zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Kỹ Thuật - Công Nghệ

» Kiến trúc - Xây dựng

Điều kiện tồn tại của sóng Rayleigh trong vật liệu Micropolar đẳng hướng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Báo xấu

9
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Điều kiện tồn tại của sóng Rayleigh trong vật liệu Micropolar đẳng hướng chứng minh sự tồn tại và duy nhất của sóng Rayleigh trong vật liệu micropolar đẳng hướng. Để thuận lợi cho việc chứng minh, trong bài báo này sẽ trình bày một cách ngắn gọn cách dẫn ra công thức vận tốc sóng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Điều kiện tồn tại của sóng Rayleigh trong vật liệu Micropolar đẳng hướng

KHOA H“C & C«NG NGHª Điều kiện tồn tại của sóng Rayleigh trong vật liệu Micropolar đẳng hướng The condition for existence of Rayleigh waves in isotropic micropolar material Phạm Thị Hà Giang Tóm tắt 1. Giới thiệu Lý thuyết đàn hồi micropolar hiện nay được sử Ngày nay, vật liệu có cấu trúc trong (internal structutre hay microstructure) xuất hiện ngày càng nhiều trong các ứng dụng thực tế, như vật liệu xốp dụng rộng rãi để mô tả ứng xử cơ học của các vật (porous materials) [2], vật liệu đất gia cường (reinforced soils) [3], hoặc vật liệu cấu trúc trong. Để đánh giá các tham số vật liệu hạt nhỏ (granular materials) [4]. Xương (người và động vật) cũng được liệu, các nhà khoa học giải bài toán ngược từ các xem như là vật liệu (tự nhiên) có cấu trúc micropolar trong [5]. Lý thuyết đàn phương trình tán sắc dạng hiện mà công thức vận hồi cổ điển không đủ để mô tả ứng xử động học của loại vật liệu này. Để tốc sóng là dạng đơn giản nhất. Công thức vận tốc mô tả chuyển động của chúng, Eringen [6, 7] đã đưa ra lý thuyết đàn hồi sóng Rayleigh trong vật liệu micopolar đàn hồi micropolar. Sử dụng lý thuyết này Eringen [7] nghiên cứu sự lan truyền của đẳng hướng được đưa ra gần đây bởi Vinh và Giang sóng Rayleigh trong môi trường đàn hồi micropolar đẳng hướng và phương [1] bằng phương pháp hàm biến phức. Trong bài trình tán sắc (dạng hiện) đã được tìm ra. Công thức vận tốc sóng được thiết báo này, các tác giả cũng đã chứng minh sự tồn lập gần đây bởi Vinh và Giang [1]. Tuy nhiên, trong [1] các tác giả chưa tại duy nhất của sóng. Tuy nhiên, trong [1] điều chứng minh sự tồn tại và duy nhất của Sóng Rayleigh trong môi trường kiện tồn tại của sóng Rayleigh chưa được thiết lập. micropolar. Mục tiêu chính của bài báo là thiết lập điều kiền Vì vậy, mục tiêu chính của bài báo chứng minh sự tồn tại và duy nhất của cần và đủ để tồn tại sóng Rayleight trong vật liệu sóng Rayleigh trong vật liệu micropolar đẳng hướng. Để thuận lợi cho việc microplar đàn hồi đẳng hướng. chứng minh, trong bài báo này sẽ trình bày một cách ngắn gọn cách dẫn ra Từ khóa: micropolar, sóng mặt Rayleigh, vận tốc sóng công thức vận tốc sóng. Rayleigh, phương pháp hàm biến phức, điều kiện tồn tại, 2. Công thức vận tốc sóng tính duy nhất c2 Phương trình tán sắc đối với vận tốc không thứ nguyên x = 2 (xem [1]) Abstract cT Micropolar elastic theory is now widely used to describe x x 1/ 2 mechanical behavior in internal structural materials. (2 + ε − x) 2 − (2 + ε ) 2 (1 − ) (1 − 1/ 2 ) =0. 