Điều khiển dự báo dựa trên mô hình cho hệ phi tuyến với tầm dự báo bằng 1

Chia sẻ: Thi Thi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

50
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Điều khiển dự báo theo mô hình (MPC Model Predictive Control) đã được tác giả đề cập và nghiên cứu trong một số công trình [1], [2]. Phương pháp điều khiển dự báo đã cải thiện chất lượng điều khiển một cách đáng kể so với các phương pháp khác. MPC đã được nghiên cứu và ứng dụng rộng rãi trong công nghiệp, đặc biệt là đối với hệ tuyến tính biến đổi chậm[3], [4]. Bài báo này sẽ đi sâu phân tích xây dựng mô hình dự báo cho hệ phi tuyến với thuật toán xác định phiếm hàm mục tiêu và xây dựng phương pháp điều khiển dự báo cho hệ phi tuyến với tầm dự báo bằng 1.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Điều khiển dự báo dựa trên mô hình cho hệ phi tuyến với tầm dự báo bằng 1

Lê Thị Huyền Linh và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 112(12)/2: 55 - 61 ĐIỀU KHIỂN DỰ BÁO DỰA TRÊN MÔ HÌNH CHO HỆ PHI TUYẾN VỚI TẦM DỰ BÁO BẰNG 1 Lê Thị Huyền Linh1*, Lại Khắc Lãi2, Nguyễn Thị Mai Hương1 1 Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp – ĐH Thái Nguyên 2 Đại học Thái Nguyên TÓM TẮT Điều khiển dự báo theo mô hình (MPC Model Predictive Control) đã được tác giả đề cập và nghiên cứu trong một số công trình [1], [2]. Phương pháp điều khiển dự báo đã cải thiện chất lượng điều khiển một cách đáng kể so với các phương pháp khác. MPC đã được nghiên cứu và ứng dụng rộng rãi trong công nghiệp, đặc biệt là đối với hệ tuyến tính biến đổi chậm[3], [4]. Bài báo này sẽ đi sâu phân tích xây dựng mô hình dự báo cho hệ phi tuyến với thuật toán xác định phiếm hàm mục tiêu và xây dựng phương pháp điều khiển dự báo cho hệ phi tuyến với tầm dự báo bằng 1. Từ khoá: Điều khiển dự báo, mô hình dự báo cho hệ phi tuyến với tầm dự báo bằng 1. GIỚI THIỆU CHUNG* Điều khiển dự báo dựa trên mô hình là sự kết hợp của một số lĩnh vực đã được phát triển trong lý thuyết điều khiển hiện đại, điển hình đó là hai lĩnh vực điều khiển tối ưu và nhận dạng hệ thống. Ngay như tên của nó “điều khiển dự báo dựa trên mô hình” có nghĩa là trong đó cần phải sử dụng một mô hình dự báo để ước lượng (dự báo) các giá trị của đầu ra trong tương lai để phục vụ cho bài toán điều khiển. Điều khiển dự báo dựa trên mô hình có thể kết hợp chặt chẽ hay đưa được các điều kiện ràng buộc về mặt vật lý của quá trình (như độ mở van, các hạn chế của cơ cấu chấp hành, các giới hạn của tín hiệu điều khiển v.v) trong thiết kế bộ điều khiển và chuyển hóa bài toán thiết kế bộ điều khiển thành một bài toán tối ưu. Hiện nay MPC đã trở thành một sách lược điều khiển cao cấp được chấp nhận khá rộng rãi trong một số lĩnh vực công nghiệp. Đã có hơn 3000 ứng dụng của MPC đã được thương mại hóa trong các lĩnh vực