Đồng nhất thức pohozaev cho hệ phương trình elliptic suy biến và ứng dụng

Chia sẻ: ViApollo11 ViApollo11 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

59
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết trình bày sự không tồn tại nghiệm không tầm thường của hệ phương trình elliptic suy biến và ứng dụng với số Ohm là một miền bị chặn với biên trơn trong không gian iN (N >= 2).

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đồng nhất thức pohozaev cho hệ phương trình elliptic suy biến và ứng dụng

Phạm Thị Thủy và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 181(05): 15 - 18 ĐỒNG NHẤT THỨC POHOZAEV CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC SUY BIẾN VÀ ỨNG DỤNG Phạm Thị Thủy1, Lê Thị Hồng Hạnh2 1 Trường Đại học Sư phạm - ĐH Thái Nguyên, 2Trường Đại học Hoa Lư TÓM TẮT Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu sự không tồn tại nghiệm không tầm thường của hệ   u  f  x, u , v   0 trong   phương trình   v  g  x, u , v   0 trong   u  v  0 trên  ở đây  là một miền bị chặn với biên trơn trong không gian ¡ N ( N  2) và   là toán tử elliptic   2 u   i , xi  i 1 xi  trong đó    1 ,  2 ...,  N  thỏa mãn một số điều kiện cho trước. the given tolerance Kết quả này là N suy biến có dạng  u   sự tồng quát trong bài báo của N. M. Chuong; T. D. Ke [N. M. Chuong; T. D. Ke (2004), Existence of solutions for a nonlinear degenerate elliptic system. Electron. J. Differential Equations, no. 93, 15 pp.] cho toán tử   Từ khóa: nghiệm không tầm thường, toán tử   , hệ phương trình elliptic suy biến, đồng nhất thức kiểu Pohozaev, hệ Hamiltonian GIỚI THIỆU* Trong [2] và [4] đã đưa ra khái niệm toán tử   như sau N   :   xi  2i  xi i 1     1 ,  2 ,...,  N  là hàm liên tục trên ¡ mãn điều kiện sau: 1. Tồn tại một nhóm  t t 0 thỏa mãn t : ¡ N với N  t  x    t  x1 , x2 ,..., xN    t  x1 , t  x2 ,..., t  xN  , với 2   u  f  x, u , v   0 trong     v  g  x, u , v   0 trong   u  v  0 trên  thỏa ¡ , 1 Giả sử  là một miền bị chặn với biên trơn trong không gian ¡ N ( N  2) và 0 . Chúng ta xét bài toán Dirichlet sau: N ở đây f  x, y, z  , g  x, y, z  là các hàm liên tục thỏa mãn các điều kiện cho trước. Đặt N °   , T    x ,  x ,...,  x  , N i 1 1 2 2 N N i 1 N 1  1   2  ...   N ,  i  t  x    t  i 1 i  x  , Tu    i xi  xi u : i xi  xi u ,    11 ,  2 2 ,...,  N N  . x  ¡ Định nghĩa: Miền  được gọi là  t hình sao tại 0 nếu 0 và T ,   0, với mọi điểm trên ,  là vecto pháp tuyến ngoài của  . N i 1 , t  0, i  1,..., N ; 2.  1  1,  i  x    i  x1 ,..., xi 1  , i  2,..., N ; 3. Tồn tại hằng số   0 thỏa mãn S1) Tồn tại hàm H  x, u, v   C1   ¡ 0  xk  xk  i  x    i  x  , k  1,..., i  1 , i  2,..., N , x  ¡ ; N  x   x1 , x2 ,..., xN   ¡ N , x*   x1 , x2 ,..., xN 2  thỏa mãn: v H  f , u H  g, H  x,0,0  0, x . . 