Đề thi thử Đại học lần V năm học 2013-2014 môn Toán (khối B,D) - Trường THPT chuyên Vĩnh Phúc

Chia sẻ: La Minh đức | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

54
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi thử Đại học lần V năm học 2013-2014 môn Toán của Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc dành cho tất cả các bạn học sinh khối B và D. Đề thi gồm có hai phần thi là phần chung và phần riêng với các câu hỏi tự luận có kèm đáp án và hướng dẫn giải chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi thử Đại học lần V năm học 2013-2014 môn Toán (khối B,D) - Trường THPT chuyên Vĩnh Phúc

TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC, LẦN V NĂM HỌC 20132014 Môn: Toán Khối BD. Đề chính thức (Đề thi gồm 01 trang) Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 2x -1 Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) . x - 1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ( C ) 2. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A và B thoả mãn OA = 4 OB . Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình: 2 3 sin 2 x.cos x + 3 sin 2 x + 2 = cos3x + cos 2 x - 3cos x 2 Câu 3 (1,0 điểm). Giải phương trình: ( x + 3)( x - 2 ) = ( x 2 - 5 ) .7 x -1 + ( x - 1) .7 x -5 . ln 3 2e 3 x - e 2 x Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân : I = ò dx . e x . 4e x - 3 + 1 0 Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; SA ^ ( ABCD ) ; AB = SA = 3a; AD = 3a 2 ,( a > 0 ) . Gọi M ,N lần lượt là trung điểm của AD,SC ; I là giao điểm của BM , AC .Chứng minh rằng mặt phẳng ( SBM ) vuông góc với mặt phẳng ( SAC ) và tính thể tích khối tứ diện ABIN Câu 6 (1,0 điểm). Chứng ming rằng với mọi số thực a, b, c , bất đẳng thức sau luôn được thoả mãn (a 2 + ab + b 2 )( b 2 + bc + c 2 )( c 2 + ca + a 2 ) ³ 3 ( a 2 b + b 2 c + c 2 a )( ab 2 + bc 2 + ca 2 ) II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn. Câu 7.a (1,0 điểm).Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,cho tam giác ABC vuông cân tại A ,phương trình BC :2 x - y - 7 = 0 ,đường thẳng AC đi qua điểm M ( - 1;1 ) , điểm A có hoành độ dương nằm trên đường thẳng D : x - 4 y + 6 = 0 .Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC . 2 2 2 Câu 8.a (1,0 đ iểm). Trong không gian toạ độ Oxyz ,cho mặt cầu ( S ) : ( x - 1) + ( y - 2 ) + ( z - 3) = 9 và x - 6 y - 2 z - 2 đường thẳng D : = = .Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua M ( 4;3; 4 ) ,song song - 3 2 2 với đường thẳng D và tiếp xúc với mặt cầu ( S ) . z - 1 2 Câu 9.a (1,0 điểm).Tìm số phức z thoả mãn ( z + 1)(1 + i ) + = z 1 - i B. Theo chương trình Nâng cao. Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,hãy viết phương trình các cạnh tam giác ABC ,biết trực tâm H (1; 0 ) , chân đường cao hạ từ đỉnh B là K ( 0; 2 ) , trung điểm cạnh AB là M ( 3;1 ) . x y - 2 z Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d : = = và mặt 1 2 2 phẳng ( P ) : x - y + z - 5 = 0 .Viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm M ( 3; - 1;1 ) nằm trong mặt phẳng ( P ) và hợp với d một góc 45 0 2 2 Câu 9.b (1,0 điểm). Giải phương trình nghiệm phức 25 ( 5 z 2 + 2 ) + 4 ( 25 z + 6 ) = 0 HẾT Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên( lientoancvp@vinhphuc.edu.vn) đã gửi tới www.laisac.page.tl
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN V LỚP 12 NĂM HỌC 2013 – 2014 MÔN: Toán – Khối B+D HƯỚNG DẪN CHẤM THI (Văn bản này gồm 06 trang) I) Hướng dẫn chung: 1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng vẫn đúng thì cho đủ số điểm từng phần như thang điểm quy định. 2) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong các giáo viên chấm thi Khảo sát. 3) Điểm toàn bài tính đến 0,25 điểm. (sau khi cộng điểm toàn bài, giữ nguyên kết quả) II) Đáp án và thang điểm: Câu Đáp án Điểm Câu 1 2 x - 1 (2 điểm) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = ( C ) . x - 1 · Tập xác định: D = ¡ \{1} · Sự biến thiên: -1 Chiều biến thiên: y ' = 2 < 0, "x Î D 0.25 ( x - 1 ) Hàm số nghịch biến trên khoảng ( -¥ ;1) và (1; +¥ ) Cực trị: Không có · Giới hạn và tiệm cận. lim y = lim y = 1 ; tiệm cận ngang y = 2 x ®-¥ x ®+¥ 0.25 lim- y = -¥; lim + y = +¥ ; tiệm cận đứng x = 1 x ®1 x ®1 · Bảng biến thiên: x -¥ 1 +¥ y’ 2 +¥ 0.25 y -¥ 2 · Đồ thị . Học sinh tự vẽ 0.25 3. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A và B thoả mãn OA = 4 OB . æ 1 ö Gọi M ç x0 ; 2 + ÷ Î ( C ) , ( x0 ¹ 1 ) è x0 - 1 ø 0.25 1 1 Phương trình tiếp tuyến với ( C ) tại M là ( d ) : y = - 2 ( x - x 0 ) + 2 + ( x0 - 1 ) x 0 - 1 ( d ) cắt Ox, Oy lần lượt tại A và B thoả mãn OA = 4 OB . Do D OAB vuông tại O OB 1 1 1 0.25 nên tan A = = Þ hệ số góc của ( d ) bằng hoặc - OA 4 4 4 Trang 1/6
1 1 1 é x 0 = -1 Hệ số góc của ( d ) là y ¢ ( x 0 ) = - 2 < 0 Þ - 2 =- Ûê 0.25 ( x0 - 1) ( x0 - 1 ) 4 ë x 0 = 3 1 5 1 13 Từ đó ta có hai tiếp tuyến cần tìm là: y = - x + và y = - x + 0.25 4 4 4 4 Giải phương trình: 2 3 sin 2 x.cos x + 3 sin 2 x + 2 = cos3x + cos 2 x - 3cos x Pt Û 3 sin 2 x ( 2 cos x + 1 ) = (cos 3 x - cos x ) + (cos 2 x - 1 ) - ( 2 cos x + 1 ) 0.25 2 2 Û 3 sin 2 x ( 2 cos x + 1 ) = -4 sin x cos x - 2 sin x - ( 2 cos x + 1 ) 0.25 Û ( 2 cos x + 1 )( 3 sin 2 x + 2 sin 2 x + 1 ) = 0 p Câu 2 · 3 sin 2 x + 2 sin 2 x + 1 = 0 Û 3 sin 2 x - cos 2 x = -2 Û sin( 2 x - ) = -1 (1 điểm) 6 0,25 p Û x=- + kp , ( k Î Z ) 6 1 2 p · 2 cos x + 1 = 0 Û cos x = - Û x=± + k 2p , ( k Î Z ) 2 3 0.25 p 2 p · Vậy phương trình có ba họ nghiệm : x = - + kp , x = ± + k 2p , ( k Î Z ) 6 3 2 Giải phương trình: ( x + 3)( x - 2 ) = ( x 2 - 5 ) .7 x -1 + ( x - 1) .7 x -5 2 Pt Û ( x 2 - 5 ) + ( x - 1) = ( x 2 - 5 ) .7 x -1 + ( x - 1) .7 x - 5 ( )( ) Û x 2 - 5 . 