khác nhau bao gồm: công nghệ lọc hóa dầu, công nghệ xử lý thực phẩm, công nghệ ô tô, công nghệ không gian, công nghệ bột giấy và giấy v.v [4]. * Tel: 0918127781; Email: lethihuyenlinh@gmail.com XÂY DỰNG MÔ HÌNH DỰ BÁO CHO HỆ PHI TUYẾN Giả thiết cho hệ phi tuyến được biểu diễn tại t ,k = 0,1,...,∞ thời điểm rời rạc k như sau: x = f (x ) + h (x )u + υ y = Cx  với các ràng buộc như sau: k +1 k k u y ≤ u m in ∆u x k u ∈ℝ hình, k ≤ y ∈ ℝ m k f (x ), h (x ) k k chiều phù hợp, u ≤∆u ≤ k k m ax m ax y (1) , , m ax (2) n là biến trạng thái của mô υ ∈ℝ là véc tơ đầu vào, k y ∈ℝ là véc tơ nhiễu, k hệ. k ≤ k ≤∆u m in m in trong đó: k k n p là véc tơ đầu ra của là các hàm phi tuyến với số C ∈ ℝ p ×n , u ≤u ≤u , ∆u ≤ ∆u ≤ ∆u ,y ≤y ≤y min k max min k max min k max là các véc tơ chặn dưới và chặn trên. xˆ Giả thiết rằng k + j |k là véc tơ giá trị dự báo của biến trạng thái tại thời điểm t k+j được 55 Lê Thị Huyền Linh và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ t , ∆u = u − u k k k −1 ước lượng tại thời điểm k ∆uˆ = uˆ − uˆ k + j |k k + j |k k + j −1|k là giá trị dự và báo lượng số gia đầu vào (lượng gia tăng tín u hiệu điều khiển) tại thời điểm k + j được ước lượng (dự báo) tại thời điểm k , vậy hàm mục tiêu có thể được viết như sau:   p −1   J =F  xˆ ,∆u + ∑ G  xˆ k k + p | k k + j |k    j =0  k + j |k (3) F (.),G (.) với các hàm được gọi là các hàm phạt và hàm giá tại trạng thái cuối (kết thúc), p được gọi là tầm dự báo. J Hàm mục tiêu k thường có dạng toàn phương, giả thiết rằng w k + j |k là giá trị đặt của x k +j tại thời điểm k . Gọi ma trận xác định bán dương Q và ma trận xác định dương R là các ma trận trọng số thì hàm mục tiêu (3) có thể viết lại dưới dạng như sau: 2 2 p p −1 J = ∑ xˆ −w + ∑ ∆u k k + j |k k + j |k k + j |k R j =1 Q j =0 (4) Vậy từ công thức (1) và (4), bài toán điều khiển dự báo cho hệ phi tuyến tại từng thời điểm trích mẫu trở thành bài toán cực tiểu hóa J hàm k và xác định lượng số gia tương ứng cho tín hiệu điều khiển   ∆u ∆u ∆u ...∆u k +1|k k + 2|k k + p −1|k   k |k với các ràng buộc (2). Để đơn giản, từ công thức (4), ta xˆ thấy k + j |k có thể xác định được thông qua dự báo đầu ra nếu ma trận C là ma trận tuyến tính hằng, như vậy hàm mục tiêu (4) cho bài toán điều khiển dự báo có thể chuyển thành: Jk = = p ∑ j =1 p ∑ j =1 2 C xˆk + j |k − w k + j |k 2 yˆk + j |k − w k + j |k + Q + Q p −1 ∑ j =0 p −1 ∑ j =0 ∆ u k + j |k ∆ u k + j |k 2 u k + j |k thỏa mãn yêu cầu thực tế của các bài toán điều khiển. ĐIỀU KHIỂN DỰ BÁO CHO MÔ HÌNH HỆ PHI TUYẾN VỚI TẦM DỰ BÁO BẰNG 1 Ngoại trừ các hệ phi tuyến đặc biệt như mô hình phi tuyến Hammerstein thì điều khiển dự báo dựa trên mô hình cho hệ phi tuyến với tầm dự báo lớn hơn 1 là rất khó khăn và hầu hết không thỏa mãn điều kiện về lời giải, đặc biệt là trong trường hợp có kể đến nhiễu. Tuy