Fractals hữu hạn

Chia sẻ: Mai The Duy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:78

Thêm vào BST

Báo xấu

80
lượt xem 18
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Một phân dạng (còn được biết đến là fractal) là một vật thể hình học thường có hình dạng gấp khúc trên mọi tỷ lệ phóng đại, và có thể được tách ra thành từng phần: mỗi phần trông giống như hình tổng thể, nhưng ở tỷ lệ phóng đại nhỏ hơn. Như vậy phân dạng có vô tận các chi tiết, các chi tiết này có thể có cấu trúc tự đồng dạng ở các tỷ lệ phóng đại khác nhau. Nhiều trường hợp, có thể tạo ra phân dạng bằng việc lặp lại một mẫu toán học, theo...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Fractals hữu hạn

TRƯ NG Đ I H C H I PHÒNG KHOA TOÁN HOÀNG TH QUYÊN L p: C nhân Toán K9 FRACTALS H U H N FINITE TYPE FRACTALS Ngư i hư ng d n: TS MAI TH DUY H i Phòng - 2012
M cl c M đ u 4 Ký hi u 7 1 L ch s hình h c Fractal 8 1.1 Hình h c Fractal trong toán h c nói chung . . . . . . . . . 8 1.2 S ra đ i c a hình h c Fractal . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Các ng d ng t ng quát c a Fractal . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1 ng d ng trong v n đ t o nh trên máy tính . . . . 13 1.3.2 ng d ng trong công ngh nén nh . . . . . . . . . 14 1.3.3 ng d ng trong khoa h c cơ b n . . . . . . . . . . . 16 1.4 Fractals trong thiên nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Nh ng ki n th c cơ b n 23 2.1 Hê hàm l p và Fractal (attractor) c a nó . . . . . . . . . . 23 2.2 Đ a ch c a Fractal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Chi u Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4 S chi u t d ng d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4.1 Chi u Tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4.2 Chi u t đ ng d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3 Ánh x lân c n 32 3.1 Đi u ki n t p m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2 M i liên h gi a chi u Hausdorff và chi u t đ ng d ng . . 32 3.3 Thu t toán ki m tra s phân cách gi a các m nh . . . . . . 33 3.4 Ánh x lân c n và đ th lân c n . . . . . . . . . . . . . . . 33 4 N-gon fractals và Tiling fractals 37 4.1 Các phép bi n hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2
4.2 Thu t toán ng u nhiên trong Fractals . . . . . . . . . . . . 40 4.3 Polygon Fractals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.3.1 M t s ki n th c cơ b n c a Polygon Fractals . . . . 43 4.3.2 Fractals n-gon v i nhân t co λ = reiπ/n . . . . . . . 44 4.4 Tiling Fractals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.4.1 Đ nh nghĩa v tiling Fractals . . . . . . . . . . . . . 62 4.4.2 Nh ng tiling fractals trong hình h c Euclide . . . . . 63 4.4.3 Tiling fractals v i 3 m nh . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.4.4 Tiling fractals v i 4 m nh . . . . . . . . . . . . . . . 70 Tài liêu tham kh o 75 3