7 x -1 - 1 + ( x - 1) . 7 x - 5 - 1 = 0 (*) ( 2 ) 0.25 Ta xét các trường hợp sau · Nếu x = 1, x = ± 5 ta thấy các giá trị này đều thoả mãn phương trình (* ) 0.25 nên phương trình (* ) có các nghiệm x = 1, x = ± 5 · Nếu x ¹ 1, x ¹ ± 5 chia hai vế của phương trình (* ) cho ( x - 1) ( x 2 - 5 ) ¹ 0 Câu 3 2 7 x -1 - 1 7 x -5 - 1 (1 điểm) ta được phương trình + = 0 (** ) . x -1 x 2 - 5 7t - 1 Xét hàm số f ( t ) = với t ¹ 0 t 0.25 7t - 1 + Nếu t > 0 thì 7t - 1 > 0 Þ f ( t ) = > 0 t 7t - 1 + Nếu t 0 . Vậy f ( t ) > 0, "t ¹ 0 t phương trình (** ) chính là f ( x - 1) + f ( x 2 - 5 ) = 0 nên dễ thấy nó vô nghiệm Vậy phương trình có đúng ba nghiệm là x = 1, x = ± 5 0.25 ln 3 Câu 4 2e 3 x - e 2 x Tính tích phân : I = ò dx . (1 điểm) x x 0 e . 4e - 3 + 1 ln 3 3x 2x ln 3 2e -e 2e3 x - e2 x : I= ò dx = ò dx . Đặt 0.25 x x 3x 2x 0 e . 4e - 3 + 1 0 4e - 3e + 1 tdt t = 4e3 x - 3e2 x Þ t 2 = 4e3 x - 3e 2 x Þ 2tdt = 6 2e3 x - e 2 x dx Þ 2 e3 x - e 2 x dx = ( ) ( ) 3 0.25 Trang 2/6
ì x = 0 Þ t = 1 Đổi cận í î x = ln 3 Þ t = 9 9 9 0.25 1 tdt 1 æ 1 ö 1 9 8 - ln 5 I= ò = ò ç 1 - ÷ dt = ( t - ln t + 1 ) 1 = 3 1 t + 1 3 1 è t + 1 ø 3 3 8 - ln 5 Vậy I = 0.25 3 Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; SA ^ ( ABCD ) ; AB = SA = 3a; AD = 3a 2 ,( a > 0 ) . Gọi M ,N lần lượt là trung điểm của AD,SC ; I là giao điểm của BM , AC .Chứng minh rằng mặt phẳng ( SBM ) vuông góc với mặt phẳng ( SAC ) và tính thể tích khối tứ diện ABIN . Hình vẽ: 0.25 Câu 5 (1 điểm) uuur uuuur uuur uuur æ uuur 1 uuur ö 1 1 2 ( è 2 ) AC.BM = AB + BC . ç BA + AD ÷ = - AB 2 + AD 2 = -9a 2 + 3a 2 ø 2 2 ( ) = 0 Þ BM ^ AC , mà BM ^ SA Þ BM ^ ( SAC ) Þ ( SBM ) ^ ( SAC ) AB 2 AC = AB 2 + AD 2 = 9a 2 + 18a 2 = 3 3a, AI = = 3 a AC 0.25 1 3 2 a 2 Þ IC = AC - AI = 2 3 a , BI = IA.IC = a 6 Þ SDABI = IA. IB = 2 2 1 1 3 a Đặt h = d ( N , ( ABCD ) ) = d ( S , ( ABCD ) ) = SA = (do N là trung điểm SC ) 0.25 2 2 2 1 1 3a 3a 2 2 3a 3 2 Vậy VABIN = h. S DABI = × × = (đvtt) 0.25 3 3 2 2 4 Câu 6 Chứng ming rằng với mọi số thực a, b, c , bất đẳng thức sau luôn được thoả mãn (1 điểm) (a 2 + ab + b 2 )( b 2 + bc + c 2 )( c 2 + ca + a 2 ) ³ 3 ( a 2 b + b 2 c + c 2 a )( ab 2 + bc 2 + ca 2 ) Sử dụng hai hằng đẳng thức sau 2 2 · 4 ( a 2 + ab + b 2 ) = 3 ( a + b ) + ( a - b ) 0.25 2 2 2 · ( 4 a 2 + ac + c 2 )( b 2 ) ( + bc + c 2 = 2 ab + ac + bc + 2c ) + 3 c 2 ( a - b ) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz cho ta 2 0.25 16.VT = é3 ( a + b ) + ( a - b ) ù éê( 2ab + ac + bc + 2c 2 ) + 3 c 2 ( a - b ) ùú 2 2 2 ë ûë û Trang 3/6
