Độ tin cậy hệ thống Phương pháp thống kê đơn gian dùng trong độ tin cậy

Chia sẻ: Sas Sas | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

161
lượt xem 43
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phương pháp thống kê dùng cho độ tin cậy tuy không dễ nhưng có thể đơn giản hoá được. Công nghiệp luôn cần đến phép tính thống kê. Chương này trình bày tập thống kê độ tin cậy có liên quan đến quyển sách và 1 số nội dung tiên tiến hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Độ tin cậy hệ thống Phương pháp thống kê đơn gian dùng trong độ tin cậy

PHƯƠNG PHÁP TH NG KÊ ðƠN GI N DÙNG TRONG ð TIN C Y 1. M ñu Phương pháp th ng kê dùng cho ñ tin c y tuy không d nhưng có th ñơn gi n hóa ñư c. Công nghi p luôn c n ñ n phép tính th ng kê. Chương này trình bày t p th ng kê ñ tin c y có liên quan ñ n quy n sách, và m t s n i dung tiên ti n hơn, các m c chính bao g m: • Ý ni m và phép th ng kê ñ tin c y trong thương mãi. • Phép th nghi m th ng kê và ñ tin tư ng th ng kê (tai bi n và tham s ) • Bi u di n m c tin tư ng th nghi m và • nh hư ng c a y u t gia t c trong qui ho ch th nghi m. 2. Các ñ nh nghĩa và cơ s toán h c trong ñ tin c y Thu t ng ñ tin c y có r t nhi u nghĩa. Theo nghĩa ñ nh tính, s n ph m th c hi n ñư c hay không th c hi n ñư c ch c năng yêu c u theo nh ng ñi u ki n cho trư c. Như th ñ tin c y là xác su t ñ t n t i trong kho ng th i gian này. B ng phép ñ nh lư ng ñ tin c y, ta ño ñư c giá tr c a m c tiêu này. Phù h p hay vư t qua ñư c m c tiêu này chính là m c ñích c a ñ tin c y cho s n ph m. ð tìm hi u v ño lư ng ñ tin c y thì c n có các ñ nh nghĩa toán h c c a ñ tin c y. ð tin c y dùng t p các hàm th ng kê nh m n m b t m t cách khoa h c và giúp ño lư ng ñ tin c y. Các ch c năng cơ b n dùng trong chương này ñư c mô t b ng 1. Ngoài ñ nh nghĩa v ch c năng, còn có hai lĩnh v c ch y u c n ñư c ñ nh nghĩa. ðó là ñ tin c y h th ng và ñ tin c y linh ki n. ð tin c y linh ki n bao g m ñ tin c y c a linh ki n như ñi n tr , t ñi n, ñi ñ, v.v,.. . ð tin c y h th ng bao g m ñ tin c y c a nhi u linh ki n t o nên ñơn v , như là hybrids, subassemblies, và assemblies. Trong ñ tin c y h th ng, ñ tin c y toàn h th ng thư ng là t ng c a t c ñ h ng hóc t ng thành ph n, tr phi h th ng có y u t ñư c g i là dư th a (redundency; xem hình 1). Chương này không nghiên c u v ñ tin c y c a h th ng, ñ c gi xem thêm chương 11 trong mô hình d báo ñ tin c y (xem thêm ph chương 1–5). Do h th ng ñư c c u t o t nhi u linh ki n, c n có hi u bi t v ñ tin c y c a linh ki n khi nghiên c u v ñ tin c y c a h th ng. Hai lĩnh v c c a ñ tin c y này ñã ñư c ñ nh nghĩa ch c ch trong công nghi p, cho phép các công ty có ñư c các linh ki n ñ c thù và/hay có k sư v ñ tin c y c a h th ng. ðo lư ng Tương ñương ð nh nghĩa Hàm phân b xác su t tích lũy (CDF: cummulate probalibility function) Xác su t linh 1 − R (t ) F (t ) ki n h ng t i th i gian t. Hàm mũ, v s ph n trăm h ng hóc tích lũy theo th i gian. Hàm ñ tin c y: Xác su t t n t i c a linh ki n 1 − F (t ) trong th i gian t. T c là, s ñơn v t n t i trong R (t ) th i gian t chia cho s ñơn v có ñ u tiên Hàm m t ñ xác su t (PDF): Xác su t h ng dF (t ) = f (t ) hóc c a linh ki n t c th i (trong th i gian nh ). dt Thư ng ñư c xác ñ nh b ng th c nghi m là ñ
d c t c th i t i th i ñi m c n tìm t trong ñ th PDF T c ñ h ng hóc tích lũy: là t c ñ h ng hóc tích lũy linh ki n th i th i gian t. Thư ng ñư c xác ñ nh th c nghi m b ng cách chia s ph n F (t ) λCum = trăn h ng hóc quan sát ñư c t o th i gian t chia t cho m i ñi m h ng hóc quan sát ñư c (thư ng dùng ñơn v log-log). ð i v i t c ñ hazard thì thư ng có quan h tuy n tính. (xem ph l c A). T c ñ h ng hóc t c th i, t c ñ hazard, hay là t c ñ h ng hóc: Là xác xu t h ng hóc trong f (t ) 1 dR(t ) λ (t ) = =− m t ñơn v th i gian c a linh ki n khi linh ki n R (t ) R (t ) dt còn ho t ñ ng. T c ñ h ng hóc t c th i c a linh ki n trong nhóm các linh ki n còn t n t i. Th i gian trung bình gi a h ng hóc (MTBF: Mean Time Between Failure); Th i gian trung 1 bình h ng hóc; (MTTF: Mean Time To Failure): = Cons tan tFailureRate Th i gian v n hành kỳ v ng c a h th ng/ñơn v . MTBF & MTBF là thu t ng ñư c dùng thay cho MTTF MTTF 1 = trong có s a ch a. Hai thu t ng ñ u là ngh ch λ ñ o c a h ng hóc khi t c ñ h ng hóc là không ñ i. Tính s n sàng: Khi ho t ñ ng xác l p, thì xác su t này th i gian up và toàn th i gian. Trong inherent availability thì up time thư ng ñư c dùng là MTTR và down time thư ng dùng UpTime = A MTTR (Mean Time To Repair) c a h th ng. UpTime − DownTime Còn trong Noninherent availability thì còn có nhi u th a s ph c t p hơn như th i gian standby, th i gian h u c n (logistic), và th i gian qu n tr (xem thêm chương 11) B ng 1: Các hàm th ng kê dùng trong ñ tin c y Hình 1: Hai lĩnh v c ch y u dùng trong ñ tin c y ð tin c y c a linh ki n (r i) - ði n tr , t ñi n, ñi ñ, IC, v.v,... ð tin c y c a h th ng (Hybrid & Assemblies) - Thư ng là t ng c a t c ñ h ng hóc t ng linh ki n Thí d : ð tin c y c a bóng ñèn dây tóc T c ñ h ng hóc = λ c a h th ng λ c a h th ng = λ c a tim ñèn + λ v ñ kín + λ các m i hàn n i - Không là t ng khi xu t hi n y u t redundancy (trư ng h p ñèn dùng hai dây tóc) 3. Các ý ni m v t c ñ h ng hóc C n tìm hi u thêm m t s ý ni m cơ b n v t c ñ h ng hóc, là y u t quan tr ng trong ño lư ng ñ tin c y. T c ñ h ng hóc có th ñ c l p hay hay ph thu c theo th i gian (xem hình 2).
