Dưới vi phân hàm lồi và ứng dụng

Chia sẻ: Nguyễn Đức Thụy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:37

Thêm vào BST

Báo xấu

129
lượt xem 34
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Những hàm số không khả vi xuất hiện thường xuyên và được biết đến từ lâu trong toán học và cá khoa học ứng dụng khác, Vì lý thuyết vi phân cổ điển không thể ứng dụng được cho việc khảo sát những đối tượng không khải vi, nên các lý thuyết vi phân suy rộng đã ra đời và đã được xây dựng...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Dưới vi phân hàm lồi và ứng dụng

L I C M ƠN Lu n văn đư c hoàn thành t i trư ng Đ i h c sư ph m Hà N i 2 dư i s hư ng d n c a PGS.TS Nguy n Năng Tâm. Tác gi xin bày t lòng bi t ơn chân thành, sâu s c t i PGS.TS Nguy n Năng Tâm, ngư i đã luôn quan tâm, đ ng viên và t n tình hư ng d n tác gi trong quá trình th c hi n lu n văn. Tác gi xin đư c g i l i c m ơn chân thành Ban giám hi u trư ng Đ i h c sư ph m Hà N i 2, phòng Sau đ i h c, các th y cô giáo trong nhà trư ng và các th y cô giáo d y cao h c chuyên ngành Toán gi i tích đã t o đi u ki n thu n l i trong quá trình tác gi h c t p và nghiên c u. Tác gi xin bày t lòng bi t ơn t i gia đình, ngư i thân đã đ ng viên và t o m i đi u ki n đ tác gi có th hoàn thành b n lu n văn này. Hà N i, ngày 15 tháng 8 năm 2010 Tác gi Nguy n Th Thanh
L I CAM ĐOAN Tác gi xin cam đoan lu n văn là công trình nghiên c u c a riêng tác gi dư i s hư ng d n c a PGS.TS Nguy n Năng Tâm. Hà N i, ngày 15 tháng 8 năm 2010 Tác gi Nguy n Th Thanh
M cl c M đ u 1 1 T p l i và hàm l i 3 1.1. Đ nh nghĩa t p l i và các tính ch t . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Đ nh nghĩa hàm l i và các tính ch t . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1. Hàm l i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2. Các phép toán v hàm l i . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3. Tính liên t c c a hàm l i . . . . . . . . . . . . . 9 2 Dư i vi phân hàm l i 12 2.1. Đ nh nghĩa và các tính ch t cơ b n . . . . . . . . . . . . 12 2.2. M t s phép toán dư i vi phân . . . . . . . . . . . . . . 19 3 ng d ng c a dư i vi phân hàm l i 25 3.1. M t s tính ch t cơ b n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2. M t s ví d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Tài li u tham kh o 32 ii
B NG KÍ HI U Rn không gian Euclid n- chi u trên t p s th c R t p s th c (R = R1 ) N t p s nguyên dương R = R ∪ {−∞, +∞} t p s th c suy r ng n x = xi 2 ch n Euclid c a x i=1 F :X Y ánh x đa tr t X vào Y domf mi n h u hi u c a f epif trên đ th c a f int Ω ph n trong c a Ω ri Ω ph n trong tương đ i c a Ω cone Ω nón l i sinh b i Ω N (¯, Ω) x nón pháp tuy n c a Ω t i x ¯ f (x; v) đ o hàm theo hư ng c a f t i x theo hư ng v c a f t i x theo hư ng v ∂f (x) dư i vi phân c a f t i x
M Đ U 1. Lý do ch n đ tài Nh ng hàm s không kh vi xu t hi n thư ng xuyên và đư c bi t đ n t lâu trong Toán h c và các khoa h c ng d ng khác. Vì lý thuy t vi phân c đi n không th ng d ng đư c cho vi c kh o sát nh ng đ i tư ng không kh vi, nên các lý thuy t vi phân suy r ng đã ra đ i và đã đư c xây d ng. Lý thuy t vi phân suy r ng đ u tiên là lý thuy t vi phân suy r ng cho các hàm l i. V i nh ng c ng hi n quan tr ng c a T. R. Rockafellar và m t s nhà toán h c khác, ngày nay Gi i tích l i đã tr thành m t b ph n quan tr ng và đ p đ c a Gi i tích toán h c, góp ph n gi i quy t đư c nhi u bài toán trong th c t ([1], [7]). V i mong mu n đư c tìm hi u sâu hơn v s phát tri n c a phép tính vi-tích phân và ng d ng c a nó, tôi đã ch n nghiên c u đ tài: “Dư i vi phân c a hàm l i và ng d ng”. 2. M c đích nghiên c u Đ tài nghiên c u các k t qu đ t đư c v dư i vi phân c a hàm l i và m t s ng d ng vào bài toán t i ưu. 3. Nhi m v nghiên c u Vi c nghiên c u lu n văn v i nhi m v h th ng, làm rõ khái ni m dư i vi phân c a hàm l i và m t s tính ch t, t đó trình bày ng d ng c a nó trong m t s bài toán. 4. Đ i tư ng và ph m vi nghiên c u - Dư i vi phân c a hàm l i và m t s tính ch t. - ng d ng c a dư i vi phân hàm l i.
