Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm học 2015 - 2016 trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ

SỞ GD & ĐT HOÀ BÌNH<br /> <br /> KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10<br /> TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ<br /> NĂM HỌC 2015-2016<br /> ĐỀ THI MÔN TOÁN<br /> (DÀNH CHO CHUYÊN TOÁN)<br /> Ngày thi: 07 tháng 6 năm 2015<br /> Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)<br /> (Đề thi gồm có 01 trang, 05 câu)<br /> <br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> Câu I (2,0 điểm)<br /> 1) Tính giá trị của các biểu thức sau:<br /> a) A <br /> b) B <br /> <br /> 4<br /> 8<br /> 15<br /> <br /> <br /> 3  5 1 5<br /> 5<br /> 22<br /> <br /> 2 1 <br /> <br /> 2 2<br /> <br /> 2 1<br /> <br /> 2) Rút gọn biểu thức:<br /> C<br /> <br /> a2  a<br /> a2  a<br /> <br />  a 1<br /> a  a 1 a  a 1<br /> <br /> Câu II (2,0 điểm)<br /> 1) Giải phương trình:<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> 3x  1 2 x  4 9 x  2 5  4 x<br /> <br /> x  y  z<br /> <br /> 2) Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình: <br /> <br /> 3<br /> 3<br /> 2<br /> x  y  z<br /> <br /> Câu III (2,0 điểm)<br /> Một vận động viên A chạy từ chân đồi đến đỉnh đồi cách nhau 6km với vận tốc 10km/h rồi chạy<br /> xuống dốc với vận tốc 15km/h. Vận động viên B chạy từ chân đồi lên đỉnh đồi với vận tốc<br /> 12km/h và gặp vận động viên A đang chạy xuống. Hỏi điểm hai người gặp nhau cách đỉnh đồi<br /> bao nhiêu ki-lô-mét, biết rằng B chạy sau A là 15 phút.<br /> Câu IV (3,0 điểm)<br /> Cho nửa đường tròn đường kính AB và dây MN có độ dài bằng bán kính (M thuộc cung AN, M<br /> khác A, N khác B). Các tia AM và BN cắt nhau tại I, các dây AN và BM cắt nhau tại K.<br /> 1) Chứng minh rằng: IK vuông góc với AB.<br /> 2) Chứng minh rằng:AK.AN+BK.BM=AB2<br /> 3) Tìm vị trí của dây MN để diện tích tam giác IAB lớn nhất.<br /> Câu V (1,0 điểm)<br /> 1) Chứng minh rằng nếu p và (p+2) là hai số nguyên tố lớn hơn 3 thì tổng của chúng chia<br /> hết cho 12.<br />  x  0, y  0, z  0<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> .Chứng minh rằng:<br /> <br /> <br /> 1<br /> x  y 1 y  z 1 z  x 1<br />  xyz  1<br /> <br /> 2) Cho <br /> <br /> -------- Hết --------<br /> <br /> SỞ GD & ĐT HOÀ BÌNH<br /> <br /> KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10<br /> TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ<br /> NĂM HỌC 2015-2016<br /> HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN<br /> (DÀNH CHO CHUYÊN TOÁN)<br /> (Hướng dẫn chấm này gồm có 03 trang)<br /> <br /> Câu I (2,0 điểm)<br /> Phần<br /> ý<br /> 1<br /> 4<br /> 8<br /> 15<br /> A<br /> <br /> <br /> 3  5 1 5<br /> 5<br /> <br /> <br /> <br /> Điểm<br /> 0,5đ<br /> <br /> 4(3  5) 8(1  5) 15 5<br /> <br /> <br />  3 5  2 2 5 3 5  5<br /> 4<br /> 4<br /> 5<br /> <br /> B<br /> <br /> 22<br /> <br /> 2 1 <br /> <br />  (<br /> <br /> 2  1  1) 2  (<br /> <br /> <br /> 2 1 1 1 <br /> 2<br /> 2<br /> <br /> Nội dung<br /> <br /> C<br /> C<br /> <br /> 2 2<br /> <br /> 2 1<br /> <br /> 2  1  1) 2<br /> <br /> 2 1<br /> <br /> a2  a<br /> a2  a<br /> <br />  a 1<br /> a  a 1 a  a 1<br /> a ( a )3  1<br /> a  a 1<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> <br /> <br /> a ( a )3  1<br /> a  a 1<br /> <br /> (DK : a  0)<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br />  a 1<br /> <br />  a ( a  1)  a ( a  1)  a  1<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br />  a  a  a  a  a 1<br />  ( a  1) 2<br /> <br /> Câu II (2,0 điểm)<br /> Phần<br /> Nội dung<br /> ý<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 2<br /> 5<br /> : ĐK: x  , x  2, x  , x <br /> <br /> <br /> <br /> 3x  