Hình2: Ý ni m v t c ñ h ng hóc. T c ñ h ng hóc ph thu c th i gian λ (t ) T c ñ h ng hóc ñ c l p theo th i gian λ (t ) = λ Thí d : - Ph thu c th i gian: t c ñ h ng hóc là 1000 FIT trong 10,4 năm - Không ph thu c th i gian: t c ñ h ng hóc là không ñ i và là 400 FIT T c ñ h ng hóc t c th i (tương t như t c ñ hazard) T c ñ h ng hóc trung binh Theo hình 2 thì khi th o lu n v t c ñ h ng hóc ph thu c th i gian, c n ñ nh th i gian cho t c ñ h ng hóc. Ngoài ra còn có t c ñ h ng hóc t c th i (hay t c ñ hazard). Khi cho t c ñ h ng hóc trong m t kho ng th i gian, thì ñó ñư c g i là t c ñ hazard trung bình. Hơn n a, t c ñ h ng hóc trong m t kho ng th i gian thì cũng là hàm ph thu c theo th i gian (xem hình 3). Hình 3: Ý ni m v t c ñ h ng hóc không ñ i. λ (t ) = λ λ = F / t t s h ng hóc theo s gi th nghi m = S l n h ng hóc/s linh ki n x s gi th nghi m = S l n h ng hóc/t ng s gi c a các linh ki n λ = 1 / MeanTimeTo Failure = 1 / MTTF Khi h th ng là s a ch a ñư c thì dùng MTBF thay cho MTTF Khi t c ñ này không ñ i theo th i gian, thì t c ñ hazard không ñ i hay còn ñư c g i là t c ñ h ng hóc không ñ i. T c ñ h ng hóc không ñ i tương ng v i giá tr th i gian h ng hóc trung bình MTTF (Mean Time To Failure). N u t c ñ hazard là thay ñ i thì thu ng không gi ng như trư ng h p tương ng c a t c ñ hazard (xem ph chương 1–5). Thư ng thì MTTF dùng cho linh ki n r i hay h th ng không th s a ch a ñư c. Khi h th ng s a ch a ñư c thì dùng thu t ng th i gian h ng hóc trung bình MTBF (Mean Time Between Failures) thay cho MTTF (xem chương 11). Ba ño lư ng (metric) quan tr ng c a ñ tin c y là: h ng hóc theo gi , h ng hóc theo m t tri u gi (PPM theo gi hay theo năm), và ñơn v là FIT (xem hình 4) Hình4: Các metric quan tr ng trong ñ tin c y T c ñ h ng hóc không ñ i = 1/MTTF Thí d : MTTF = 2 gi . λ = 1 / MTTF (h ng hóc theo gi = ½ gi . Chuy n t c ñ h ng hóc sang ñơn v tri u PPM (nhân v i 1 x 106) T c ñ h ng hóc = 500.000 h ng hóc/ m t tri u gi = 500.000 PPM theo gi (chú ý: nhân v i 8760 ñ có PPM theo năm) . Chuy n sang FIT (nhân v i 1 x 109) T c ñ h ng hóc = 500.000.000 FIT (Failure in Time) ▼ Thí d 1: Thí d v tri u gi N u ta có 1% h ng hóc (0.01 t s h ng hóc) trong 10.000 gi (kho ng 1 năm), thì λ = 0.01 t s h ng hóc/10.000 gi λ = 0.000001 t s h ng hóc trên gi
n sang giá tr tri u (nhân v i 1 × 106) Chuy T cñ h ng hóc = 1 h ng hóc/m t tri u gi n sang FIT (nhân v i 1 ×109) Chuy T cñ h ng hóc = 1000 FITs n sang PPM theo năm (nhân v i 8760 gi m i năm) = 8,760 PPM m i năm Chuy n sang MTTF = 1/T c ñ h ng hóc = 1 tri u gi Chuy Như th , m t tri u gi MTTF thì tương ñương v i 1% h ng hóc m i năm [hay chính xác hơn thì 0,01 t s h ng hóc xu t hi n trong 10.000 gi (~ 1 năm)]. T c là 1000 FIT, x p x v i 10.000 PPM m i năm. B ng dư i ñây ñư c s p x p tương t như thí d v a r i và ñư c dùng tham kh o cho vi c chuy n ñ i cho trư ng h p t c ñ h ng hóc không ñ i. 8.3.1 Bi u di n th i gian h ng hóc trung bìnhMTTF (Mean Time To Failure) Dùng phép phép tích phân Do MTTF là th i gian h ng hóc kỳ v ng, nên ñư c tính theo hàm m t ñ xác su t (h ng hóc). ∞ MTTF = t = ∫ tf (t )dt (1) 0 Tích phân này ñươc vi t l i d ng tương ñương như sau: ∞ MTTF = ∫ R(t )dt (2) 0 (khi gi i h n c a R(t) tri t tiêu khi t l n). Trong ph n 4.1, s mô t v mô hình d ng mũ v i R(t) = exp(–λt) v i t c ñ h ng hóc là c ñ nh. Thí d , MTTF c a hàm này là ∞ 1 MTTF = ∫ e −λt dt = λ 0 ðây là m t k t qu quan tr ng dùng cho kh o sát ph n k ti p
4. Các mô hình ñ tin c y T c ñ h ng hóc thư ng ñư c mô hình hóa theo d ng ñư ng cong b n t m (bathtub) hình 5. ðư ng cong này mô hình hóa d a theo t l t vong c a con ngư i. H u h t v mô hình v ñ tin c y c a t c ñ h ng hóc ñ u kh p v i d ng ñư ng cong này. Các vùng c a ñư ng cong này là ch t y u, v n hành n ñ nh, và suy tàn. Th i gian ch t y u bi u di n m t ph n nh c a s n ph m ñươc g i ñi và b h ng hóc trong năm ñ u v n hành do các khuy t t t trong s n xu t mà quá trình th m tra không phát hi n ñươc. Quá trình v n hành n ñ nh bi u di n ph n s n ph m h ng theo t c ñ h ng hóc bình thư ng. ph n cu i tu i th , quá trình suy tàn xu t hi n khi t c ñ h ng hóc gia tăng theo th i gian v i s s n ph m còn l i. M i vùng ñư c mô hình hóa theo nhi u d ng hàm tin c y khác nhau. Có ba d ng phân b ñ tin c y quan tr ng là Weibull, d ng mũ, và d ng semi-log. D ng Weibull và d ng semilog thư ng ñư c dùng ñ mô hình t c ñ h ng hóc thay ñ i theo th i gian trong khi d ng phân b mũ thư ng ñư c dùng ñ mô hình hóa t c ñ h ng hóc không ñ i theo th i gian (thí d , trong vùng n ñ nh c a ñư ng cong bathtub). Mô hình Weibull ñư c dùng ph bi n trong mô hình hóa quá trình ch t y u trong khi semilog thư ng ñư c dùng trong ñ tin c y linh ki n ñi n t quá trình suy tàn (xem hình 6). Chưa có quy lu t cho ch n l a này, y u t quy t ñ nh d ng phân b là vi c ch n l a hàm phân b nào kh p nh t cho d li u. M t trong nh ng phân b cũng thư ng ñư c dùng trong phương pháp thông kê ñ tin c y là phân b chu n (hay phân b Gauss) ñư c trình bày ñây cho ñ y ñ . Phân b thư ng không dùng trong mô hình ñư ng cong bathtub; tuy nhiên, l i thư ng ñư c dùng ñ mô hình d li u tham s (tham s hay bi n s ). D ng này khác v i phân b d ng Weibull, hàm mũ hay semilog, thư ng dùng cho d li u tai bi n (catastrophic) hơn là các d li u tham s . Nói tóm l i, có b n mô hình ñ tin c y ch y u là: Phân b Weibull • Có th dùng ñu c cho c ba vùng trong ñ th bathtub.