2 5. Phương pháp nghiên c u - T ng h p ki n th c thu th p đư c qua nh ng tài li u liên quan đ n đ tài, s d ng các phương pháp nghiên c u c a gi i tích, gi i tích l i, gi i tích đa tr , t i ưu hoá. 6. Nh ng đóng góp c a đ tài -Trình bày m t cách có h th ng các ki n th c cơ b n v dư i vi phân c a hàm l i và m t s tính ch t. Nghiên c u ng d ng c a dư i vi phân hàm l i trong m t s bài toán.
Chương 1 T p l i và hàm l i 1.1. Đ nh nghĩa t p l i và các tính ch t Đ nh nghĩa 1.1.1. T p A ⊂ Rn đư c g i là l i n u ∀x, y ∈ A và ∀λ ∈ R: 0 ≤ λ ≤ 1 thì λx + (1 − λ)y ∈ A. Đ nh lý 1.1.1. Giao c a m t h tùy ý các t p l i trong Rn là m t t p l i trong Rn Ch ng minh. Gi s Aα ∈ Rn (α ∈ I) là các t p l i v i I là t p ch s b t kì, ta c n ch ng minh t p A = ∩ Aα là l i. α∈I L y tùy ý x1 , x2 ∈ A. Khi đó x1 , x2 ∈ Aα , v i ∀α ∈ I. Do Aα là l i cho nên λx1 + (1 − λ)x2 ∈ Aα v i ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A. Vì v y A là t p l i. H qu 1.1. Cho bi ∈ Rn ; βi ∈ R; i ∈ I v i I là t p ch s tùy ý. Khi đó A = {x ∈ Rn / x; bi ≤ βi ; i ∈ I} là m t t p l i trong Rn . Đ nh lý 1.1.2. Gi s Ai ⊂ Rn l i; λi ∈ R (i = 1, 2,..., m). Khi đó λ1 A1 + λ2 A2 + ... + λm Am là l i. Đ nh nghĩa 1.1.2. Vectơ x ∈ Rn đư c g i là t h p l i c a các vectơ m m n x1 , ..., xm ∈ R n u ∃λi ≥ 0 (i = 1, 2,..., m) λi = 1 sao cho x = λi xi i=1 i=1 3
4 Đ nh lý 1.1.3. M t t p trong Rn là l i khi và ch khi nó ch a t t c các t h p l i c a các ph n t c a nó. A là t p l i trong Rn khi và ch khi: m m A = {x = λi xi |xi ∈ A; λi = 1; λi ≥ 0; i = 1, m, ∀m ∈ N} i=1 i=1 Ch ng minh. ⇐ / Ch n m = 2, hi n nhiên đúng. ⇒ / Ta ch ng minh b ng quy n p Gi s A là t p l i, ta l y tùy ý x1 , x2 , ..., xm ∈ A; λ1 , ..., λm ≥ 0 và m m λi = 1 ; x = λi xi . Ta ch ng minh x ∈ A i=1 i=1 m = 1 : x1 ∈ A; λ1 = 1 ⇒ x ∈ A m = 2 : x1 , x2 ∈ A; λ1 + λ2 = 1 mà A l i suy ra x = λ1 x1 + λ2 x2 ∈ A Gi s x ∈ A đúng v i m − 1 , ta có m m λi xi ∈ A; ∀xi ∈ A; λi = 1; λi ≥ 0; i ∈ N i=1 i=1 m m−1 Xét x = λi xi = λi xi + λm xm i=1 i=1 V i λm = 0 ⇒ x ∈ A λm = 1 ⇒ λ1 = ... = λm−1 = 0 ⇒ x = xm ∈ A V i 0 < λ < 1 ta có: 1 − λm = λ1 + ... + λm−1 > 0 λi ≥ 0 (i = 1, ..., m − 1) 1 − λm m−1 m−1 λi Vì 1−λm = 1 nên theo gi thi t quy n p y = xi ∈ A i=1 i=1 V i y ∈ A và xm ∈ A ta có 1 − λm > 0 và (1 − λm ) + λm = 1 ⇒ x = (1 − λm )y + λm xm ∈ A
