Điều khiển ổn định thời gian hữu hạn (FTS) trên nền tối ưu tác động nhanh

Nguyễn Văn Chí và Đtg<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> 135(05): 213 - 218<br /> <br /> ĐIỀU KHIỂN ỔN ĐỊNH THỜI GIAN HỮU HẠN (FTS)<br /> TRÊN NỀN TỐI ƯU TÁC ĐỘNG NHANH<br /> Vũ Thị Thúy Nga*, Nguyễn Doãn Phước<br /> Đại học Bách khoa Hà Nội<br /> <br /> TÓM TẮT<br /> Bài báo giới thiệu một phương pháp điều khiển ổn định hệ phi tuyến với khoảng thời gian ổn định<br /> hữu hạn (FTS). Phương pháp điều khiển của bài báo được xây dựng dựa trên nền nguyên lý cực<br /> đại để điều khiển tối ưu tác động nhanh. Nhờ đó ta còn có thể điều khiển được hệ từ miền trạng<br /> thái bị chặn cho trước về đến gốc tọa độ sau khoảng thời gian bị chặn trên bới một giá trị hữu hạn<br /> tùy ý cho trước cũng như số lần chuyển đổi giá trị tín hiệu điều khiển tối đa chỉ một lần.<br /> Từ khóa: Tối ưu tác động nhanh; Điều khiển tuyến tính hóa chính xác; Điều khiển FTS<br /> <br /> ĐẶT VẤN ĐỀ*<br /> Trong những năm gần đây, ở lĩnh vực điều<br /> khiển phi tuyến, xuất hiện một số công trình<br /> nghiên cứu về điều khiển ổn định tiệm cận<br /> toàn cục với khoảng thời gian hữu hạn, được<br /> gọi tắt là bài toán điều khiển FTS (finite time<br /> stabilization) cho hệ phi tuyến affine bậc hai<br /> một đầu vào u , tức là hệ có hai biến trạng<br /> thái x  (x1, x 2 )T , mô tả bởi:<br /> dx<br /> f (0)  0<br /> với<br />  f (x )  h (x )u<br /> dt<br /> (44)<br /> với 0 là ký hiệu gốc tọa độ trong không gian<br /> trạng thái R 2 . Một số công trình tiêu biểu về<br /> vấn đề điều khiển FTS này có thể kể đến là<br /> 0,0,0.<br /> Ý nghĩa ứng dụng của bài toán điều khiển<br /> FTS không chỉ đơn thuần dừng lại ở việc điều<br /> khiển hệ về tới gốc tọa độ sau khoảng thời<br /> gian hữu hạn, mà xa hơn còn là bài toán trung<br /> gian làm cầu nối cho việc xây dựng bộ điều<br /> khiển trượt bậc cao với nhiệm vụ điều khiển<br /> quỹ đạo trạng thái của hệ về đến mặt trượt sau<br /> khoảng thời gian hữu hạn 0.<br /> Công cụ nền tảng của những nghiên cứu này<br /> vẫn là lý thuyết Lyapunov 0, tức là vẫn đi<br /> theo hướng tìm một hàm xác định dương V (x ) ,<br /> trơn, đơn điệu tăng theo x , sao cho với nó<br /> luôn tồn tại ít nhất một quan hệ u (x ) , được<br /> <br /> *<br /> <br /> hiểu là mô hình của bộ điều khiển phản hồi<br /> trạng thái, để đạo hàm theo thời gian của nó:<br /> dV V dx V<br /> <br /> <br /> f (x )  h (x )u (x )<br /> dt<br /> x dt<br /> x<br /> (45)<br /> thỏa mãn:<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> dV  0 khi 0  t  T<br /> <br /> dt  0 khi t  T<br /> <br /> (46)<br /> trong đó T là một giá trị hữu hạn. Giá trị T<br /> này cũng chính là thời gian ổn định hữu hạn<br /> của hệ (44) do bộ điều khiển phản hồi trạng<br /> thái u (x ) mang lại, vì theo định lý LaSalle,<br /> khi đó cũng phải có x (t )  0 với t  T .