nhiên, điều này có thể khắc phục được nếu hệ là khả nghịch, khi đó điều khiển dự báo cho hệ phi tuyến luôn luôn có nghiệm [5]. Vì vậy bài báo này chỉ giới hạn ở việc nghiên cứu điều khiển dự báo mô hình hệ phi tuyến với tầm dự báo bằng 1. Quay trở lại với hệ (1), điều khiển dự báo với tầm dự báo bằng 1 có thể được suy ra trực ∆u =u     xˆ = f  x  + g x  u k +1|k  k  k  k |k       = f x  + g  x  u + g  x  ∆u k |k  k  k  k −1  k 1 = x + g (x )∆u k +1|k k k |k (6) x1 Trong biểu thức trên, k +1|k là ký hiệu của phần trong đó chứa các dữ liệu đã biết (xk ,uk −1 ) tại thời điểm k , và ( k )∆uk|k g x là xˆ . k +1|k phần chưa biết của trạng thái dự báo Nếu mô hình không chính xác do ảnh hưởng của nhiễu và các sai lệch của mô hình thì sai lệch dự báo của (6) sẽ có dạng như sau: xɶ =x −xˆ =ζ k +1|k k +1 k +1|k k +1 Trong đó ζ k +1 (7) là nhiễu do sai lệch mô hình và ζ (5) không và có phương sai ∆u k + j |k Tại các thời điểm trong phiếm hàm mục tiêu (5) có thể được thay đổi sao cho 56 −u tiếp k |k k|k k −1 với một dữ liệu chưa biết tại thời điểm k như sau: nhiễu của hệ (1), nếu k là nhiễu ngẫu nhiên ngẫu nhiên dừng, có kỳ vọng toán bằng R 2 R 112(12)/2: 55 - 61 thể thấy rằng E ζ  =δ 2 ,  k   E xɶ  = 0 k + | k 1   và thì ta có (5) Lê Thị Huyền Linh và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ   T        2 ɶ ɶ E  xɶ −E xɶ x − E x     k +1|k   =nδ  k +1|k  k +1|k    k +1|k    hay nói cách khác cả kỳ vọng toán và phương sai của sai lệch dự báo là cực tiểu, do vậy bài toán dự báo (6) là bài toán dự báo tối ưu. x Nếu giá trị đặt là sp , đủ trơn và là đường cong mong muốn của trạng thái trong tương lai thì giá trị trạng thái mong muốn tại thời w điểm k +1 được chọn là k +1|k =α x +(1−α )x k sp α ∈0,1   được gọi là hệ số trơn hóa, trong đó do vậy hàm mục tiêu của bài toán điều khiển dự báo cho hệ phi tuyến có nhiễu với tầm dự báo bằng 1 có thể được viết như sau: 2 2 J = xˆ −w + ∆u k k + j |k k + j |k Q k + j |k R (8) Để cực tiểu hóa (8) với các ràng buộc, ta phải ∂ 2J ∂J có k =0 ∂∆u k |k và k >0 ∂∆u 2 k |k Trước hết, giả sử rằng các ràng buộc có thể aT ∆u ≤b ,i =1, 2,...,q i k |k i viết lại được dưới dạng khi đó các ràng buộc có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận như sau: A∆u ≤B k |k (11) Trong đó:  A= aT 1 aT 2  T    L  λ  = J + λ  aT ∆u −b  , i = 1, 2, ..., q , k  i k i  i k |k i  đặt ∂L = H ∆u +F +a λ = 0 k |k i i ∂∆u k |k ∂L T = a ∆u − b = 0, i k |k i ∂∆λ i và ∆u k |k = −H −1    F +a λ   i i (12) aT H −1F +b i λ = − i i aT H −1a i i do vậy: (9) Ký hiệu H = g ( x )T Qg ( x )+R k k   F =g ( x )Q  xˆ −w k  k +1|k k +1|k  và thì lượng gia tăng tín hiệu điều khiển tại bước k là: ∆u =− H −1F k |k (10) Nhưng trong thực tế điều khiển, các tín hiệu đầu vào và đầu ra luôn có những giới hạn của nó, do vậy có những kết quả thu được từ biểu thức (10) trên