Đề thi tuyển HSG lớp 9 môn Toán năm 2012 - 2013 - Sở GD&ĐT Hải Dương

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> HẢI DƯƠNG<br /> <br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> KÌ THI TUYỂN HỌC SINH GIỎI<br /> NĂM HỌC 2012- 2013<br /> Môn thi: TOÁN<br /> Thời gian làm bài: 150 phút<br /> Đề thi gồm : 01 trang<br /> <br /> Câu I (2,0 điểm)<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử a (b-2c)+b (c-a)+2c (a-b)+abc .<br /> <br /> 2) Cho x, y thỏa mãn x  3 y- y2 +1+ 3 y+ y2 +1 . Tính giá trị của biểu thức<br /> <br /> A  x 4 +x3 y+3x 2 +xy- 2y2 +1 .<br /> Câu II ( 2,0 điểm)<br /> 2<br /> 4<br /> 2<br /> 1) Giải phương trình (x - 4x+11)(x - 8x +21)  35 .<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  x+ x 2 +2012 y+ y 2 +2012  2012<br /> <br /> 2) Giải hệ phương trình <br /> .<br /> 2<br /> 2<br /> <br />  x + z - 4(y+z)+8  0<br /> Câu III (2,0 điểm)<br /> 1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì (n2 + n + 1) không chia hết cho 9.<br /> 2) Xét phương trình x2 – m2x + 2m + 2 = 0 (1) (ẩn x). Tìm các giá trị nguyên<br /> dương của m để phương trình (1) có nghiệm nguyên.<br /> <br /> Câu IV (3,0 điểm)<br /> Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC ngoại tiếp đường tròn tâm O.<br /> Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB, AC, BC; BO cắt EF<br /> tại I. M là điểm di chuyển trên đoạn CE.<br /> 1) Tính BIF .<br /> 2) Gọi H là giao điểm của BM và EF. Chứng minh rằng nếu AM = AB thì tứ<br /> giác ABHI nội tiếp.<br /> <br /> 3) Gọi N là giao điểm của BM với cung nhỏ EF của (O), P và Q lần lượt là<br /> hình chiếu của N trên các đường thẳng DE, DF. Xác định vị trí của điểm M để<br /> PQ lớn nhất.<br /> <br /> Câu V (1,0 điểm)<br /> <br /> Cho 3 số a, b, c thỏa mãn 0  a  b  c  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu<br />  1<br /> <br /> 1<br /> 1 <br /> +<br /> .<br />  a+1 b+1 c+1 <br /> <br /> thức B  (a+b+c+3) <br /> <br /> +<br /> <br /> ----------------------------Hết---------------------------Họ và tên thí sinh…………………………Số báo danh………………...………………<br /> Chữ kí của giám thị 1: ……………………… Chữ kí của giám thị 2:<br /> <br /> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> HẢI DƯƠNG<br /> <br /> KÌ THI HỌC SINH GIỎI<br /> NĂM HỌC 2012 - 2013<br /> <br /> HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN (chuyên)<br /> Hướng dẫn chấm gồm : 03 trang<br /> I) HƯỚNG DẪN CHUNG.<br /> - Thí sinh làm bài theo cách riêng nhưng đáp ứng được yêu cầu cơ bản vẫn cho đủ<br /> điểm.<br /> - Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải được thống nhất trong Hội<br /> đồng chấm.<br /> - Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm.<br /> II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM.<br /> Câu<br /> Nội dung<br /> Điểm<br /> Câu I<br /> (2,0đ)<br /> 1) 1,0 điểm a 2 (b - 2c) +b2 (c - a) + 2c2 (a - b) + abc=2c2 (a - b)+ab(a-b)-c(a 2  b2 )  ac(a  0,25<br /> b)<br />  (a  b)[2c 2  2ac  ab  bc]<br />  (a  b)[2c(c  a)  b(a  c)]<br />  (a  b)(a  c)(b  2c)<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 2) 1,0 điểm Có x = 3 y- y2 + 1  3 y+ y2 + 1<br />  x 3 = 2y +3 3 y - y 2 + 1 . 