<br /> Mặc dù vậy, xu hướng giải quyết bài toán như<br /> trên lại gặp phải vấn đề muôn thủa của lý<br /> thuyết Lyapunov là đi tìm hàm V (x ) thích<br /> hợp. Đó là hạn chế chính của các phương<br /> pháp đã có.<br /> Bài báo này sẽ giới thiệu một xu hướng khác<br /> để giải quyết bài toán điều khiển FTS mà<br /> không cần sử dụng đến lý thuyết Lyapunov.<br /> Phương pháp giải quyết của bài báo sẽ dựa<br /> trên nền lý thuyết điều khiển tối ưu tác động<br /> nhanh trong nguyên lý cực đại của Pontryagin<br /> 0, kết hợp với điều khiển tuyến tính hóa chính<br /> xác nhờ công cụ hình học vi phân của<br /> Sussmann và Isidori cùng các cộng sự 0,0.<br /> Tất nhiên ta còn có thể thấy ngay được rằng<br /> bộ điều khiển tối ưu tác động nhanh này của<br /> bài báo sẽ không những làm hệ ổn định sau<br /> khoảng thời gian hữu hạn, mà còn là với thời<br /> <br /> Email: nga.vuthithuy@hust.edu.vn<br /> <br /> 220<br /> <br /> Nitro PDF Software<br /> 100 Portable Document Lane<br /> Wonderland<br /> <br /> Vũ Thị Thúy Nga và Đtg<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> 135(05): 219 - 224<br /> <br /> gian hữu hạn T nhỏ nhất trong tất cả các bộ<br /> điều khiển FTS có thể có của hệ. Hơn thế nữa<br /> ta còn có thể thiết kế bộ điều khiển FTS với<br /> khoảng thời gian ổn định T bị chặn trên bởi<br /> một giá trị hữu hạn T max cho trước.<br /> Toàn bộ các bước thiết kế bộ điều khiển FTS sẽ<br /> được trình bày ở chương II. Chương 3 là một ví<br /> dụ minh họa cho phương pháp của bài báo.<br /> THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN FTS TRÊN NỀN<br /> ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU TÁC ĐỘNG NHANH<br /> <br />   (x ) <br /> m (x )  <br />  L f  (x ) <br /> <br /> <br /> sẽ thấy 0:<br /> m (x )<br /> det<br />  0, x<br /> x<br /> Vậy:<br /> <br /> Phương pháp thiết kế bộ điều khiển FTS trình<br /> bày sau đây chỉ giới hạn cho hệ phi tuyến<br /> affine bậc hai (44). Mặc dù vậy nó cũng hoàn<br /> toàn mở rộng được một cách tương tự cho cả<br /> những hệ phi tuyến affine bậc cao, điều mà<br /> các công trình công bố trước đây dựa trên nền<br /> lý thuyết Lyapunov của Bhaty, Bernsteinz 0,<br /> hay của Hong 0 hoặc của Moulay, Perruquetti<br /> 0 chưa làm được.<br /> <br /> (48)<br /> là nghịch đảo được, hay z  m (x ) là phép đổi<br /> biến vi phôi.<br /> Sử dụng phép đổi biến vi phôi (48) ta có:<br /> <br /> Tuyến tính hóa chính xác hệ phi tuyến<br /> affine bậc hai<br /> Giả thiết hệ (44) là điều khiển được. Khi đó,<br /> theo 0, nó luôn điều khiển tuyến tính hóa<br /> chính xác được nhờ phép đổi biến vi phôi<br /> z  m (x ) và một bộ điều khiển tĩnh, phản hồi<br /> trạng thái u (x ,v ) .