Đề thi thử Đại học năm 2015 môn Toán - Đề số 26

Chia sẻ: La Minh đức | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

60
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cùng tìm hiểu "Đề thi thử Đại học năm 2015 môn Toán - Đề số 26" để nắm bắt một số kiến thức cơ bản chuẩn bị tốt cho kì thi Đại học sắp tới. Đề thi gồm có 10 câu hỏi tự luận với thời gian làm bài 180 phút có kèm đáp án và lời giải chi tiết. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi thử Đại học năm 2015 môn Toán - Đề số 26

THI THÛ I HÅC NM 2015 SÈ 26 ********** Mæn: To¡n. Thíi gian: 180 phót C¥u 1 (2,0 iºm). a) T¼m m º h m sè y = x + 2(m + 1)x + m câ 3 iºm cüc trà lîn hìn −2. 4 2 2 b) T¼m m º d : y = −3x + m ct (C) : y = 2xx −+11 t¤i hai iºm A, B ph¥n bi»t sao cho trång t¥m tam gi¡c OAB thuëc ÷íng th¯ng ∆ : x − 2y − 2 = 0. C¥u 2 (1,0 iºm). a) Gi£i ph÷ìng tr¼nh cos 6x(1 + 2 sin x) + 2 cos x = 1 + 2 cos 5x sin 2x (x ∈ R). 2 b) T¼m sè thüc x bi¸t z = x1+−9ii l sè thu¦n £o. C¥u 3 (0,5 iºm). Gi£i ph÷ìng tr¼nh 2 logr (3x − 1) + 1 = log 5 r √ 3 5 (2x + 1) (x ∈ R). 4y 4x  x+ + y+ =5  C¥u 4 (1,0 iºm). Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh  x y (x, y ∈ R). 5x 5y 9  2 −1 −1 =   y x 2 4 C¥u 5 (1,0 iºm). T½nh t½ch ph¥n π sin2 x · tan xdx. Z 3 I= 0 C¥u 6 (1,0 iºm). Trong m°t ph¯ng vîi h» tåa ë Oxy, cho h¼nh vuæng câ iºm M thuëc c¤nh ABCD BD, E v F l¦n l÷ñt l h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa M tr¶n AB v AD, H 137 ; 247 l giao iºm cõa CM vîi ED, EF : 2x + y − 6 = 0, CF : x − 3y + 11 = 0. T¼m tåa ë c¡c ¿nh cõa h¼nh vuæng ABCD. C¥u 7 (1,0 iºm). H¼nh châp S.ABC câ ¡y ABC l tam gi¡c vuæng t¤i A, ACB [ = 300 , tam gi¡c SBC ·u câ c¤nh b¬ng 2a v n¬m trong m°t ph¯ng vuæng gâc vîi m°t ¡y. T½nh theo a thº t½ch khèi châp S.ABC v kho£ng c¡ch tø iºm B ¸n m°t ph¯ng (SAC). C¥u 8 (1,0 iºm). Trong khæng gian vîi h» tåa ë Oxyz, cho c¡c iºm A(2; 1; 0), B(1; 2; 2), C(1; 1; 0) v m°t ph¯ng (P ) : x + y + z − 10 = 0. a) Vi¸t ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng AB. b) T¼m tåa ë iºm D thuëc ÷íng th¯ng AB sao cho CD song song vîi m°t ph¯ng (P ). n C¥u 9 (0,5 iºm). T¼m h» sè cõa x trong khai triºn nhà thùc Newton cõa 7 P (x) = x2 − 2 x , bi¸t n l sè nguy¶n d÷ìng thäa m¢n 4Cn+1 3 + 2Cn2 = A3n . C¥u 10 (1 iºm). Cho x, y, z l c¡c sè thüc khæng ¥m thäa m¢n xy + yz + zx > 0. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc 1 1 √ p P =p +p +2 3z + 4 + x + 2y + 4 . (x + z)(y + z) y(x + 3z) + z 2 Nguy¹n D÷ Th¡i, TTBDKT Cao Thng, 11 èng a, TP Hu¸, D: 0905998369
P N THI THÛ SÈ 26 C¥u 1. a) T¼m m º h m sè y = x4 + 2(m + 1)x2 + m2 câ 3 iºm cüc trà lîn hìn −2. b) T¼m m º d : y = −3x + m ct (C) : y = t¤i hai iºm A, B ph¥n bi»t sao cho trång t¥m 2x + 1 x−1 tam gi¡c OAB thuëc ÷íng th¯ng ∆ : x − 2y − 2 = 0. Ph¥n t½ch-Líi gi£i. a) Tªp x¡c ành: R. Ta câ y 0 = 4x3 + 4(m + 1)x = 4x(x2 + m + 1). 0 x =0 y =0⇔ 2 x = −m − 1 (1) H m sè y câ 3 iºm cüc trà ⇔ (1) câ hai nghi»m ph¥n bi»t 6= 0 ⇔ −m − 1 > 0 ⇔ m < −1. Khi â c¡c iºm cüc trà cõa h m sè y l √ √ x1 = − −m − 1, x2 = 0, x3 = −m − 1. C¡c iºm cüc trà cõa h m sè y lîn hìn −2 √ ⇔ x1 > −2 ⇔ −m − 1 < 2 ⇔ m > −5. Vªy m ∈ (−5; −1). b) Ph÷ìng tr¼nh ho nh ë giao iºm cõa d vîi (C) l ( 2x + 1 x 6= 1 = −3x + m ⇔ x−1 2x + 1 = −3x2 + 3x + mx − m (1) ⇔3x2 − (m + 1)x + m + 1 = 0 (2) (v¼ x = 1 khæng l nghi»m cõa (1)) ÷íng th¯ng d ct ç thà (C) t¤i hai iºm ph¥n bi»t A, B ⇔(2) câ 2 nghi»m ph¥n bi»t a, b ⇔∆ = (m + 1)2 − 12(m + 1) > 0 ⇔ (m + 1)(m − 11) > 0 m < −1 ⇔ m > 11. Khi â A(a; −3a + m), B(b; −3b + m). Theo ành l½ Vi-²t ta câ a + b = m 3+ 1 . Gåi G(xG, yG) l trång t¥m tam gi¡c ABO. Ta câ  xG = a + b = m + 1  3 9 yG = (−3a + m) + (−3b + m) = m − 1 .  3 3 Do â m+1 m−1 11 G∈∆⇔ −2· −2=0⇔m=− . 9 3 5 Vªy m = − 115 . 1
C¥u 2. a) Gi£i ph÷ìng tr¼nh cos 6x(1 + 2 sin x) + 2 cos2 x = 1 + 2 cos 5x sin 2x (x ∈ R). b) T¼m sè thüc x bi¸t z = l sè thu¦n £o. x + 9i 1−i Ph¥n t½ch-Líi gi£i. a) Ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi cos 6x + sin 7x − sin 5x + 1 + cos 2x = 1 + sin 7x − sin 3x ⇔(cos 6x + cos 2x) − (sin 5x − sin 3x) = 0 ⇔2 cos 4x cos 