• Dùng ch y u trong mô hình hóa vi m ch ñi n t trong giai ño n ch t y u. • Mô hình dùng 3 tham s , nhưng thư ng ch c n có hai (tham s th ba bi u di n y u t d i theo th i gian). • Thích h p cho các phép th nghi m tu i th có y u t gia t c. Phân b d ng mũ • Dùng trong t c ñ h ng hóc không ñ i. • Ch mô t ñư c ph n ph ng (xác l p) trong ñư ng cong bathtub. • Mô hình ch dùng m t tham s . Phân b semilog • Phân b hai tham s . • Có th dùng bi u di n c ba ph n trong ñư ng cong bathtub. • Dùng ch y u trong mô hình giai ño n suy tàn c a vi ñi n t . • Thay tr c th i gian b ng y u t log. • Thích h p cho phép th nghi m tu i th có y u t gia t c. Phân b chu n (hàm Gauss) • Mô hình ñư ng cong d ng chuông hai tham s . • ðư c dùng trong giám sát quá trình và lưu ñ ki m soát. Các phân b là tr ng tâm c a chương này. Các thông tin sâu hơn v phân b này có th ñ c trong nhi u tài li u tham kh o hi n có v ñ tin c y (xem ph l c 1–8). Ph n ti p gi i thi u hàm c a các phân b dùng trong ñ tin c y. Cơ s toán h c thư ng không ñơn gi n. Tuy nhiên, hi n nay có r t nhi u ph n m m h tr phân tích ñ tin c y. Chúng tôi s cung c p thí d giúp ñ c gi hi u thêm v lý thuy t toán h c, so v i trư c ñây là ñi u r t khó khăn ñ d ng và phân tích ñ th này. 4.1 Hàm Weibull và hàm mũ Ta ñã gi i thi u hàm này trong m i tương quan v i ñư ng cong bathtub, bây gi xem xét thêm v m t toán h c. Xét d ng c a ñư ng cong bathtub trong giai ño n ch t non và vùng suy tàn. N u c n mô hình t c ñ h ng hóc vùng suy tàn b ng m t hàm, thì nên ch n d ng hàm nào? D ng ñơn gi n nh t có l là hàm l y th a (power-law) như hình 7. Thí d này minh h a trư ng h p x y ra là parabol trong giai ño n suy tàn. Hàm này ch c n hai tham s là lambda (λ) và y. ðây là d ng bi u di n lu t công su t “AT&T” c a mô hình Weibull (xem tham kh o 1). Mô hình g c ñư c Waloddi Weibull ph bi n vào năm 1951. ð c gi c n chú ý là mô hình Weibull ñư c dùng trong nghiên c u v ñ tin c y dùng nhi u tham s khác nhau hơn so v i mô hình AT&T. D ng chung c a mô hình Weibull ñư c v hình 8 và ti p là hình 10, trong ñó β– 1 là công su t th i gian trong hàm t c ñ h ng hóc. ði u này ñư c mô t chi ti t trong ph n 4.2. Dùng thay th thích h p, thì mô hình AT&T và mô hình Weibull tương ñương nhau. Chúng tôi ñã thêm ph
chương A, cung c p chuy n ñ i gi a các d ng mô hình. Trong hình 7, ta ñã th c hi n phép d i tr c th i gian v g c. ði u này có th b chính b ng cách dùng các tham s theo tr c th i gian. Khi th c hi n thì c n có thêm m t tham s th ba, thư ng ñư c g p vào ñ g i là mô hình Weibull ba tham s . Hi n nay, phân b ñ u bao g m tham s d i theo th i gian, ch ñư c dùng khi c n thi t khi c n kh p v i d li u d i theo th i gian. Vi c dùng tham s th ba thư ng không c n thi t trong trư ng h p ñây. Như minh h a trong hình.8, trong các bi u di n thông thư ng c a mô hình Weibull, khi β> 1, ta mô hình hóa vùng suy tàn, khi β< 1, mô hình hóa vùng ch t non. Cu i cùng, khi β= 1 dùng trong tru ng h p t c ñ h ng hóc là không ñ i, mô hình hóa vùng xác l p. Trư ng h p này thì mô hình Weibull hoàn toàn gi ng v i mô hình hàm mũ. ▼ Thí d 2 Hàm tin c y c a phân b d ng mũ Phân b d ng mũ thì ít ph c t p hơn v m t toán h c so v i d ng phân b khác nên ñư c dùng trong thí d ñ u tiên. Trư ng h p này, ta tìm ñư c t hàm tin c y R(t). Do t c ñ h ng hóc là không ñ i, t b ng 1, tìm ñư c: 1 dR (t ) T c ñ h ng hóc= h ng s = λ = − (3) R (t ) dt Có d ng phương trình vi phân b c nh t, v i nghi m là: R (t ) = e − λt (4) Ti p t c các bư c còn ti p dùng b ng 1. Hình 9 mô t k t qu . Chú ý là hàm phân b xác su t tích lũy ñư c ñơn gi n hóa thành λt khi λt r t bé so v i 1. Dùng khai tri n chu i Taylor ñ ch ng minh F (t ) − 1 − exp(−λt ) = 1 – (1- λt – th a s có b c bé nh t) ≅ λt (5) ▼ Thí d 3 Dùng hàm tin c y d ng mũ Bài toán: T c ñ h ng hóc c a m t ph n trong thi t b là h ng s và ñư c ư c lư ng là 10.000 FIT. Tìm MTBF? N u MTTR (Mean Time To Repair) c a thi t b này là 1500 gi , cho bi t v tính s n sàng c h u (inherent availability)? N u 100 ñơn v hoàn toàn gi ng