1 1+ ε To evaluate the material parameters, the scientists +ε γ (1) solved the inverse problem from the explicit secular equations, of which the formulal of velocity is the Trong mặt phẳng phức C , ta xét phương trình simplest form. Using the complex function method Vinh and Giang [1] have established the formula for 1 1 f ( z ) ≡ (2 + ε − z ) 2 + (2 + ε ) 2 z − ( + ε ) z − (1 + ε ) =0, velocity of Rayleigh wave in isotropic micropolar material γ 1 ( + ε )(1 + ε ) recently. In addition, the uniqueness of Rayleigh wave γ is proofed. However, the condition for the existence was not etablished in [1]. The main purpose of this paper (2) is to establish the necessary and sufficient condition 1 for existence of the Rayleigh wave in elastic micropolar trong đó, z − ( + ε ), z − (1 + ε ) được chọn là các nhánh chính của γ material. 1 căn thức. Đối với các giá trị thực của z ∈ (1 + ε , + ε ) phương trình (2) Key words: Rayleigh waves; Rayleigh wave velocity; tương đương với phương trình (1). γ the complex function method; the existent condition, the Ký hiệu uniqueness 1 L = [1 + ε , + ε ], S = {z ∈ C, z ∉ L}, N ( z0 ) = {z ∈ S : 0
( f 4 ) f ( z ) là một hàm liên tục từ bên trái và bên phải của Φ + (t ) = g (t )Φ − (t ), t ∈ L. (6) L [8], với các giá trị biên từ bên phải của f ( z ) là f ( z ) và Bây giờ ta xét hàm các giá trị biên từ bên phải của f ( z ) là f − (t ) được xác định như sau: = f ( z ) / Φ ( z ). P( z ) (7) 1 ( + ε − t )1/ 2 (t − (1 + ε ))1/ 2 γ Trong [1] các tác giả đi chứng minh được P(z) là một đa f (t ) = (2 + ε − t ) ± i (2 + ε ) ± 2 2 , t ∈ L. 1 thức bậc 2 (1 + ε )( + ε ) γ P( z ) = A2 z 2 + A1 z + A0 (8) (3) Trong đó Xét hàm g (t ) (2 + ε ) 2 f + (t ) A2= 1, A1= I 0 + −4 − 2ε + g (t ) = , t ∈ L. 1 f − (t ) 1+ ε +ε γ (9) Hiển nhiên ta thấy từ phương trình trên Với I0 được tính bởi (11). = g (t ) f − (t ), t ∈ L. f + (t ) Mệnh đề 4: Xét hàm Γ(z) được định nghĩa như sau Phương trình f ( z ) = P ( z ) = 0↔ 0 trong miền 1 logg (t ) 1 Γ( z ) = ∫ dt. S ∪ {1 + ε } ∪ { + ε } 2π i L t−z (4) γ . Mệnh đề 2: Chú ý: (γ 1 ) Γ( z ) ∈ H ( S ) (i) Do tính không liên tục của hàm f(z) trong khoảng 1 Γ(∞) =0 (1 + ε , + ε ) Γ(∞) =0 γ nên phương trình f(z)=0 không có nghiệm (γ 3 ) Ω0 ( z )(Ω1 ( z )) trong khoảng này. Điều này có nghĩa là nghiệm của phương 1 với trình f(z)=0 nằm trong miền S ∪ {1 + ε } ∪ { + ε }. γ z ∈ N (1 + ε ), Γ( z ) =1 ( z ) Ω 1 với (ii) Vì 0 < Φ (t ) ± < ∞∀t ∈ (1 + ε , +ε) γ 1 z ∈ N ( + ε ) Ω0 ( z )(Ω1 ( z )) γ nên, theo (i), hai nghiệm của phương trình P(z)=0 cũng . 1 1 nằm trong miền S ∪ {1 + ε } ∪ { + ε }. là hàm bị chặn trong N (1 + ε )( N ( + ε )) γ γ 1 (iii) Theo mệnh đề 3 thì thay vì tìm nghiệm của phương và có các giá trị hữu hạn tại z = ε ( z =+ ε ). 1+ trình siêu việt f(z)=0 ta sẽ tìm nghiệm phương trình bậc hai γ Để chứng minh được γ3 ta phải chú ý rằng [8] 1 P(z)=0 trong miền S ∪ {1 + ε } ∪ { + ε } . 