Đề thi Olympic Toán sinh viên 2006

H I TOÁN TRUY N TH NG NĂM 2006 Đ THI OLIMPIC TOÁN Môn thi: Gi i tích<br /> <br /> Th i gian làm bài: 180’<br /> <br /> Câu 1: V i m i n ∈ N, cho un =<br /> 4n n4 +2n2 +9 .<br /> <br /> Đ t<br /> <br /> Sn = u1 + u2 + ... + un . Tìm lim Sn .<br /> n→∞<br /> <br /> Câu 2: Cho f là m t hàm có đ o hàm liên t c đ n c p 2 trên (a, b). Gi s có M > 0 đ |f (x)| ≤ M v i m i x ∈ (a, b). Ch ng minh r ng f là liên t c đ u trên (a, b). Câu 3: Cho f : − π , π → (−1, 1) là m t hàm s kh vi, f không âm và liên t c. 2 2 Ch ng minh r ng t n t i x0 ∈ − π , π sao cho 2 2 (f (x0 ))2 + (f (x0 ))2 < 1. Câu 4: Cho hàm f liên t c trên R th a mãn f (0) = 0 và |f (x) − f (y)| ≤ | sin x − sin y|, x, y ∈ R. Ch ng minh r ng<br /> π 2<br /> <br /> f (x)2 − f (x) dx ≤<br /> 0<br /> <br /> π + 1. 4<br /> <br /> Tìm t t c các hàm f đ đ ng th c x y ra. Câu 5: Cho hàm f kh vi đ n c p 2 trên [a, b] và f (a) = f (b) = 0. Ch ng minh r ng t n t i c ∈ (a, b) sao cho 4 |f (c)| ≥ |f (b) − f (a)|. (b − a)2<br /> 1<br /> <br /> ĐÁP ÁN Câu 1: Ta có un = 1 1 1 1 − 2 = − , n ∈ N. n2 − 2n + 3 n + 2n + 3 (n − 1)2 + 2 (n + 1)2 + 2<br /> 1 x2 +2<br /> <br /> Đ t ϕ(x) =<br /> <br /> thì un = ϕ(n − 1) − ϕ(n + 1). Do đó v i n ≥ 2,<br /> <br /> Sn = ϕ(0) − ϕ(2) + ϕ(1) − ϕ(3) + ... + ϕ(n − 1) − ϕ(n + 1) = ϕ(0) + ϕ(1) − ϕ(n + 1) − ϕ(n) 1 1 1 1 = + − − 2 . 2 3 (n + 1)2 + 2 n + 2 T đó ta có lim Sn = 5 . 6<br /> n→∞<br /> <br /> Câu 2: C đ nh x0 ∈ (a, b). Theo đ nh lý Lagrange, v i m i x ∈ (a, b) \ {x0 } t n t i cx ∈ (a, b) sao cho f (x) − f (x0 ) = f (cx)(x − x0 ). Do đó |f (x)| ≤ |f (x) − f (x0 )| + |f (x0 )| ≤ M |x − x0 | + |f (x0 )| ≤ M (b − a) + |f (x0 )|. Đ t K = M (b − a) + |f (x0 )| > 0, ta có |f (x)| ≤ K v i m i x ∈ (a, b). Lúc đó v i x, x ∈ (a, b), d th y |f (x) − f (x )| ≤ K|x − x |. V i ε > 0 tùy ý cho trư c, ch n δ = V y f liên t c đ u trên (a, b). Câu 3: Xét hàm s g(x) = arcsin(f (x)). Khi đó g : − π , π → − π , π liên t c trên 2 2 2 2 − π , π , kh vi trên − π , π . Theo đ nh lý Largange, t n t i x0 ∈ − π , π sao 2 2 2 2 2 2 cho π π g( ) − g(− ) = 2 2 f (x0 ) .π. 1 − (f (x0 ))2<br /> ε . K<br /> <br /> N u |x − x | < δ thì |f (x) − f (x )| < ε.<br /> <br /> Theo gi thi t, v trái không âm và v ph i nh hơn π. Vì v y 0≤ f (x0 ) < 1. 1 − (f (x0 ))2<br /> 2<br /> <br /> T đây d dàng nh n đư c (f (x0 ))2 + (f (x0 ))2 < 1. Câu 4: V i m i x ∈ R, ta có |f (x)| = |f (x) − f (0)| ≤ | sin x − sin 0| = | sin x| và |f (x)2 − f (x)| = |f (x)||f (x) − 1| ≤ | sin x|(| sin x| + 1). V y<br /> π 2 π 2<br /> <br /> f (x)2 − f (x) dx ≤<br /> 0 0<br /> <br /> sin x(sin x + 1) =<br /> <br /> π + 1. 4<br /> <br /> Đ ng th c x y ra khi và ch khi f liên t c trên R và v i m i x ∈ [0, π ], 2 |f (x)| = sin x và |f (x)−1| = sin x+1, t c là f liên t c trên R và f (x) = − sin x trên [0, π ]. 2 Câu 5: Áp d ng khai tri n Taylor c a hàm f đ n c p 2 t i a và b ta có: f và f a+b 2 f (x2 ) = f (b) + 2! . Do đó 1 . |f (x2 ) − f (x1 )| ≤ 2 b−a 2<br /> 2<br /> <br /> a+b 2<br /> <br /> f (x1 ) = f (a) + 2!<br /> <br /> b−a 2 b−a 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> ,<br /> <br /> v i x1 ∈ a, a+b và x2 ∈ 2 |f (b) − f (a)| =<br /> <br /> a+b ,b 2 2<br /> <br /> b−a 2<br /> <br /> |f (c)|,<br /> <br /> trong đó |f (c)| = max{|f (x1 )|, |f (x2 )|} (c = x1 ho c c = x2 ). V y t n t i c ∈ (a, b) sao cho |f (c)| ≥ 4 |f (b) − f (a)|. (b − a)2<br /> <br /> 3<br /> <br />