Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán (Chuyên) năm 2015-2016 - Trường ĐH SP Hà Nội

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> Trường Đại học Sư phạm Hà Nội<br /> <br /> CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM<br /> Độc lập – Tự do – Hạnh phúc<br /> <br /> ĐỀ THI TUYỂN SINH<br /> VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2015<br /> Môn thi :TOÁN<br /> (Dùng cho mọi thí sinh vào trường chuyên)<br /> Thời gian làm bài 120 phút<br /> 2<br /> <br />  a b  1 1 <br />    1  <br /> b a  a b <br /> Câu 1. (2.5 điểm) Cho biểu thức P   2<br /> với a > 0, b > 0 a  b<br /> a b2  a b <br />    <br /> b2 a 2  b a <br /> 1<br /> 1. Chứng minh p <br /> .<br /> ab<br /> 2. Giả sử a, b thay đổi sao cho 4a  b  ab  1 . Tìm min P.<br /> Câu 2. (2 điểm) cho hệ phương trình.<br />  x  my  2  4m<br /> <br /> mx  y  3m  1<br /> Với m là tham số<br /> 1. Giải phương trình khi m = 2.<br /> 2. Chứng minh hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Giả sử (x0, y0) là một nghiệm của của hệ<br /> 2<br /> 2<br /> phương trình. Chứng minh đẳng thức x0  y0  5  x0  y0   10  0 .<br /> Câu 3. (1.5 điểm)<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> Cho a, b là các số thực khác 0. Biết rằng phương trình a  x  a   b  x  b   0<br /> Có nghiệm duy nhất. Chứng minh a  b<br /> Câu 4. (3 điểm) Cho tam giác ABC có các góc ABC và góc ACB nhọn góc BAC = 600 . Các<br /> đường phân giác trong BB1, CC1 của tam giác ABC cắt nhau tại I.<br /> 1. Chứng minh tứ giác AB1IC1 nội tiếp.<br /> 2. Gọi K là giao điểm thứ hai khác B của đường thẳng BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác<br /> BC1I. Chứng minh tứ giác CKIB1 nội tiếp.<br /> 3. Chứng minh AK  B1C1 .<br /> Câu 5. (1 điểm) Tìm các số thực không âm a và b thỏa mãn:<br /> 3  2<br /> 3 <br /> 1 <br /> 1<br />  2<br />  a  b    b  a     2a    2b  <br /> 4 <br /> 4 <br /> 2 <br /> 2<br /> <br /> <br /> Hướng dẫn giải<br /> Câu 1 (2.5 điểm)<br /> 2<br /> <br />  a b  1 1 <br />    1  <br /> b a  a b <br /> 1. Cho biểu thức P   2<br /> với a>0 , b>0 a  b<br /> a b2  a b <br />    <br /> b2 a 2  b a <br /> 2<br /> 2<br /> 2<br />  a 2  b 2  ab   a  2ab  b  a 4  b 4  a 3b  ab3<br />  a b  1 1 <br /> <br /> <br />    1  <br /> ab<br /> a 2b 2<br /> 1<br />  b a  a b   <br /> <br /> a 3b 3<br /> P 2<br />  4<br /> <br /> 2<br /> 4<br /> 4<br /> 3<br /> 3<br /> 4<br /> 3<br /> 3<br /> a b a b<br /> a  b  a b  ab<br /> a  b  a b  ab<br /> ab<br />  2   <br /> 2<br /> 2 2<br /> 2 2<br /> b<br /> a b a<br /> ab<br /> ab<br /> <br /> 2. Giả sử a, b thay đổi sao cho 4a  b  ab  1 . Tìm min P<br /> Áp dụng bât đẳng thức cosi ta có<br /> 1  4a  b  ab  5 ab<br /> 1<br /> <br />  25<br /> ab<br /> Dấu bằng xảy ra khi b = 4a và 1 = 25ab suy ra 1 = 100b2 suy ra b <br /> <br /> 1<br /> 2<br /> a<br /> 10<br /> 5<br /> <br /> Câu 2 (2 điểm) cho hệ phương trình.<br />  x  my  2  4m<br /> <br /> mx  y  3m  1<br /> Với m là tham số<br /> 1 Giải phương trình khi m = 2<br /> 2. Chứng minh hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Giả sử (x0,y0) là một nghiệm của của hệ<br /> 2<br /> 2<br /> phương trình .chứn minh đẳng thức x0  y0  5  x0  y0   10  0 1.<br /> 1. Thay m = 2 ta có<br /> 19<br /> <br /> y  5<br />  x  2 y  6<br />  2 x  4 y  12<br />  5 y  19<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2 x  y  7<br /> 2 x  y  7<br /> 2 x  y  7<br /> 2 x  19  7<br /> <br /> 5<br /> <br /> 19<br /> <br /> y  5<br /> <br /> <br /> x  9<br /> <br /> 5<br /> <br /> <br />  x  my  2  4m<br />  x  my  2  4m<br /> <br /> <br /> mx  y  3m  1<br /> m(my  2  4m)  y  3m  1<br />  x  my  2  4m<br /> 2.   