5 1.2. Đ nh nghĩa hàm l i và các tính ch t 1.2.1. Hàm l i Đ nh nghĩa 1.2.1. Cho hàm f : S → R, trong đó S ⊂ Rn ; R = R ∪ {−∞, +∞}, các t p dom f = {x ∈ S| f (x) < +∞} , epi f = {(x, α) ∈ S × R| f (x) ≤ α} , đư c g i l n lư t là mi n h u hi u và trên đ th c a hàm f . Đ nh nghĩa 1.2.2. Hàm f : S → R đư c g i là l i n u trên đ th c a nó là m t t p l i trong S × R. N u dom f = ∅ và f (x) > −∞ v i m i x ∈ S ta nói hàm f là chính thư ng. Ví d 1.2.1. a) Hàm f :R→R f (x) = x2 epi f = (x; µ) ∈ R × R; f (x) = x2 ≤ µ là t p l i trong R × R ⇒ f là hàm l i. b) Hàm f :R→R f (x) = x3 không là hàm l i vì epi f = (x; µ) ∈ R × R; f (x) = x3 ≤ µ không l i trong R × R Ví d 1.2.2. Hàm ch δ(./A) c a t p l i A ⊂ Rn là hàm l i 0 khi x ∈ A δ(x/A) := +∞ khi x ∈ A /
6 Đ nh lý 1.2.1. Gi s A là m t t p l i trong Rn , hàm f : A → (−∞; +∞]. Khi đó, f l i trên A khi và ch khi: f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) (1.1) (∀λ ∈ [0; 1]; ∀x, y ∈ A) Ch ng minh. ⇒ / Gi s f là hàm l i, ta có th xem như λ ∈ (0; 1) vì v i λ ∈ {0; 1} thì (1.1) hi n nhiên đúng. L y r = f (x); s = f (y). Không th x y ra trư ng h p f (x) < +∞; f (y) < +∞ mà f (λx + (1 − λ)y) = +∞ b i vì dom f l i, v i x, y ∈ dom f thì [x, y] ∈ dom f . Do λ ∈ (0; 1) nên f (x) = +∞ ⇒ λf (x) = +∞. N u x ho c y không thu c dom f thì f (x) = +∞ ho c f (y) = +∞ và (1.1) đúng. B i vì epi f l i ∀(x, r) ∈ epi f ; ∀(y, s) ∈ epi f ; ∀λ ∈ (0; 1) nên λ(x, r) + (1 − λ)(y, s) = (λx + (1 − λ)y; λr + (1 − λ)s) ∈ epif ⇒ f (λx + (1 − λ)y) ≤ λr + (1 − λ)s ⇒ f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) ⇐ / Gi s (1.1) đúng. L y tùy ý (x, r) ∈ epi f ; (y, s) ∈ epi f ; ∀λ ∈ [0; 1] Ta ph i ch ng minh λ(x, r) + (1 − λ)(y, s) ∈ epi f Th t v y (x, r) ∈ epi f ; (y, s) ∈ epif ⇒ f (x) ≤ r; f (y) ≤ s ⇒ f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) ≤ λr + (1 − λ)s ⇒ (λx + (1 − λ)y; λr + (1 − λ)s) ∈ epi f ⇒ λ(x, r) + (1 − λ)(y, s) ∈ epi f
