ĐI TÌM BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TỨ DIỆN VUÔNG (Bài gửi đăng kỷ yếu HỘI THẢO, TẬP HUẤN QUỐC

Chia sẻ: Nguyễn Đăng Khoa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

281
lượt xem 64
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

tứ diện vuông là tứ diện có ba cạnh xuất phát từ một đỉnh đôi một vuông góc. Tứ diện vuông có các đẳng thức đơn giản liên hệ chiều cao, cạnh, góc và diện tích. Trong bài viết này, tác giả kết hợp các đẳng thức đó với các bất đẳng thức cơ bản đưa đến một số bất đẳng thức thường xuất hiện trong các đề thi Olympic, đề thi học sinh giỏi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: ĐI TÌM BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TỨ DIỆN VUÔNG (Bài gửi đăng kỷ yếu HỘI THẢO, TẬP HUẤN QUỐC

www.laisac.page.tl minhpr93@gmail.com sent to ĐI TÌM BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TỨ DIỆN VUÔNG (Bài gửi đăng kỷ yếu HỘI THẢO, TẬP HUẤN QUỐC GIA CHO GIÁO VIÊN CỐT CÁN CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN CHU KỲ 2011 – 2015, MÔN TOÁN) Lê Lễ , GV THPT chuyên Lê Quý Đôn, Ninh Thuận ĐT: 0976631898. E-mail:leeleexclqd@gmail.com Tứ diện vuông là tứ diện có ba cạnh xuất phát từ một đỉnh đôi một vuông góc. Tứ diện vuông có các đẳng thức đơn giản liên hệ chiều cao, cạnh, góc và diện tích. Trong bài viết này, tác giả kết hợp các đẳng thức đó với các bất đẳng thức cơ bản đưa đến một số bất đẳng thức thường xuất hiện trong các đề thi Olympic, đề thi học sinh giỏi. I.Bài toán mở đầu về đẳng thức .Cho tứ diện vuông SABC. SA  a, SB  b, SC  c , chiều cao SH=h. S Gọi  ,  ,  lần lượt là góc giữa SH và SA, SB, SC (  ,  ,  lần lượt cũng là góc giữa (ABC) và (SBC), (SCA), (SAB) ). S  S ABC , S1  S SBC , S 2  S SCA , S3  S SAB . A C H K B Ta có: 111 1  2 2 2. (a) 1. 2 abc h 2. S1  S2  S3  S 2 . 2 2 2 (b) 3. cos   cos   cos   1 . 2 2 2 (c) 4. tan   tan   tan   tan  tan  tan   2 . 2 2 2 2 2 2 (d) Chứng minh. 1. Lưu ý H là trực tâm ABC . Gọi {K }  AH  BC . ASK vuông tại S với 1 1 1 đường cao SH  2  2  . BSC vuông tại S với đường cao SK SA SK 2 h 1 1 1 111 1   2  2 2 2 2. 2 2 SK SB SC abc h 2 2 2 9V 2 111 1 9V 9V 9V  2 2 2 2  2. a 2 b2 c2 h2 a b c h 2 2 2 2 (a.S1 ) (b.S 2 ) (c.S3 ) (h.S )      S12  S2  S32  S 2 . 2 2 2 2 2 a b c h 2 2 2 111 1 hhh  2  2  2  2  2  2  1  cos 2   cos 2   cos 2   1 . 3. 2 ab c abc h 1 1 1 4. cos 2   cos 2   cos 2   1    1 1  tan  1  tan  1  tan 2  2 2  tan 2   tan 2   tan 2   tan 2  tan 2  tan 2   2 . II. Một số kết quả về bất đẳng thức (Các đẳng thức đều xảy ra  a  b  c ). h2 1 1 2   1. Ta có . (sử dụng (a)). S1  S 2  S3 S1  S2  S3 ( 1  1  1 ) ab  bc  ca a 2 b2 c2 h2 1