4. Với mỗi . Trong trường hợp    1,1,...,1, x1 ,..., x1 * 1.1 k k  Tel: 0913 005027 15 Phạm Thị Thủy và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ   x  N1 với k  ¡ , x 1   x1 ,..., xN  , x 1   x2 j 1    u x j   2j x j v    i xi  xi v x j  2j  x j u dx i i xi j 1 181(05): 15 - 18   x   u 2j  x j v j   i xi  xi v 2j  x j u j ds có N1 số 1 và N  N1 số x 1 kết quả của bài  báo đã được trình bày trong [2] và [3]. Trong bài báo này chúng tôi chỉ ra đồng nhất thức Pohozaev đối với hệ phương trình elliptic suy biên và ứng dụng của đồng nhất thức đó đối với sự không tồn tại nghiệm không tầm thường của hệ phương trình elliptic suy biến. KẾT QUẢ CHÍNH Định lý 1. Nếu  là  t hình sao tại 0 và các hàm f .,.,. , g .,.,. thỏa mãn điều kiện S1.    x j  i xi  xi u   2j x j v    x j  i xi  xi v  2j  x j u dx  I1  I 2 Nếu u, v   H 2    H 2   là nghiệm của Bài toán 1.1. Khi đó ta có ° G  X , u  dX  2 T , G dX 2N       uf  X , u  dX    T ,   2  u ds    u  dx  I  21  I 22  I 22     i xi  x j u 2j x j vi   i xi  xi v 2j  x j ui dS           xi  i xi  2j  x j v  x j u   xi  i xi  2j  x j u  x j v dx   I1  I 23    I 23    i  2j  x j v x j u   i  2j  x j u x j v dx       x     x v     i  2j xi  xi x j v x j u   i  2j xi  xi x j u x j v dx     G  X , u  dx    x  g  2 j xi j xj  u   i xi  xi   2j   x j u x j v dx    u,  v dx  I i xi  u   xi G dX ,      2 I 21    u,  v   dx  I 22  2 I 21      u,  v  dx   Do vậy i  ° H  x, u, v  dx  T , H dx  1 I  N °2 N 1   2        i xi g  xi u  f  xi u dx    i xi  xi Hdx,    N N i 1  i 1    ° H  x, u, v  dx  N    i xi  xi Hdx     i xi g  xi u  f  xi u dx,  ° H  x, u, v  dx  T , H dx    T , u g  T , v f  dx, N      Do u, v là nghiệm của hệ nên ta có: ° H  x, u, v  dx  T , H dx   T , u  v  T , v  u  dx N       22 1 °2  I 22  I 21   I1  N 2   G  x, u, v  dx     Nên          i xi  xi u x j   2j x j v    i xi  xi v x j  2j  x j u dx      i xi  xi u x j   2j x j v    i xi  xi v x j  2j  x j u dx Theo công thức Green ta có: 16     i xi  xi x j u 2j  x j v   i xi  xi x j v 2j  x j °4 I 22   I1  2 N    °4  2N Khi đó ta có   I 2     j  x j u 2j  x j v   j  x j v 2j  x j u dx °  u,  v dx  I  2    1  2 x v u   2  u v dx I 23  2 N 22     j j j xj j xj xj  i , j 1  Khi đó ta có: i  N     i xi  x  2j   2 j  1  2j do vậy   G  X , u  dX   xi g  xi u   xi G dX  0.   Do hàm  i thỏa mãn tính chất 1, 2 nên ta có:         xi  xi G  X , u   dX   i i 2 Chứng minh Ta có     °2  N i i xi  2 °2 T ,   u vds  N      u,  v     u,  v dx  dx  Mặt khác do u, v là nghiệm của hệ phương trình nên ta có   u,  v dx   vf  x, u, v  dx   ug  x, u, v  ds         u,  v dx   tvf  x, u, v   1  t  ug  x, u , v  dx, t  ¡   Nên ta có điều phải chứng minh. Sử dụng Định lý 1 ta có hệ quả sau: Hệ quả 1. Giả sử  là  t hình sao tại 0 và thỏa mãn điều kiện (S1). Nếu tồn tại t  ¡ thỏa mãn Phạm Thị Thủy và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ  °.H  x, u, v   T , H  N °2 N   tf  x, u, v   1  t  g  x, u, v   , x  ,  u, v   ¡ . 