thường không phù hợp. Để thỏa mãn các ràng buộc, chúng ta phải đưa các giới hạn mang tính logic vào trong các giá trị u ,x k k . Để đơn giản chúng ta sẽ sử dụng phương pháp Lagrange [5] . T T  ⋯ aT  ,B = a a ⋯ a  q  q 1 2 . Chọn hàm Lagrange là thì −1      ∆u =− g (x )T Qg (x )+R  g (x )Q xˆ −w  k|k  k k   k  k +1|k k +1|k   112(12)/2: 55 - 61 (13) λ Nếu i thu được từ (13) nhỏ hơn hoặc bằng 0, có nghĩa là điều kiện ràng buộc tương ứng sẽ không ảnh hưởng đến ta có thể chọn λ = 0, i ∆u k |k , do vậy chúng nhưng nếu λ >0 i ràng buộc tương ứng sẽ ảnh hưởng đến , các ∆u k λ =λ , do đó chúng ta phải chọn i i cuối cùng lượng số gia tín hiệu điều khiển cho bài toán điều khiển dự báo cho hệ phi tuyến với tầm dự báo bằng 1 là:   ∆u =−H −1 F +AT Λ  k |k   trong đó (14) T Λ= λ λ ⋯ λ  1 2 q   Tóm lại ta có thuật toán tại từng thời điểm trích mẫu để xác định lượng số gia tín hiệu điều khiển như sau: 57 Lê Thị Huyền Linh và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ Bước 1: Xác định ma trận Q và R từ hàm mục tiêu của bài toán, xác định hệ số trơn hóa α . ω k +1|k Bước 2: Xác định tín hiệu đặt cho bước tiếp theo Bước 3: Xác định các ma trận H và F Bước 4: Xác định lượng gia tăng tín hiệu điều khiển theo công thức (12) Bước 5: Tính tín hiệu điều khiển tại thời điểm k theo công thức +∆u u =u k |k k −1 k |k y , Bước 6: Đo đầu ra của hệ k xác định y x k = Cx k bằng công thức k Bước 7: Xác định tín hiệu trạng thái của hệ tại thời điểm k+1 tiếp theo bằng mô hình dự báo (6) Bước 8: Thời điểm k+1 tiếp theo, quay lại bước 1 MINH HỌA BẰNG VÍ DỤ MÔ PHỎNG Để kiểm chứng các kết quả trên, ta áp dụng thuật toán đã trình bày ở phần 3. Cho hệ thống bồn nước [8] như mô tả trên hình vẽ sau: γ biến trạng thái k . Trong bài toán điều khiển bồn nước, chúng ta chọn trạng thái hệ thống y = x k hay hàm hệ là đầu ra, có nghĩa là k thống x k +1 = x − 0.2021 x + 0.01923u + γ k k k k x ∈0%,100% k u ∈ 0%,100% k Trong đó xk và Để thay đổi chiều cao của mức nước trong bồn, chúng ta thay đổi lưu lượng dòng nước đổ vào bồn bằng cách điều chỉnh van V1 và quan hệ thông thường giữa độ mở van và lưu lượng dòng chảy đổ vào bồn được cho trong hình sau: Hình 2. Quan hệ giữa độ mở van và lưu lượng dòng chảy vào trong bồn Sau đây ta sẽ áp dụng thuật toán điều khiển dự báo với tầm dự báo bằng 1 cho bài toán ổn định mức trong bồn với giả thiết van V2 luôn được mở, đây là điểm đặc trưng cho nhiễu tác động lên hệ trong mô hình (1). Trước hết chọn hàm mục tiêu là: k x sp Giả thiết các biến trong hệ thống ở điều kiện thông thường và thời gian trích mẫu là 1s, ta có mô hình dạng (1) như sau: là   f  x  = x − 0.2021 x k  k k g (x ) = 0.01923 k J Hình 1. Mô hình hệ thống bồn nước 112(12)/2: 55 - 61 2 2 = (xˆ −w ) + 0.001∆u k +1|k k +1|k k |k = 30% (16) và chọn hệ số trơn hóa α = 0.975 . Giả thiết rằng mô hình