M đ u Trong nh ng năm g n đây, toán h c và khoa h c t nhiên đã bư c lên m t b c th m m i, s m r ng và sáng t o trong khoa h c tr thành m t cu c th nghi m liên ngành. Cho đ n nay nó đã đưa khoa h c ti n nh ng bư c r t dài. Fractal đã đư c đông đ o m i ngư i chú ý và thích thú nghiên c u. V i m t ngư i quan sát tình c màu s c c a các c u trúc Fractal cơ s và v đ p c a chúng t o nên m t s lôi cu n hình th c hơn nhi u l n so v i các đ i tư ng toán h c đã t ng đư c bi t đ n. Fractal đã cung c p cho các nhà khoa h c m t môi trư ng phong phú cho s thám hi m và mô hình hoá tính ph c t p c a t nhiên. Nh ng nguyên nhân c a s lôi cu n do Fractal t o ra là nó đã ch nh s a đư c khái ni m l i th i v th gi i th c thông qua t p h p các b c tranh m nh m và duy nh t c a nó. Nh ng thành công to l n trong các lĩnh v c c a khoa h c t nhiên và k thu t d n đ n s o tư ng v m t th gi i ho t đ ng như m t cơ ch đ ng h vĩ đ i, trong đó các quy lu t c a nó ch còn ph i ch đ i đ gi i mã t ng bư c m t. M t khi các quy lu t đã đư c bi t, ngư i ta tin r ng s ti n hoá ho c phát tri n c a các s v t s đư c d đoán trư c chính xác hơn nhi u, ít ra là v m t nguyên t c. Nh ng bư c phát tri n ngo n m c đ y lôi cu n trong lĩnh v c k thu t máy tính và s h a h n cho vi c đi u khi n thông tin nhi u hơn n a c a nó đã làm gia tăng hy v ng c a nhi u ngư i v máy móc hi n có và c nh ng máy móc tương lai. Nhưng ngày nay ngư i ta đã bi t chính xác d a trên c t lõi c a khoa h c hi n đ i là kh năng xem xét tính chính xác các phát tri n tương lai như th s không bao gi đ t đư c. M t k t lu n có th thu đư c t các lý thuy t m i còn r t non tr đó là : gi a s xác đ nh có tính nghiêm túc v i s phát tri n có tính ng u nhiên không nh ng không có s lo i tr l n nhau mà 4
chúng còn cùng t n t i như m t quy lu t trong t nhiên. Fractal và lý thuy t h n đ n xác đ nh k t lu n này. Khi xét đ n s phát tri n c a m t ti n trình trong m t kho ng th i gian, chúng ta s d ng các thu t ng c a lý thuy t h n đ n, còn khi quan tâm nhi u hơn đ n các d ng có c u trúc mà m t ti n trình h n đ n đ l i trên đư ng đi c a nó, chúng ta dùng các thu t ng c a Fractal là b môn hình h c cho phép “s p x p th t ” s h n đ n. Trong ng c nh nào đó Fractal là ngôn ng đ u tiên đ mô t , mô hình hoá và phân tích các d ng ph c t p đã tìm th y trong t nhiên. Nhưng trong khi các ph n t c a ngôn ng truy n th ng (Hình h c Euclide) là các d ng hi n th cơ b n như đo n th ng, đư ng tròn và hình c u thì trong Fractal đó là các thu t toán ch có th bi n đ i thành các d ng và c u trúc nh máy tính. Vi c nghiên c u ngôn ng hình h c t nhiên này m ra nhi u hư ng m i cho khoa h c cơ b n và ng d ng. Trong đ tài này ch m i th c hi n nghiên c u m t ph n r t nh v Fractal và ng d ng c a nó. N i dung c a đ tài g m có ba chương đư c trình bày như sau: Chương I: Trình bày v l ch s hình h c Fractal, các ng d ng t ng quat c a hình h c Fractal, nêu các phong c nh Fractal trong t nhiên. Chương II: Trình bày các ki n th c cơ b n c a hình h c Fractal. Chương III: Trình bày ánh x lân c n, đi u ki n m , đ th lân c n. Chương IV: N-gon fractals và Tiling fractals. Nhân đây, em xin chân thành c m ơn th y T.S Mai Th Duy đã t n tình hư ng d n, ch d y giúp đ em trong su t th i gian th c hi n đ tài nghiên c u này. Em cũng xin chân thành c m ơn quý th y cô khoa Toán tin đã t n tình gi ng d y, trang b cho chúng em nh ng ki n th c c n thi t trong su t quá trình h c t p, và em cũng xin g i lòng bi t ơn đ n gia đình, cha, m , và b n bè đã ng h , giúp đ và đ ng viên em trong nh ng lúc khó khăn. Đ tài đư c th c hi n trong m t th i gian tương đ i ng n, nên dù đã h t s c c g ng hoàn thành đ tài nhưng ch c ch n s không th 5