7 Đ nh lý 1.2.2. (B t đ ng th c Jensen)Gi s f : Rn → (−∞; +∞]. Khi m đó f là m t hàm l i ⇔ ∀λi ≥ 0(i = 1, ..., m); λi = 1; ∀x1 , ..., xm ∈ R i=1 f (λ1 x1 + ... + λm xm ) ≤ λ1 f (x1 ) + ... + λm f (xm ) (1.2) Ch ng minh. Không gi m t ng quát, gi s λi ≥ 0 (i = 1, ..., m). Ta có, n u xi ∈ dom f thì f (xi ) = +∞; λi f (xi ) = +∞ ⇒ (1.2) hi n nhiên / đúng. m Do dom f l i nên n u f (xi ) < +∞ (i = 1, ..., m) thì f λi xi < +∞ i=1 m vì λi xi ∈ dom f . i=1 N u xi ∈ dom f , do epi f l i và (xi , f (xi )) ∈ epi f (i = 1, ..., m) nên theo đ nh lý 1.1.3 ta có: (λ1 x1 + ... + λm xm ; λ1 f (x1 ) + ... + λm f (xm ) ∈ epi f ⇒ f (λ1 x1 + ... + λm xm ) ≤ λ1 f (x1 ) + ... + λm f (xm ) M nh đ 1.2.1. Gi s f : Rn → R. f là hàm l i khi và ch khi f (λx + (1 − λ)y) < λr + (1 − λ)s (∀λ ∈ (0; 1); ∀x, y : f (x) < r; f (y) < s) Đ nh nghĩa 1.2.3. M t hàm f xác đ nh trên Rn đư c g i là thu n nh t dương n u f (λx) = λf (x) v i ∀x ∈ Rn ; ∀λ > 0. Đ nh lý 1.2.3. Hàm thu n nh t dương f : Rn → (−∞; +∞] là l i khi và ch khi f (x + y) ≤ f (x) + f (y) (∀x, y ∈ Rn ) (1.3)
8 Ch ng minh. ⇒ / Hàm thu n nh t dương f là l i. L y x, y ∈ Rn 1 1 f (x + y) = 2f ( x) + f ( y) 2 2 1 1 ≤ 2 f (x) + f (y) 2 2 = f (x) + f (y) ⇐ / Gi s (1.3) đúng. L y (xi , ri ) ∈ epi f (i = 1, 2), ta có (x1 + x2 , r1 + r2 ) ∈ epi f , b i vì f (x1 + x2 ) ≤ f (x1 ) + f (x2 ) ≤ r1 + r2 Mà f là hàm thu n nh t dương nên n u (x, r) ∈ epi f thì f (x) ≤ r và λf (x) = f (λx) ≤ λr (0 < λ < ∞) ⇒ λ(x, r) ∈ epi f V y epi f đóng đ i v i phép c ng và phép nhân vô hư ng Suy ra: λ(x1 , r1 ) + (1 − λ)(x2 , r2 ) ∈ epi f (v i ∀λ ∈ [0; 1]) Nên epi f là l i, suy ra f là hàm l i. 1.2.2. Các phép toán v hàm l i Đ nh lý 1.2.4. Cho f là m t hàm l i. f : Rn → (−∞; +∞] và ϕ là m t hàm l i ϕ : R → (−∞; +∞] không gi m, khi đó h = ϕ(f (x)) cũng l i. Ch ng minh. V i ∀x1 , x2 ∈ Rn ; λ ∈ (0; 1) h((1 − λ)x1 + λx2 ) = ϕ(f (1 − λ)x1 + λx2 ) ≤ ϕ((1 − λ)f (x1 ) + λf (x2 )) ≤ (1 − λ)ϕ(f (x1 )) + λϕ(f (x2 )) ≤ (1 − λ)h(x1 ) + λh(x2 ) (do f l i và ϕ không gi m) T đó suy ra h l i. Đ nh lý 1.2.5. Cho fi (i = 1, ..., m) là hàm l i chính thư ng trên Rn khi đó f1 + f2 + ... + fm là m t hàm l i trên Rn