2x − 2 cos 4x sin x = 0 ⇔ cos 4x · (cos 2x − sin x) = 0 " cos 4x = 0 π ⇔ cos 2x = sin x = cos −x 2  π 4x = + kπ  π 2 ⇔ 2x = − x + k2π , k ∈ Z   2π 2x = − + x + k2π 2  π π x = +k 8 4 π 2π  ⇔ x = + k , k ∈ Z.   6π 3 x = − + k2π 2 Vªy tªp nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh l S = π8 + k π4 , π6 + k 2π , − + k2π
k ∈ Z . π
3 2 b) Ta câ (x + 9i)(1 + i) x−9 x+9 z= = + i. 2 2 2 Do â z l sè thu¦n £o ⇔ x −2 9 = 0 ⇔ x = 9. Vªy x = 9. C¥u 3. Gi£i ph÷ìng tr¼nh 2 log5 (3x − 1) + 1 = log √3 5 (2x + 1) (x ∈ R). Ph¥n t½ch-Líi gi£i. i·u ki»n: x > 31 . Ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi log5 (3x − 1)2 + log5 5 = 3 log5 (2x + 1)3 ⇔ log5 5(3x − 1)2 = log5 (2x + 1)3 ⇔5(9x2 − 6x + 1) = 8x3 + 12x2 + 6x + 1 ⇔8x3 − 33x3 + 36x − 4 = 0 " x =2 x = (lo¤i) ⇔ 1 8 Vªy nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh l x = 2. 2
r r 4y 4x  x+ + y+ =5 (1)   C¥u 4. Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh 5x x 5y y 9 (x, y ∈ R).  2 −1 −1 = (2)   y x 2 4 Ph¥n t½ch-Líi gi£i. 4y  x +  ≥0 i·u ki»n:  4x x y + ≥ 0. y r r °t a = x + 4yx ≥ 0, b = y + 4x y ≥ 0. Ta câ (1) ⇔ a + b = 5 (3) 4x2 4y 2 2 2 4y 4x a b = x+ y+ = xy + + + 16. x y y x Do â 25 5x 5y 9 (2) ⇔ − 2 − 2 +1= xy y x 4 1 x y 5 ⇔ + 2+ 2 = 4 y x xy 4x2 4y 2 ⇔ xy + + + 16 = 36 y x ⇔ a2 b2 = 36 ⇔ ab = 6 (4) (v¼ a, b ≥ 0). Tø (3) v (4) ta câ a, b l hai nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh 2 X =2 X − 5X + 6 = 0 ⇔ X = 3. ( ( Do â a=2 b=3 ho°c a=3 b = 2. ( a=2 Tr÷íng hñp 1: b = 3. Ta câ  4y ( ( x +  =4 x2 + 4y = 4x x=2 x ⇔ ⇔ 4x y 2 + 4x = 9y y = 1. y +  =9 y ( a=3 Tr÷íng hñp 2: b = 2. Ta câ  4y ( ( x +  =9 x2 + 4y = 9x x=1 x ⇔ ⇔ 4x y 2 + 4x = 4y y = 2. y +  =4 y Vªy tªp nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh l S = {(2; 1), (1; 2)}. C¥u 5. T½nh t½ch ph¥n π sin2 x · tan xdx. Z 3 I= 0 3
Ph¥n t½ch-Líi gi£i. Ta câ π 1 − cos2 x sin xdx. Z 3 I= 0 cos x π °t t = cos x ⇒ dt = − sin xdx. êi cªn: x t 0 1 3 1 2 Do â Z 1 Z 1 t2 − 1 dt = − 1 t − t d t 1 I=− 1 t 2 2
1 1 2 3 =− t − ln t
= ln 2 − .