tránh kh i nh ng thi u sót nh t đ nh. R t mong nh n đư c s thông c m và đóng góp nh ng ý ki n vô cùng quý báu c a các Th y Cô, b n bè, nh m t o ti n đ thu n l i cho vi c phát tri n đ tài trong tương lai. Sinh viên th c hi n Hoàng Th Quyên. 6
Ký hi u I = {1, 2, . . . , m} : T p h p ch s I n = {i1i2 . . . in | ik ∈ I, k = 1, 2, . . . , n} : T p h p t v i đ dài n. u ∈ I n : t v i đ dài n, u = i1i2 . . . in, ik ∈ I, k = 1, 2, . . . , n |u| : đ dài c a t u. u = uuu... : t tu n hoàn vô h n I ∞ = {i = (ik )∞ , ik ∈ I ∀k = 1, 2, ...} : t p h p c a t t c k=1 các t vô h n. ∞ I∗ = I n : t p h p t t c các t có đ dài h u h n. n=1 f ho c fi, i ∈ I : ánh x co Rd. r ho c ri : nhân t co c a f , fi trong Rd fu = fi1i2...in = fi1 ◦ fi2 ◦ . . . ◦ fin v i u = i1i2 . . . in ∈ I n ru: nhân t co c a ánh x co fu F : fractal sinh b i {fi | i ∈ I}. Fu = fu(F ), n u u ∈ I n thì Fu m nh con b c n c a F id : ánh x đ ng nh t E : ma tr n đơn v h ho c hα , α = 1, 2, ... : ánh x lân c n Kα : lân c n c a fractals F tương ng v i ánh x lân c n hα , Kα = hα (F ) Lα : giao c a fractals F và lân c n c a nó Lα = F ∩ Kα 7
Chương 1 L ch s hình h c Fractal 1.1 Hình h c Fractal trong toán h c nói chung Hình h c Fractal là m t môn hình h c m i nhưng đã có nh ng ng d ng r ng rãi trong nhi u lĩnh v c khác nhau. Tuy nhiên, hi n nay cơ s lý thuy t c a môn hình h c này v n chưa hoàn thi n vì v n chưa có đư c m t đ nh nghĩa chính xác và đ y đ v Fractal. V n đ này đang là thách th c l n đ i v i các nhà nghiên c u toán h c. S phát tri n c a hình h c qua các th i đ i đã đóng góp nh ng thành t u quan tr ng trong l ch s văn minh nhân lo i. các n n văn hóa c c a Babilon và Ai c p, con ngư i đã bi t cách tính di n tích các hình đơn gi n như tam giác, hình thang, hình tròn và cũng bi t cách tính th tích m t s lo i v t th đơn gi n như hình h p ch nh t, hình chóp đáy vuông ... T th k th VII đ n th k th III trư c công nguyên, các nhà hình h c Hy L p đã có nh ng đóng góp quan tr ng trong vi c phát tri n môn hình h c. H đã c g ng t p h p và s p x p các hi u bi t v hình h c theo m t k t c u logic nh t đ nh. Trong s đó ngư i có công l n nh t, đ t n n móng cho cơ s hình h c chính là Euclide (330 - 275 TCN) v i tác ph m “Nguyên lý”. Trong tác ph m c a mình, Euclide đã trình bày đ y đ và có h th ng, tìm ra cách ch ng minh nhi u đ nh lý và s p x p chúng theo m t trình t logic. Tuy nhiên, đ ng trên quan đi m c a toán h c hi n đ i thì tác ph m “Nguyên lý” c a Euclide v n còn nhi u thi u sót v phương di n đ t cơ s logic cho vi c xây d ng hình h c. Cu i th k XIX, nhà toán h c ngư i Đ c David Hilbert (1862 - 8