2<br /> 2<br />  m y  2m  4m  y  3m  1<br /> <br /> 3m 2  3m  2<br />  x  my  2  4m<br /> x<br /> <br />  x  my  2  4m<br /> <br /> <br /> m2  1<br />  2<br /> <br /> m  1  4m 2  <br /> 2<br /> 2<br /> (m  1) y  m  1  4m<br /> y <br />  y  m  1  4m<br /> 2<br /> m 1<br /> <br /> <br /> m2  1<br /> <br /> Vì m2 +1 khác 0 phương trình có nghiệm duy nhất với mọi m.<br /> 2. Chứng minh hệ luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Giả sử (x0,y0) là một nghiệm của của<br /> 2<br /> 2<br /> hệ phương trình .chứn minh đẳng thức x0  y0  5  x0  y0   10  0 1.<br /> <br /> 3m 2  3m  2<br /> x0 <br /> <br /> <br /> m2  1<br /> Thay <br /> 2<br />  y  m  1  4m<br /> 0<br /> <br /> m2  1<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> 2<br /> x0  y0  5  x0  y0   10   x0  3   y0  4   x0  3 y0  15<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br />  3m 2  3m  2  3m 2  3   4m 2  m  1  4m 2  4 <br /> <br />  <br />   15<br /> m2  1<br /> m2  1<br /> <br />  <br /> <br /> Ta có<br /> <br /> 2<br /> <br /> 3m 2  3m  2 3m  3  12m2  3m  1   m  3 <br /> <br /> <br />  2<br />   2 <br /> m2  1<br /> m2  1<br />  m 1   m 1 <br /> 3m 2  3m  2 3m  3  12m2<br /> <br /> <br />  15  0<br /> m2  1<br /> m2  1<br /> 2<br /> 2<br /> x0  y0  5  x0  y0   10  0<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> 2<br /> Cách 2.  x0  5 x0  6  y0  5 y0  4  0<br /> <br />   x0  3 x0  2    y0  1 y0  4   0<br /> <br /> <br /> 3m 2  3m  2<br /> x0 <br /> <br /> <br /> m2  1<br /> 2<br /> 2<br /> Thay <br /> ta đươc . x0  y0  5  x0  y0   10  0<br /> 2<br />  y  m  1  4m<br />  0<br /> m2  1<br /> <br /> Câu 3 (1.5 điểm)<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> Cho a, b là các số thực khác o . Biết rằng phương trình a  x  a   b  x  b   0<br /> Có nghiệm duy nhất . Chứng minh a  b<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> a  x  a   b  x  b  0<br />  ax 2  2ax  a 3  bx 2  2bx  b3  0<br />  x 2  a  b   2 x  a 2  b 2   a 3  b3  0<br /> <br /> Nếu a + b = 0 thi phương trình có nghiệm x = 0.<br /> Nếu a + b  0. ta có<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br />   2  a 2  b 2    a  b   a 3  b 3 <br /> 2<br /> <br />  2a 2b 2  ab3  a 3b   ab  a  b <br /> Nếu a và b khác dấu thì phương trình có nghiệm với mọi m<br /> Nếu a và b cùng dấu thì phương trình vô nghiệm<br /> Phương trình có nghiêm duy nhất khi a và b khác dấu và   0 suy ra a  b .<br /> Câu 4<br /> <br /> A<br /> B1<br /> C1<br /> I<br /> B<br /> <br /> K<br /> <br /> C<br /> <br /> 1. Ta có B1 IC1  BIC  120o  B1 IC1  BAC  120o  60o  1800 . Mà hai góc này đối nhau<br /> Nên tứ giác AB1IC1 nội tiếp (đpcm).<br /> 2. Vì tứ giác BC1IK nội tiếp nên BIC1  BKC1  60o (góc nội tiếp cùng chắn BC1 )<br /> Và BIK  BC1 K ( góc nội tiếp cùng chắn BK )<br /> Xét tam giác ABC: KCB1  180o  BAC  ABC  180o  60o  ABC  1200  ABC<br /> Xét tam giác BC1K: BIK  BC1 K  180o  BKC1  ABC  180o  60o  ABC  1200  ABC<br /> Suy ra KCB1  BIK  Tứ giác CKIB1 nội tiếp (đpcm).<br /> 3. Vì BIC1  BAC  60o  Tứ giác ACKC1 nội tiếp  KAC1  KCC1 (cùng chắn cung KC1)<br /> Và AKC1  ACC1 (cùng chắn cung AC1). Mà ACC1  KCC1 (GT)<br /> <br /> Suy ra KAC1  AKC1  Tam giác C1AK cân tại C1  C1A = C1K (1)<br /> CMTT: B1A = B1K (2)<br /> Từ (1), (2) suy ra B1C1 là đường trung trực của AK nên AK  B1C1 (đpcm<br /> Câu 5 (1 điểm). Tìm các số thực không âm a và b thỏa mãn<br /> 3  2<br /> 3 <br /> 1 <br /> 1<br />  2<br />  a  b    b  a     2a    2b  <br /> 4 <br /> 4 <br /> 2 <br /> 2<br /> <br /> Áp dụng bất đẳng thức cosi<br /> 3  2<br /> 3  2 1<br /> 1  2 1<br /> 1 <br /> 1<br />  2<br />  a  b   b  a     a   b   b   a     a  b  <br /> 4 <br /> 4 <br /> 4<br /> 2 <br /> 4<br /> 2 <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1 <br /> 1 <br /> 1<br /> <br />  a  b     2a   2b   .<br /> 2 <br /> 2 <br /> 2<br /> <br /> Dấu bằng xảy ra khi a= b = ½<br /> <br /> 2<br /> <br />