3 y+ y 2 + 1  3 y- y 2 +1  3 y+ y 2 +1 <br /> <br /> <br /> 3<br />  x + 3x -2y = 0<br /> <br /> 0,25<br /> A = x 4 + x3 y + 3x 2 - 2xy + 3xy - 2y2 + 1 = (x 4 +3x 2 -2xy) +(x3 y+3xy - 2y2 )  10,25<br />  x(x3 +3x-2y) +y(x 3 +3x - 2y)  1  1<br /> <br /> Câu II<br /> (1,0đ)<br /> 1)1,0 điểm<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> phương trình đã cho tương đương với ( x  2)2  7 ( x2  4)2  5  35<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> (1)<br /> <br /> 2)1,0 điểm<br /> <br /> ( x  2)2  7  7x <br /> <br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> Do 2<br />   ( x  2)  7  ( x  4)  5  35x<br /> 2<br /> ( x  4)  5  5x <br /> <br /> 2<br /> <br /> ( x  2)  7  7<br /> (1)   2<br /> 2<br /> <br /> ( x  4)  5  5<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> x=2<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> (x+ x +2012)(y+ y +2012)  2012 (1)<br />  2 2<br /> (2)<br /> <br />  x + z - 4(y+z)+8=0<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> <br /> <br /> (1)  x  x 2  2012<br /> <br /> (Do<br /> <br />  y <br /> <br /> y 2  2012  y  0y )<br /> <br /> y 2  2012<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> y 2  2012  y  2012<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> <br /> <br /> y 2  2012  y<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  x  x 2  2012 2012  2012<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> y 2  2012  y  x  x 2  2012 <br /> <br />  x  y  y 2  2012  x 2  2012<br /> <br /> <br />  x y <br /> <br /> y 2  2012  x 2  2012<br /> <br /> <br /> <br /> y 2  2012  x 2  2012<br /> <br /> y 2  2012  y<br /> <br /> <br /> <br /> y  2012  x  2012<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> y 2  x2<br /> <br />  x y <br /> <br /> y 2  2012  x 2  2012<br /> <br />  ( x  y)<br /> <br /> y 2  2012  y  x 2  2012  x<br /> y 2  2012  x 2  2012<br /> <br /> Do<br /> <br /> 0<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> y 2  2012 | y | yy <br /> <br /> 2<br /> 2<br />   y  2012  y  x  2012  x  0  y   x<br /> x 2  2012 | x |  xx <br /> <br /> <br /> Thay y=-x vào(2)  x2  z 2  4 x  4 z  8  0  ( x  2)2  ( z  2)2  0<br /> ( x  2) 2  0<br />  x  2<br /> <br /> <br /> <br />  y   x  2 Vậy hệ có nghiệm (x;y;z)=(2<br /> ( z  2)  0<br /> z  2<br /> <br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 2;2;2).<br /> Câu III<br /> (2,0đ)<br /> 1)1,0 điểm<br /> <br /> 2)1,0 điểm<br /> <br /> Đặt A = n2 + n + 1 do n  n = 3k; n = 3k + 1; n = 3k + 2 (k<br />  )<br /> * n = 3k => A không chia hết cho 9 (vì A không chia hết cho 3)<br /> * n = 3k + 1 => A = 9k2 + 9k + 3 không chia hết cho 9.<br /> * n = 3k +2 => A = 9k2 +9k+7 không chia hết cho 9<br /> Vậy với mọi số nguyên n thì A = n2 + n + 1 không chia hết cho 9.