CHƯƠNG 1. L CH S HÌNH H C FRACTAL 1943) m i kh c ph c đư c nh ng thi u sót c a Euclide v i tác ph m “Cơ s hình h c” năm 1899. Trong tác ph m c a mình, Hilbert đã đưa ra m t h tiên đ đ y đ c a hình h c Euclide, t đó suy di n đ thu đư c t t c các n i dung c a hình h c Euclide. Trong quá trình c g ng th ch ng minh đ nh đ V c a Euclide [31] đã d n đ n s ra đ i c a m t môn hình h c m i khác v i hình h c Euclide. Cu i nh ng năm ba mươi c a th k XIX, nhà toán h c ngư i Nga Lôbasepxki (Nikolai Ivanovitch Lobatchevski, 1792 - 1856), giáo sư trư ng đ i h c t ng h p Kadan (Nga) đã đưa ra l i gi i đáp v v n đ đ nh đ V c a Euclide. Ông đã kh ng đ nh: đ nh đ V không th suy ra t các tiên đ và đ nh đ còn l i c a Euclide. Lôbasepxki đã phát tri n hình h c c a mình không thua kém hình h c Euclide, ngư ta g i đó là hình h c phi Euclide, hay hình h c Lôbasepxki. Gi a th k XX, khi công ngh đi n toán phát tri n, m t môn hình h c m i đã ra đ i đ đáp ng nhu c u mô t các đ i tư ng c a th gi i th c trên máy tính, đó là hình h c Fractal. Hình h c Fractal đư c chính th c bi t đ n thông qua bài báo n i ti ng c a Benoit Mandelbrot vào năm 1975. B ng công c máy tính, ông đã khám phá ra m t lĩnh v c hình h c m i ph n ánh th gi i m t cách t nhiên mà hình h c Euclide khó có th đáp ng đư c. Vì v y, hình h c Fractal đã thu hút đư c s chú ý c a nhi u nhà nghiên c u và nó tr thành m t ch đ nóng trong gi i toán h c. 1.2 S ra đ i c a hình h c Fractal Cu i th k XIX đ n nh ng năm đ u th k XX, trong nghiên c u toán h c đã xu t hi n m t s t p h p “l ” v i m t s tính ch t b t thư ng ho c có nh ng hình thù kỳ l , ng nghĩnh, ch ng h n: T p Cantor: là t p con c a đo n [0,1], không ch a b t kỳ m t đo n th ng nào nhưng v n có l c lư ng continum. (hình 1.1) Hình bông tuy t Von Kock: tuy ch chi m m t di n tích h u h n nhưng có chu vi vô h n. Hàm Weierstrass: hàm s liên t c mà không có đ o hàm t i b t 9
CHƯƠNG 1. L CH S HÌNH H C FRACTAL Hình 1.1: T p Cantor kỳ đi m nào. đ th c a nó là m t đư ng cong liên t c nhưng không có đ o hàm b t kỳ đi m nào. T p Julia: g m nh ng b ph n là b n sao thu nh c a chính nó (Hình 1.2) Hình 1.2: T p Julia Các t p h p “l ” đã gây ra không ít xôn xao trong gi i nghiên c u toán h c và r i chúng cũng đư c ch p nh n như nh ng trư ng h p ngo i l c a toán h c. M t s nhà v t lý như Boltzmann, Perrin s m d đoán đư c kh năng ng d ng c a các t p khác thư ng trong th c t . Tuy nhiên, h cũng không làm đư c gì hơn là tuyên b chính nh ng đư ng cong b t thư ng, gai góc như đư ng cong Weierstrass m i thư ng hay g p,còn 10
CHƯƠNG 1. L CH S HÌNH H C FRACTAL các đư ng trơn tru đ u đ n như đư ng tròn ch là ngo i l . M t s công trình đ c s c c a Hausdorff và Besicovitch v i nh ng t p có th nguyên (s chi u) phân s cũng có ti ng vang l n trong toán h c [17]. Hình 1.3: Nhà toán h c Mandelbrot Năm 1975, nhà toán h c ngư i Pháp g c Ba Lan Benoit Mandel- brot làm vi c t i trung tâm nghiên c u Thomas B.Waston c a công ty IBM đã công b công trình c a mình thông qua bài báo n i ti ng “Lý thuy t v các t p Fractal” (A Theory of Fractal Sets), sau đó là cu n chuyên kh o “Hình h c Fractal c a t nhiên” (The Fractal Geometry of Nature). Bài báo đã gây đư c ti ng vang l n và đư c các nhà khoa h c đương th i quan tâm nghiên c u, phát tri n. Cu n sách c a Mandelbrot sau này đã tr thành m t công trình kinh đi n c a hình h c Fractal trong đó có m t t p h p n i ti ng mang tên ông - t p Mandelbrot. T đó nh ng t p khác thư ng m i đư c s quan tâm c a gi i khoa h c, không nh ng trong ngành toán h c mà trong h u h t các ngành, 11