nhau ñư c dùng t i hi n trư ng, hãy ư c lư ng s ñơn v s b h ng sau 6 tháng và trong th i gian t 6 tháng ñ n 1 năm. Gi s m i ñơn v h ng ñ u ñư c g i tr v , ư c lư ng return rate trong năm ñ u? Gi i: T c ñ hazard không ñ i là 10.000 FIT, ñi u này tương ñương v i 10 −9 / hour 10 −5 10.000 λ = 10.000 FIT =9 = FIT 10 hour hour MTBF là 1 MTBF = = 100.000hours λ Tính s n sàng c h u (còn ñu c ñ nh nghĩa trong chương 11) là MTBF 100.000 A= = = 0,985 MTBF + MTTR 100.000 + 1.500 Xác su t h ng hóc trong 6 tháng ñ u tiên là (4.380 gi ) Ch ng minh: H ng hóc trong 6 tháng F(4,380 gi ) = 1 – R(6 tháng) Trong mô hình d ng hàm mũ thì R(4,380 gi ) = exp{–4380/100,000} = 0.957, nên F(4,380) = 1 – 0.957 = 0.043. V y, kỳ v ng h ng hóc trong 6 tháng ñ u là 4.3 ñơn v và ñư c làm tròn thành 5. Xác su t h ng hóc trong th i gian t 6 tháng ñ n 1 n ăm l à R(6 tháng) – R(12 tháng) = 0.957 –0.916 = 0.041. Kỳ v ng h ng hóc trong th i gian gi a 6 tháng và 1 năm là 4.1 ñơn v và ñư c làm tròn thành 5. ð tin c y trong 12 tháng là 0.916, ñưa ñ n return rate là 8.4% trong năm ñ u. 4.2 Hàm tin c y Weibull Tương t như thí d 2, tìm t hàm tin c y Weibull. T c là, ta dùng mô hình lu t l y th a cho t c ñ h ng hóc v hình.8 và gi i tìm hàm trong b ng 1. ði u này d n ñ n m t s khó khăn khi gi i phương trình vi phân, v i nghi m ñư c cho trong hình 10. ð c gi nên ki m l i xem các nghi m này có th a mãn ñư c b ng 1 không. Chú ý là hàm xác su t tích lũy cũng ñươc s p x p thành d ng h u ích trong hình 10. Trong thí d 7, có m t thí d v Weibull và dùng d ng CDF.
4.3 Hàm phân b d ng chu n Khác v i hàm tin c y d ng Weibull hay d ng mũ, thì phân b chu n thư ng không ñư c dùng phân tích d ng d li u ñúng/sai (pass/fail). Hàm này ñư c dùng ch y u cho các bi n d li u (d li u tham s ). Hình11 cung c p các hàm quan tr ng liên quan ñ n mô hình phân b chu n dùng trong tài li u này, theo ñó c n l y ñ o hàm gi a s lư ng trung bình và phương sai, và m u trung bình và phương sai. ▼ Thí d 4 Phân tích phân b chu n c a ñi n tr Bài toán: M t s lư ng g m 33 ñi n tr ñư c ño theo giá tr ohms l n lư t là 2.2, 2.3, 2.5, 2.7, 2.9, 2.6, 2.1, 2.4, 2.0, 3.0, 2.55, 2.2, 2.8, 2.4, 2.5, 2.7, 2.9, 2.8, 2.4, 2.6, 2.6, 1.9, 1.8, 3.2, 3.3, 3.3, 2.2, 3.0, 3.2, 2.6, 2.2, 2.8, và 2.9. Tìm m u trung bình, phương sai, ñ l ch chu n và v t n su t phân b Gi i: T ng các giá tr là 85.55 ohms .V y, dùng phương trình tronghình 11 ñ tìm m u trung bình, ta có: 85,55 x= = 2,5924Ω 33 Tìm phương sai, ta có: v i th a s ñ u tiên (2,2 − 2,531) 2 = 0,1096 T ng các giá tr là 5,0406 Ω, nên khi chia cho (n-1) = 31, thì S 2 = 0,15752 V y S=0,3969 Chú ý, k t qu này tìm ñư c d dàng dùng các hàm Exel cho b i b ng B.1. T n su t phân b tìm ñư c b ng nhi u cách. Chúng tôi ñ ngh nên dùng ph n m m th ng kê ñ v phân b chu n. Chúng tôi cung c p hai thí d . ð u tiên là m t ñ th histogram (hình 12). Tuy nhiên, thư ng ñ d ng hoành (histogram), cho dù d ng ñ th có hay không có d ng phân b chu n d ng chuông hay không. Mt d ng thư ng dùng khác là ñ th phân b xác su t chu n. Trong trư ng h p này, giá tr ñi n tr ñư c v theo giá tr xác su t tích lũy. Chú ý là ñôi khi tr c x còn
ñư c v theo phương sai chu n thay vì giá tr xác su t tích lũy (tùy thu c vào ph n m m dùng cho v ). ði u này ñư c v hình 13. D dàng nh n ra ưu ñi m này. Trong hình 13, k t qu cho th y giá tr phương sai trung bình và phương sai chu n là phù h p v i k t qu ta có, v i giá tr (high regression coefficient) R2 là 0.992 (xem b ng trong hình 13) . 4.4 Hàm tin c y theo d ng semi-log (Log-Normal) Hàm m t ñ xác su t theo d ng log- normal (PDF: Probability Density Function) tương t như hàm PDF chu n v i ñi m khác bi t là dùng giá tr logarithm cho tham s . Như v hình 14. 5. M c tiêu tin c y và th nghi m ñ tin c y Sau khi ñã gi i thi u v mêtric ñ tin c y và hàm, c n hi u bi t thêm v ng d n g chúng trong th nghi m ñ tin c y cho s n ph m. Trên thương trư ng c nh tranh hi n nay, vi c th nghi m ñ tin c y thư ng có y u thúc ñ y t t khách hàng. M t s khách hàng hi u ñư c là ñư c h mu n gì, m t s khác ch c n ñ tin c y ph n s n ph m khi ho t ñ ng t i hi n trư ng. M c tiêu thì gi ng nhau, tuy nhiên phương pháp th c hi n thay ñ i. Theo quan ñi m th ng kê, vi c ñánh giá ñ nh lư ng s b t ñ u t m c tiêu c a ñ tin c y s n ph m, r i ch ng minh m t cách th ng kê là m c tiêu ñã ñ t ñư c m t m c tin c y nào ñó