<br /> Một cách cụ thể thì do hệ (44) là bậc hai và<br /> điều khiển được, nên có:<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Rank h (x ) , ad f h (x )  2, x<br /> <br /> Ký hiệu hàm mở rộng:<br /> <br /> (x )  span h (x ) <br /> ta thấy:<br /> h (x )<br /> h (x )<br /> h (x ) <br /> h (x )  0  (x )<br /> x<br /> x<br /> nên (x ) là hàm mở rộng xoắn. Điều này<br /> khẳng định rằng phải tồn tại hàm vô hướng<br />  (x ) để có 0:<br /> <br /> Lh  (x )  0 và Lh L f  (x )  0, x<br /> <br /> <br />  (x )<br /> (x )  0<br /> x<br /> <br /> Từ  (x ) ta định nghĩa vector hàm:<br /> <br />   (x ) <br /> z <br /> z   1   m (x )  <br />  L f  (x ) <br /> z2 <br /> <br /> <br /> <br /> dz1  (x )<br />  f (x )  h (x )u  <br /> <br /> dt<br /> x <br />  L f  (x )  Lh  (x )u  L f  (x )  z 2<br /> <br /> và:<br /> dz 2 L f  (x )<br />  f (x )  h (x )u <br /> <br /> dt<br /> x<br />  L2f  (x )  Lh L f  (x )u<br /> <br /> Do đó, khi sử dụng bộ điều khiển:<br /> v  L2f  (x )  Lh L f  (x )u<br /> <br />  u<br /> <br /> v  L2f  (x )<br /> Lh L f  (x )<br /> <br /> (49)<br /> hệ (44) cho ban đầu sẽ trở thành hệ tuyến tính<br /> trong toàn bộ không gian trạng thái dưới dạng<br /> khâu tích phân bậc hai:<br />  0<br /> dz  z 2   0 1 <br />  <br />  z    v  A z  bv<br /> dt  v   0 0 <br /> 1<br /> A<br /> <br /> b<br /> <br /> (50)<br /> Hình 0 biểu diễn cấu trúc hệ thống điều khiển<br /> tuyến tính hóa chính xác cho hệ phi tuyến<br /> affine bậc hai ban đầu (44) thành hệ tuyến<br /> tính (50) nhờ bộ điều khiển tĩnh phản hồi<br /> trạng thái (49) và phép đổi biến vi phôi (48).<br /> (47)<br /> v<br /> <br /> Bộ điều<br /> khiển (49)<br /> <br /> u<br /> <br /> Hệ phi<br /> tuyến (44)<br /> <br /> x<br /> <br /> Đổi biến<br /> <br /> z<br /> <br /> (48)<br /> <br /> 221<br /> <br /> Nitro PDF Software<br /> 100 Portable Document Lane<br /> Wonderland<br /> <br /> Vũ Thị Thúy Nga và Đtg<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> Hình 1. Điều khiển tuyến tính hóa chính xác<br /> <br /> Điều khiển tối ưu tác động nhanh hệ tuyến<br /> tính bậc hai<br /> Xét hệ tuyến tính dạng khâu tích phân bậc hai<br /> (50). Giả sử rằng hệ có tín hiệu vào bị chặn<br /> v  k . Bây giờ ta sẽ thiết kế bộ điều khiển<br /> đưa hệ đi từ mọi điểm trạng thái đầu tùy ý,<br /> nhưng cho trước z 0  z (0) , về đến gốc tọa độ<br /> trong khoảng thời gian ngắn nhất. Điều đó là<br /> tương đương với bài toán điều khiển tối ưu có<br /> thời gian cuối T tự do (free endtime) cho hệ<br /> (50) ứng với hàm mục tiêu:<br /> T<br /> <br /> T<br /> <br /> 0<br /> <br /> 0<br /> <br /> Q (v )   g (z , v )dt   dt  T  min<br /> <br /> có g(z , v )  1.<br /> Vì đây là bài toán tối ưu dạng free endtime<br /> nên bắt buộc ta phải áp dụng điều kiện cần là<br /> nguyên lý cực đại Pontryagin 0 để tìm nghiệm<br /> tối ưu v * (t ) .<br /> Trước tiên đi từ hàm Hamilton:<br /> H (z , p , v )  p  A z  bv   g (z , v )<br />  p1z 2  p 2v  1<br /> <br /> trong đó p   p1 , p2 <br /> <br /> T<br /> <br /> là biến đồng trạng<br /> <br /> thái, sẽ có ngay:<br /> v *  arg max H  arg max  p 2v <br /> v<br /> <br /> v<br /> <br /> k khi p2  0<br /> <br />  k khi p2  0<br /> <br /> Vậy nên quỹ đạo trạng thái tối ưu chỉ có thể ở<br /> một trong hai dạng:<br /> dz  z 2 <br /> dz  z 2 <br />  <br />    hoặc<br /> dt  k <br /> dt  k <br /> 1<br /> 1<br />  z1  z 22  c1 hoặc z1  z 22  c2<br /> 2k<br /> 2k<br /> với c1 , c 2 là các hằng số được xác định từ<br /> trạng thái đầu z 0 của hệ.