông góc với SC. Thiết diện của hình chóp S . ABC cắt bởi ( β ) là A. Hình thang cân. B. Tam giác vuông. C. Tam giác đều. D. Tam giác cân. Lời giải Chọn C Trang 12
Gọi D là trung điểm của BC và H là trung điểm của AB ( SAB ) ⊥ ( ABC )  Ta có: ( SAB ) ∩ ( ABC ) = AB ⇒ SH ⊥ ( ABC )  SH ⊥ AB   BC ⊥ AB * Ta có:  ⇒ BC ⊥ ( SAB )  BC ⊥ SH * Gọi F , G lần lượt là trung điểm của AC và SC  BC ⊥ ( SAB )  Khi đó, ta có:  ⇒ BC ⊥ ( DFG ) ( SAB ) / / ( DFG )  Vậy thiết diện chính là tam giác DFG *Xét ∆SAB ∽ ∆GFD Mà ∆SAB đều ⇒ ∆GFD đều Hay thiết diện là tam giác đều Câu 15. Cho hình chóp có 20 cạnh. Tính số mặt của hình chóp đó. A. 20 . B. 11 . C. 12 . D. 10 . Lời giải Chọn B Số cạnh bên của hình chóp bằng số cạnh đáy. 20 Suy ra số cạnh bên của hình chóp là: = 10 cạnh. 2 Vậy hình chóp có 10 mặt bên và 1 mặt đáy. Câu 16. Chiều cao h của hình trụ có diện tích toàn phần bằng 12π a 2 và bán kính đáy r = 2a là 3a A. 2a . B. . C. 3a. D. a. 2 Lời giải Chọn D Diện tích toàn phần hình trụ là S= 2π rh + 2π r 2 ⇔ 12a 2π 2π .2a.h + 2π . ( 2a ) ⇔ 4π ah 4a 2π ⇔ = a. 2 tp = = h Câu 17. Cho hàm số y = ax3 + 3 x + d ( a; d ∈  ) có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? Trang 13
A. a > 0, d > 0 . B. a < 0, d > 0 . C. a > 0, d < 0 . D. a < 0, d < 0 . Lời giải Chọn D Ta có: lim = −∞ ⇒ đồ thị nhánh ngoài cùng của hàm số hướng đi xuống nên hệ số a < 0 . x→+∞ Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung Oy : x = 0 là điểm nằm bên dưới trục hoành nên khi x =0 ⇒ y =d < 0. n  2   Câu 18. Cho n là số tự nhiên thỏa mãn An  C n  C n  4 n  6 . Số hạng không chứa x trong khai triển  x  2 2 1     x  là A. 7920 . B. 7920 . C. 126720 . D. 126720 . Lời giải Chọn C Ta có n n 1 An  C n  C n  4 n  6  n n 1  2 2 1  n  4n  6 2  n  12  n 2 11n 12  0    n  12.  n  1l  12   12 3k  x  2    1k 2 k C12 x 2 . 12 Với n  12 , ta có khai triển   k   x  k 0 3k Để số hạng không chứa x thì 12   0  k  8 . 2 n   Vậy số hạng không chứa x trong khai triển   x  2  là 18 28 C12  126720 .  8    x Câu 19. Cho ba số thực dương a, b, c khác 1 . Đồ thị các hàm số y a= log b x= log c x được cho trong = x, y ,y hình vẽ dưới đây. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a 1 . Với x = 3 thì log a 3 =1 ⇔ a =3 và 0 < log b 3 < 1 ⇔ b > 3 . Ta có c < 1 < a < b nên loại các phương án A, B, D . 4 Câu 20. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; 4] , f (1) = 12 và f (4) = 7 . Khi đó ∫ f ′ ( x ) dx 1 bằng Trang 14