CHƯƠNG 1. L CH S HÌNH H C FRACTAL Hình 1.4: T p Mandelbrot c t nhiên l n xã h i, c khoa h c và công ngh . Mandelbrot đ t tên cho các đ i tư ng khác thư ng này là Fractal, mư n ch La tinh “fractus” nghĩa là “gãy, v ”. T đây m t hư ng toán h c m i ra đ i mang tên “Hình h c Fractal”. Môn hình h c này xây d ng m t khung toán h c t ng quát đ nghiên c u các t p khác thư ng. Ch trong vòng vai th p k , hình h c Fractal đã tr thành m t trong nh ng ch đ nóng c a toán h c hi n đ i. Mandelbrot và các nhà toán h c khác như A.Douady, J.Hubbard đã đ t n n móng và phát tri n cho lý thuy t hình h c Fractal. Các k t qu đ t đư c ch y u t p trung các tính ch t các c u trúc Fractal cơ s như t p Mandelbrot và t p Julia [23]. D a trên nh ng công thình c a Mandelbrot (1976, 1979, 1982) và Hutchinson (1981), vào các năm 1986, 1988 Micheal F.Barnsley và M.Begger đã phát tri n lý thuy t h hàm l p IFS (Iterated Function System) đư c ng d ng trong nhi u lĩnh v c khác nhau [25] Ngoài các công trình mang tính lý thuy t, hình h c Fractal còn đư c b sung b i nh ng ng d ng vào trong khoa h c máy tính 12
CHƯƠNG 1. L CH S HÌNH H C FRACTAL và các ngành khoa h c khác. D a trên lý thuy t IFS, F.Barnsley, Jacquin và m t s nhà nghiên c u khác đã phát tri n phép bi n đ i phân hình áp d ng cho công ngh n n nh [?, 28]. Hi n nay, lý thuy t phân hình đang đư c phát tri n và nghiên c u. M t trong nh ng v n đ l n đang đư c quan tâm là bài toán v i các đ đo phân hình (multifractal measurement) có liên quan đ n s m r ng c a khái ni m s chi u fractal và các đ i tư ng Fractal trong t nhiên, đ ng th i cũng liên quan đ n vi c áp d ng các đ đo Fractal trong các ngành khoa h c t nhiên. 1.3 Các ng d ng t ng quát c a Fractal Hi n nay có 3 hư ng ng d ng l n c a lý thuy t fractal, bao g m: • ng d ng trong v n đ t o nh trên máy tính. • ng d ng trong công ngh nén nh. • ng d ng trong nghiên c u khoa h c cơ b n. 1.3.1 ng d ng trong v n đ t o nh trên máy tính Cùng v i s phát tri n vư t b c c a máy tính cá nhân trong nh ng năm g n đây, công ngh gi i trí trên máy tính bao g m các lĩnh v c như trò chơi, anmation video. . . nhanh chóng đ t đ nh cao c a nó. Công ngh này đòi h i s mô t các hình nh c a máy PC v i s phong phú v chi ti t và màu s c v i s t n kém r t l n v th i gian và công s c. Gánh n ng đó hi n nay đã đư c gi m nh đáng k nh các mô t đơn gi n nhưng đ y đ c a lý thuy t fractal v các đ i tư ng t nhiên. V i fractal khoa h c máy tính có trong tay m t công c mô t t nhiên vô cùng m nh m . Ngoài các ng d ng trong lĩnh v c gi i trí, fractal còn có m t trong các ng d ng t o ra các h đ ho trên máy tính. Các h này cho phép ngư i s d ng t o l p và ch nh s a hình nh, đ ng th i cho phép t o các hi u ng v r t t nhiên h t s c hoàn h o và phong phú, ví d h ph n m m thương m i Fractal Design Painter c a công ty Fractal Design. H này cho phép xem các hình nh dư i d ng hình 13