<br /> <br /> Thời điểm đổi dạng quỹ đạo trạng thái tối ưu<br /> mô tả bởi phương trình (51) cũng là thời điểm<br /> mà tín hiệu điều khiển tối ưu v * đổi dấu và là<br /> thời điểm mà tại đó có p 2 (t )  0 . Nhưng vì<br /> <br /> 135(05): 219 - 224<br /> <br /> biến đồng trạng thái p (t ) còn là nghiệm của<br /> phương trình vi phân Euler-Lagrange:<br /> T<br /> <br />  0 <br />  H <br />  <br />   p2 (t )  at  b<br />  <br /> dt<br />  z <br />   p1 <br /> <br /> dp<br /> <br /> trong đó a , b là hai hằng số, nên p 2 (t )  0<br /> chỉ có thể có nhiều nhất một nghiệm t1  0 .<br /> Do đó quỹ đạo trạng thái tối ưu cũng chỉ có<br /> thể đổi từ dạng này dạng khác trong (51)<br /> nhiều nhất là một lần.<br /> Tuy nhiên, mục đích của bài báo không phải<br /> là xác định tín hiệu điều khiển tối ưu v * (t )<br /> mà là bộ điều khiển phản hồi trạng thái tối ưu<br /> v * (z ) .<br /> Để có được bộ điều khiển phản hồi trạng thái<br /> tối ưu v * (z ) từ tín hiệu điều khiển tối ưu<br /> v * (t ) , trước tiên ta sử dụng các kết quả phân<br /> tích trên về tín hiệu điều khiển tối ưu để xây<br /> dựng đồ thị quỹ đạo trạng thái tối ưu tương<br /> ứng. Hình 0 biểu diễn minh họa dạng đồ thị<br /> quỹ đạo trạng thái tối ưu, trong đó các đường<br /> nét liền là phần đồ thị họ các quỹ đạo trạng<br /> thái tối ưu mô tả bởi:<br /> 1<br /> z1  z 22  c2 khi v *  k<br /> 2k<br /> ứng với các điểm trạng thái đầu z 0 khác nhau<br /> và đường nét gạch rời là phần đồ thị họ quỹ<br /> đạo trạng thái tối ưu:<br /> 1<br /> z1  z 22  c1 khi v *  k<br /> 2k<br /> Chiều mũi tên trên trên đồ thị biểu diễn chiều<br /> tăng theo thời gian t của quỹ đạo trạng thái<br /> tối ưu. Nó được suy ra từ mô hình (50) với:<br /> dz1<br />  z2<br /> dt<br /> tức là khi z 2  0 thì z1 (t ) phải tăng theo t<br /> và ngược lại khi z 2  0 thì z1 (t ) phải giảm.<br /> (51)<br /> Hai đồ thị quỹ đạo trạng thái tối ưu đi qua gốc là:<br /> 1<br /> z1  z 22 khi z 2  0 và<br /> 2k<br /> 1<br /> z1  z 22 khi z 2  0<br /> 2k<br /> sẽ được viết chung lại thành:<br /> <br /> 222<br /> <br /> Nitro PDF Software<br /> 100 Portable Document Lane<br /> Wonderland<br /> <br /> Vũ Thị Thúy Nga và Đtg<br /> <br />  ( z )  z1 <br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> 135(05): 219 - 224<br /> <br /> 1<br /> z2 z2  0<br /> 2k<br /> z2<br /> <br /> (52)<br /> <br /> z0<br /> <br /> v *  k<br /> z1<br /> <br /> Hình 3. Điều khiển FTS hệ phi tuyến bậc hai<br /> <br /> Nếu ghép chung hai bộ điều khiển cascade (49),<br /> (53) cùng với phép đổi biến vi phôi (48) lại với<br /> nhau, ta sẽ được mô hình toán của bộ điều khiển<br /> FTS cho hệ phi tuyến bậc hai (44) như sau:<br /> <br /> v*  k<br /> Hình 2. Dạng quỹ đạo trạng thái tối