A. 9 . B. −5 . C. 5 . D. 19 . Lời giải Chọn B 4 4 Ta có ∫ f ′ ( x ) dx =( x ) 1 =( 4 ) − f (1) =− 12 = . f f 7 −5 1 f ( x) +1 3 f ( x) +1 Câu 21. Cho f ( x ) là một đa thức thỏa mãn lim = −2 . Tính P = lim . x →1 x −1 x →1 x −1 4 2 A. − . B. − . C. −4 . D. −2 . 3 3 Lời giải Chọn A f ( x) +1 Ta có lim = 2 ⇒ f ( x ) + 1 = x − 1) h ( x ) ⇒ f (1) = 1 . − ( − x →1 x −1 = lim Vậy P = lim ( ) 3 f x +1  f ( x ) + 1 x + 1   ( ) x →1 x −1 x →1 ( x − 1)  3 f 2 ( x ) − 3 f ( x ) + 1    f ( x) +1 x +1  1 +1 4 =lim  . = =−2. − . x →1  x −1 3 f 2 ( x) − 3 f ( x) +1  3 ( −1) − 3 −1 + 1 3 2   Câu 22. Với mọi a, b, x là các số thực dương thoả mãn = 5log 2 a + 3log 2 b . Mệnh đề nào dưới log 2 x đây đúng? A. = 5a + 3b . x B. = a 5 + b3 . x C. x = a 5b3 . D. = 3a + 5b . x Lời giải Chọn C Có log= 5log 2 a + 3log 2 b log 2 a 5 + log 2 b3 log 2 a 5b3 ⇔ x a 5b3 . 2 x = = = Một nguyên hàm của hàm số f ( x )= 6 ( 2 x − 1) + 6sin 2 x là 2 Câu 23. A. ( 2 x − 1) + 3cos 2 x + 2022 . B. 2 ( 2 x − 1) − 6 cos 2 x + 2022 . 3 3 C. ( 2 x − 1) − 3cos 2 x + 2022 . D. 2 ( 2 x − 1) − 3cos 2 x + 2022 . 3 3 Lời giải Chọn C ∫ f ( x ) dx = ∫ ( 6 ( 2 x − 1) ) ( 2 x − 1) 2 3 Ta có + 6sin 2 x dx = − 3cos 2 x + C , với C ∈ . Vậy một nguyên hàm của hàm số f ( x )= 6 ( 2 x − 1) + 6sin 2 x là ( 2 x − 1) − 3cos 2 x + 2022 . 2 3 Câu 24. Cho hàm số f ( x ) = 2 x − 1 − 2 x + 1 Tính tổng = f ′ (1) + f ′ ( 2 ) + ... + f ′ ( 2022 ) . S 4044 − 4044 2022 − 2022 A. S = . B. S = . 4045 2023 4045 − 4045 2022 C. S = . D. S = . 4045 2023 Lời giải Chọn C 1  Tập xác định của hàm số là =  ; +∞  . D 2  1 1 Ta có f ' (= x) ( 2x −1 − 2x +1 ' = 2x −1 − 2x +1 ) , ∀x ∈ D  1 1   1 1   1 1  1 4045 − 4045 Vậy ta có S = −  + −  + ... +  − =1− = 4045 .  1 3  3 5  4043 4045  4045 Trang 15
Câu 25. Cho hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d , ( a ≠ 0 ) có đồ thị như hình vẽ. Phương trình f ( x − 2 ) = bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng ( 0;5 ) ? 3 có A. 5. B. 4. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn C  Tịnh tiến đồ thị hàm số đã cho theo véc tơ u ( 2;0 ) ta thu được đồ thị hàm số y f ( x − 2 ) như sau = Từ đó suy ra đồ thị hàm số y = f ( x − 2) Suy ra phương trình f ( x − 2 ) = 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( 0;5 ) . 3 có Câu 26. Cho lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ . Biết A B vuông góc đáy. Đường thẳng AA′ tạo với đáy một góc bằng 45° . Góc giữa hai mặt phẳng ( ABB′A′ ) và ( ACC ′A′ ) bằng 30° . Khoảng cách từ A đến BB′ và CC ′ lần lượt bằng 5 và 8. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên BB′ , CC ′ và H ′ , K ′ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A′ trên BB′ , CC ′ . Thể tích lăng trụ AHK . A′H ′K ′ bằng 200 2 200 3 A. V = 100 . B. V = 100 2 . C. . D. V = . 3 3 Trang 16