2
1 8 2 C¥u 6. Trong m°t ph¯ng vîi h» tåa ë Oxy, cho h¼nh vuæng ABCD câ iºm M thuëc c¤nh BD, E v F l¦n l÷ñt l h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa M tr¶n AB v AD, H 137 ; 247 l giao iºm cõa CM vîi ED, EF : 2x + y − 6 = 0, CF : x − 3y + 11 = 0. T¼m tåa ë c¡c ¿nh cõa h¼nh vuæng ABCD. Ph¥n t½ch-Líi gi£i. B C M N E H A F D M§u chèt cõa b i to¡n l ph¡t hi»n H l trüc t¥m tam gi¡c CEF . Tr÷îc h¸t ta chùng minh CM ⊥ EF . Sau ¥y l mët sè c¡ch: • C¡ch 1(Tåa ë): Chån h» tåa ë vîi Ax ≡ AD, Ay ≡ AB . °t AB = a, AF Axy = b. Tù gi¡c M EAF l h¼nh chú nhªt v tam gi¡c M F D vuæng c¥n t¤i F n¶n AE = M F = F D = a − b. Ta câ F (b, 0), E(0, a − b), M (b, a − b), C(a, a), CM = (b − a, −b), EF = (b, b − a), −→ −→ −→ −→ CM · EF = b(b − a) − b(b − a) = 0 ⇒ CM ⊥ EF. • C¡ch 2: Gåi Nl giao iºm cõa EM vîi CD. Ta câ tù gi¡c M N DF l h¼nh vuæng n¶n M N = M F v do â CN = M E . Suy ra ∆CN M = ∆EM F (c−g−c). Tø â câ M \ F E = CM \ N. Do â 0 M \ F E + HM \ N = CM \ N + HM \ N = 90 ⇒ CM ⊥ EF. F l giao iºm cõa EF vîi CF n¶n F (3; 0). ÷íng th¯ng CM qua H v vuæng gâc vîi EF n¶n câ ph÷ìng tr¼nh CM : x − 2y + 5 = 0. C l giao iºm cõa CM vîi CF n¶n C(7; 6). 4
Ta câ DF = AE n¶n CF ⊥ DE . Do â DE : 2x + 3y − 14 = 0. D ∈ DE ⇒ D . 14 − 3d ;d 2 −→ 8 − 3d −→ 3d F D= ; d , CD= − ; d − 6 . 2 2 " −→ −→ d =0 F D · CD= 0 ⇔ 48 d = 13 d = . Ta câ D . V¼ D v H còng ph½a so vîi CF n¶n khæng thäa m¢n. 48 19 48 Tr÷íng hñp 1: ; 13 13 13 Tr÷íng hñp 2: d = 0. Ta câ D(7; 0). Tø â câ A(1; 0) v B(1; 6). C¥u 7. H¼nh châp S.ABC câ ¡y ABC l tam gi¡c vuæng t¤i A, ACB \ = 300 , tam gi¡c SBC ·u câ c¤nh b¬ng 2a v n¬m trong m°t ph¯ng vuæng gâc vîi m°t ¡y. T½nh theo a thº t½ch khèi châp S.ABC v kho£ng c¡ch tø iºm B ¸n m°t ph¯ng (SAC). Ph¥n t½ch-Líi gi£i. S T H B C K A Gåi H l trung iºm cõa BC , K l h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa H tr¶n AC v T l h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa H tr¶n SK . • Ta câ   (SBC) ⊥ (ABC)  (SBC) ∩ (ABC) = BC ⇒ SH ⊥ (ABC).  SH ⊂ (SBC)  SH ⊥ AB √ √ √ a2 3 SH = a 3, AB = BC sin ACB = a, AC = a 3, SABC = AB · AC = . Do â \ 1 2 2 1 a3 VS.ABC = SH · SABC = . 3 2 • Ta câ d(B, (SAC)) = HC BC d(H, (SAC)) = 2d(H, (SAC)). 5