111 1  2  2  3 3 2 2 2 , ab  bc  ca  3 3 a 2b 2 c 2 Theo Cauchy: 2 abc abc 2 2 h  . S1  S2  S3 9 h2 2 . Kết quả 1. S1  S2  S3 9 (Bài đề nghị Olympic 30/4-2010) 2. Theo Bunhiacopski, (1  1  1)( S12  S22  S32 )  ( S1  S2  S3 ) 2 . Kết hợp (b)  3S 2  ( S1  S 2  S3 ) 2  3S  S1  S2  S3 . Kết quả 2. S1  S 2  S3  3S . 3. Ký hiệu r là bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện vuông SABC, ta có 1 Stp S1  S2  S3  S 1 1 1 1 11111   . r 3V 3V abch rhabc 1 1 12 111 3 Theo Bunhiacopski, (   )  3( 2  2  2 )  2 (sử dụng (a)). abc abc h 1 1 3 111 3 11 3    . abc h rh h r h h Kết quả 3.  1  3 . r (Bài đề nghị Olympic 30/4-2002) 1 111 1  2  2  2  3 3 2 2 2 , ( a  b  c ) 2  9 3 a 2b 2 c 2 4. Kết hợp (a) và Cauchy 2 h abc abc (a  b  c) 2 1 33   27   . h abc 2 h 1 33 Kết quả 4.  . h abc 1 33 1111 33 11111 5. Kết hợp     và   . h abc r a b c abc rabch 1111 33 Kết quả 5.     . r a b c abc 6. Cho a  b  c  3 . Ta có 111 111 111 3(   )  (a  b  c)(   )  9     3 . abc abc abc 3 3 1111 33 1   3 3  r  Theo kết quả 5:     . r a b c abc 6 r 3 3 Kết quả 6. a  b  c  3 , ta có r  . 6 (Bài đề nghị Olympic 30/4-2006) 2
7. Theo kết quả 5: 1111 33  r a b c abc 1 1 1 33     max{a, b, c} max{a, b, c} max{a, b, c} 3 max{a, b, c} 3 3 1    max{a, b, c}  (3  3)r . r max{a, b, c} Kết quả 7. max{a, b, c}  (3  3)r . (200 bài thi vô địch Toán) 8. Ký hiệu R là bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện vuông SABC, ta có 12 R a  b2  c2 . 2 11111111 111 Theo 3.         2  2  2 rabchabc abc ab  bc  ca  a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2  . abc R ab  bc  ca  a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2  . a 2  b2  c2 . 2abc r Sử dụng Cauchy: ab  bc  ca  3 3 a 2b 2 c 2 , a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2  3 3 a 4b 4 c 4 và a 2  b 2  c 2  3 3 a 2b 2 c 2 R 3 3 a 2b 2 c 2  3 3 a 4b 4 c 4 3( 3  1)  . 3 3 a 2b 2 c 2  . 2abc 2 r R 3( 3  1) Kết quả 8.  . 2 r (Bài đề nghị Olympic 30/4, 10 năm, 1995-2005) 9. Sử dụng Cauchy: 1 1 1 ( S12  S 2  S 2  S 2  S32  S 2 )( 2 2 )9 2 S S S2  S S3  S 2 2 2 2 1 S2 S2 S2  4( 2 2 )  9 (sử dụng (b)) S12  S 2 S 2  S 2 S3  S 2 S2 S12 S2  4(1  1 2 2 2 1 2 3 2 )  9 S12  S 2 S2  S S3  S S2 S12 S2 3   2 2 2  2 3 2) . S1  S S2  S S3  S 2 2 4 S2 S12 S2 3  2 2 2  2 3 2) . Kết quả 9. S1  S S2  S S3  S 2 2 4 (Bài đề nghị Olympic 30/4-2010) 10. Sử dụng (c) và Bunhiacopski, ta có 1.cos   1.cos   1.cos   (1  1  1)(cos 2   cos 2   cos 2  )  cos   cos   cos   3 . 3