2 Khi đó hệ phương trình không có nghiệm dương thuôc H 2    H 2   . Hệ quả 2. Giả sử  là  t hình sao tại 0. Nếu bài toán  u  v p 1 v  0 trong   q 1   v  u u  0 trong   u  v  0 trên    có nghiệm dương thuộc H 2    H 2   với p, q  1. Khi đó ta có °2 1 1 N   . ° p 1 q 1 N Hệ quả 3. Giả sử  là  t hình sao tại 0. Nếu  ,   0 và nghiệm H    H   . dương thuộc Chứng minh. Giả sử bài toán có nghiệm dương thuộc H 2    H 2   1 1  p 1  q 1 x u  x v p 1 q 1 N °  p 1  N °  q 1 N  i xi  xi H  x, u, v   x u  x v  p 1 q 1 i 1 Ta có H  x, u, v   Do vậy ° H  x, u , v  dx  T , H dx N   ° N ° N  p 1  x   u p 1 dx  ° N ° N q 1 x  p 1 dx   x  v q 1 dx  ° H  x, u , v  dx  T , H dx N     °2  N   x  u p 1 dx    2 T ,   u vds  Khi đó ta có  N°  2  x  u p 1 dx   ° N ° N  p 1   2 T ,   u vds  x  u p 1 dx   ° N ° N q 1 x  v q 1 dx  2 T ,   u vds  ° N ° N ° N °   ° N    N 2    x u p  1 q  1     p 1 dx  0 Mâu thuẫn do u, v là nghiệm dương và  là  t hình sao tại 0 nên 2 T ,   u vds  0 . TÀI LIỆU THAM KHẢO 2  v   u  x  v p 1 v  0 trong    q 1   v  x u u  0 trong   u  v  0 trên    có  Nên ta có điều phải chứng minh. Khi đó bài toán 2   u,  v dx   x  °2 1  1  N   . ° p 1 q 1 N không  181(05): 15 - 18  v q 1 dx  1. N. M. Chuong; T. D. Ke (2004), “Existence of solutions for a nonlinear degenerate elliptic system” Electron. J. Differential Equations, no. 93, 15 pp. 2. A. E. Kogoj; E. Lanconelli (2012), “On semilinear   Laplace equation” Nonlinear Anal. 75, no. 12, 4637-4649. 3. T. D. Ke, “Existence of non-negative solutions for a semilinear degenerate elliptic system” Proceedings of the international conference on Abstract and Applied Analysis (edited by N.M. Chuong, L. Nirenberg, L. H. Son, W. Tutschke), Hanoi Aug. 2002 (World Scientic 2004). 4. D. T. Luyen, N. M. Tri, “Existence of solutions to boundary value problems for semilinear   differential equations”, Math. Notes 97 (2015), no. 1, 73-84. Do u, v là nghiệm của hệ phương trình nên 17 Phạm Thị Thủy và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 181(05): 15 - 18 ABSTRACT POHOZAEV'S IDENTITY FOR A NONLINEAR DEGENERATE ELLIPTIC SYSTEM AND ITS APPLICATIONS Pham Thi Thuy1*, Le Thi Hong Hanh2 1 University of Education – TNU, 2Hoa Lu University, Ninh Binh In this paper, we study the existence of solutions for degenerate elliptic systems    u  f  x, u , v   0 in      v  g  x, u , v   0 in   u  v  0 on  where  is a bounded domain with smooth boundary in ¡ N ( N  2),   is the subelliptic operator of the type  2 u   i . xi  i 1  This result is a generalization of that of N. M. Chuong; T. D. Ke [N. M. Chuong; T. D. Ke (2004), Existence of solutions for a nonlinear degenerate elliptic system. Electron. J. Differential Equations, no. 93, 15 pp.] Keywords: non-existence,   Laplace operator, degenerate elliptic equation, Pohozaev's N  u    xi identity, Hamiltonian system Ngày nhận bài: 13/12/2017; Ngày phản biện: 28/12/2017; Ngày duyệt đăng: 31/5/2018 * Tel: 0913 005027 18