r i. M c tiêu c a ñ tin c y s thay ñ i tùy theo năng l c c a s n ph m. Hình 15 cung c p m c tiêu v t c ñ h ng hóc trong ñ tin c y bình thư ng c a s n ph m (tính theo FITs) dùng cho IC plastic hybrids, and assemblies. Th nghi m ñ tin c y có m t m c nào ñó là m t khoa h c không chính xác. ði u t t nh t có th làm là dùng các kích thư c m u có nghĩa th ng kê ñ t o suy lu n v toàn nhóm v i m c tin c y nào ñó (hình 16). Các m u dùng cho th nghi m ph i bi u di n ñư c nhóm, n u không thì không có m c tin c y. Như v y thì m c tin tư ng (confidence) là gì? có hai d ng confidence cơ b n: tin tư ng v k thu t và tin tư ng th ng kê. Ta thư ng dùng m t s phán ñoán v k thu t khi ch n l a các m u tiêu bi u, thư ng gi ñ nh r ng ño
lư ng là chính xác, tin tư ng r ng các th nghi m ñã ñư c ch y ñúng, và ti p t c, .. Các y u t này thư ng ñư c phán ñoán trên cơ s k thu t, do b gi i h n v th i gian và chi phí. M c tin tư ng th ng k thì thư ng ñư c tích h p trong khi ho ch ñ nh m u th v à minh h c r ng m c tiêu v ñ tin c y ñư c th a mãn v i m t m c tin c y nào ñó. M c tin tư ng (hay h s tin tư ng) thư ng ñư c di n ñ t theo ph n trăm. ði u này có liên quan ñ n kho ng (gi i h n) m c tin tư ng như v hình 17. Thí d , n u ta th ư c nhóm (population) trung bình c a m t t p m u, c n th c hi n m t s ño lư ng nh m ư c lư ng giá tr chúng. Các giá tr có ñư c chính là các ñi m ư c lư ng. Ta có ñư c m t lư ng các b t ñ nh trong nhóm trung bình này. B t ñ nh ñư c ñ nh lư ng m t cách th ng kê dùng kho ng tin tư ng. ði u này tùy thu c kích thư c m u và m c tin c y mà ta mong mu n. V m t th ng kê thì m c tin tư ng này ch th m c ñ b t ñ nh trong ño lư ng ư c lư ng c a nhóm trung bình. Hình 18 cho th y khi tăng s l n quan sát (kích thư c m u l n hơn) thì kho ng th ng kê c a ta tr nên bé hơn trong m c tin tư ng ñ c thù ñư c ch n l a. 6. Phương pháp tham s và tai bi n (parametric and catastrophc methods) Do ch chú ý ñ n ho c là bài toán tham s hay bài toán tai bi n, nên phương pháp th ng kê cũng s theo hư ng tham s hay tai bi n như mô t trong hình 19. Tuy còn c n ph i nghiên c u sâu hơn, trong ph n này ch chú ý các ñi m quan tr ng mà thôi 6.1 T ng quan v y u t tham s . Y u t tin c y th ng kê có quan h nhi u v i các ng d ng tham s d ng chu n, ñư c ñ c p hình 17. Trong
ng d ng th c t nên bi t v kho ng tin tư ng ño lư ng trung bình như v hình 18. ð th c hi n, c n l y m u có kích thư c n trong nhóm (population) có kích thư c N. ðo lư ng trung bình c a m u là x và ñ l ch chu n là S. Ư c lư ng trung bình nhóm µ có ñ l ch chu n là σ, v i m t m c tin tư ng nào ñó. ði u t t nh t làm là ư c lư ng kho ng tin tư ng: σ σ < µ < x + zα / 2 x − zα / 2 (6) n n trong ñó Zα/2 là giá tri c a Z phân b chu n trong vùng α/2 v bên ph i (xem ph l c 4). Giá tr Z ñ i v i bi n b t kỳ x là Z = (x–µ)/σ. ð i v i m u nh (n < 30) v i m t nhóm chu n x p x có phương sai chưa bi t, thì kho ng tin c y cho µ ñư c cho b i: s s < µ < x + tα / 2 x − tα / 2 (7) n n trong ñó tα/2 là giá tr c a t khi v = n – 1 b c t do, trong vùng bên ph i α/2 (ph l c 4). Hàm tin tư ng ñư c minh h a trong thí d sau: ▼ Thí d 5 Kho ng tin tư ng tham s (about the mean) Bài toán: Trong thí d 4, ta ư c lư ng là tr trung bình c a m u g m ño lư ng c a 33 ñi n tr là 2,592ohms v i ñ l ch chu n là 0,397 ohms. C n tìm kho ng tin tư ng 95% so v i trung bình cho s m u này. L i gi i : Do s m u là l n (>30), nên ñ l ch chu n σ ñư c x p x v i S= 0,397. Quan tâm ñ n 95% kho ng tin tư ng. T c là α= 1 – 0,95 = 0,05, và α/2 = 0,025. Hình 18 dùng giá tr ư c lư ng c a Z thay vì giá tr t do ta c n kíh thư c m u là 30. T c là giá tr Z t o ra vùng 0,025 (= 0.05/2) v bên ph i, như th vùng bên ph i c a 0.975 là Z0,025= 1,96. Chú ý là v kích thư c m u này, giá tr t xu t hi n và t th ng kê cho cùng k t qu . Giá tr Z hay t c n ñư c tìm dùng các b ng th ng kê cho α/2. M t khác, ta dùng Microsoft®Excel, như trong ph l c B. V i giá tr này, thì kho ng tin tư ng 95% ñư c rút g n l i thành  0,397   0,397   < µ < 2,592 + (1,97) 2,592 − (1,96)       33   33  2,727 < µ < 2,457 hay Như th , có 95% xác su t quan sát ñư c cho giá tr ñi n tr rơi vào vùng này, và m c ñ tin tư ng tương ng v i 95% m c tin tư ng.
