Đề thi thử học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 11 năm 2023-2024 có đáp án - Trường THPT Trần Văn Lan, Nam Định

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

8
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

“Đề thi thử học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 11 năm 2023-2024 có đáp án - Trường THPT Trần Văn Lan, Nam Định” là tài liệu hữu ích giúp các em ôn tập cũng như hệ thống kiến thức môn học, giúp các em tự tin đạt điểm số cao trong kì thi sắp tới. Mời các em cùng tham khảo đề thi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi thử học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 11 năm 2023-2024 có đáp án - Trường THPT Trần Văn Lan, Nam Định

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ THI THỬ CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH TRƯỜNG THPT TRẦN VĂN LAN NĂM HỌC 2023 - 2024 Môn: Toán – Lớp 11 THPT Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC (Không kể thời gian phát đề) Đề thi gồm 02 trang Câu 1. (2,0 điểm ) Muốn đo chiều cao của tháp chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận người ta lấy hai điểm A và B trên mặt đất có khoảng cách AB = 12 m cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt hai giác kế. Chân của giác kế có chiều cao h = 1,3m . Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm A1 , B1 cùng   thẳng hàng với C1 thuộc chiều cao CD của tháp. Người ta đo được góc DA1C= 49° và DB1C= 35° . 1 1 Tính chiều cao CD của tháp. Câu 2. (2,0 điểm) Trong một đợt dã ngoại, một trường học cần thuê xe chở 140 người và 9 tấn hàng. Nơi thuê xe có hai loại xe A và B, trong đó xe A có 10 chiếc và xe B có 9 chiếc. Một xe loại A cho thuê với giá 4 triệu đồng và một xe loại B cho thuê với giá 3 triệu đồng. Biết rằng mỗi xe loại A có thể chở tối đa 20 người và 0,6 tấn hàng, mỗi xe loại B có thể chở tối đa 10 người và 1,5 tấn hàng. Hỏi nhà trường phải thuê mỗi loại xe với số lượng bao nhiêu để chi phí thuê xe thấp nhất. sin 2 x − cos 2 x + 3sin x + 3cos x + 1 − 3 Câu 3. (2,0 điểm) Giải phương trình : =1. 2sin x − 3 Câu 4. (2,0 điểm) Cho dãy số ( un ) xác định bởi u1 = 4 ; u= 2un + 3 với n ∈ N * n +1 a) Xác định số hạng tổng quát un . 2n +1 − 1 b) Tính giới hạn L = lim n+2 . 3 3un +   2 1
Câu 5. (4,0 điểm) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tất cả các cạnh bên đều bằng a. Gọi điểm M thuộc cạnh SD sao cho SD = 3SM , điểm G là trọng tâm tam giác BCD . a) Gọi ( α ) là mặt phẳng chứa MG và song với CD . Xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp với mp( α ) b) Xác định điểm P thuộc MA và điểm Q thuộc BD sao cho PQ song song với SC . Tính PQ theo a . Câu 6. (2,0 điểm) Cho S =∈ * | n ≤ 2023} . Lấy ngẫu nhiên 3 số thuộc tập S . Tính xác suất để 3 số {n lấy được có tổng chia hết cho 3. a2 sin 2 x + a 2 − 2 Câu 7. (2,0 điểm) Tìm điều kiện của tham số a để phương trình = có 1 − tan 2 x cos 2 x nghiệm.  Câu 8. (4,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O, cạnh a, góc BAD =600; SO vuông 3a góc với mặt phẳng (ABCD); SO = . Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của DE. 4 1/ Chứng minh (SOF) ⊥ (SAD). 2/ Tính khoảng cách từ O và C đến mặt phẳng (SAD). ---------------HẾT------------- 2