1 2 x  4 9 x  2 5  4 x<br /> 3<br /> 9<br /> 4<br /> 5x  3<br /> 5x  3<br /> Ta có pt:<br /> <br /> (3x  1)(2 x  4) (9 x  2)(5  4 x)<br /> <br /> Điểm<br /> 0,25đ<br /> 0,25đ<br /> <br /> 2<br /> <br /> 3<br /> 3<br /> <br /> <br /> x<br /> x<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 5<br /> 5<br />  2<br /> <br /> 2<br /> 6 x  12 x  2 x  4  36 x  45 x  8 x  10<br /> (3x  1)(2 x  4)  (9 x  2)(5  4 x)<br /> 3<br /> <br />  x   5 (TM )<br /> <br /> 6<br />   x  (TM )<br /> <br /> 7<br /> <br />  x  1 (TM )<br /> <br /> 6<br /> Vậy phương trình đã có có 3 nghiệm phân biệt như trên.<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> Ta có: x3  y3  ( x  y)2  ( x  y)( x 2  xy  y 2  x  y)  0<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> Vì x, y nguyên dương nên x+y  0, ta có: x2  xy  y 2  x  y  0<br /> <br />  2( x 2  xy  y 2  x  y )  0<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br />  ( x  y )2  ( x  1)2  (y 1)2  2<br /> Vì x, y nguyên nên có 3 trường hợp:<br /> x  y  0<br /> <br /> + Trường hợp 1: ( x  1)2  1  x  y  2, z  4<br /> ( y  1)2  1<br /> <br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> x 1  0<br /> <br /> + Trường hợp 2: ( x  y ) 2  1  x  1, y  2, z  3<br /> ( y  1) 2  1<br /> <br />  y 1  0<br /> <br /> + Trường hợp 3: ( x  y ) 2  1  x  2, y  1, z  3<br /> (x  1) 2  1<br /> <br /> Vậy hệ có 3 nghiệm (1,2,3);(2,1,3);(2,2,4)<br /> Câu III (2,0 điểm)<br /> Phần<br /> Nội dung<br /> ý<br /> Gọi điểm 2 vận động viên gặp nhau cách đỉnh đồi x km (x>0)<br /> 1<br /> 6 x<br /> Thời gian B đã chạy là<br /> . Đổi 15p = (giờ)<br /> 4<br /> 12<br /> 6 3<br /> Thời gian A đã chạy từ chân đồi đến đỉnh đồi là<br />  (giờ)<br /> 10 5<br /> x<br /> Thời gian A đã chạy từ đỉnh đồi đến chỗ gặp nhau là<br /> .<br /> 15<br /> 1 6 x x 3<br />  <br /> Ta có phương trình <br /> 4 12<br /> 15 5<br /> Giải phương trình được x= 1(km) . KL<br /> Câu IV (3,0 điểm)<br /> Phần<br /> Nội dung<br /> <br /> 0,25đ<br /> Điểm<br /> 0,25đ<br /> 0,25đ<br /> 0,25đ<br /> 0,25đ<br /> 0,5đ<br /> 0,5đ<br /> Điểm<br /> <br /> ý<br /> <br /> Ta thấy AN BI ,BM AI , nên K là trực tâm tam giác IAB. Do đó IK AB<br /> Vì AEK∽ ANB ∽ nên AK. AN =AE .AB<br /> Tương tự vì BEK∽ BMA ∽ nên BK .BM =BE. BA<br /> Vậy AK.AN+BK.BM=AE.AB+BE.BA=AB2<br /> Chỉ ra sđ MN=60o nên tính được AIB=60o , do đó điểm I thuộc cung chứa góc 60o dựng trên<br /> 3<br /> đoạn AB.<br /> Diện tích tam giác IAB lớn nhất khi IE lớn nhất (IE là đường cao của tam giác IAB), khi đó I<br /> nằm chính giữa cung chứa góc 60o dựng trên đoạn AB tương ứng với MN song song với AB.<br /> Câu V (1,0 điểm)<br /> Phần<br /> Nội dung<br /> ý<br /> Ta có: p+(p+2)=2(p+1)<br /> 1<br /> Vì p lẻ nên ( p  1) 2  2( p  1) 4 (1)<br /> 1<br /> 2<br /> <br /> Vì p, (p+1), (p+2) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất một số chia hết cho 3, mà p và (p+2)<br /> nguyên tố nên ( p  1) 3 (2)<br /> <br /> 1,0đ<br /> 0,25đ<br /> 0,25đ<br /> 0,5đ<br /> 0,5đ<br /> 0,5đ<br /> <br /> Điểm<br /> 0,25đ<br /> 0,25đ<br /> <br /> Từ (1) và (2) suy ra  p  ( p  2) 12 (đpcm)<br /> 2<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br />  x  a3<br /> <br />  x, y, z  0<br /> a, b, c  0<br /> Đặt  y  b3 , vì <br />  <br />  xyz  1<br /> abc  1<br />  z  c3<br /> <br /> Ta có<br /> x  y  1  a3  b3  1  (a  b)(a 2  ab  b2 )  1  (a  b)ab  1  ab(a  b  c) <br /> <br /> Do đó<br /> 1<br /> c<br /> <br /> x  y 1 a  b  c<br /> Tương tự ta có<br /> <br /> abc<br /> c<br /> <br /> 0,25đ<br /> <br /> 1<br /> a<br /> <br /> y  z 1 a  b  c<br /> 1<br /> b<br /> <br /> z  x 1 a  b  c<br /> Cộng 3 bất đẳng thức trên theo vế ta có đpcm.<br /> * Chú ý: Các lời giải đúng khác đều được xem xét cho điểm tương ứng.<br /> <br />