Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Phan Bội Châu môn Toán năm học 2012 - 2013 - Sở GD&ĐT Nghệ An

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN<br /> Đề thi chính thức<br /> <br /> KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10<br /> TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU<br /> NĂM HỌC 2012- 2013<br /> <br /> Môn thi: TOÁN<br /> Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)<br /> <br /> Câu 1 (7,0 điểm).<br /> a) Giải phương trình: ( x  1  1)(5  x )  2x.<br />  x 2  2 xy  x  2 y  3  0<br /> b) Giải hệ phương trình:  2<br /> 2<br />  y  x  2 xy  2 x  2  0.<br /> <br /> Câu 2 (3,0 điểm).<br /> Tìm các số tự nhiên x và y thoả mãn 2 x  1  y 2 .<br /> Câu 3 (2,0 điểm).<br /> Cho ba số dương x, y, z thoả mãn<br /> <br /> 1 1 1<br />    1. Chứng minh rằng:<br /> x y z<br /> <br /> x  yz  y  zx  z  xy  xyz  x  y  z .<br /> <br /> Câu 4 (6,0 điểm).<br /> Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên đường tròn lấy điểm D khác A và<br /> DAB  600. Trên đường kính AB lấy điểm C (C khác A, B) và kẻ CH vuông góc với<br /> AD tại H. Phân giác trong của góc DAB cắt đường tròn tại E và cắt CH tại F. Đường<br /> thẳng DF cắt đường tròn tại điểm thứ hai N.<br /> a) Chứng minh tứ giác AFCN nội tiếp đường tròn và ba điểm N, C, E thẳng hàng.<br /> b) Cho AD = BC, chứng minh DN đi qua trung điểm của AC.<br /> Câu 5 (2,0 điểm).<br /> Một tứ giác lồi có độ dài bốn cạnh đều là số tự nhiên sao cho tổng ba số bất kì<br /> trong chúng chia hết cho số còn lại. Chứng minh rằng tứ giác đó có ít nhất hai cạnh<br /> bằng nhau.<br /> --------- Hết -------Họ và tên thí sinh:.............................................. Số báo danh:.....................................<br /> Chữ ký của Giám thị 1:................................. Chữ ký của Giám thị 2:.........................<br /> <br /> SỞ GD&ĐT NGHỆ AN<br /> <br /> KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10<br /> TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU<br /> NĂM HỌC 2012- 2013<br /> <br /> HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN<br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> (Hướng dẫn và biểu điểm này gồm có 3 trang)<br /> 7,0 điểm<br /> <br /> Câu 1<br /> ĐK : x  1  0  x  1.<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Với x  0 không là nghiệm của phương trình<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Với x  0 , nhân 2 vế với<br /> x 5  x   2x<br /> <br /> a)<br /> <br /> 4,0 điểm<br /> <br /> b)<br /> <br /> <br /> <br /> x  1  1  0 ta được<br /> <br /> <br /> <br /> x 1 1<br /> <br />  2 x 1  7  x<br /> 7  x  0<br /> <br /> 2<br /> 4  x  1   7  x <br /> x  7<br />  2<br />  x  18 x  45  0<br /> x  7<br /> <br />   x  3<br />   x  15<br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br />  x  3 (thoả mãn các điều kiện).<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Vậy phương trình có nghiệm x  3.<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2<br /> 2<br /> <br /> <br />  x  2 xy  x  2 y  3  0 (1)<br /> 2 x  4 xy  2 x  4 y  6  0<br />  2<br />  2<br /> 2<br /> 2<br />  y  x  2 xy  2 x  2  0 (2) <br />  y  x  2 xy  2 x  2  0<br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br />  x 2  y 2  2 xy  4 x  4 y  4  0<br /> <br /> 0,5<br /> <br />   x  y  2  0<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  y  x  2 . Thay vào pt (1) ta được<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2<br /> <br /> x2  5x  1  0  x <br /> <br /> 3,0 điểm<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 5  21<br /> 2<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Vậy hệ có hai nghiệm ( x; y) là<br />  5  21 1  21   5  21 1  21 <br /> ;<br /> ;<br /> <br /> , <br /> .<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> <br />  <br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 3,0 điểm<br /> <br /> Câu 2<br /> 2 x  1  y 2  2 x  y 2  1  2 x   y  1 y  1.