9 Ví d 1.2.3. Cho 0 x∈A f1 = l i chính thư ng +∞ x ∈ A/ 0 x∈B f2 = l i chính thư ng +∞ x∈B / f1 + f2 : l i không chính thư ng n u A ∩ B = ∅ Đ nh lý 1.2.6. Cho C là m t t p l i trong Rn+1 và đ t f (x) = inf {µ|(x, µ) ∈ C} Khi đó f là hàm l i trên Rn Ch ng minh. L y µ1 , µ2 ∈ Rn ; λ ∈ (0; 1) Gi s f (x) < µ1 ; f (y) < µ2 , ta có f ((1 − λ)x + λy) < (1 − λ)µ1 + λµ2 Th t v y theo đ nh nghĩa f ta có f ((1 − λ)x + λy) = inf {µ|((1 − λ)x + λy, µ) ∈ C} Vì f (x) < µ1 nên v i ε = µ−f (x) > 0; ∃µ1 : (x, µ1 ) ∈ C và µ1 < f (x)+ε Do đó f (x) < µ1 < µ1 Tương t f (y) < µ2 ⇒ ∃µ2 : (y, µ2 ) ∈ C Và µ2 < f (y) + ε1 ⇒ f (y) < µ2 < µ2 ⇒ ((1 − λ)x + λy; (1 − λ)µ1 + λµ2 ) ∈ C Và (1 − λ)µ1 + λµ2 < (1 − λ)µ1 + λµ2 ⇒ f ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)µ1 + λµ2 < (1 − λ)µ1 + λµ2 Suy ra f l i (theo m nh đ 1.2.1) 1.2.3. Tính liên t c c a hàm l i Đ nh nghĩa 1.2.4. Cho X là không gian đ nh chu n. 1) Ta nói r ng f là hàm Lipschitz trên t p D ⊂ X, n u t n t i s k sao
10 cho |f (x) − f (x )| ≤ k x − x , ∀x, x ∈ D. 2) Hàm f đư c g i là Lipschitz đ a phương t i x ∈ X, n u t n t i s ε > 0 sao cho f là Lipschitz trên B(x, ε) ∩ D. 3) Hàm f đư c g i là Lipschitz đ a phương trên D, n u nó Lipschitz đ a phương t i m i đi m c a D. M nh đ 1.2.2. M t hàm l i chính thư ng f trên Rn là liên t c t i m i đi m trong c a mi n h u hi u c a nó. Đ nh lý 1.2.7. Cho m t hàm l i chính thư ng f trên Rn . Ta có các kh ng đ nh sau là tương đương: i) f là liên t c t i đi m x0 ∈ Rn ; ii) f là b ch n trên t i lân c n c a x0 ∈ Rn ; iii) int(epi f ) = ∅; iv) int(dom f ) = ∅ và f là Lipschitz trên m i t p b ch n ch a trong int(domf ); v) int(domf ) = ∅ và f là liên t c trên int(domf ). Ch ng minh. [(i) ⇒ (ii)] N u f là liên t c t i m t đi m x0 thì t n t i m t lân c n U c a x0 th a mãn f (x) < f (x0 ) + 1 v i m i ∀x ∈ U . [(ii) ⇒ (iii)] T gi thi t suy ra t n t i lân c n U c a x0 và c > 0 sao cho f (x) ≤ c, ∀x ∈ U . Đ t V = (x, α) ∈ Rn+1 | x ∈ U, α > c , ta có V ⊂ epif và V là t p m , nên ta suy ra int(epif ) = ∅. [(iii) ⇒ (iv)] N u int(epif ) = ∅ thì t n t i m t t p m U và m t kho ng m I ⊂ R th a mãn U × I ⊂ epif , do đó U ⊂ domf , t c là int(domf ) = ∅. Xét t p compact b t kì C ⊂ int(domf ) và l y B là hình c u đơn v trong Rn . V i m i r > 0, t p C + rB là compact, và h nh ng t p đóng {(C + rB)\int(domf ), r > 0} có m t giao là r ng.