CHƯƠNG 1. L CH S HÌNH H C FRACTAL ho véctơ cũng như s d ng các nh bitmap như các đ i tư ng. Như đã bi t, các nh bitmap hi n th h t s c nhanh chóng, thích h p cho các ng mang tính t c đ , các nh véctơ m t nhi u th i gian hơn đ trình bày trên màn hình (vì ph i đư c t o ra b ng cách v l i) nhưng đòi h i r t ít vùng nh làm vi c. Do đó ý tư ng k t h p ưu đi m c a hai lo i đ i tư ng này s giúp ti t ki m nhi u th i gian cho ngư i s d ng các h ph n m m này trong vi c t o và hi n th các nh có đ ph c t p cao. 1.3.2 ng d ng trong công ngh nén nh M t trong nh ng m c tiêu quan tr ng hàng đ u c a công ngh x lý hình nh hi n nay là s th hi n hình nh th gi i th c v i đ y đ tính phong phú và s ng đ ng trên máy tính. V n đ nan gi i trong lĩnh v c này ch y u do yêu c u v không gian lưu tr thông tin vư t quá kh năng lưu tr c a các thi t b thông thư ng. Có th đơn c m t ví d đơn gi n: 1 nh có ch t lư ng g n như ch p đòi h i vùng nh 24 bit cho 1 đi m nh, nên đ hi n nh đó trên màn hình máy tính có đ phân gi i tương đ i cao như 1024x768 c n x p x 2.25Mb. V i các nh “th c” 24 bit này, đ th hi n đư c m t ho t c nh trong th i gian 10 giây đòi h i x p x 700Mb d li u, t c là b ng s c ch a c a m t đĩa CD-ROM. Như v y khó có th đưa công ngh multimedia lên PC vì nó đòi h i m t cơ s d li u nh và âm thanh kh ng l . Đ ng trư c bài toán này, khoa h c máy tính đã gi i quy t b ng nh ng c i ti n vư t b c c v ph n c ng l n ph n m m. T t c các c i ti n đó d a trên ý tư ng nén thông tin hình nh trùng l p. Tuy nhiên cho đ n g n đây, các phương pháp nén thông tin hình nh đ u có 1 trong 2 y u đi m sau: ∗ Cho t l nén không cao. Đây là trư ng h p c a các phương pháp nén không m t thông tin. ∗ Cho t l nén tương đ i cao nhưng ch t lư ng nh nén quá kém so v i nh ban đ u. Đây là trư ng h p c a các phương pháp nén m t thông tin, ví d chu n nén JPEG. Các nghiên c u lý thuy t cho th y đ đ t m t t l nén hi u qu 14
CHƯƠNG 1. L CH S HÌNH H C FRACTAL (kích thư c d li u nén gi m so v i ban đ u ít nh t hàng trăm l n), phương pháp nén m t thông tin là b t bu c. Tuy nhiên m t v n đ đ t ra là làm th nào có đư c m t phương pháp nén k t h p c tính hi u qu v t l nén l n ch t lư ng nh so v i nh ban đ u? Phương pháp nén nh phân hình đư c áp d ng g n đây b i Iterated System đáp ng đư c yêu c u này. Như đã bi t, v i m t ánh x co trên m t không gian metric đ y đ , luôn t n t i m t đi m b t đ ng xr sao cho: Xr = f (xr ) Micheal F.Barnsley đã m r ng k t qu này cho m t h các ánh x co, F.Barnsley đã ch ng minh đư c v i m t h ánh x như v y v n t n t i m t “đi m” b t đ ng xr . Đ ý r ng v i m t ánh x co, ta luôn tìm đư c đi m b t đ ng c a nó b ng cách l y m t giá tr kh i đ u r i l p l i nhi u l n ánh x đó trên các k t qu thu đư c m i l n l p. S l n l p càng nhi u thì giá tr tìm đư c càng x p x chính xác giá tr c a đi m b t đ ng. D a vào nh n xét này, ngư i ta đ ngh xem nh c n nén là “đi m b t đ n” c a m t h ánh x co. Khi đó đ i v i m i nh ch c n lưu thông tin v h ánh x thích h p, đi u này làm gi m đi r t nhi u dung lư ng c n có đ lưu tr thông tin nh. Vi c tìm ra các nh co thích h p đã đư c th c hi n t đ ng hoá nh quá trình fractal m t nh s hoá do công ty Iterated System đưa ra v i s t i ưu v th i gian th c hi n. K t qu nén cho b i quá trình này r t cao, có th đ t t l 10000: 1 ho c cao hơn. M t ng d ng thương m i c th c a k thu t nén phân hình là b bách khoa toàn thư multimedia v i tên g i “Microsoft Encarta” đư c đưa ra vào tháng 12/1992. B bách khoa này bao g m hơn 7 gi âm thanh, 100 ho t c nh, 800 b n đ màu cùng v i 7000 nh ch p cây c i, hoa qu , con ngư i, phong c nh, đ ng v t,. . . T t c đư c mã hoá dư i d ng các d li u fractal và ch chi m x p x 600Mb trên m t đĩa compact. Ngoài phương pháp nén phân hình c a Barnsley, còn có m t phương pháp khác cũng đang đư c phát tri n. Phương pháp đó do F.H.Preston, A.F.Lehar, R.J.Stevens đưa ra d a trên tính ch t c a đư ng cong Hilbert. Ý tư ng cơ s c a phương pháp là s bi n đ i thông tin n 15