<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Đặt y  1  2m , y  1  2n ( m, n  ; m  n ).<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Khi đó 2m  2n  y  1   y  1  2<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  2n 2mn  1  2<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> n<br /> <br /> 2  2<br />   mn<br />  n  1; m  2 ; thoả mãn đk m, n  ; m  n<br /> 2<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> <br /> Vậy x  3; y  3.<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> 2,0 điểm<br /> <br /> Câu 3<br /> Bất đẳng thức đã cho tương đương với<br /> a  bc  b  ca  c  ab  1  ab  bc  ca ,<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> với a  , b  , c  , a  b  c  1.<br /> x<br /> y<br /> z<br /> Ta có:<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> a  bc  a(a  b  c)  bc<br /> <br /> 0,75<br /> <br />  a  a(b  c)  bc  a  2a bc  bc  a  bc .<br /> 2<br /> <br /> Tương tự:<br /> <br /> 2<br /> <br /> b  ca  b  ca ; c  ab  c  ab.<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Từ đó ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi x  y  z  3.<br /> <br /> 0,5<br /> 6,0 điểm<br /> <br /> Câu 4<br /> E<br /> D<br /> <br /> H<br /> <br /> F<br /> <br /> A<br /> O<br /> <br /> C<br /> <br /> B<br /> <br /> M<br /> <br /> a)<br /> N<br /> <br /> 4,0 điểm<br /> Ta có : ACH  ABD (so le trong)<br /> <br /> (1)<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> mà AND  ABD (góc nội tiếp cùng chắn một cung)<br /> <br /> (2)<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> từ (1) và (2) suy ra AND  ACH hay ANF  ACF<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> suy ra tứ giác AFCN nội tiếp đường tròn<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> AFCN nội tiếp đường tròn  CNF  CAF hay CND  BAE (3)<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Mặt khác BAE  DAE  DNE<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> (4)<br /> <br /> b)<br /> <br /> 2,0 điểm<br /> <br /> từ (3) và (4) suy ra CND  END<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  N, C, E thẳng hàng<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt tia DN tại M<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Ta có DAB  ACM (so le trong)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Mà DAB  DNB (góc nội tiếp cùng chắn một cung)<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  ACM  DNB  tứ giác BCMN nội tiếp đường tròn<br />  CBM  END; CMB  ENB (vì N, C, E thẳng hàng)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> mặt khác END  ENB  CBM  CMB<br />  CB = CM . lại có CB = AD (gt)  AD = CM<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> AD = CM, AD//CM suy ra ADCM là hình bình hành  đpcm<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 2,0 điểm<br /> <br /> Câu 5<br /> Gọi độ dài các cạnh của tứ giác là a, b, c, d (a, b, c, d<br /> <br /> *<br /> <br /> ). Giả<br /> <br /> sử không có 2 cạnh nào của tứ giác bằng nhau. Không mất tính<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> tổng quát, giả sử a > b > c > d. (*)<br /> Do tứ giác lồi nên a < b + c +d<br />  a < b + c + d < 3a<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  2a < a + b + c + d < 4a<br /> <br /> Từ giả thiết của bài toán suy ra a + b + c + d chia hết cho các số<br /> 0.25<br /> <br /> a, b, c, d nên ta có : a + b + c + d = 3a<br /> Đặt<br /> <br /> a + b + c + d = mb với m<br /> a + b + c + d = nc với n<br /> <br /> Do a > b > c  n > m > 3<br /> <br /> (1)<br /> *<br /> <br /> (2)<br /> 0,25<br /> <br /> *<br /> <br /> (3)<br /> <br />  n  5, m  4<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Cộng (1), (2), (3) được<br /> 3(a + b + c + d) = 3a + mb + nc  3a +4b + 5c<br />  (b – d) + 2(c – d)  0 , mâu thuẫn (*)<br /> <br />  Tứ giác có ít nhất 2 cạnh bằng nhau.<br /> <br /> (Thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)<br /> <br /> 0,25<br /> <br />