<br /> Gi¶ sö tån t¹i m  * ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1, x2<br />  x1  x2  m2<br /> <br /> Theo vi-et: <br /> Với m <br /> <br /> *<br /> <br /> *<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br />  (x1 - 1) (x2 - 1) = - m2 + 2m + 3<br /> <br />  x1 x2  2m  2<br /> . Ta cã x1x2  4 vµ x1 + x2  1 mà x1hoÆc x2 nguyªn vµ<br /> <br /> x1  x2  m2 <br /> <br /> 0,25<br /> <br />  x1 , x2 <br /> <br /> *<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  ( x1  1)( x2  1)  0<br /> <br />  m2  2m  3  0  (m  1)(m  3)  0  m  3  m {1;2;3}<br /> <br /> Víi m = 1; m = 2 thay vµo ta thÊy ph¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm.<br /> Víi m = 3 thay vµo ph¬ng tr×nh ta ®îc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®·<br /> cho lµ x =1; x = 8 tho¶ m·n. VËy m= 3<br /> Câu IV<br /> (2,0đ)<br /> 1) 1,0 điểm Vẽ hình đúng theo yêu cầu chung của đề<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> B<br /> <br /> F<br /> <br /> K<br /> <br /> H<br /> <br /> D<br /> O<br /> I<br /> <br /> A<br /> <br /> E<br /> <br /> C<br /> <br /> M<br /> <br /> Gọi K là giao điểm của BO với DF => ΔIKF vuông tại K<br /> 1<br /> 2<br /> <br /> Có DFE= DOE=450<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br />  BIF  450<br /> <br /> 2) 1,0 điểm Khi AM = AB thì ΔABM vuông cân tại A => DBH=450 .Có<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> DFH=450<br /> <br /> => Tứ giác BDHF nội tiếp<br /> => 5 điểm B, D, O, H, F cùng thuộc một đường tròn.<br /> => BFO=BHO  900 => OH  BM , mà OA  BM => A, O, H<br /> thẳng hàng<br /> BAH=BIH  450 => Tứ giác ABHI nội tiếp.<br /> 3) 1,0 điểm<br /> <br /> B<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> F<br /> P<br /> <br /> D<br /> <br /> O<br /> N<br /> <br /> A<br /> <br /> E<br /> <br /> M<br /> <br /> C<br /> <br /> Q<br /> <br /> Có tứ giác PNQD nội tiếp = > QPN=QDN=EFN .<br /> Tương tự có NQP=NDP=FEN => ΔNEF và ΔNQP đồng dạng<br /> =><br /> <br /> PQ NQ<br /> =<br />  1  PQ  EF<br /> EF NE<br /> <br /> Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi P  F; Q  E => DN là đường kính<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> Câu V<br /> (1,0đ)<br /> <br /> của (O) => PQ lớn nhất bằng EF.<br /> Cách xác định điểm M : Kẻ đường kính DN của (O), BN cắt AC tại<br /> M thì PQ lớn nhất.<br /> Đặt x=1+c, y=1+b, z=1+a do 0  a  b  c  1 = >1  z  y  x  2<br /> 1<br /> x<br /> <br /> Khi đó A= (x+y+z)( <br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> x x y y z z<br /> 1 1<br />  )=3+ 3      <br /> y z x z x y<br /> y z<br /> <br />  x  y <br /> x y x. y<br /> x y x<br />  0    1<br /> 1  1    0  1   <br /> y z y.z<br /> y z z<br />  y  z <br />  z  y <br /> z y z. y<br /> z y z<br />  0    1<br /> 1  1    0  1   <br /> y x y.x<br /> y x x<br />  y  x <br /> x y z y x z<br /> x x y y z z<br /> x z<br />        2        2    2<br /> y z y x z x<br /> y z x z x y<br /> z x<br /> x<br /> Đặt = t => 1  t  2<br /> z<br /> x z<br /> 1 t 2  1 2t 2  5t  2 5 (2t  1)(t  2) 5<br />  t <br /> <br />  <br /> <br /> z x<br /> t<br /> t<br /> 2t<br /> 2<br /> 2t<br /> 2<br /> (2t  1)(t  2)<br /> x z 5<br /> 0   <br /> Do 1  t  2 <br /> 2t<br /> z x 2<br /> 5<br />  A  3  2.  2  10<br /> 2<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Ta thấy khi a=b=0 và c=1 thì A=10 nên giá trị lớn nhất của A là 10<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br />