1 γ logg (1 + ε ) 0, logg ( = 0. = +ε) γ Phương trình này đơn giản hơn rất nhiều phương trình Xét hàm Φ(z) sau: ban đầu. Φ ( z ) = expΓ( z ). Từ các chú ý trên ta đi đến định lý sau: (5) Định lý: Nếu sóng Rayleigh tồn tại thì nó là duy nhất và Mệnh đề 3: c2 (φ1 ) Φ ( z ) ∈ H ( S ) bình phương vận tốc không thứ nguyên của nó xr = c2 2 (φ2 ) Φ ( z ) ≠ 0∀z ∈ S được tính bởi công thức sau (φ3 ) Φ ( z ) = khi | z |→ ∞ O(1) (2 + ε ) 2 xr = + 2ε − 4 − I0 , 1 (φ4 ) Φ ( z ) = exp Ω0 ( z ) (1 + ε )( + ε ) γ (10) với z ∈ N (1 + ε ), Φ ( z ) = exp Ω1 ( z ) Trong đó 1 với z ∈ N ( + ε ) 1 1/ γ + ε π∫ γ I0 = θ (t )dt , . 1+ ε (11) Theo công thức Plemelj [8] ta có thể suy ra ngay hàm Và Φ(z) thỏa mãn các điều kiện biên: S¬ 48 - 2023 63
KHOA H“C & C«NG NGHª 1 Kết hợp với mệnh đề 3 ta có P(z) ⇔ f(z) ∀ z ⊂ C . (2 + ε ) 2 −t + + ε t − (1 + ε ) γ Định lý 2: Điều kiện cần và đủ để tồn tại sóng trong môi θ (t ) = atan . trường micropolar là A1 0 . Từ mệnh đề 4 ta có Điều này là không thể vì hàm f(z) mất liên tục trên đoạn f(z) cũng chỉ 2 nghiệm z1 = 0 , z 2 > 0 . Theo (2) thì f(1)>0 1 và theo (7) P(1) > 0 . Do vậy P(1) > 0 ⇒ 0 < z2 < 1 . Vậy z2 (1 + ε , + ε ) γ chính là nghiệm của phương trình tán sắc tương ứng với . sóng Rayleigh xr = z2 thỏa mãn 0 < xr < 1 . Điều này chỉ ra 1 rằng sóng Rayleigh tồn tại trong trường hợp này. Vậy P(z) không có nghiệm trong đoạn (1 + ε , +ε) γ . 4. Kết luận Mệnh đề 6: P(z) ⇔ f(z) ∀ z ⊂ C . Trong bài báo [1] các tác giả đã chứng minh được Chứng minh: phương trình tán sắc siêu việt tương đương với phương trình đa thức bậc hai P(z)=0 trong trường số phức. Bằng Từ (φ4 ) , (2) ta có việc khảo sát hàm đa thức bậc hai P(z) và sử dụng định lý 1 1 Vi-et tác giả đã thiết lập được điều kiện cần và đủ để tồn tại P(1 + ε ) ≠ 0 , P( + ε ) ≠ 0 , f (1 + ε ) ≠ 0 , f ( + ε ) ≠ 0 γ γ sóng Rayleigh trong vật liệu micropolar đẳng hướng./. , 1 f(z) và P(z) đều không có nghiệm trong đoạn (1 + ε , + ε ) γ T¿i lièu tham khÀo 5. J.F.C. Yang, R.S Lakes. “Experimental study of micropolar and couple stress elasticity in compact bone in bending”, J. Biomech. 1. P.C. Vinh và P.T.H. Giang, “Công thức vận tốc sóng Rayleigh 15, 1982, 91-98. trong bán không gian đàn hồi micropolar”, Hội nghị cơ học toàn quốc lần thứ X, pp 1410-1418. 6. A.C. Eringen, “Linear theory of micropolar elasticity”, J. Math. Mech., 15(6), 1966, 909–923. 2. R.S. Lakes. “Experimental microelasticity of two porous solids”, Int. J. Solids Struct., 22, 1986, 55-63. 7. C. Eringen, Theory of microcotinuum Field theories, Springer, 1999. 3. G. Hassen, P. De Buhan, “A two-phase model and related numerical tool for the design of soil structures reiforced by stiff 8. N.I. Muskhelishvili. Singular intergral equations, Noordhoff- linear inclusions”, Eur. J. Mech. A Solids.,24, 2005, 987-1001. Groningen, 1953. 4. N.P. Kruyt, “On weak and strong contact force network in granular materials”, Int. J. Solids Struct., 92(93), 2016, 135-140. 64 T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C & XŸY D¼NG

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí

65 tài liệu

2418 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.