6.2 ð nh lý v gi i h n trung tâm và phân tích Cpk M t trong nh ng ñ nh lý quan tr ng trong phép th ng kê dùng phân b chu n là ñ nh lý gi i h n trung tâm, ñư c mô t hình 20. ð nh lý này c n cho các nghiên c u này do áp d ng ñư c cho vi c l y m u. ð nh lý cho r ng l y m u trung bình tuân theo x p x c a phân b chu n ngay khi phân b này không ph i là d ng chu n. Ta thư ng không ñư c may m n ñ bi t ñ oc phương sai c a nhóm t ñó ta ch n ñư c các m u ng u nhiên. Dùng tham kh o 9, “ð l y các m u có kích thư c n> 30, m t ư c lư ng ñúng cho σ2 ñư c cung c p t s2. Néu kích thư c m u nh (n< 30), thì giá tr c a s2 bi n ñ ng t m u sang m u. Như th nên dùng các m u có s lư ng kho ng 30. ▼ Thí d 6 Phân tích Cpk M t trong nh ng lĩnh v c quan tr ng khi l y m u là phân tích kh năng c a quá trình. Khi ñ t ñư c ch s kh năng (Cpk Index) thì các phép ño th nghi m ñư c gi s dùng phân b không bình thư ng. M c tiêu c a vi c phân tích kh năng c a quá trình là nh m ki m tra xem ño lư ng các tham s ch y u có còn gi a trong gi i h n các ch s kh năng c a quá trình không. ði u này ñư c g i là ch s Cpk. Khi phân tích Cpk, ch n m u có giá tr th ng kê và phương sai gi vai trò ch y u. ð nh lý v Gi i h n Trung tâm minh h a giá tr c a m u trong nhóm chu n. Trong th c t , ta thư ng không bi t phương sai c a nhóm và c n ư c lư ng t m u, nên ph i gi m thi u các bi n ñ ng t m u sang m u. T ñó c n dùng các m u danh ñ nh ít nh t là 30 ñơn v như mô t hình 20 và ph n
tham kh o 9. Phân b th ng kê ñ t t i ưu khi tr Cpk ñư c ch n l n hơn 1.5. Hình 21 cung c p m t ñ nh nghĩa th ng kê v ch s Cpk. B ng 3 cung c p ph n t ng quan v quan h th ng kê gi a ch s Cpk, kh năng σ c a quá trình có ñu c. B ng 3 cung c p c các phân b chu n m t bên và hai bên. Giá tr này tìm ñư c t b ng. Ngoài ra, ta các ph n m m như Microsoft®Excel. Trong Appendix B cung c p m t thí d v b ng Excel. C n xem có nh t thi t ph i quan tâm ñ n các ñ c tính m t bên hay hai bên. Giá tr Cpk không nh y c m v i các ñ c tính m t bên hay hai bên. Như th các ch s (index) có kh năng không minh h a chính xác ñư c thông tin ñã có. Xem l i k t qu c a thí d 4. Trong thí d này, 33 ñi n tr ñư c ño, là s lư ng hơi l n hơn s m u bé nh t c n có. Giá tr ñi n tr trung bình là 2,592 . N u gi i h n trên (USL) và gi i h n dư i (LSL) ñư c ñ nh nghĩa là USL=4.2 và LSL=1.1 ,như th thì kho ng cách trung bình so v i các gi i h n là: USL – Mean = 1.61 Mean – LSL = 1.49 . Như th giá tr Mean-LSL là tr bé nh t như mô t hình 21. Thí d 4 cho ta tr sigma(σ)= 0.397, v y kh năng sigma c a quá trình này là: σ Capability(LSL) = ZLSL= Mean – LSL/σ= 1.49 ohms/0.397 = 3.76 và ch s Cpk = 3.76/3 = 1.25 Thư ng ch quan tâm ñ n kh năng sigma theo bên có dung sai x u nh t. Tuy nhiên cũng c n thi t ph i tìm giá tr ngư ng trên. ði u này có nghĩa là: σCapability(USL) = ZUSL= Mean – USL/σ= 1.61 /0.397 = 4.06 T ñây, ta tìm ñư c thành ph n ñi n tr th c s c a các ñ c tính. Dùng phân tích m t bên chu n, giá tr PPM trong b ng chu n (xem ph l c B) cho kh năng sigma 3.76 là 85 PPM, trong khi ñ i v i quá trình kh năng sigma 4.06 thì là 24.5 PPM. Như th v i t ng 109.5 PPM các ñi n tr th c không ñ t trong quá trình này. t ng các ñi n tr các ñi n tr th c là 99.98905% (= 1 – 109.5 PPM). 6.3 Phân tích tai bi n Có hai d ng h ng hóc ñ tin c y: tham s và tai bi n. Như ñã nói thì h ng hóc tham s xu t hi n khi tham s c a linh ki n vư t kh i gi i h n c a ngư i dùng.Trong thí d nói trên v Cpk, ñó chính là giá tr USL và LSL. Trong phân tích v tai bi n, ta ch quan tâm ñ n tiêu chu n ñ t/không ñ t. Ta thư ng dùng các phân ph i Weibull, log-normal, và phân ph i d ng mũ ñ phân tích d li u là ñ t hay không ñ t và phương pháp phân ph i chu n ñ phân tích d li u tham s . Tuy nhiên, t ng phân ph i này dùng ñư c trong trư ng h p tai bi n hay tham s tùy thu c vào y u t d li u. Trong trư ng h p phân tích tai bi n, ta quan tâm ñ n y u t h ng hóc quá kh nhi u hơn giá tr tham s hay s thay d i c a tham s . Thông tin v h ng hóc tai bi n thư ng bao g m y u t th i gian h ng hóc cho t ng ph n c a s m u h ng. Thí d , d li u th nghi m v tu i th trong m u
th ñư c dùng ñ ư c lư ng hàm phân ph i tích lũy các m u. N u bi t ñư c hay ư c lư ng ñư c th i gian chính xác v h ng hóc c a t t c các ñơn v thì ta d ng ñư c bi u ñ xác su t. Qui trình d li u này như sau: • X p lo i th i gian c a n h ng hóc, x p t nh nh t ñ n l n nh t. • V trí trong bi u ñ xác su t tích lũy cho th y F(t) trong các h ng hóc th i là Fi thông qua kỳ v ng i/(n + 1), midpoint (i– 0.5)/n, or median(i– 0.3)/(n + 0.4), nhân ti p v i 100 ñ có s t l ph n trăm. • Các giá tr c a bi u ñ tích lũy thư ng ñư c chuy n ñ i sao cho d li u kh p ñư c v i d ng ñ th . Ki m duy t d li u: Các nghiên c u v ñ tin c y thư ng cho k t qu th p hơn so v i d li u hoàn ch nh hay d li u ñã ki m duy t. Thí d , linh ki n ñư c g ra trong quá trình th nghi m. hay th nghi m không th th c hi n ñư c, hay không bi t chính xác v th i gian h ng hóc. Khi phân tích d li u v th nghi m tu i th , m t s ñơn v không ñ t, và th i gian h ng hóc ch bi t ñư c sau khi ñã ch y th nghi m. Các d li u này ñư c g i là ñư c ki m duy t v bên ph i (th i gian h ng hóc > to). Th i gian h ng hóc ch ñư c bi t trư c m t th i gian nào ñó thì ñư c g i là ki m duy t v bên trái (th i gian h ng hóc < to). Tuy nhiên, n u bi t ñư c th i gian h ng hóc trong m t kho ng khi không giám sát liên t c, thì ñư c g i là ki m duy t theo kho ng (to< th i gian h nghóc < t1). N u m i ñơn v ñ u ñư c b t ñ u th nghi m ñ ng th i và d li u ñư c phân tích trư c kh m i ñơn v ñ u b h ng, thì d li u là ki m duy t t ng cái m t. D li u ñư c g i là ki m duy t b i n u các ñơn v có nhi u th i gian ch y khác nhau tr n xen k v i th i gian h ng hóc. Các d li u ki m duy t v th i gian ñư c g i là ki m duy t lo i 1 và là d ng ki m duy t thư ng g p nh t
