Đề thi sinh viên giỏi toán năm 2010 vòng chung khảo

Chia sẻ: Ly Tran Hiep | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

82
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi sinh viên giỏi toán năm 2010 tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên trong quá trình học tập, ôn thi kiểm tra: Câu 1. Cho A là ma trận vuông cấp 2011 và |A| = 2010. Tính |A*|, trong đó A* là ma trận phù hợp của A.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi sinh viên giỏi toán năm 2010 vòng chung khảo

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI -------------* *------------- ĐỀ THI SINH VIÊN GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2010-2011 (Vòng chung khảo) Thời gian làm bài: 150 phút -------------------------- Câu 1. Cho A là ma trận vuông cấp 2011 và |A| = 2010. Tính |A*|, trong đó A* là ma trận phù hợp của A. Câu 2. Tìm giới hạn sau: + tan + 3 lim 1 + 2 sin − cos → Câu 3. Tìm m để ma trận sau có hạng nhỏ nhất: −2 −1 3 1 4 1 −3 = −1 3 5 0 −2 1 3 Câu 4. Xét sự khả vi của hàm số sau: & ! " = # $ ' (ℎ ≠ 0 + % 0 (ℎ = 0 tại điểm x = 0. 2 &+3 −2 0+ 1+4 2 =6 Câu 5. Giải hệ phương trình tuyến tính / 3 +2 − + +3 =7 - & 0 1 2 4 & + 5 − 3 0 + 2 1 + 5 2 = 11+ . 2 & − 2 + 0 − 1 −2 2 = 3 - , 2 & + + 2 0 − 2 2 = 5 ----------&&----------
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI -------------* *------------- ĐỀ THI SINH VIÊN GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2011-2012 (Vòng chung khảo) Thời gian làm bài: 150 phút -------------------------- 2010 2011 Câu 1. Có tồn tại ma trận thỏa mãn: =5 6 & 2012 0 hay không? Tại sao? arctan + + Câu 2. Tính giới hạn sau: 0 lim 89 − $ : → không gian ; < : Câu 3. Xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của hệ véctơ sau trong =& = !0, … ,0,1"; = = !0, … ,2,1"; … ; =< = ! , … ,2,1" Câu 4. Cho ! " là hàm khả vi đến cấp 2 trên R. Chứng minh rằng !2012" > 2012 biết rằng !0" = 0, ′!0" = 1 và CC ! " ≥ 0, ∀ ∈ G. 3 & + − 2 0 + 3 1 = −1 Câu 5. Giải hệ phương trình sau: + 3 − 2 0 − 2 1 = 1 + H& 2 & − 4 + 0 + 3 1 = −3 − & − + 0 + 2 1 = 0 ----------&&----------
HƯỚNG DẪN GIẢI NĂM 2010 – 2011 Câu 1. Do |A| = 2010 ≠ 0 nên A khả nghịch. = |J| ⇒ = 2010. ⇒| | = 2010 .| | & %& ∗ ∗ %& ∗ && %& Ta có: Mà A.A-1 = E suy ra |A|.|A-1| = 1 suy ra |A-1 = 1/|A| = 1/2010 Suy ra |A*| = 20102010. Câu 2. Do sin2x ~ tanx2 ~ x2 khi x → 0 1 – cosx = 2sin2 (x/2) ~ x2/2 khi x → 0 + tan + 3 3 3 nên lim = lim = 1 + 2 sin − cos 2 sin 2 → → −2 −1 3 1 1 −1 3 −2 1 −1 3 −2 Câu 3. Biến đổi ma trận A 4 1 −3 −3 41 0 1 10 −6 = → → −1 3 5 0 0 3 5 −1 0 0 −25 17 − 3 −2 1 3 3 1 −2 0 0 − 49 28 − 4 Do P&, = −25 ≠ 0 suy ra r(A) ≥ 3 &, ,0 ,0 =7 Dễ thấy với m = 17/3 thì r(A) = 4. Y = % Z√\& + ⇔X Với m ≠ 17/3 ta thấy Q! " = 3 ⇔ = S' %1T U%1S 0 X %2 &V%0S = % %√\& W 0 ` _ ' Câu 4. Xét lim = lim = limb→c = limb→c = lim f ]! "%]! " ^ a' ^ _d b & → → ' ' % &/b ^d b→c b^ d =0 ghi (Với t = 1/x). Vậy f(x) khả vi tại 0. 4|6 Câu 5. Biến đổi ma trận hệ số mở rộng 1 2 3 −2 3 | 7p m3 2 −1 1 j= 4 5 | 11o 5 −3 2 l −2 | 3 2 −2 1 −1 0 −1 | 5 n k2 1 2 về dạng tam giác (nên đổi cột 1 cho cột 4, ẩn cũng đổi tương ứng), thay ẩn, ta được nghiệm duy nhất của hệ: (x1, x2, x3, x4, x5) = (2, 1, 0, -1, 0). ----------&&----------
ĐÁP ÁN &THANG ĐIỂM NĂM 2011 – 2012 ĐÁP ÁN Điểm Giả sử tồn tại ma trận A thỏa mãn bài toán Khi đó | |=| | ≥0 & & 2.5 đ Câu 1 Mặt khác | | = −2011.2012 < 0. Mâu thuẫn & (5 điểm) 2.5 đ Vậy không có ma trận A thỏa mãn bài toán arctan + + arctan + + 0 0 lim = lim 89 −$ 89 −1+1−$ : : → → 1đ Câu 2 arctan + arctan + = lim = −2lim = −4 (3 điểm) −2 sin → → 2 2đ −1 ⋯ 1 0 −1 ⋯ 1r= !≠0 Do | | = r⋯ 0 2đ 0 ⋯ 1 Câu 3 Suy ra Q! " = . Vậy hệ véc tơ đã cho độc lập tuyến tính (3 điểm) 1đ CC! " ≥ 0, ∀ ∈ G ⇒ C! " là hàm đồng biến trên R Do C! "≥ C! 0" = 1 , ∀ ≥ 0 ⇒ 2đ Câu 4 Xét hàm u! " = ! " − . Ta có uC ! " = C! " − 1 ≥ 0 , ∀ ≥ 0 (5 điểm) ⇒ u! " ĐB / [0, +∞" ⇒ u!2012" > u!0" = 0 ⇒ !2012" > 2012 3đ 0 0 00 0 ̅→y 0 2 0 z 1{ −1 7 0 0 0 0 2.5 đ 20 −1 −1 1 Câu 5 Hệ đã cho tương đương: 2 − 0 = 1 = 0 (4 điểm) 1 | 7 1 = 0 + ⇔ | − 1+ 0=2 1.5 đ − &− + 0+2 1 =0 &= − 1