không có sai lệch, tức υ = 0. là trong mô hình (1) có k Kết quả mô phỏng được thể hiện như trên các hình vẽ sau rõ ràng đã đáp ứng yêu cầu về mục tiêu điều khiển. (15) là độ cao của mức nước trong u bồn, k lưu lượng dòng nước đổ vào trong bồn từ bơm P1 và van V1, trong khi van V2 luôn được mở ở một góc bất kỳ nào đó, đặc trưng cho nhiễu tác động lên hệ thông qua 58 Hình 3. Đáp ứng mức nước x và lưu lượng dòng chảy u (không có sai lệch mô hình) Lê Thị Huyền Linh và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ Để nghiên cứu ảnh hưởng của sai lệch mô hình, ta sẽ sử dụng mô hình của bồn nước có sự sai lệch so với mô hình (1) như sau: x k +1 = x k − 110% × 0.2021 x +90% × 0.01923u + γ k k x k +1 = x k − 0.2021 x k e = x −x s sp giữa mô Bảng 1 so sánh sai lệch phỏng và phân tích lý thuyết với các giả thuyết: + Mô hình mô phỏng: x k (17) trong khi đó ta vẫn sử dụng mô hình dự báo là: + 0.01923u (18) Sau khi thực hiện mô phỏng ta nhận được kết quả như sau: k +1 =x −110%×0.2021 x + 90%×0.01923u k k k và + Mô hình dự báo: x k 112(12)/2: 55 - 61 k +1 =x − 0.2021 x + 0.01923u k k k Từ bảng 1 chúng ta thấy rằng, chúng ta không thể bỏ qua sai lệch tĩnh bằng cách điều chỉnh α , do vậy chúng ta có thể sử dụng mạch bù phản hồi để tạo ra đại lượng bù bù lại sai lệch này, giải thích sai lệch dự báo tại e thời điểm k là k như sau:   =x − xˆ +g (x e =x −xˆ )∆ k k k|k −1 k  k|k −1 k −1 k −1  Trong đó: Hình 4. Đáp ứng mức nước x và lưu lượng dòng chảy u (có sai lệch mô hình) Ta nhận thấy rằng kết quả điều khiển không đáp ứng được yêu cầu vì đã tồn tại sai lệch điều khiển, điều này chính là do ảnh hưởng của sai lệch mô hình. Để giải quyết vấn đề này, ta sử dụng phương pháp bù sai lệch sử dụng phản hồi. Khi mô hình có sai lệch thì khi đó có sai lệch tĩnh, sai lệch đó không phụ thuộc vào ma trận Q mà phụ thuộc và hệ số trơn hóa α . e = x −x s sp giữa mô phỏng Bảng 1: So sánh và phân tích lý thuyết α Q e = x −x s sp e = x −x s sp Mô phỏng % Giá trị của 15% 0.975 0 0.001 0.01 -8.3489 -8.3489 -8.3489 -8.3489 -8.3489 -8.3489 0.95 -4.5279 -4.5279 -4.5279 -4.5279 -4.5279 -4.5279 0 0.001 0.01 x k (19) nhận được bởi phản hồi hệ xˆ thống tại thời điểm k và k |k −1 là giá trị dự x báo của k tại thời điểm k-1. e x Sau đó thêm k vào giá trị dự báo của k +1 tại thời điểm k một cách trực tiếp, qua đó (6) có thể được viết lại như sau: xˆ = f (x ) + g(x )u + g(x )∆u + e k+1|k k k k −1 k k|k k = xˆ + g(x )∆u + e k +1|k k k|k k (20) Sử dụng giá trị dự báo mới để tiến hành thuật toán NMPC, kết quả mô phỏng như ở hình 5. Có thể thấy rằng chúng ta đã thay đổi được tính bền vững của nó dưới sai lệch mô hình, với phương pháp bù phản hồi này chúng ta đã hoàn toàn loại bỏ được sai lệch tĩnh. Hình 5. Đáp ứng mức nước x và lưu lượng dòng chảy u (có sai lệch mô hình) và có bù phản hồi trực tiếp 59