Ta câ AC ⊥ HK v AC ⊥ SH n¶n AC ⊥ (SHK). Suy ra AC ⊥ HT . M SH ⊥ HT n¶n HT ⊥ (SAC). Do â d(H, (SAC)) = HT. HK = HC sin HCA \= a 2 . HT l ÷íng cao cõa tam gi¡c SHK vuæng t¤i H n¶n √ HS · HK HS · HK a 39 HT = =√ = . SK SH 2 + HK 2 13 √ Vªy d(B, (SAC)) = 13 . 2a 39 C¥u 8. Trong khæng gian vîi h» tåa ë Oxyz , cho c¡c iºm A(2; 1; 0), B(1; 2; 2), C(1; 1; 0) v m°t ph¯ng (P ) : x + y + z − 10 = 0. a) Vi¸t ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng AB . b) T¼m tåa ë iºm D thuëc ÷íng th¯ng AB sao cho CD song song vîi m°t ph¯ng (P ). Ph¥n t½ch-Líi gi£i. a) ÷íng th¯ng AB qua A, nhªn AB= (−1; 1; 2) l m vectì ch¿ ph÷ìng n¶n câ ph÷ìng tr¼nh −→  x = 2 − t  AB : y = 1 + t  z = 2t. b) Ta câ D ∈ AB ⇒ D(−d + 2; d + 1; 2d), CD= (−d + 1; d; 2d), vectì ph¡p tuy¸n cõa m°t ph¯ng −→ (P ) l −→ n = (1; 1; 1). ( C∈ / (P ) CD k (P ) ⇔ −→ −→ n · CD= 0 ( 1 + 1 + 0 − 10 6= 0 ⇔ (−d + 1) + d + 2d = 0 1 ⇔d = − . 2 Vªy D ; ; −1 . 5 1 2 2 n C¥u 9. T¼m h» sè cõa trong khai triºn nhà thùc Newton cõa P (x) = , bi¸t n l sè 2 x7 x2 − x nguy¶n d÷ìng thäa m¢n 4Cn+1 3 + 2Cn2 = A3n . Ph¥n t½ch-Líi gi£i. i·u ki»n: n ≥ 3, n ∈ Z. Ta câ 3 4Cn+1 + 2Cn2 = A3n 4(n + 1)! 2 · n! n! ⇔ + = 3! · (n − 2)! 2! · (n − 2)! (n − 3)! 2(n − 1)n(n + 1) ⇔ + (n − 1)n = (n − 2)(n − 1)n 3 ⇔2n + 2 + 3 = 3n − 6 ⇔ n = 11. 6
Do â 11 −1 11 X k 2 k (x2 )11−k · −2x−1 P (x) = x − 2 · x = C11 . k=0 Sè h¤ng têng qu¡t trong khai triºn l k k Tk = C11 (x2 )11−k · −2x−1 k = C11 (−2)k x22−3k . Tk chùa x7 ⇔ 22 − 3k = 7 ⇔ k = 5. Vªy h» sè x7 trong khai triºn P (x) l C115 (−2)5 = −14784. C¥u 10. Cho x, y, z l c¡c sè thüc khæng ¥m thäa m¢n xy + yz + zx > 0. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc 1 1 √ p P =p +p +2 3z + 4 + x + 2y + 4 . (x + z)(y + z) y(x + 3z) + z 2 Ph¥n t½ch-Líi gi£i. Ta câ s 1 1 1 1 p +p ≥2 p ·p (x + z)(y + z) y(x + 3z) + z 2 (x + z)(y + z) y(x + 3z) + z 2 s s 2 2 ≥2 2 =2 (x + z)(y + z) + y(x + 3z) + z (x + 2z)(2y + z) s √ 8 4 2 ≥2 2 = (1) (x + 2y + 3z) x + 2y + 3z Ta chùng minh √ p p 3z + 4 + x + 2y + 4 ≥ 2 + x + 2y + 3z + 4 (2) Ta câ p p (1) ⇔ 3x + 4 + x + 2y + 4 + 2 (3z + 4)(x + 2y + 4) ≥ 4 + x + 2y + 3z + 4 + 4 x + 2y + 3z + 4 p p ⇔ (3z + 4)(x + 2y + 4) ≥ 2 x + 2y + 3z + 4 ⇔ 3z(x + 2y) ≥ 0 (óng). Tø (1) v (2) ta câ √ 4 2 p P ≥ + 2 x + 2y + 3z + 4 + 4. x + 2y + 3z °t t = x + 2y + 3z > 0. Ta câ √ 4 2 √ P ≥ f (t) = + 2 t + 4 + 2. t Kh£o s¡t h m f (t) tr¶n (0; +∞) ta câ √ √ min f (t) = f (4) = 5 2 + 4 ⇒ P ≥ 5 2 + 4. D √ √ Khi x = 2, y = 1 v z = 0 th¼ P = 5 2+4 vªy GTNN cõa P l 5 2 + 4. 7