11 Trong bi u di n c a tính compact c a C + rB m t h con h u h n c a nh ng h này ph i có m t giao b ng r ng, do đó v i r > 0 ta ph i có (C + rB)\int(domf ) = ∅, nghĩa là (C + rB) ⊂ int(domf ). B i M nh đ 1.2.2 hàm f là liên t c trên int(domf ). Kí hi u µ1 và µ2 là c c đ i và c c ti u c a f trên C + rB. L y x, x là hai đi m phân bi t trong C và r(x − x ) l y z =x+ . Khi đó z ∈ C + εB ⊂ int(domf ). Vì x−x x−x x = (1 − α)x + αz, α= , r+ x−x và z, x ∈ domf nên f (x) ≤ (1 − α)f (x ) + αf (z) = f (x ) + α(f (z) − f (x )), và f (x) − f (x ) ≤ α(f (z) − f (x )) ≤ α(µ1 − µ2 ) µ1 − µ2 ≤k x−x , k = . r B i tính đ i x ng, ta cũng có f (x ) − f (x) ≤ k x − x . Do v y, v i m i x, x th a mãn x ∈ C, x ∈ C |f (x) − f (x )| ≤ k x − x , đi u này ch ng minh cho tính Lipschitz c a f trên C. (iv) ⇒ (v) và (v) ⇒ (i) : là rõ ràng.
Chương 2 Dư i vi phân hàm l i 2.1. Đ nh nghĩa và các tính ch t cơ b n Đ nh nghĩa 2.1.1. Cho f là hàm l i chính thư ng trên Rn ; vectơ x∗ ∈ Rn đư c g i là vectơ dư i gradient c a f t i đi m x0 n u f (x) − f (x0 ) ≥ x∗ , x − x0 ∀x ∈ Rn (2.1) T p t t c các dư i gradient c a f t i x0 đư c g i là dư i vi phân c a f t i x0 và đư c kí hi u là ∂f (x0 ). Hàm f đư c g i là dư i kh vi t i x0 n u ∂f (x0 ) = ∅ Ví d 2.1.4. Cho f (x) = x2 , x ∈ R a) x0 = 0 ta có x∗ ∈ ∂f (0) ⇔ x2 ≥ x∗ , x ∀x ∈ R ⇔ x2 − x∗ x ≥ 0 ∀x ∈ R ⇔ x∗ = 0 V y ∂f (0) = 0 12
13 b) x0 = 1 ta có x∗ ∈ ∂f (1) ⇔ x2 − 1 ≥ x∗ , x − 1 ∀x ∈ R ⇔ x2 − 1 ≥ x∗ x − x∗ ∀x ∈ R ⇔ x2 − x∗ x + x∗ − 1 ≥ 0 ∀x ∈ R ⇔ ∆ = x∗ 2 − 4x∗ + 4 ≤ 0 ⇔ (x∗ − 2)2 ≤ 0 ⇔ x∗ = 2 V y ∂f (1) = 2 Nh n xét 2.1. Rõ ràng r ng x∗ ∈ Rn là m t dư i gradient c a f t i đi m x0 n u và ch n u t n t i α ∈ R sao cho hàm affine x → x∗ , x + α không tr i hơn f kh p nơi và b ng f (x0 ) t i đi m x0 . Đ nh lý 2.1.1. Cho f : Rn → R là l i và x ∈ domf , thì f (x) = min f (x) ⇔ 0 ∈ ∂f (x). n x∈R Ch ng minh. Th t v y, do f đ t c c ti u t i x ∈ domf nên f (x) − f (x) ≥ 0 ⇔ f (x) − f (x) ≥ 0, x − x ⇔ 0 ∈ ∂f (x). Đ nh nghĩa 2.1.2. Hàm afin h đư c g i là hàm non afin c a f n u h(x) ≤ f (x) v i ∀x; h đư c g i là hàm non đúng c a f t i x0 n u h(x) ≤ f (x) v i ∀x và h(x0 ) = f (x0 ) B đ 2.1. V i m t hàm l i chính thư ng b t kì luôn t n t i hàm non afin. N u x0 ∈ int(domf ) thì t n t i hàm non afin đúng c a f t i x0 Đ nh lý 2.1.2. Cho f là hàm l i chính thư ng trong Rn . V i b t kì t p b ch n C ⊂ int(domf ) thì t p ∪ ∂f (x) là khác r ng và b ch n. Đ c x∈C bi t ∂f (x0 ) là khác r ng và b ch n t i m i x0 ∈ int(domf ).