trong các d ng ki m duy t d li u. Có m t s phương pháp ñư c dùng trong phân tích d li u dùng trong ki m duy t t ng ph n hay ki m duy t b d li u (xem ph n tham kh o 3 và 7). Xem ti p thí d dư i ñây ▼Thí d 8.7 Phân tích Weibull và log-normal c a b khu ch ñ i nhi u th p khi th nghi m tu i th . Bài toán: D li u th nghi m tu i th dùng cho b ñi khu ch nhi u th p (LNA) ñư c li t kê trong b ng 4. Các d li u này ly t th nghi m th hai tương t như trư ng h p phân b log-normal chương 6 (xem hình 6.7). Ta mu n dùng phân tích Weibull ñ phân tích d li u v th nghi m tu i th . Linh ki n ñư c ñ t trong th nghi m tu i th t i nhi t ñ 200°C và 250°C. Th i gian h ng hóc ñư c ki m duy t theo kho ng, sau m i 100 gi t i 200°C và m i 10 gi t i 250°C. Dùng mô hình Weibull, tìm α và β c a hai thông tin t d li u 200°C và 250°C. Tìm t c ñ h ng hóc t i th i ñi m b t kỳ. Ti p ñ n, dùng thông tin này ñ ư c lư ng MTTF t i m i nhi t ñ . Xây d ng l i bi u ñ d li u trong trư ng h p log-normal, r i so sánh v i k t qu có ñư c t chương 6 và t phân tích Weibull v a có ñư c. L i gi i : X p h ng t ng h ng hóc ñư c theo d li u MTTF (Mean Time To Failure) t th p ñ n cao như v b ng 4. Trong phân tích này, các v trí kỳ v ng ñư c dùng là {i/(n + 1)×100}. X p h ng nh m ư c lư ng hàm xác su t các m u tích lũy ñư c g i là Fs. Chú ý là cách x p h ng xu t hi n tương ng v i s l n h ng hóc trong trư ng h p này. ði u này là do m t h ng hóc quan sát ñư c trong m i th i gian h ng hóc, không ph i lúc nào cũng ñúng trong trư ng h p này (xem thí d 9.11 chương 9). Do th i gian h ng hóc ñư c ki m duy t theo kho ng, nên ta l y ñi m kho ng trên. Hơn n a, t t c 15 ñơn v ñ u không ñ t. Tuy nhiên, trong h u h t các trư ng h p thì không ph i là có ñư c t t c các th i gian h ng hóc. Hình 10 cung c p d ng tuy n tính hóa c a hàm phân b tích lũy Weibull. V i mong mu n kh p d li u v i ñư ng phân tích kh p nh t, ta tuy n tính hóa d li u b ng cách v Ln{–Ln(1– Fs)} các giá tr theo th i gian Ln. Ti p ñ n d li u ñư c d ng và dùng phép kh p tuy n tính như v hình 8.22. Các k t qu kh p này ñư c minh h a trong hình. Chú ý là h s h i qui (regression coefficients) là 0.93 và 0.97 dùng trong các trư ng h p d li u 200°C và 250°C. ði u này cho th y là phân tích Weibull là h p lý. Ta so sánh các h s h i qui này trong phân tích dùng phương pháp Weibull v i trư ng h p dùng d li u log-normal trong hình 6.7 dùng h s 0.97 và 0.94 cho các
trư ng h p 200°C và 250°C. Hi n chưa có minh ch ng là phân ph i log-normal hay Weibull cho phép kh p d li u t t hơn. Ti p ñ n, ta th c hi n vi c so sánh gi a hàm Weibull trong hình 10 trong ñó Ln {− Ln (1 − F (t ))} = βLn (time) − βLn (α ) (8.8) v i ñư ng kh p tuy n tính Y = B + MX có ñư c t hình 22 Y = –62.2 + 6.63 Ln(time) và Y = –17.2 + 2.63 Ln(time) l n lư t cho các trư ng h p d li u 200°C và 250°C. Chú ý là trong h u h t các k t qu chính xác, thì vi c h i qui c n th c hi n theo tham s b t ñ nh c a th i gian (uncertainty parameter) ch không theo v trí v . B ng cách so sánh, theo ñó: Y = Ln{–Ln(1– F)} và X = Ln(time) Ta có β= 6.6 cho trư ng h p 200°C kh p và β= 2.63 cho trư ng h p ñư ng cong 250°C. ð ng th i, ta có– 62.2 = –β ln(α) cho d li u 200°C và tương t –17.2 = – βln(α) cho ñư ng cong 250°C. Các giá tr này cho α = 11,801 gi cho ñư ng cong 200°C và α = 694 gi cho trư ng h p ñư ng cong 250°C. Dùng bi u th c trong hình 8.11 ñ tìm t c ñ h ng hóc là: β λ (t ) = (t ) β −1 (8.9) α β ta có: λ (t ) = 6,7 x10 27 t 5, 63 λ (t ) = 8,8 x108 t 1, 63 l n lư t cho các trư ng h p và 200°C và 250°C. ð c gi có th tìm các tham s c a mô hình chung Weibull b ng cách dùng b ng chuy n ñ i 8.A.2 trong ph l c. ð tìm MTTF, ta gi i tìm hàm phân b tích lũy như trên (hay xem b ng 8.A.1) v i t cho trư c 1   1  β t = α  Ln   (8.10)  1 − F  Chèn F= 0.5 và các giá tr c a λ1 và α ñ có giá tr 11,376 và 610 gi l n lư t cho các trư ng h p d li u 200°C và 250°C. ð so sánh k t qu này v i phân tích log-normal, ñưa d li u vào bi u ñ phân hình 8.23. Trư ng h p này v giá tr theo ln(th i gian h ng hóc) thay vì ph i chu n v các giá tr th i gian h ng hóc. Th c ra v th i gian nào cũng ñu c. Trong trư ng h p này thì tr c th i gian h ng hóc là tuy n tính so v i tr c th i gian h ng hóc c a th c nghi m
