Đề thi KSCL học sinh giỏi môn Toán THPT năm 2022-2023 có đáp án - Trường THPT Hà Văn Mao

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:36

Thêm vào BST

Báo xấu

8
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời quý thầy cô và các em học sinh tham khảo “Đề thi KSCL học sinh giỏi môn Toán THPT năm 2022-2023 có đáp án - Trường THPT Hà Văn Mao”. Hi vọng tài liệu sẽ là nguồn kiến thức bổ ích giúp các em củng cố lại kiến thức trước khi bước vào kì thi sắp tới. Chúc các em ôn tập kiểm tra đạt kết quả cao!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi KSCL học sinh giỏi môn Toán THPT năm 2022-2023 có đáp án - Trường THPT Hà Văn Mao

TRƯỜNG THPT HÀ VĂN MAO ĐỀ THI GIAO LƯU KSCL HSG - CỤM BÁ THƯỚC NĂM HỌC 2022 - 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán - THPT Đề thi có 7 trang, 50 câu TNKQ Khóa thi ngày: 12/11/2022 Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) Họ và tên…………………..………………………….. Mã đề thi: 123 Số báo danh……………….…..……. Phòng thi….….. Câu 1. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số chẵn?   A. y  s in  x   .   B. y  sin x . C. y  sin x  tan x . D. y  sin x.cos x   2  Câu 2. Một học sinh có 4 quyển sách Toán khác nhau và 5 quyển sách Ngữ văn khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 9 quyển sách trên giá sao cho hai quyển sách kề nhau phải khác loại ? A. 20 . B. 2880 . C. 362880 . D. 5760 . Câu 3. Cho cấp số cộng ( un ) với u1 = 6 ; d = 9 . Khi đó số 2022 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số? A. 226 . B. 225 . C. 223 . D. 224 . Câu 4. Tìm m để hàm số y = m − 1) x + ( 2m − 1) x + 1 có đúng 3 điểm cực trị. ( 4 2 1 1 1 1 A. < m
m ∫ ( 3x − 2 x + 1) dx = Giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây? 2 Câu 10. Cho 6. 0 A. ( −1; 2 ) . B. ( −∞ ;0 ) . C. ( 0; 4 ) . D. ( −3;1) . Câu 11. Có bao nhiêu cách phân công 4 thầy giáo dạy toán vào dạy 12 lớp 12, mà mỗi thầy dạy đúng 3 lớp ? A. 369600 B. 396900 C. 220 D. 369000 x4 + x2 + 2 Câu 12. Giới hạn lim có kết quả là : x →+∞ ( x3 + 1) ( 3x − 1) 3 3 A. − 3 B. C. 3 D. − 3 3 Câu 13. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA OB OC . Gọi = = M là trung điểm của BC (tham khảo hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai đường thẳng OM và AB bằng A. 450 B. 900 C. 300 D. 600 Câu 14. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm y = f ′ ( x ) như hình vẽ bên dưới. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng A. ( −∞ ; − 2 ) . B. ( −2;1) . C. ( −∞ ; − 4 ) . D. ( −2;3) . Câu 15. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x3 − 3 x + m nhỏ hơn hoặc bằng 5. A. 5. B. 2. C. 11. D. 4. Trang 2/7 – Mã đề thi 123
Câu 16. Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y= x − 2 x trên đoạn [0;9] lần lượt là m và M . Giá trị của tổng m + M bằng A. 2. B. 3. C. 0. D. 1. ax + 1 Câu 17. Cho hàm số y = ( a, b, c là các tham số) có bảng biến thiên như hình vẽ bx + c Xét các phát biểu sau: (1) : c > 1. ( 2 ) : a + b < 0. ( 3) : a + b + c = 0. ( 4 ) : a > 0. Số phát biểu đúng là A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Câu 18. Đặt log 3 2 = a khi đó log16 27 bằng 3a 3 4 4a A. B. C. D. 4 4a 3a 3 Câu 19. Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn log 2  x 2  y 2   1  log 2 xy . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. x  y . B. x  y . C. x  y . D. x  y 2 . a ( m + nb ) Câu 20. Đặt a = log 2 3 ; b = log 5 3 . Nếu biểu diễn log 6 45 = thì m + n + p bằng b (a + p) A. 3 B. 4 C. 6 D. −3 Câu 21. Một hình đa diện lồi có số mặt M , số đỉnh D và số cạnh C . Khi đó, hệ thức nào dưới đây là đúng ? A. D + M − C = 2 B. D + C − M = 2 C. M + C − D = 2 D. M + D = C Câu 22. Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều ABC. A′B′C ′ có AC ′ = 5a , cạnh đáy là 4a . A. V = 12a 3 . B. V = 20a 3 3 . C. V = 20a 3 . D. V = 12a 3 3 . .Câu 23. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A , AB AC 4a; BC 6a .Hình = = = chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ( ABC ) nằm trong tam giác ABC . Các mặt bên của hình chóp cùng tạo với đáy góc 600 . Tính thể tích khối chóp S . ABC . A. 6a 3 3 . B. a 3 3 . C. 8a 3 3 . D. 3a 3 3 . Câu 24. Cho hình nón đỉnh I , đường cao IO ( O là tâm của đáy) và có độ dài đường sinh bằng 3cm , 3 góc ở đỉnh bằng 60° . Gọi K là điểm thuộc đoạn IO thỏa mãn IO = IK , cắt hình nón bằng 2 Trang 3/7 – Mã đề thi 123
mặt phẳng ( P ) qua K và vuông góc với IO , khi đó thiết diện tạo thành có diện tích là S . Tính S . π 2π A. S = ( cm 2 ) . 3 B. S = π cm 2 . ( ) ( C. S = 3π cm 2 . ) D. S = 3 ( cm2 ) . Câu 25. Cho F ( x ) = x 2 là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) e 2 x . Tìm nguyên hàm của hàm số f ' ( x ) e2 x . A. ∫ f '( x) e dx = x 2 + 2 x + C . B. ∫ f ' ( x ) e 2 x dx =x 2 + 2 x + C . 2x −2 − C. ∫ f ' ( x ) e 2x dx = x 2 + x + C . − D. ∫ f ' ( x ) e 2 x dx = 2 x 2 − 2 x + C . 1 x Câu 26. Có bao nhiêu số thực a để ∫a+x 0 2 dx = 1 . A. 2 B. 1 C. 0 D. 3 Câu 27. Số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ −2022; 2022] để phương trình ( m + 1) sin 2 x − sin 2 x + cos 2 x = 0 có nghiệm là: A. 4045 . B. 4044 . C. 2023 . D. 2024 . Câu 28. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy và SA = a 3 . Gọi α là góc giữa SD và ( SAC ) . Giá trị sin α bằng 2 2 3 2 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 3 Câu 29. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số 3 4 9 2 y= x − x + ( 2m + 15 ) x − 3m + 1 đồng biến trên khoảng ( 0; +∞ ) ? 4 2 A. 2. B. 3. C. 5. D. 4. Câu 30. Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + m , với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị. Tổng tất cả các phần tử của tập S là A. 3 B. 10 C. 6 D. 5 Câu 31. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f ( x) + m =có 5 nghiệm 0 phân biệt là A. ( −2; −1] . B. [ −1; 2 ) . C. ( −2; −1) . D. ( −2;1) . Câu 32. Cho hình chóp đều đỉnh S có đáy là đa giác đều 8 cạnh. Một hình nón đỉnh S có đáy là đường tròn ngoại tiếp đáy hình chóp. Tính tỉ số thể tích của khối nón và khối chóp tương ứng. Trang 4/7 – Mã đề thi 123
π π π 2π A. . B. . C. . D. . 3 2 2 2 3 3 4 x −1 − x2 + 2 x + 6 Câu 33. Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = là x2 + x − 2 A. 3 . B. 2 . C. 1 . D. 0 . a+b 3 a Câu 34. Gọi x0 = với ( a, b, c ∈ N , tối giản) là một nghiệm lớn hơn 1 của phương trình c c  1 1 1− x   ( ) 2x  3 x −  3 + 1 = 2 x 2 − 1 . Giá trị của P = a + b + c là    A. P = 6 . B. P = 0 . C. P = 2 . D. P = 4 . Câu 35. Cho các hàm số f ( x ) , f1 ( x ) , f 2 ( x ) , … thỏa mãn: ex + 1 1 ( x) f= f= ln( x) ; f n +1 (= f ( f n ( x) ) , ∀n 1; 2;3;… x) = ex −1 Khẳng định nào sau đây đúng? A. f 2023 ( ln 2 ) = ln 2 . B. f 2023 ( ln 3) = ln 4 . C. f 2023 ( ln 2 ) = ln 3 . D. f 2023 ( ln 3) = ln 3 . Câu 36. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình ( x − 1) .log ( e − x + m ) = − 2 có 2 nghiệm x thực phân biệt A. Vô số. B. 11. C. 9. D. 10. = =  Câu 37. Cho hình hộp đứng ABCD. A1 B1C1 D1 có cạnh AB AD 2 , AA1 = 3 và góc BAD 60° . = Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh A1 D1 và A1 B1 . Tính thể tích V của khối chóp A.BDMN . 5 3 A. V = . B. V = . C. V = 4 . D. V = 2 . 2 2 Câu 38. Một con quạ đang khát nước. Nó bay rất lâu để tìm nước nhưng chẳng thấy một giọt nước nào. Mệt quá, nó đậu xuống cành cây nghỉ. Nó nhìn quanh và bỗng thấy một cái bình hình trụ có bán kính đáy là 2 cm , chiều cao 21cm ở dưới một gốc cây. Trong bình đang có một ít nước, khoảng cách giữa đáy cốc và mặt nước là 12 cm (Hình vẽ). Nhìn chung quanh, quạ thấy những viên đá nhỏ nằm lay lắt ở gần đấy. Lập tức, nó dùng mỏ gắp một viên đá hình cầu có bán kính 0, 6 cm thả vào bình. Cứ như vậy, nó gắp những viên đá khác và tiếp tục thả vào bình. Giả sử các viên đá đều là hình cầu có bán kính 0, 6 cm Chẳng bao lâu, nước đã dâng lên. Để uống được nước thì con quạ cần thả vào bình ít nhất bao nhiêu viên đá biết rằng quạ muốn uống được nước trong cốc thì mặt nước phải cách miệng cốc không quá 6 cm ? Trang 5/7 – Mã đề thi 123
A. 42 . B. 41 . C. 30 . D. 27 . Câu 39. Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 9 , khối chóp có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu ? A. 576 2 . B. 144 . C. 576 . D. 144 6 . ( ) Câu 40. Xét hàm số f ( x ) liên tục trên [ 0;1] và thỏa mãn điều kiện 4 x. f x 2 + 3 f (1 − x ) = 1 − x 2 . 1 Tích phân I = ∫ f ( x ) dx bằng: 0 π π π π A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 20 16 6 4 3x 4 + x 2 − 1 2 1 2022 1b  b Câu 41. Cho f ( x ) ≠ 0 , f ′ ( x ) = x 2 . f ( x ) , f (1) = − . Xét S 3 = ∑ f= (k ) k =1  − 1 với 2a  a tối giản. Tính a + b . A. 4092530 . B. 4090507 . C. 4088485 . D. 4086463 . Câu 42. Một bàn cờ vua gồm 88 ô vuông, mỗi ô có cạnh bằng 1 đơn vị. Một ô vừa là hình vuông hay hình chữ nhật, hai ô là hình chữ nhật,… Chọn ngẫu nhiên một hình chữ nhật trên bàn cờ. Xác suất để hình được chọn là một hình vuông có cạnh lớn hơn 4 đơn vị bằng 5 17 51 29 A. . B. . C. . D. . 216 108 196 216 Câu 43. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O , AB = a , BC = a 3 . Tam giác ASO cân tại S , mặt phẳng ( SAD ) vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) , góc giữa SD và ( ABCD ) bằng 60° . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC bằng a 3 3a a 3a A. . B. . C. . D. . 2 2 2 4 Trang 6/7 – Mã đề thi 123
Câu 44. Cho hàm số y = ax3 − x 2 + bx − 1 với a, b là các số thực, a ≠ 0 , a ≠ b sao cho đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 5a 2 − 3ab + 2 P= . a2 (b − a ) A. 15 3. B. 8 2. C. 11 6. D. 12 3. Câu 45. Cho hàm số f ( x ) =x − 6 x + 9 x . Đặt f 3 2 k ( x) = f(f k −1 ( x )) với k là số tự nhiên lớn hơn 1 . Hỏi phương trình f 9 ( x ) = 0 có bao nhiêu nghiệm? A. 19684 . B. 9841 . C. 19683 . D. 9842 . 1 Câu 46. Cho x; y ∈  , ( x ≥ 0 ) thỏa mãn: 2021x +3 y + 2021xy +1 + x + 1 2021− xy −1 + = − y ( x + 3) . 2021x +3 y Tìm giá trị nhỏ nhất của T= x + 2 y . 2 2 A. . B. −1 . C. − . D. 1 . 3 3 x2 Câu 47. Số nghiệm của phương trình + x − ln ( x 2 − 2 ) =2022 là 2 A. 3 . B. 1 . C. 4 . D. 2 . x+ y Câu 48. Xét các số thực dương x, y thỏa mãn log = x ( x − 3) + y ( y − 3) + xy . Tìm 3 x + y 2 + xy + 2 2 3x + 2 y + 1 giá trị lớn nhất của P = . x+ y+6 A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 Câu 49. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành. Góc tạo bởi mặt bên ( SAB ) với đáy bằng α . Tỉ số diện tích của tam giác SAB và hình bình hành ABCD bằng k . Mặt phẳng ( P ) đi qua AB và chia hình chóp S . ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau. Gọi ( β ) là góc tạo bởi mặt phẳng ( P ) và mặt đáy. Tính cot β theo k và α . 5 +1 5 +1 A. cot β cot α + = B. cot β tan α + = k sin α k sin α 5 −1 5 −1 C. cot β cot α + = D. cot β tan α + = k sin α k sin α Câu 50. Cho tứ diện ABCD có thể tích là V . Điểm M thay đổi trong tam giác BCD . Các đường thẳng qua M và song song với AB , AC , AD lần lượt cắt các mặt phẳng ( ACD ) , ( ABD ) , ( ABC ) tại N , P , Q . Giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện MNPQ là V V V V A. . . B. C. . D. . 27 16 8 54 ………………………HẾT……………………. Trang 7/7 – Mã đề thi 123
BẢNG ĐÁP ÁN Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ĐA A B B A A C B C B C A B D Câu 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 ĐA B A A B B A B A D D B A B Câu 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 ĐA D A D C A B C D C D B A C Câu 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 ĐA A B A D D D C C B A A Xem thêm: ĐỀ THI HSG TOÁN 12 https://toanmath.com/de-thi-hsg-toan-12
Câu 1. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số chẵn?   A. y  s in  x   .   B. y  sin x . C. y  sin x  tan x . D. y  sin x.cos x   2  Lời giải Chọn A     Ta có y  s in  x    cos x nên y  s in  x   là hàm số chẵn.        2    2 Câu 2. Một học sinh có 4 quyển sách Toán khác nhau và 5 quyển sách Ngữ văn khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 9 quyển sách trên giá sao cho hai quyển sách kề nhau phải khác loại ? A. 20 . B. 2880 . C. 362880 . D. 5760 . Lời giải Chọn B Để xếp 9 quyển sách trên giá sao cho hai quyển sách kề nhau phải khác loại, ta làm như sau: Xếp 5 quyển sách Ngữ văn cạnh nhau có 5!  120 cách. Giữa 5 quyển sách Ngữ văn trên có 4 chỗ trống, xếp 4 quyển sách Toán vào 4 chỗ trống đó có 4!  24 cách. Theo quy tắc nhân có 120.24  2880 cách sắp xếp thỏa điều kiện đề bài. Câu 3. Cho cấp số cộng ( un ) với u1 = 6 ; d = 9 . Khi đó số 2022 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số? A. 226 . B. 225 . C. 223 . D. 224 . Lời giải Chọn B Ta có: un = u1 + ( n − 1) d ⇔ 2022 =6 + ( n − 1) .9 ⇔ n = . 225 Câu 4. Tìm m để hàm số y = m − 1) x 4 + ( 2m − 1) x 2 + 1 có đúng 3 điểm cực trị. ( 1 1 1 1 A. < m
1 2 3 98 99 I= ln + ln + ln + ... + ln + ln 2 3 4 99 100  1 2 3 98 99  1 −2 = ln  . . ... .= ln = ln10  2 3 4 99 100  100 =ln10 =( ln 2 + ln 5) =( a + b ) . −2 −2 −2 Câu 6. Lăng trụ đứng có đáy là hình thoi có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 2. B. 9. C. 3. D. 5. Lời giải Lăng trụ đứng có đáy là hình thoi có tất cả 3 mặt phẳng đối xứng (Hình vẽ). Câu 7. Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2a , vẽ tia Ax về phía điểm B sao cho điểm B luôn cách tia Ax một đoạn bằng a . Gọi H là hình chiếu của B lên tia Ax , khi tam giác AHB quay quanh trục AB thì đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt tròn xoay có diện tích xung quanh bằng: A. 3 2π a 2 . B. (3 + 3 )π a 2 . C. (1 + 3 ) π a 2 . D. ( 2 + 2 )π a 2 . 2 2 2 2 Lời giải A H I x B Xét tam giác AHB vuông tại H . Ta có AH = AB 2 − HB 2 = a 3 AH .HB a 3.a a 3 Xét tam giác AHB vuông tại H , HI ⊥ AB tại I ta có HI = = = AB 2a 2 Khi tam giác AHB quay quanh trục AB thì đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt tròn xoay (có diện tích xung quanh là S ) là hợp của hai mặt xung quanh của hình nón (N1) và (N2). Trong đó:
(N1) là hình nón có được do quay tam giác AHI quanh trục AI có diện tích xung quanh là a 3 3π a 2 S1 = π.HI.AH = π . .a 3 = 2 2 (N2) là hình nón có được do quay tam giác BHI quanh trục BI có diện tích xung quanh là a 3 3π a 2 S 2 = π.HI.BH = π . .a = 2 2 ⇒ S = S1 + S 2 = 3π a 2 + 3π a 2 = ( 3 + 3 π a2 . ) 2 2 2 Câu 8. Cắt hình trụ (T ) bằng một mặt phẳng đi qua trục được thiết diện là một hình chữ nhật có diện tích bằng 30cm 2 và chu vi bằng 26 cm . Biết chiều dài của hình chữ nhật lớn hơn đường kính mặt đáy của hình trụ (T ) . Diện tích toàn phần của (T ) là: 23π 69π ( ) A. 23π cm 2 . B. 2 ( cm2 ) . C. 2 ( cm2 ) . ( ) D. 69π cm 2 . Lời giải Chọn C Gọi h, r lần lượt là đường cao và bán kính đáy của hình trụ (T ) . Thiết diện của mặt phẳng và hình trụ (T ) là hình chữ nhật ABCD . Khi đó theo giả thiết ta có     h > 2r  h > 2r  h > 2r  h > 2r      S ABCD =h.2r =30 ⇔ hr =15 ⇔ h =13 − 2r ⇔ h =13 − 2r   13   C ABCD = 2(h + 2r ) = 26 h + 2r = −2r + 15r − 15 =   r = 5 ⇒ h = 3(l ) 2 0  3    r = 2 ⇒ h = 10(TM )  Vậy . 1  2 Câu 9. f ′( x) Cho hàm số f ( x) xác định trên  \   thỏa mãn = ,= 1, f (1) 2 . Giá trị f ( 0) = 2 2x −1 của biểu thức f ( −1) + f ( 3) bằng
A. 2 + ln15 B. 3 + ln15 C. ln15 D. 4 + ln15 Lời giải Chọn C 2 ∫ 2 x − 1 dx ln 2 x − 1 += f ( x ) = C 1 Với x < , f ( 0 ) = 1 ⇒ C = 1 nên f ( −1) = + ln 3 1 2 1 Với x > , f (1) =2 ⇒ C =2 nên f ( 3)= 2 + ln 5 2 Nên f ( −1) + f ( 3) = 3 + ln15 m ∫ ( 3x − 2 x + 1) dx = Giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây? 2 Câu 10. Cho 6. 0 A. ( −1; 2 ) . B. ( −∞ ;0 ) . C. ( 0; 4 ) . D. ( −3;1) . Lời giải Chọn C m ∫ ( 3x − 2 x + 1) dx = ( x3 − x 2 + x ) = m3 − m 2 + m . m 2 Ta có: 0 0 m ∫ ( 3x − 2 x + 1) dx = m3 − m 2 + m − 6 = 0 ⇔ m = 2 ∈ ( 0; 4 ) . 2 6⇔ 0 Vậy m= 2 ∈ ( 0; 4 ) . Câu 11. Có bao nhiêu cách phân công 4 thầy giáo dạy toán vào dạy 12 lớp 12, mỗi thầy dạy đúng 3 lớp ? A. 369600 B. 396900 C. 220 D. 369000 Lời giải Chọn A Giáo viên thứ nhất có C12 cách chọn. 3 Giáo viên thứ hai có C93 cách chọn. Giáo viên thứ ba có C63 cách chọn. Giáo viên thứ tư có C33 cách chọn. Vậy số cách phân công 4 thầy giáo vào dạy 12 lớp 12 là: C12 .C9 .C6 .C3 = 369600 cách 3 3 3 3 x4 + x2 + 2 Câu 12. Giới hạn lim có kết quả là : x →+∞ ( x3 + 1) ( 3x − 1) 3 3 A. − 3 B. C. 3 D. − 3 3 Lời giải Chọn B
 1 2  1 2 4 2 x 4 1 + 2 + 4  1 + 2 + 4  x +x +2  x x   x x  3 Ta có: = lim= lim lim = . x →+∞ ( x + 1) ( 3x − 1) 3 x →+∞  1  1 x 4 1 + 3   3 −  x →+∞  1  1 1 + 3   3 −  3  x  x  x  x Câu 13. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA OB OC . Gọi M = = là trung điểm của BC (tham khảo hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai đường thẳng OM và AB bằng A. 450 B. 900 C. 300 D. 600 Lời giải Chọn D Đặt OA = a suy ra OB OC a và AB BC AC a 2 = = = = = a 2 Gọi N là trung điểm AC ta có MN / / AB và MN = 2    Suy ra góc ( OM , AB ) = ( OM , MN ) . Xét OMN a 2 Trong tam giác OMN có ON OM MN = = = nên OMN là tam giác đều 2  =   OM , MN ) Suy ra OMN = 600 . Vậy ( OM , AB ) (= 600 Câu 14. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm y = f ′ ( x ) như hình vẽ bên dưới.