Lời giải Chọn A Từ đỉnh A kẻ AH ⊥ BB′ ( H ∈ BB′ ) . Cũng từ A kẻ AK ⊥ CC ′ ( K ∈ CC ′ ) . Góc giữa hai mặt phẳng ( ABB′A′ ) và ( ACC ′A′ ) bằng 30° .  Suy ra, trong tam giác HAK , có HAK 30° = 1 1 1 Diện tích tam giác= S ∆AHK = = 10 . AH . AK sin 30° .5.8. 2 2 2 Góc giữa đường phẳng A′A và ( ABC ) bằng góc giữa A′A và AB nên ( A′A , AB=  45° . Mà ) A′AB = = 45°  . A′AB = ABH AH Xét tam giác ∆HAB vuông tại H suy ra AB = = 5 2. sin45° AB Xét tam giác ∆BAA′ vuông tại B suy ra AA′ = = 10 . cos45° Mà AA′ là đường cao của lăng trụ AHK . A′H ′K ′ . Nên thể tích VAHK .= A′A.S= 10.10 100 . A′H ′K ′  AHK = Câu 27. Một bể nước lớn của một khu công nghiệp có phần chứa nước là một khối nón đỉnh S phía dưới (hình vẽ), đường sinh SA = 27 ( m ) . Có một lần lúc bể nước chứa đầy, người ta phát hiện nước trong bể không đạt yêu cầu về vệ sinh nên lãnh đạo khu công nghiệp cho thoát hết nước để làm vệ sinh bể chứa. Công nhân cho thoát nước ba lần qua một lỗ ở đỉnh S . Lần thức nhất khi mực nước tới điểm M thuộc SA thì dừng, lần thứ hai khi mực nước tới điểm N ∈ SA thì dừng, lần thứ ba mới thoát hết nước. Biết lượng nước mỗi lần thoát là bằng nhau. Tính độ dài đoạn MN . Trang 17
A. 27 ( 3 ) ( m) . 2 −1 B. 9 3 9 ( 3 ) ( m) . 4 −1 C. 9 3 9 ( 3 ) 2 − 1 ( m ) . D. 9 3 3 ( 3 ) ( m) . 2 −1 Lời giải Chọn C Gọi V1 , V2 , V lần lượt là thể tích khối nón có đường sinh là SN , SM , SA SM SE EM Do ∆SEM  ∆SOA ⇒ = = SA SO OA 1 π EM 2 SE 3 V2 3 2  SA  Lại có= 1 ⇔=   ⇔ = 13122 SM 3 V 3  SM  π OA2 SA 3 3 3 V1  SN  1  SN  Tương tự=   ⇔ =   ⇔ = 6561 SN 3 V  SA  3  27  Vậy MN = SM − SN = 3 13122 − 3 6561 = 9 3 9 ( 3 2 −1 .) Câu 28. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong khoảng ( −2022; 2022 ) để phương trình 9 x − 2. ( m − 1) 3x + m 2 − 3m + 5 = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả mãn x1 + x2 > 2 0 A. 2016 B. 2017 C. 2021 D. 2022 Lời giải Chọn B Ta có 9 x − 2 ( m − 1) 3x + m 2 − 3m + 5 = 0 ⇔ ( 3x ) − 2. ( m − 1) .3x + m 2 − 3m + 5 = 0 2 (1) Đặt t 3x , t > 0 , khi đó phương trình trở thành t 2 − 2. ( m − 1) .t + m 2 − 3m + 5 = = 0 ( 2) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì phương trình ( 2 ) có hai nghiệm dương phân biệt ∆ > 0 m − 4 > 0    S > 0 ⇔ m − 1 > 0 ⇔m>4 P > 0 m 2 − 3m + 5 > 0   Khi đó t1 3= 3x2 . Do x1 + x2 > 2 ⇒ 3x1 + x2 > 9 ⇔ t1.t2 > 9 = x1 , t2  m < −1 Áp dụng định lý Vi – et ta được m 2 − 3m + 5 > 9 ⇔ m 2 − 3m − 4 > 0 ⇔  m > 4 Vậy m > 4 ⇒ m ∈ ( 4; 2022 ) từ đó suy ra có 2017 giá trị nguyên của m thoả mãn Câu 29. Cho hình chóp S . ABC với đáy ABC là tam giác vuông tại B có AC = 2 BC , đường trung tuyến BM , đường phân giác trong CN và MN = a . Các mặt phẳng ( SBM ) và ( SCN ) cùng vuông góc với mặt 3 3a 3 phẳng ( ABC ) . Thể tích khối chóp S . ABC bằng . Gọi I là trung điểm của SC . Khoảng cách 8 giữa hai đường thẳng MN và IB bằng a 3 a 3 A. . B. . C. 3a . D. 3a . 4 8 4 8 Lời giải Trang 18