CHƯƠNG 1. L CH S HÌNH H C FRACTAL chi u v thông tin m t chi u v i sai s c c ti u. nh c n nén có th xem là m t đ i tư ng 3 chi u, trong đó hai chi u dùng đ th hi n v trí đi m nh, chi u th ba th hi n màu s c c a nó. nh đư c quét theo th t hình thành nên đư ng cong Hilbert ch không theo hàng t trái sang ph i như thư ng l đ đ m b o các d li u nén k ti p nhau đ i di n cho các kh i nh k c nh nhau v v trí trong nh g c. Trong quá trình quét như v y, thông tin v màu s c c a m i đi m nh đư c ghi nh n l i. K t qu c n nén s đư c chuy n thành m t t p tin có kích thư c nh hơn r t nhi u vì ch g m các thông tin v màu s c. Phương pháp này thích h p cho các nh có kh i cùng tông màu l n cũng như các nh dithering. 1.3.3 ng d ng trong khoa h c cơ b n Có th nói cùng v i lý thuy t tôpô, fractal đã cung c p cho khoa h c m t công c kh o sát t nhiên vô cùng m nh m , v t lý h c và toán h c th k XX đ i đ u v i s xu t hi n c a tính h n đ n trong nhi u quá trình có tính quy lu t c a t nhiên. T s đ i đ u đó, trong nh ng th p niên ti p theo đã hình thành m t lý thuy t m i chuyên nghiên c u v các h phi tuy n, g i là lý thuy t h n đ n. S kh o sát các bài toán phi tuy n đòi h i r t nhi u công s c trong vi c tính toán và th hi n các quan sát m t cách tr c quan, do đó s phát tri n c a lý thuy t này b h n ch r t nhi u. Ch g n đây v i s ra đ i c a lý thuy t fractal và s h tr đ t l c c a máy tình, các nghiên c u chi ti t v s h n đ n m i đư c đ y m nh. Vai trò c a fractal trong lĩnh v c này th hi n m t cách tr c quan các cư x kỳ d c a các ti n trình đư c kh o sát, qua đó tìm ra đư c các đ c trưng ho c các c u trúc tương t nhau trong các ngành khoa h c khác nhau. Fractal đã đư c áp d ng vào nghiên c u lý thuy t t tính, lý thuy t các ph c ch t trong hoá h c, lý thuy t tái đ nh chu n và phương trình Yang & Lee c a v t lý, các nghi m c a các h phương trình phi tuy n đư c gi i d a trên phương pháp x p x liên ti p c a Newton trong gi i tích s , . . . Các k t qu thu đư c gi vai trò r t quan tr ng trong các lĩnh v c tương ng. 16
CHƯƠNG 1. L CH S HÌNH H C FRACTAL 1.4 Fractals trong thiên nhiên Nh ng hình dáng quen thu c, có th b n chưa bao gi đư c nghe, nhưng nó xung quanh b n; nh ng hình dáng l m ch m, l p đi l p l i đư c g i là Fractals. Chúng t n t i kh p nơi trong th gi i sinh h c. Đó là nh ng gi i pháp mà thiên nhiên đã l a ch n đ t n t i và thích nghi, phát tri n và phát tri n liên t c. Fractals như lá ph i c a chúng ta, th n và các m ch máu cũng v y, hoa lá, cây c i, các hi n tư ng c a th i ti t, nh p đ p c a trái tim và nh ng tinh ch t ban đ u c a cu c s ng. Nhưng c n đ n m t nhà toán h c táo b o, ch ra nó ho t đ ng như th nào. Nh ng n l c dũng c m c a Mandelbrot dành cho các gi thuy t c a th k cũ v