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng A. ( −∞ ; − 2 ) . B. ( −2;1) . C. ( −∞ ; − 4 ) . D. ( −2;3) . Lời giải Chọn B Từ đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) ta thấy ngay hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −2;1) . Câu 15. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x3 − 3 x + m nhỏ hơn hoặc bằng 5. A. 5. B. 2. C. 11. D. 4. Lời giải Chọn A x = 1 y = x3 − 3 x + m ; = 3 x 2 − 3 ; y′= 0 ⇔  y′ .  x = −1 ⇒ Với mọi m phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt và y′ đổi dấu khi qua hai nghiệm. ⇒ Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị với mọi m . Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là: y =2 x + m ( ∆ ) . − m Khoảng cách từ O tới đường thẳng ∆ là d ( O; ∆ ) = . 5 m Theo bài ra ta có: d ( O, ∆ ) ≤ 5 ⇔ ≤ 5 ⇔ m ≤ 5 ⇔ −5 ≤ m ≤ 5. 5 Vì m nguyên dương nên m ∈ {1; 2;3; 4;5} . Câu 16. Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y= x − 2 x trên đoạn [0;9] lần lượt là m và M . Giá trị của tổng m + M bằng A. 2. B. 3. C. 0. D. 1. Lời giải Chọn A 1 Đạo hàm y ' 1 − = ; ∀x ∈ ( 0;9]  y ' 0 ⇔ = 1 ∈ [ 0;9] . → = x x  f ( 0) = 0 m = min f ( x ) = −1   [0;9] Ta có  f (1) −1   = →  m + M= 2. →  = max f ( x ) 3  M =  f (9) = 3  [0;9]
ax + 1 Câu 17. Cho hàm số y = ( a, b, c là các tham số) có bảng biến thiên như hình vẽ bx + c Xét các phát biểu sau: (1) : c > 1. ( 2 ) : a + b < 0. ( 3) : a + b + c = 0. ( 4 ) : a > 0. Số phát biểu đúng là A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải Chọn B Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 2 và tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1 nên ta có hệ   c   −b = 2   −2b  c= c=  −2b  0 < c 0  1  − 2 < b < 0   a + b + c =0 Dựa vào hệ trên ta có các phát biểu (1) , ( 4 ) là sai, ( 2 ) , ( 3) đúng. Câu 18. Đặt log 3 2 = a khi đó log16 27 bằng 3a 3 4 4a A. B. C. D. 4 4a 3a 3 Lời giải Chọn B 3 3 3 Ta có log16 27 = log 2 3 = = 4 4.log 3 2 4a Câu 19. Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn log 2  x 2  y 2   1  log 2 xy . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. x  y . B. x  y . C. x  y . D. x  y 2 . Lời giải Chọn A
Với x , y  0 ta có: log 2  x 2  y 2   1  log 2 xy  log 2  x 2  y 2   log 2 2 xy .  x 2  y 2  2 xy .  x y. a ( m + nb ) Câu 20. Đặt a = log 2 3 ; b = log 5 3 . Nếu biểu diễn log 6 45 = thì m + n + p bằng b (a + p) A. 3 B. 4 C. 6 D. −3 Lời giải Chọn B 1 2+ Ta có log 6 45 = log 3 45 log 3 9 + log 3 5 = = = b a ( 2b + 1) log 3 6 log 3 2 + log 3 3 1 + 1 b (1 + a ) a Suy ra m =1, n = 2, p =1 ⇒ m + n + p = 4 Câu 21. Một hình đa diện lồi có số mặt M , số đỉnh D và số cạnh C . Khi đó, hệ thức nào dưới đây là đúng ? A. D + M − C = 2 B. D + C − M = 2 C. M + C − D = 2 D. M + D = C Lời giải Chọn A Câu 22. Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều ABC. A′B′C ′ có AC ′ = 5a , cạnh đáy là 4a . A. V = 12a 3 . B. V = 20a 3 3 . C. V = 20a 3 . D. V = 12a 3 3 . Lời giải Chọn D A' C' B' 5a A 4a C B Vì ABC. A′B′C ′ là lăng trụ tam giác đều nên ta có CC ′ ⊥ ( ABC ) và ∆ ABC đều cạnh là 4a . 1 2 3 Do đó: CC ′ = 25a 2 − 16a 2 = 3a = ; S ∆ABC = 4a 2 3 ( 4a ) 2 2 VABC . A′B′C ′ CC ′.S∆ABC 3= 12a 3 3 . = = a.4a 2 3 Câu 23. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A , AB AC 4a; BC 6a .Hình = = = chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ( ABC ) nằm trong tam giác ABC . Các mặt bên của hình chóp cùng tạo với đáy góc 600 . Tính thể tích khối chóp S . ABC . A. 6a 3 3 . B. a 3 3 . C. 8a 3 3 . D. 3a 3 3 . Lời giải Chọn D
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng ( ABC ) , M , N , P lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm H lên AB, BC , CA . Khi đó ta có ∆SHM = =∆SHN ∆SHP Suy ra HM HN HP = = Suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC S ∆ABC = 63a 2 S ∆ABC 63 HN = = a p 7 3 21 SH = a 7 Câu 24. Cho hình nón đỉnh I , đường cao IO ( O là tâm của đáy) và có độ dài đường sinh bằng 3cm , 3 góc ở đỉnh bằng 60° . Gọi K là điểm thuộc đoạn IO thỏa mãn IO = IK , cắt hình nón bằng 2 mặt phẳng ( P ) qua K và vuông góc với IO , khi đó thiết diện tạo thành có diện tích là S . Tính S. π 2π A. S = 3 ( cm ) . 2 ( ) B. S = π cm 2 . ( C. S = 3π cm 2 . ) D. S = 3 ( cm2 ) . Lời giải Chọn B I 30° 3 cm K M O N Thiết diện tạo thành là đường tròn tâm K , bán kính KM . 2 2 1 Ta có:= = . = 1 . Diện tích thiết diện là: S π= π cm 2 KM 3 .ON 3 2 .IN = .KM 2 ( ) 1 3 21 = = 3 3a 3 . VS . ABC 63a 2 . a 3 7
Câu 25. Cho F ( x ) = x 2 là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) e 2 x . Tìm nguyên hàm của hàm số f ' ( x ) e2 x . A. ∫ f '( x) e dx = x 2 + 2 x + C . B. ∫ f ' ( x ) e 2 x dx =x 2 + 2 x + C . 2x −2 − C. ∫ f ' ( x ) e 2x dx = x 2 + x + C . − D. ∫ f ' ( x ) e 2 x dx = 2 x 2 − 2 x + C . Lời giải Chọn A F ( x ) = x 2 là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) e 2 x ⇒ F = f ( x).e 2 x ⇒ 2 x f ( x).e 2 x ⇒ ∫ f ( x).e 2= x 2 + C1 '( x) = x dx Đặt u = e= 2e 2 x dx 2x du  ⇒ = f= f ( x) dv '( x)dx v ⇒ ∫ f '( x).e 2 x dx = x).e 2 x − 2.∫ f ( x).e 2 x dx + C2 = x 2 + 2 x + C f( −2 1 x Câu 26. Có bao nhiêu số thực a để ∫a+x 0 2 dx = 1 . A. 2 B. 1 C. 0 D. 3 Lời giải Chọn B  a < −1 Điều kiện tích phân tồn tại là a + x 2 ≠ 0, ∀x ∈ [ 0;1] ⇒  a > 0 Đặt t =a + x 2 ⇒ dt =2 xdx . Khi đó  1 1 x 1 dt 1 1 + a 1+ a 1 + a = a e a = e2 − 1 2 ∫ a + x 2 dx =ln a = −e2 a ⇔  ∫ t = 1 ⇔ 1 + a = 2 a 2  a = −1 0    e2 + 1 1 So sánh điều kiện ta được a = 2 . e −1 Câu 27. Số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ −2022; 2022] để phương trình ( m + 1) sin 2 x − sin 2 x + cos 2 x = 0 có nghiệm là: A. 4045 . B. 4044 . C. 2023 . D. 2024 . Lời giải Chọn D Ta có: 1 − cos 2 x ( m + 1) sin 2 x − sin 2 x + cos 2 x = m + 1) 0 ⇔( − sin 2 x + cos 2 x = 0 2 1− m −m − 1 ⇔ − sin 2 x + cos 2 x = . 