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ TẬP HUẤN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH TRƯỜNG THPT TRẦN VĂN LAN NĂM HỌC 2023 - 2024 Môn: Toán – Lớp 11 THPT HD CHẤM Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu Đáp án Điểm Câu 1 2 điểm Ta có C1 DA1 90° − 49° 41° ; C1 DB1 90° − 35° 55° , nên  14° .  = =  = = A1 DB1 = 0,5đ A1 B1 A1 D 12.sin 35° 0.5đ Xét tam giác A1 DB1 , có = ⇒ A1 D = ≈ 28, 45 m . sin  sin  A1 DB1 A1 B1 D sin14° Xét tam giác C1 A1 D vuông tại C1 , có  C1 D 0.5đ sin C1 A1 D = ⇒ C1 D A1 D.sin C1 A1 D 28, 45.sin 49° ≈ 21, 47 m = = A1 D ⇒ CD = C1 D + CC1 ≈ 22, 77 m . 0.5đ Câu 2 Gọi x, y lần lượt là số xe loại A và B . Khi đó, số tiền cần bỏ ra để thuê xe là 2 điểm f ( x; y ) 4 x + 3 y = Ta có x xe loại A chở được 20x người và 0, 6x tấn hang; y xe loại B chở được 10 y người và 1,5y tấn hàng. Suy ra x xe loại A và y xe loại B chở được 20 x + 10 y người và 0, 6 x + 1,5 y tấn hàng. 20 x + 10 y ≥ 140 2 x + y ≥ 14 0,6 x + 1,5 y ≥ 9 2 x + 5 y ≥ 30   Ta có hệ bất phương trình sau:  ⇔ ( *) 0.5đ 0 ≤ x ≤ 10 0 ≤ x ≤ 10 0 ≤ y ≤ 9  0 ≤ y ≤ 9  Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của f ( x; y ) trên miền nghiệm của hệ (*) . Miền nghiệm của hệ (*) là tứ giác ABCD (kể cả bờ)
0.5đ 5  Ta có A ( 5;4 ) , B (10;2 ) , C (10;9 ) , D  ;9  . 2  0.5đ 5  f ( 5;4 ) = 32, f (10;2 ) 46, f (10;9 ) 67, f  ;9  37 = = = 2  Suy ra f ( x; y ) nhỏ nhất khi ( x; y ) = ( 5;4 ) 0.5đ Như vậy để chi phí thấp nhất cần thuê 5 xe loại A và 4 xe loại B . Câu 3 3 2 điểm Điều kiện: 2sin x − 3 ≠ 0 ⇔ sin x ≠ 2 Khi đó (1) ⇔ sin 2 x − cos 2 x + 3sin x + 3cos x + 1 −=3 2sin x − 3 ⇔ sin 2 x − cos 2 x + sin x + 3cos x + 1 =0 ⇔ ( 2sin x cos x + sin x ) − ( 2 cos 2 x − 1) + 3cos x + 1 =0 ⇔ sin x ( 2 cos x + 1) − ( 2 cos 2 x − 3cos x − 2 ) = 0 ⇔ sin x ( 2 cos x + 1) − ( 2 cos x + 1)( cos x − 2 ) = 0 ⇔ ( 2 cos x + 1)( sin x − cos x + 2 ) = 0 0.5đ  2 cos x + 1 =0 ⇔ 0.5đ sin x − cos x + 2 =0  2π 1  x 3 + k 2π ( L ) = +) 2 cos x + 1 = ⇔ cos x = ⇔  0 − 0.5đ 2  x = π + k 2π (TM ) − 2   3 +) sin x − cos x + 2 = (PT này vô nghiệm) 0 0.5đ 2π Vậy PT có nghiệm là x = + k 2π , k ∈ Z − 3
Câu 4 Ta có un +1= 2un + 3 ⇔ un +1 + 3 2 ( un + 3) = 2 điểm Đặt v= un + 3 n Ta có v1 7; vn +1 2vn = = 0.5đ Suy ra ( vn ) là cấp số nhân với công bội q = 2 và số hạng đầu v1 = 7 0.5đ Suy ra v= 7.2n −1 ⇒ u= 7.2n −1 − 3 n n 2n +1 − 1 2.2n − 1 Ta có L = lim = lim n+2 n 3 21 n 9 3 0.5đ 3 ( 7.2 − 3) +   n −1 .2 − 9 + .   2 2 4 2 n 1 2−  2 2 4 = lim = = 0.5đ 21 n 1 9 3 n 21 21 − 9.   + .   2 2 2 4 4 Câu 5 4điểm S M H D C E G F I A B a)Qua G kẻ đường thẳng song song với CD cắt AD và BC lần lượt tại E và F . Qua 0.5đ M kẻ đường thẳng song song với CD cắt SC tại H . Thiết diện của hình chóp với mp( α ) là tứ giác EFHM . Ta có HM / / EF vì cùng song song với CD 2a a   0.5đ MD HC = = , DE CF = = , MDE HCF 600 nên tam giác DME bằng tam giác = = 3 3 CHF suy ra ME = HF do đó EFHM là hình thang cân
4a 2 a 2 2a a 1 a 2 0.5đ Ta có EM 2 = DM 2 + DE 2 − 2 DM .DE.cos600 = + −2 . . = 9 9 3 3 2 3 a MH = , EF = a .Gọi h là độ dài đường cao của hình thang ta có 3 2 2 EF − HM  a2 a2 a 2 h= EM −   = − =  2  3 9 3 0.5đ 2 1 1 a 2 4a 2a 2 Diện tích thiết diện là SEFHM= .h.(EF + HM ) = . . = 2 2 3 3 9 S M P D C N Q A B b) Qua M dựng đường thẳng song song với SC cắt CD tại N. Nối A với N cắt BD tại Q. Trong mp (AMN) từ Q dựng đường thẳng song song với MN cắt AM tại P. Ta có PQ//MN, MN//SC nên PQ//MN 0.5đ Suy ra hai điểm P, Q thỏa mãn điều kiện bài toán. MN DM 2 AQ AB 3 AQ 3 Ta có = = , = =⇒ = 0.5đ SC DS 3 QN DN 2 AN 5 PQ AQ 3 PQ PQ MN 3 2 2 = = , = . = =. 0,5đ MN AN 5 SC MN SC 5 3 5 2a 0,5đ Suy ra PQ = 5 Câu 6 Gọi A là tập hợp các số thuộc S và chia hết cho 3. Tập A có 674 phần tử 2 điểm 0,5đ Gọi B là tập hợp các số thuộc S và chia cho 3 dư 1. Tập B có 675 phần tử. Gọi C là tập hợp các số thuộc S và chia cho 3 dư 2. Tập C có 674 phẩn tử.