ñ u tiên trong hình 6.7. Ch s bình phương t i thi u bé nh t kh p ñư c cho th y th i gian MTTF là 10,921 (= exp(9.299) và 573 (= exp(6.35)) cho các trư ng h p d li u 200°C và 250°C. Chú ý là ñ d c c a ñư ng log-normal l n lư t là 0.192 và 0.447. Các giá tr này cho phép so sánh t t hơn so v i th c nghi m ñ u tiên trong hình 6.7. Khi so sánh v i MTTF dùng ñ th Weibull, ta th y các h s h i qui d ng log-normal thì g n như ngư c l i v i d li u 200°C và 250°C. Như th , tìm ñư c minh ch ng là phương pháp phân tích nào là t t hơn phương pháp kia. ð c gi c n th y là c β và α ñ u thay ñ i theo nhi t ñ . V y, d báo giá tr này t i các giá tr nhi t ñ khác là bao nhiêu? ð phân tích ñ y ñ d li u thì c n ñưa ý ni m v hàm nhi t ñ Arrhenius (xem chương 9) vào mô hình Weibull. ði u này làm cho bài toán thành ba chi u do hàm Arrhenius ñưa thêm vào nhi u tham s khác và c n ñư c kh p ñ ng th i v i hai tham s Weibull. D ng bài toán này ñòi h i ph i dùng phân tích hàm ña bi n, là v n ñ ngoài t m c a quy n sách này. ▼ Thí d 8.8 Kho ng tin tư ng MTTF theo log-normal Bài toán: Tìm gi i h n 90% tư ng tin (confidence) xung quanh giá tr MTTF c a d li u 200°C dùng bi u ñ log-normal hình 23. L i gi i : T hình 23, tr MTTF là exp(9.30)= 10,921 gi v i ñ l ch chu n là 0.167. Kho ng tin tư ng xung quanh tr trung bình ñư c cho ph n 8.6.1. Khi kích thư c m u bé hơn 30, thì nên dùng kho ng th i gian t là th ng kê. Thay th giá tr MTTF log- normal chuy n ñ i vào phương trình, ta có: 0,167 0,167 < µ < 9,3 + tα / 2 9,3 − tα / 2 15 15 Tr th ng kê c a 90% tin tư ng (confidence: tìm trong nhi u sách v th ng kê) dùng phương trình hàm Excel. v n ñ này ñư c cung c p trong Appendix B, B ng 8.B.1, và b ng cho giá tr là 1.7613. Thay th tr này vào, kho ng tin tư ng 90% confidence n m trong t m t exp(9.223) ñ n exp(9.374) hay t 10,127 ñ n 11,778 gi . ▼Thí d 8.9 Phân tích h n h p các h ng hóc Khi có nhi u cơ ch h ng hóc xu t hi n trong quá trình th nghi m tu i th v i cùng m t m u thì ta x lý các k t qu riêng bi t. Cơ ch h ng hóc ñư c gia t c v i nhi u c p ñ
khác nhau và c n ñư c x lý riêng l . Trong ñó phương pháp tích–gi i h n (product- limited method) do Kaplan và Meier ñ ngh (xem Reference 11). Có th kh o sát dùng phép xác su t có ñi u ki n, v i xác su t t n t i Ps,n, t i th i gian h ng hóc ñ c thù tn (failure time) b ng v i xác su t t n t i tích lũy Ps,n–1 c a th i gian trư c ñó, tn–1, là th i gian ño ñư c c a h ng hóc trư c ñó, nhân v i xác su t t n t i Ps, tính t th i gian trư c tn– 1 ñ n t hay CumPsn = CumPs ,n−1 Ps (8.11) Xét thí d trong b ng 8.5: minh h a d li u th nghi m tu i th c a các ch d h ng hóc h n h p cơ h c và ñi n h c. H ng hóc ban ñ u có cơ ch h ng hóc cơ h c lúc 3 gi . H ng hóc cơ h c th hai, xu t hi n lúc 10 gi , ch xu t hi n sau khi có hai h ng hóc ñi n h c khác. Như th , xác su t t i ñi m 10 gi c a cơ ch h ng hóc cơ h c ch có th ño ñư c v i 17 ñơn v , 16/17 nhân v i xác su t t n t i trư c ñó là 0.96, có ñư c xác su t t n t i t i th i ñi m này là 0.9. V trí v tr thành là 10% h ng hóc t i ñi m ño 10 gi . Hình 24 minh h a ñ th xác su t log-normal tương ng. ▼Example 8.10 Phân tích d li u d ng hình S Trong thí d 8.9, phân ph i ñư c t o ra t hai cơ ch h ng hóc. R t khó phát hi n hai ch ñ này n u không phân bi t ra cơ ch h ng hóc khi v . ði u này xu t hi n khi c hai ch ñ h ng hóc xu t hi n trong cùng m t khung th i gian c a quá trình th nghi m. Thư ng khi th nghi m tu i th , ta quan sát m t t p m u con và m t t p m u chính cùng xu t
hi n trong hai khung th i gian riêng bi t. T p m u con (ñôi khi còn g i là “freaks”) xu t hi n khi m i th nghi m so v i t p d li u h ng hóc chính. ð c tính d ng ch S ñư c mô t b i d li u th nghi m tu i th hai ch ñ (ñánh d u b ng ch X) trong hình 25. ðáp ng này xu t hi n t cùng m t ch ñ h ng hóc. Thí d , v t n t (cracks) trong linh ki n bán d n, làm khu ch tán kim lo i vào cracks và sau cùng làm ng n m ch m i n i thư ng có d ng ch S. Có th là do ch ñ h ng hóc ñã ñư c h n h p l i t hai cơ ch h ng hóc, t c ñ h ng hóc ñư c h n h p l i theo th i gian và xu t hi n trong ñ th d ng ch S. Th a nh n vi c này là th y ñư c là vi c phân bi t ra t i ñi m u n trong d li u ch S. Trong hình 26, ñi m u n xu t hi n t i 30% và chia nhóm m u thành nhóm m u con (30%) và nhóm m u chính (70%). D li u th nghi m tu i th trong hình 25 ñư c minh h a trong b ng 8.6 và l y t 15 linh ki n. Th i gian h ng hóc quan sát ñư c ñư c li t kê trong b ng 8.6. Nhóm m u con ñư c ñánh giá phía dư i ñi m u n. Các giá tr c a nhóm m u con trong c t 3 ñư c chu n hóa tr l i v i t i ña 30% giá tr . Thí d , ñi m t i 51,2 gi và 4.55% là chuy n v thành 4.55%/0.3 ×100 = 15.15%. ði m này ñư c v như m t ph n c a t p m u con t i 51,2 gi và 15.15%. Hai ñi m khác trong t p m u con cũng ñư c tìm m t cách tương t . C t 4 là giá tr chuy n v c a t p m u chính. ðây chính là các ñi m n m trên ñi m u n. Nhóm m u này ñư c chu n hóa tr l i b ng cách tr b t giá tr ñi m u n và chia ti p cho 70%. Thí d , giá tr ñi m 50%, 318 gi ñư c chuy n v thành (70%– 50%)/0.70 = 28.6%. Ti p ñ n chúng ñư c v như m t ph n c a t p m u chính t i 318 gi và 28.57%. Các ñi m khác c a t p m u chính cũng ñư c tìm ra m t cách tương t . Dùng d li u tai bi n ñ th c nghi m v ñ tin tư ng