14 Ch ng minh. L y x0 ∈ int(domf ). Khi đó f có hàm non afin đúng t i x0 có nghĩa là t n t i m t hàm afin h sao cho h(x) ≤ f (x) ∀x ∈ Rn và h(x0 ) = f (x0 ), suy ra h(x) = x∗ , x − x0 + f (x0 ); x∗ ∈ ∂f (x0 ) do đó ∂f (x0 ) = ∅; ∀x0 ∈ int(domf ) L y C là t p b ch n C ⊂ int(domf ), khi đó ∃r > 0, C+rB ⊂ int(domf ). V i B là kí hi u hình c u đơn v trong Rn . C đ nh x ∈ C ta có x∗ , y − x + f (x) ≤ f (y) ∀y ∈ Rn ; x∗ ∈ ∂f (x) Nhưng theo đ nh lý 1.2.7 thì t n t i γ > 0 th a mãn |f (x) − f (y)| ≤ γ y − x ; ∀y ∈ C + rB Do đó | x∗ , y − x | ≤ γ y − x v i ∀y ∈ C + rB t c là | x∗ , u | ≤ γ u v i ∀u ∈ B N u x∗ = 0 thì x∗ = 0 x∗ x∗ N u x∗ = 0 thì u = x∗ ∈ B và do đó x∗ , x∗ ≤γ Suy ra x∗ ≤ γ, ∀x∗ ∈ ∂f (x) Vì f là Lipschitz trên C + rB v i h s Lipschitz γ > 0 nên v i m i x ∈ C và x∗ ∈ ∂f (x) ta có x∗ ≤ γ Vì v y ∪ ∂f (x) là b ch n. x∈C H qu 2.1. Cho f là m t hàm l i chính thư ng trên Rn . V i b t kì t p con l i b ch n C c a int(domf ) t n t i m t h ng s dương γ th a mãn f (x) = sup {h(x)| h ∈ Q0 } , ∀x ∈ C, đó m i h ∈ Q0 có d ng h(x) = a, x − α v i a ≤ γ. Ta xét m t s ví d v dư i vi phân hàm l i. Ví d 2.1.5. Cho f : Rn → R là m t hàm thu n nh t dương, nghĩa là m t hàm l i f : Rn → R th a mãn f (λx) = λf (x), λ > 0. Khi đó ∂f (x0 ) = {x∗ ∈ Rn | x∗ , x0 = f (x0 ), x∗ , x ≤ f (x), ∀x} . (2.2)
15 Th t v y, s d ng dư i vi phân hàm l i ta tính dư i vi phân c a hàm trên. L y x∗ ∈ ∂f (x0 ) nên f (x) − f (x0 ) ≥ x∗ , x − x0 . L y x = 2x0 có x∗ , x0 ≤ f (x0 ). Sau đó l y x = 0 thay vào ta có − x∗ , x0 ≤ −f (x0 ) ⇔ x∗ , x0 ≥ f (x0 ). T đó ta có x∗ , x0 = f (x0 ). Hơn n a x∗ , x − x0 = x∗ , x − x∗ , x0 = x∗ , x − f (x0 ) ⇔ x∗ , x − x0 + f (x0 ) = x∗ , x ⇒ f (x) ≥ x∗ , x , ∀x ∈ Rn . Ngư c l i, n u x∗ thu c vào v ph i c a (2.3) thì x∗ , x − x0 = x∗ , x − x∗ , x0 ≤ f (x) − f (x0 ). Do v y x∗ ∈ ∂f (x0 ). Nh n xét 2.2. N u ta thêm vào đi u ki n f (−x) = f (x) ≥ 0 thì đi u ki n x∗ , x ≤ f (x) tương đương v i | x∗ , x | ≤ f (x), ∀x ∈ Rn . Ví d 2.1.6. Cho C là m t t p l i đóng trong Rn , và f (x) = min y−x v i y∈C . Kí hi u πC (x) là hình chi u c a x trên C, nên ta có: πC (x) − x = min y − x v i y ∈ C và x − πC (x), y − πC (x) ≤ 0, ∀y ∈ C. Khi đó   NC (x0 ) ∩ B(0, 1),  x0 ∈ C, ∂f (x0 ) = x0 − πC (x0 )  , x0 ∈ C, / x0 − πC (x0 )  đó NC (x0 ) kí hi u nón pháp tuy n c a C t i x0 và B(0, 1) là hình c u Euclide đơn v . Nón pháp tuy n NC (x0 ) c a m t t p l i C ∈ Rn t i m t đi m x0 ∈ Rn đư c xác đ nh b i công th c {x∗ ∈ Rn : x∗ , x − x0 ≤ 0, ∀x ∈ C} n u x0 ∈ C, NC (x0 ) = ∅ n u x0 ∈ C. /
16 Th t v y, l y x0 ∈ C, ta có f (x0 ) = 0. Khi đó x∗ ∈ ∂f (x0 ) kéo theo x∗ , x − x0 ≤ f (x), ∀x ∈ Rn . Do v y, trong trư ng h p đ c bi t thì x∗ , x − x0 ≤ 0, ∀x ∈ C, nghĩa là x∗ ∈ NC (x0 ). Hơn n a x∗ , x − x0 ≤ f (x) ≤ x − x0 , ∀x ∈ Rn . Do v y x∗ ≤ 1 (vì x∗ , x − x0 ≤ x∗ x − x0 ≤ x − x0 ) nghĩa là x∗ ∈ B(0, 1). Ngư c l i, n u x∗ ∈ NC (x0 ) ∩ B(0; 1) thì x∗ , x − πC (x) ≤ x − πC (x) ≤ f (x) và x∗ , πC (x) − x0 ≤ 0.T x∗ , x − x0 = x∗ , x − πC (x) + x∗ , πC (x) − x0 ≤ f (x) = f (x) − f (x0 ), ∀x ∈ Rn suy ra x∗ ∈ ∂f (x0 ). - V i trư ng h p x0 ∈ C, khi đó / x∗ ∈ ∂f (x0 ) ⇔ x∗ , x − x0 ≤ f (x) − f (x0 ), ∀x ∈ Rn . Do v y, l y x = πC (x0 ) thay vào ta có p, πC (x0 ) − x0 ≤ f (πC (x0 )) − f (x0 ) ⇔ x∗ , πC (x0 ) − x0 ≤ − πC (x0 ) − x0 ⇔ x∗ , x0 − πC (x0 ) ≥ πC (x0 ) − x0 . M t khác, l y x = 2x0 − πC (x0 ) thay vào ta có x∗ , x0 − πC (x0 ) ≤ πC (x0 ) − x0 . x0 − πC (x0 ) Suy ra x∗ , x0 − πC (x0 ) = πC (x0 ) − x0 , và do đó x∗ = . x0 − πC (x0 ) Ngư c l i, t x∗ , x0 − πC (x0 ) = πC (x0 ) − x0 = f (x0 ) và x∗ , x − πC (x) ≤ x − πC (x) = f (x)