Số cách để lấy ra 3 số bất kỳ thuộc S là C2023 ⇒ n ( Ω ) = 2023 . 3 C3 0.25đ Gọi H là biến cố: “Lấy được ba số có tổng chia hết cho 3”. Gọi x, y, z là ba số lấy được. Để x + y + z chia hết cho 3 ta xét các trường hợp sau: Trường hợp 1: x, y, z thuộc cùng một tập hợp A, B, C. Số cách lấy là: C674 + C675 + C674 (cách) 3 3 3 0,25đ Trường hợp 2: x, y, z mỗi số thuộc một tập hợp A, B, C. Số cách lấy là: C674 .C675 .C674 (cách) 1 1 1 Do đó số cách để lấy được ba số thuộc tập S mà có tổng chia hết cho 3 là: 0.5đ n ( H ) = C674 + C675 + C674 + C674 .C675 .C674 3 3 3 1 1 1 Vậy xác suất của biến cố H là n ( H ) C674 + C675 + C674 + C674 .C675 .C674 3 3 3 1 1 1 459273373 0.5đ P(H ) = = =  0.3333336595 n (Ω) 3 C2023 1377818771 Câu 7 Điều kiện của phương trình cos x ≠ 0, cos 2 x ≠ 0, tan 2 x ≠ 1 0.25đ 2 điểm sin 2 x a 2 − 2 sin 2 x a 2 − 2 2 + 2 + 0.25đ a 2 2 a 2 2 Phương trình tương đương = cos x cos x ⇔ 2 = cos x cos x 2 2 1 − tan x sin x 2 1 − tan x sin x 1− 2 1− cos x cos 2 x 2 2 2 2 2 ⇔ a= tan x + (a − 2)(1 + tan x) ⇔ (a − 1) tan = 2 2 x 0.5đ • Nếu a 2 − 1 ≤ 0 ⇔| a |≤ 1 ⇒ (1) vô nghiệm. 2 2 0.5đ • Nếu a > 1: (1) ⇔ tan 2 x = . Phương trình có nghiệm khi 2 . 2 ≠1⇔ a ≠ 3 a −1 a −1 0.5đ Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi a > 1, a ≠ ± 3
Câu 8 S 4 điểm N M K H 0.5đ E F A D O B C 1/ Tam giác ABD đều nên BE ⊥ AD ; OF//BE ⇒ OF ⊥ AD (1). 0.5đ SO ⊥ ( ABCD) ⇒ SO ⊥ AD (2). 0.5đ Từ (1) và (2) ⇒ AD ⊥ ( SOF) ⇒ ( SAD) ⊥ ( SOF) . 0.5đ 2/ Gọi K là hình chiếu của C trên mp(SAD) ⇒ H là trung điểm của AK. mp (α ) ≡ mp ( BCK ) ; BC//AD nên mp(BCK) cắt mp(SAD) theo giao tuyến song song với AD. Từ K kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD, SA tại M và N. Thiết diện tạo thành 0,5đ là hình thang BCMN. 12a 2 a 12 SF 2 = SO 2 + OF2 = ⇒ SF = . 16 4 SH SO 2 3 0,5đ SO 2 = SH .SF ⇒ = 2 = . SF SF 4 ⇒ MN cắt SF tại trung điểm I ⇒ MN là đường trung bình của tam giác SAD. AD a 0,5đ ⇒ MN = = 2 2 a 3a ( + a) 2 ( MN + BC )CK 4 9a . 0,5đ ⇒ Std = = 2 = 2 2 16 ……….. HẾT……….. Chú ý: Các cách giải khác nếu đúng thì chia nhỏ biểu điểm tương đương để chấm, có sự thống nhất trong hội đồng chấm. .