Chọn C S I M E A C F H N B K Gọi H là giao điểm của CN và BM . Ta có SH ⊥ ( ABC ) . Đặt BC = x (với x > 0 ). AC ⇒ ∆BCM đều. Ta có = CM BM CB = = 2 Xét ∆BCM đều có đường phân giác CH cũng là đường cao nên CH ⊥ BM   900 ( ⇒ CN ⊥ BM tại H ⇒ BMC + MCN =1)   900 Có BNC + NCB = ( 2 )   Mà MCN = NCB ( 3)   Từ (1) , ( 2 ) , ( 3) ⇒ BMC = BNC ⇒ tứ giác BCMN nội tiếp đường tròn.  ⇒ CMN 90° , hay MN ⊥ CA . = Suy ra hai tam giác MNA và BCA đồng dạng MN AM a x ⇒ = ⇔ = ⇒ x = a 3 ; AC = 2a 3 . BC AB x 3x Lấy E là trung điểm của CM . Ta có = AM 2 ⇒ MN  BE ⇒ MN  ( BEI ) . AN = AB AE 3 ⇒ = d (= d= 2d ( H , ( BEI ) ) . d ( MN , BI ) MN , ( BEI ) ) ( M , ( BEI ) ) 3VS . ABC 3 Nên SH = = a. S∆ABC 4 2 a 3 a 3 3a 1 (a 3) a 2 Ta có HB = ; HC = 2 2 BC − HB = −  2  = 2  ⇒= HF =HC . 2   3 2 ( ) Đặt y = d H , ( BEI ) . Xét tam diện vuông đỉnh H với ba cạnh HB , HC , HS ta có mặt phẳng ( IEB ) cắt HB tại B ; cắt HC tại F và cắt HS tại K , ta có 1 1 1 1 1 1 1 64 2 = 2 + 2 + 2 = + 2 + 2 = 2 ⇒ y = 3a. y HB HF HK  a 3   a   3a  9a 8        2  2  4  Trang 19
Do đó d ( MN , BI ) =⋅ 3 a =a . 2 3 8 4  1 x + x khi x ≥ 0 Câu 30. Cho hàm số f ( x ) xác định trên  thỏa mãn f ( x ) =  2e + 1 . Biết rằng:  x.cosx khi x < 0  ln 2 1 a 5 ∫ f ( x). dx = 2 ln 2 + b ln 2 + c ln 3 . Trong đó a, b, c là những số nguyên. Khi đó S = + 3.b − c bằng: 0 a A. 5 . B. 6 . C. e + 1 . D. 1 . Lời giải Chọn B ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2  1  1 ln 2 2 1 ∫ 0 f ( x).dx = x  dx =+ ∫ x dx =+ ∫ x dx . ∫  2e + 1  ∫ 0  x+ 0 xdx 0 2e + 1 2 0 2e + 1 dt Đặt t 2e x + 1 ⇒ dt 2e x dx ⇒ dx = = = . Đổi cận: x = ln 2 ⇒ t = 5, x = 0 ⇒ t = 3 . t −1 ln 2 5 5 1 dt  1 1 5 − dt= ( ln t − 1 − ln t ) = ln 4 − ln 5 − ln 2 + ln 3 ln 2 − ln . 5 ∫ 2e + 1 3 t ( t − 1) 3  t − 1 t  0 x dx ∫ = = ∫ 3 = 3 ln 2  1 1 2 5 0 ∫  x + 2e  +1   dx = ln 2 + ln 2 − ln ⇒ a = b = c =1 x 2 3 2, 1, − Vậy a + 3.b − c = . 6 Câu 31. Tìm tấtcả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng ( d ) := mx − 3m cắt đồ thị ( C ) của hàm số y = x 3 − 3 x 2 tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x12 + x2 2 + x32 = y 15 . 3 3 A. m = . B. m = −3 . C. m = 3 . D. m = − . 2 2 Lời giải. Chọn C Phương trình hoành độ giao điểm:. x = 3 x3 − 3 x 2 =mx − 3m ⇔ x 2 ( x − 3) =m ( x − 3) ⇔ ( x − 3) ( x 2 − m ) =0 ⇔  2 .  x = m ( *) Để đường thẳng ( d ) := mx − 3m cắt đồ thị ( C ) của hàm số = x 3 − 3 x 2 tại ba điểm phân biệt có y y hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x12 + x2 2 + x32 =thì x 2 = > 0; m ≠ 9 . 15 m ( ) +( m) 2 2 Từ (*) ta có: x = ± m nên 32 + − m = 15 ⇔ 2m = 6 ⇔ m = 3 . Câu 32. Cho khối lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a= 2a . Hình chiếu = , BC vuông góc của đỉnh A′ lên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm H của cạnh AC . Góc giữa hai mặt phẳng ( BCB′C ′) và ( ABC ) bằng 60° . Tính thể tích của khối tứ diện A. A′B′C ′ . 3 3a 3 3a 3 3a 3 3a 3 A. . B. . C. . D. . 2 4 8 2 Lời giải Chọn C Trang 20