ưu<br /> tác động nhanh<br /> <br /> u<br /> <br /> v * m (x )   L2f  (x )<br /> Lh L f  (x )<br /> <br /> trong đó:<br /> Vì tín hiệu điều khiển tối ưu v * chỉ chuyển<br /> k sgn  / (x ) khi  / (x )  0<br /> đổi giá trị nhiều nhất là một lần, nên đồ thị<br /> <br /> v * m (x )  k sgn   (x ) khi  / (x )  0,  (x )  0<br />  (z )  0 trên tạo thành đường A OB chia<br /> 0 khi x  0<br /> mặt phẳng trạng thái thành hai nửa, tương<br /> <br /> ứng với hai giá trị tín hiệu điều khiển tối ưu<br /> và:<br /> khác nhau v *  k . Do đó nó còn được gọi là<br /> 1<br /> đường chuyển đổi giá trị của tín hiệu điều<br />  / (x )   m (x )    (x )  L f  (x ) L f  (x )<br /> 2<br /> k<br /> khiển tối ưu, tức là khi quỹ đạo trạng thái tối<br /> Ta thấy bộ điều khiển FTS này còn có chứa<br /> ưu gặp đường chuyển đổi này, giá trị tín hiệu<br /> tham số k  0 tùy chọn và do đó ta có thể<br /> điều khiển tối ưu sẽ chuyển từ k sang k<br /> chọn k để thời gian ổn định T không lớn<br /> hoặc ngược lại.<br /> hơn một giá trị cho trước, điều mà các<br /> Từ đây ta có được mô hình toán mô tả bộ điều<br /> phương pháp điều khiển FTS trên nền<br /> khiển phản hồi trạng thái tối ưu tác động<br /> Lyapunov rất khó thực hiện được.<br /> nhanh cho hệ tuyến tính (50) như sau:<br /> Để xác định được thời gian ổn định T , ta giả<br /> sử hệ có trạng thái đầu ứng với:<br /> k sgn  (z ) khi  (z )  0<br /> <br /> *<br /> a <br /> v (z )  k sgn(z1 ) khi  ( z )  0, z1  0 (53)<br /> 1<br /> z<br /> <br />    x 0  m (z 0 ) và a  0<br /> 0<br /> 0 khi z  0<br /> 0<br /> <br /> trong đó hàm  (z ) được định nghĩa theo<br /> Khi đó, do  (z 0 )  a  0 nên v * sẽ đổi dấu<br /> công thức (52).<br /> một lần. Ký hiệu thời điểm đổi dấu đó là t1 thì:<br /> Thiết kế bộ điều khiển FTS cho hệ phi tuyến<br /> bậc hai điều khiển được<br /> Bộ điều khiển FTS cho hệ nguyên bản gốc<br /> ban đầu (44), xây dựng trên nền tối ưu tác<br /> động nhanh, sẽ được xây dựng theo nguyên lý<br /> cascade gồm hai bộ điều khiển tuyến tính hóa<br /> chính xác (48), (49) và bộ điều khiển tối ưu<br /> tác động nhanh (53) cho hệ tuyến tính. Hình 0<br /> biểu diễn nguyên lý điều khiển cascade này.<br /> v*<br /> <br /> Bộ điều<br /> <br /> u<br /> <br /> khiển (49)<br /> <br /> Bộ điều<br /> khiển (53)<br /> <br /> Hệ phi<br /> <br />  k khi 0  t  t1<br /> v * (t )  <br />   k khi t1  t  T<br /> với   1 . Thay tín hiệu điều khiển này vào<br /> mô hình (50) của hệ ta sẽ có:<br /> <br /> x<br /> <br /> tuyến (44)<br /> <br /> z<br /> <br /> Đổi biến<br /> <br /> (48)<br /> <br /> Nitro PDF Software<br /> 100 Portable Document Lane<br /> Wonderland<br /> <br /> 223<br /> <br /> Vũ Thị Thúy Nga và Đtg<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br />  x13  x 2 <br /> 0<br />  , h (x )   <br /> f (x )  <br /> 2<br />  xx <br /> 1<br />  1 2 <br /> <br /> t<br /> <br /> z * (t )  e A t z 0   e A (t  )bv *d<br /> 0<br /> t1  1 t    0 <br />  1 t  a <br /> <br />     k  <br />  d <br /> 1  1 <br />  0 1  0 <br /> 00<br /> t  1 t    0 <br /> k  <br />  d<br /> 1  1 <br /> t1  0<br /> <br /> Suy ra, tại điểm cuối t  T với z * (T )  0 thì:<br /> t1  1 t    0 <br />  0   1 T  a <br /> <br /> <br /> <br /> k<br /> <br />   <br />  <br />   d <br /> 1  1 <br />  0   0 1  0 <br /> 00<br /> T  1 t    0 <br /> k  <br />  d<br /> 1  1 <br /> t1  0<br /> <br />  1 <br /> và ad f h (x )  <br /> <br />  2x1x 2 <br /> nên cũng có:<br /> <br /> <br /> <br />   (x )  (x ) <br /> 0<br /> ,<br /> h (x ) <br /> x 2 <br />  x 1<br /> <br /> Nhưng vì t12  0 nên:<br /> <br />    sgna .<br /> Vậy:<br /> t1 <br /> <br /> a<br /> <br />   (x )  (x )   0<br /> <br /> ,<br /> x 2   1<br />  x 1<br /> <br /> <br /> <br /> Thay vào phương trình thứ nhất, được:<br /> a<br /> t12  <br /> k<br /> <br /> và T  2<br /> <br /> a<br /> <br /> k<br /> k<br /> và từ đây ta thấy được khi k được chọn càng<br /> lớn, thời gian ổn định T của hệ sẽ càng<br /> nhanh. Nói cách khác, khi miền trạng thái đầu<br /> x 0 X 0 giới nội cho trước, thì với T max tùy<br /> ý cho trước, ta luôn xác định được hằng số<br /> k  0 thích hợp để hệ ổn định với khoảng thời<br /> gian T theo (54) thỏa mãn T  T max .<br /> <br /> MÔ PHỎNG KIỂM CHỨNG<br /> Để minh họa phương pháp, ta sẽ xây dựng bộ<br /> điều khiển FTS cho hệ phi tuyến bậc hai:<br /> 3<br /> x <br /> dx  x1  x 2 <br /> <br />  với x   1 <br /> <br /> dt  x x 2  u <br /> x2 <br />  1 2<br /> <br /> So với mô hình (44) thì hệ đã cho có:<br /> <br /> <br /> <br /> 1 <br /> 0<br /> Rank h (x ) , ad f h (x )  Rank <br /> 2<br />  1 2x1x 2 <br /> Vậy nó là điều khiển được.<br /> Để tìm phép đối biến vi phôi z  m (x ) , ta<br /> cần phải xác định hàm  (x ) từ (47):<br /> <br /> 1<br /> <br /> <br /> a   k (t12  2t1T  T 2 ) <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> k<br /> (2<br /> t<br /> <br /> T<br /> )<br /> 1<br /> <br /> <br /> Từ phương trình thứ hai có:<br /> T  2t1<br /> <br /> 135(05): 219 - 224<br /> <br />  (x )<br />  (x )<br />  1 và<br /> 0<br /> x1<br /> x 2<br /> <br /> Vậy  (x )  x1 . Suy ra, phép đổi biến<br /> z  m (x ) là:<br />  z    (x )   x1 <br /> z  1<br />  3<br /> <br />  z 2   L f  (x )   x1  x 2 <br /> Ngoài ra ta còn có:<br />  x13  x 2 <br /> 2<br /> 2<br /> <br /> (54) L f  (x )  3x1 , 1 <br /> 2<br />  x1x 2 <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  3x12 (x13  x 2 )  x1x 22<br /> <br /> và:<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  0<br /> Lh L f  (x )  3x12 , 1    1<br />  1<br /> <br /> Do đó bộ điều khiển FTS của hệ sẽ là:<br /> v *  L2f  (x ) *<br /> u<br />  v  3x12 (x13  x 2 )  x1x 22 (56)<br /> Lh L f  (x )<br /> trong đó:<br /> k sgn  / (x ) khi  / (x )  0<br /> <br /> v *  k sgn x1 khi  / (x )  0, x1  0<br /> (55)<br /> 0 khi x  0<br /> <br /> và:<br /> <br /> 224<br /> <br /> Nitro PDF Software<br /> 100 Portable Document Lane<br /> Wonderland<br /> <br />