2 2 Điều kiện để phương trình a sin x + b cos x = c có nghiệm là a 2 + b 2 ≥ c 2 ứng với phương trình trên ta được 2 2  1 − m   −m − 1  1 − 2m + m 2 m 2 + 2m + 1 1+   ≥  ⇔ 1+ ≥ ⇔ 4m ≤ 4 ⇔ m ≤ 1 .  2   2  4 4
Vậy các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ −2022; 2022] thỏa mãn là {−2022;...; −1;0;1} vậy có 2024 số. Câu 28. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy và SA = a 3 . Gọi α là góc giữa SD và ( SAC ) . Giá trị sin α bằng 2 2 3 2 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 3 Lời giải  DO ⊥ AC  Gọi = AC ∩ BD . Ta có:  O ⇒ DO ⊥ ( ABCD ) .  DO ⊥ SA ( SA ⊥ ( ABCD ) )    DSO = ⇒ SO là hình chiếu của SD lên mặt phẳng ( SAC ) ⇒ ( SD; ( SAC ) ) = ) = α . ( SD; SO  Xét ∆SAD vuông tại A : SD= 3a 2 + a 2= 2a . a 2  DO = 2 . Xét ∆SOD vuông tại O : có SD = 2a , OD = ⇒ sin α =sin DSO = 2 SD 4 3 4 9 2 Câu 29. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y = x − x + ( 2m + 15 ) x − 3m + 1 4 2 đồng biến trên khoảng ( 0; +∞ ) ? A. 2. B. 3. C. 5. D. 4. Lời giải Yêu cầu bài toán ⇔ = 3 x3 − 9 x + 2m + 15 ≥ 0 ∀x ∈ ( 0; +∞ ) và dấu bằng xảy ra tại hữu hạn y′ điểm thuộc ( 0; +∞ ) ⇔ 3 x 3 − 9 x + 15 ≥ −2m ∀x ∈ ( 0; +∞ ) . Xét hàm số: g ( x) = 3 x 3 − 9 x + 15 trên ( 0; +∞ ) . Ta có: g ′(= 9 x 2 − 9 x)  x =1 g′ ( x) = 0 ⇒  .  x = −1 (l ) Bảng biến thiên:
9 Từ BBT ta có: −2m ≤ 9 ⇔ m ≥ − 2 Vậy m ∈ { − 4; − 3; − 2; − 1} . Câu 30. Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + m , với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị. Tổng tất cả các phần tử của tập S là A. 3 B. 10 C. 6 D. 5 Lời giải: Xét hàm số g ( x) =x 3 − 3 x 2 + m có đồ thị như hình vẽ. Để đồ thị hàm số y = x3 − 3 x 2 + m có 5 điểm cực trị thì −4 + m 0 ⇔ 0 < m < 4 . Do đó S = {1;2;3}, tổng tất cả các giá trị của S là 6 . (x − 3x 2 + m ) , 2 Cách khác: y = x3 − 3 x 2 + m = 3 y' = (x 3 − 3 x 2 + m )( 3 x 2 − 6 x ) . (x − 3x + m ) 3 2 2 Đồ thị hàm số đã cho có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có 5 nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu qua 5 nghiệm đó, điều này tương đương với x3 − 3 x 2 + m có ba nghiệm phân biệt khác 0 và 2 . Câu 31. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f ( x) + m =có 5 nghiệm phân 0 biệt là A. ( −2; −1] . B. [ −1; 2 ) . C. ( −2; −1) . D. ( −2;1) . Lời giải Từ bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) .Ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x )