Kết quả 10. cos   cos   cos   3 .  x, y , z  0 11. Đặt x  cos 2  , y  cos 2  , z  cos 2  . Từ (c), được  . x  y  z  1 yz zx x y 1 1 tan 2   . Tương tự: tan 2   , tan 2   1  1  . cos  2 x x y z tan 2   tan 2   tan 2   cot 2   cot 2   cot 2  x y yz z x x y z       . yz zx x y z x y x y yz z x x y y z z x          6. Ta có z x y zzxxyy 3 x y z    (Nesbit). yz zx x y 2 15 Vậy tan 2   tan 2   tan 2   cot 2   cot 2   cot 2   . 2 15 Kết quả 11. tan 2   tan 2   tan 2   cot 2   cot 2   cot 2   . 2 (Bài đề nghị Olympic 30/4, 10 năm, 1995-2005)  x, y , z  0 12. Đặt x  cos 2  , y  cos 2  , z  cos 2  . Từ (c), được  . x  y  z  1 11 Do x  y và y  x cùng dấu (hoặc cùng bằng 0), 33 11 11  z và z  y , z  x và x  z cũng vậy, nên 33 33 y 11 11 11 ( x  y )( y  x)  ( y  z )( z  y )  ( z  x )( x  z )  0 . Bất đẳng thức trên 33 33 33 y  z  2x z  x  2 y x  y  2z 1  3x 1  3 y 1  3z    0  x  y  z 0 3 3 3 3 3 3 x y z 1 1 1 3x 3 y 3z  x  y  z  x  y  z  31 x  31 y  31 z  x.32 x  y.32 y  z.32 z 333 3 3 3 sin 2  sin 2  sin 2  2 2 2  cos 2  .32 cos   cos 2  .32cos   cos 2  .32cos  . 3 3 3 2 2 2 2 2 2  cos 2  .32 cos  cos 2  .32 cos  cos 2  .32cos        3sin  3sin Kết quả 12. 3sin . (Bài đề nghị Olympic 30/4, 10 năm, 1995-2005) 13. Từ (c): cos 2   cos 2   cos 2   1  sin 2   sin 2   sin 2   2 . 0  m, n, p  1 Đặt m  sin 2  , n  sin 2  , p  sin 2  ,  . m  n  p  2 1 4 81 1 4 91 m2   (1  )(m 2  2 )  (1.m  . ) . Theo Bunhiacopski: 2 16 4m 97 97 m m 1 4 81 1 4 91 n2   (1  )(n 2  2 )  (1.n  . ) . 2 16 4n 97 97 n n 1 4 81 1 4 91 p2   (1  )( p 2  2 )  (1. p  . ) . 2 16 4p 97 97 p p 4
Do đó 1 1 1 4 91 1 1 m2   n2  2  p 2  2  [m  n  p  (   )] 2 4m n p 97 m n p 4 99 97  (2  . )  42 2 97 2  a  b  c  3.h . Đẳng thức  m  n  p  3 1 1 1 97 sin 4    sin 4   4  sin 4   4  Kết quả 13. . sin  sin  sin  4 2 (Bài đề nghị Olympic 30/4, 10 năm, 1995-2005) 14. Theo Bunhiacopski: (tan   tan   tan  ) 2  3(tan 2   tan 2   tan 2  )  3(tan 2  tan 2  tan 2   2) (sử dụng (d)) (tan   tan   tan  ) 2  6  3 tan 2  tan 2  tan 2   [cot  cot  cot  (tan   tan   tan  )]2  6 cot 2  cot 2  cot 2   3  (cot  cot   cot  cot   cot  cot  )2  6 cot 2  cot 2  cot 2   3 . Kết quả 14. (cot  cot   cot  cot   cot  cot  ) 2  6 cot 2  cot 2  cot 2   3 . (Bài đề nghị Olympic 30/4-2007) III. Một số kết quả tương tự. cos   cos  cos   cos  cos   cos    6 3. 1. cos 2  cos 2  cos 2  cos 2  cos 2  cos 2  3 2 2 . 2. sin   sin  sin   sin  sin   sin  4 2 2 2 2 y4 y4 y4 3. ( x  )  (x  )  (x  )  3( x  3 y ) 4 ,với mọi x,y dương. cos  cos  cos  2 2 2 V (h  r ) 2 . 4. hrR 2 3 Phan Rang, ngày 15 tháng 6 năm 2011 Lê Lễ , GV THPT chuyên Lê Quý Đôn, Ninh Thuận Nơi ở: 33-Mạc Thị Bưởi-Thành phố Phan Rang Tháp Chàm ĐT: 0976631898. E-mail:leeleexclqd@gmail.com 5