2 2 ³ é 3 ( a + b ) ( 2ab + ac + bc + 2c 2 ) + 3 c ( a - b ) ù ë û 2 = 12 éë ab ( a + b ) + bc ( b + c ) + ca ( c + a ) ùû , suy ra 2 0.25 3 éë( a 2b + b 2 c + c 2 a ) + ( ab 2 + bc 2 + ca 2 ) ùû 2 3 éë ab ( a + b ) + bc ( b + c ) + ca ( c + a ) ùû VT ³ = 4 4 3 × 4 ( a 2 b + b 2 c + c 2 a )( ab 2 + bc 2 + ca 2 ) ³ = 3 ( a 2 b + b 2 c + c 2 a )( ab 2 + bc 2 + ca 2 ) (đpcm) 0.25 4 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi trong ba số a, b, c , có ít nhất hai số bằng nhau. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,cho tam giác ABC vuông cân tại A ,phương trình BC :2 x - y - 7 = 0 ,đường thẳng AC đi qua điểm M ( - 1;1 ) , điểm A có hoành độ dương nằm trên đường thẳng D : x - 4 y + 6 = 0 .Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC . uuur Vì A Î D : x - 4 y + 6 = 0 Þ A ( 4a - 6; a ) Þ MA = ( 4a - 5; a - 1 ) 0.25 Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên · ACB = 45 0 Câu 7a. uuur r 1 4 a - 5 + 2 ( a - 1 ) 1 0.25 (1 điểm) ( Do đó cos MA, u BC = 2 Û ) 2 2 = ( 4a - 5 ) + ( a - 1) . 5 2 é a = 2 ® A ( 2; 2 ) 2 ê Û 13a - 42a + 32 = 0 Û ê 16 æ 14 16 ö 0.25 a= ® A ç - ; ÷ (loai ) êë 13 è 13 13 ø Þ AC º AM : x - 3 y + 4 = 0, AB : 3 x + y - 8 = 0 . Từ đó ta có B ( 3; - 1) , C ( 5;3 ) 0.25 2 2 2 Trong không gian toạ độ Oxyz ,cho mặt cầu ( S ) : ( x - 1) + ( y - 2 ) + ( z - 3) = 9 và đường x - 6 y - 2 z - 2 thẳng D : = = .Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua M ( 4;3; 4 ) ,song - 3 2 2 song với đường thẳng D và tiếp xúc với mặt cầu ( S ) . r ( ) Gọi vtpt : nP = ( a; b; c ) a 2 + b 2 + c 2 > 0 Þ ( P ) : a ( x - 4 ) + b ( y - 3) + c ( z - 4 ) = 0 r 0.25 vtcp của đường thẳng D là uD = ( -3; 2; 2 ) , ( S ) có tâm I (1; 2;3 ) , bán kính R = 3 Câu 8a. r r r r 2b + 2 c Do ( P ) / / D Þ nP ^ uD Þ nP .u D = 0 Þ -3a + 2b + 2c = 0 Þ a = (1 ) 0.25 (1 điểm) 3 -3 a - b - c Mặt khác ( P ) tiếp xúc ( S ) Û d ( I , ( P ) ) = R Û = 3 ( 2 ) a 2 + b 2 2 0.25 2 æ 2b + 2 c ö é 2b - c = 0 Từ (1) & ( 2 ) Þ ( b + c ) =ç 2 2 2 2 ÷ + b + c Û 2b - 5bc + 2c = 0 Û ê è 3 ø ë b - 2c = 0 + 2b - c = 0 chọn b = 1, c = 2 Þ a = 2 Þ ( P ) : 2 x + y + 2 z - 19 = 0 0.25 + b - 2c = 0 chọn b = 2, c = 1 Þ a = 2 Þ ( P ) : 2 x + 2 y + z - 18 = 0 ( Loại do chứa A ) Câu 9a. z - 1 2 (1 điểm) Tìm số phức z thoả mãn ( z + 1)(1 + i ) + = z 1 - i z - 1 2 Đặt z = a + bi, ( a , b Î ¡ ) . Khi đó ( z + 1)(1 + i ) + = z 0.25 1 - i Trang 4/6
( a - 1 - bi )(1 + i ) Û ( a + 1 + bi )(1 + i ) + = a 2 + b 2 2 0.25 Û 3a + 1 - b + ( 3a + 1 + b ) i = 2 ( a 2 + b 2 ) é a = 0 Þ b = -1 ïì3a + 1 - b = 2 ( a + b ) ì10a + 3a = 0 ê 2 2 2 Ûí Ûí Û 0.25 ïî3a + 1 + b = 0 îb = -1 - 3 a ê a = - 3 Þ b = - 1 ë 10 10 3 1 Vậy z = -i , z = -- × i 0.25 10 10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,hãy viết phương trình các cạnh tam giác ABC ,biết trực tâm H (1; 0 ) , chân đường cao hạ từ đỉnh B là K ( 0; 2 ) , trung điểm cạnh AB là M ( 3;1 ) uuur Đường thẳng AC ^ HK Þ HK = ( -1; 2 ) là vtpt của AC và đi qua K 0.25 Þ ( AC ) : x - 2 y + 4 = 0 , ( BK ) : 2 x + y - 2 = 0 Do A Î AC , B Î BK nên giả sử A ( 2 a - 4; a ) , B ( b; 2 - 2 b ) . Mặt khác M là trung Câu 7b. ì2a - 4 + b = 6 ìïa = 4 ® A ( 4; 4 ) 0.25 (1 điểm) diểm của AB Þ í Þí îa + 2 - 2b = 2 ïî b = 2 ® B ( 2; -2 ) ìïQua A ( 4; 4 ) · ( AB ) í r uuur r Þ ( AB ) : 3 x - y - 8 = 0 0.25 ïî vtcp u / / AB = ( -2; -6 ) Þ u = (1;3 ) ìïQua B ( 2; -2 ) ( BC ) í r uuur Þ ( BC ) : 3 x + 4 y + 2 = 0 0.25 ïîvtpt n = HA = ( 3; 4 ) x y - 2 z Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d : = = và mặt phẳng 1 2 2 ( P ) : x - y + z - 5 = 0 .Viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm M ( 3; - 1;1 ) nằm trong mặt phẳng ( P ) và hợp với d một góc 45 0 . r r Vtpt của mặt phẳng ( P ) là n = (1; -1;1 ) , vtcp của d là u d = (1; 2; 2 ) r Gọi vtcp của D là uD = ( a; b; c ) ( a 2 + b 2 + c 2 > 0 ) 0.25 r r r r Do D Î ( P ) Þ uD ^ nP Û u D .nP = 0 Û a - b + c = 0 Û b = a + c (1 ) r r a + 2b + 2 c Câu 8b. D hợp với d một góc 450 Þ cos 450 = cos ( uD , u d ) = . (1 điểm) 3 a 2 + b 2 + c 2 0.25 (1 ) 2 ¾¾® 2 ( 3a + 4c ) = 9 ( 2a + 2ac + 2c 2 2 ) Û 14c 2 + 30ac = 0 Þ c = 0 Ú 14c + 30a = 0 ì x = 3 + t ï · c = 0 chọn a = b = 1 Þ D1 : í y = -1 + t 0.25 ï z = 1 î ì x = 3 + 7 t ï 0.25 · 14c + 30a = 0 Û 7c + 15a = 0 chọn a = 7, c = -15, b = -8 Þ D1 : í y = -1 - 8 t ï z = 1 - 15 t î 2 2 Câu 9b. Giải phương trình nghiệm phức 25 ( 5 z 2 + 2 ) + 4 ( 25 z + 6 ) = 0 Trang 5/6
(1 điểm) 2 2 Phương trình Û ( 25 z 2 + 10 ) - ( 50iz + 12i ) = 0 0.25 Û ( 25 z 2 + 50iz + 10 + 12i )( 25 z 2 - 50iz + 10 - 12i ) = 0 2 2 é 25 z 2 + 50iz + 10 + 12i = 0 é( 5 z + 5i ) = (1 - 6 i ) Ûê 2 Ûê 0.25 ë 25 z - 50 iz + 10 - 12i = 0 ê( 5 z - 5i ) 2 = (1 + 6 i ) 2 ë é5 z + 5i = 1 - 6i Ú 5 z + 5i = -1 + 6 i Û ê 0.25 ë 5 z - 5i = 1 + 6i Ú 5 z + 5i = -1 - 6 i é 1 - 11i -1 + i ê z1 = 5 Ú z 2 = 5 Û ê phương trình có bốn nghiệm như trên. 0.25 ê z = 1 + 11i Ú z = -1 - i êë 3 5 4 5 Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên( lientoancvp@vinhphuc.edu.vn) đã gửi tới www.laisac.page.tl Trang 6/6