các hình d ng khác nhau c a thiên nhiên. Ông đã làm sáng t cho m i ngư i có th nh n ra r ng, các hình d ng ph c t p trong t nhiên luôn luôn t n t i, nhưng công th c thì chưa đư c tìm th y. Nhi m v c a các nhà toán h c là làm cho cái không nhìn th y thành nhìn th y, tìm tr t t trong cái h n lo n. Benoit Mandelbrot là ngư i phát minh và truy n c m h ng, m t con ngư i tràn đ y t tin và b n lĩnh, xu t s c đ ng ra ngoài dòng ch y. Mandelbrot có th nhìn th y nh ng gì mà ngư i khác còn ng v c, cho đ n khi ông ta ch ra cho h cái mà h chưa h bi t trư c đó. B n có th nhìn th y nó nh ng đám mây (xem hình 1.5), dãy núi, th m chí bên bên trong cơ th con ngư i và c nhưng hoa văn ngh thu t xu t hi n trong cu c s ng thư ng ngày c a chúng ta.(xem hình ??) Chìa khóa c a hình h c Fractals và nh ng gì n d u v i m i ngư i cho đ n khi Mandelbrot phân lo i chúng, đó là cách nhìn vào s v t. N u b n ch nhìn ra bên ngoài b n th y nó r t ph c t p và có l ch ng có gì liên quan đ n toán h c. Nh ng gì Mandelbrot ch ra s không ph i là nh ng gì b n nhìn th y mà là cái n n t ng t o ra cái mà b n nhìn th y. Nó là m t quá trình l p l i vô h n, đi u đó d n đ n m t tính ch t cơ b n c a Fractals mà các nhà toán h c g i là “t đ ng d ng ”. Tư tư ng chính là luôn luôn khi b n thu nh hay phóng to m t b ph n nào đó c a m t đ i tư ng thì trông v n như toàn đ i tư ng; n u b n nhìn m t v t th nào đó trong t l , sau đó l y m t m nh nh c a nó và phóng to ra thì trông nó g n như lúc 17
CHƯƠNG 1. L CH S HÌNH H C FRACTAL Hình 1.5: Hình đám mây fractal đ u. Cái toàn b c a Fractals thì cũng gi ng như m t b ph n, gi ng như m t ph n nh hơn ti p theo, tính ch t tương t c a m u c th duy trì. (xem hình 1.7) M t trong nh ng ví d quen thu c nh t là s t đ ng d ng c a cây. N u ta nhìn vào m i nhánh, cành ch ra t m i nhánh c a cây, cũng là nh ng gì b n nhìn th y trong m i cành, là s tương t trong toàn b cái cây , t g c cho đ n ng n, khuôn m u c a các nhánh là như nhau. Và c th , mô hình c a các cành gi ng h t nhau trong kh p cây theo cách đó đ n t n ng n.(xem hình 1.8) Chúng ta nhìn th y s t đ ng d ng kh p nơi, t các cây san hô dư i lòng bi n t i b m t c a m t trăng (hình 1.9) Nhưng s quy n rũ c a Mandelborot v i nh ng hình d ng b t thư ng đã đưa ông ta đ i đ u tr c ti p v i toán h c truy n th ng hàng th k trư c. Trong toán h c truy n th ng m i th ph i trơn và m m m i. Nhưng nh ng gì Mandelbrot m ra là khám phá đ thô 18
CHƯƠNG 1. L CH S HÌNH H C FRACTAL Hình 1.6: Nh ng hình nh Fractal trong đ i s ng h ng ngày ráp, chúng ta s d ng toán h c đ xây d ng kim t tháp, đ nghiên c u qu đ o chuy n đ ng c a các hành tinh, vân vân. Chúng ta tr nên quen thu c v i các mô hình nào đó mà liên quan t i toán h c, có th thi t k . Ph n l n nh ng gì con ngư i làm ra như là đư ng th ng, đư ng tròn và nh ng hình dáng hình h c ho n h o. Nh ng gi đ nh cơ b n r ng đ i v i toán h c c đi n t t c m i th ph i c c kỳ chu n m c , nghĩa là b n làm m i th ph i th ng, các đư ng tròn, các tam giác, các b m t ph ng . Toán h c c đi n là th c s h c nh ng gì mà chúng ta t t o ra thu c đ i tư ng c a toán h c c đi n. Nh ng gì t o ra trong t nhiên, nh ng th đã t n t i trư c khi chúng ta có m t hành tinh này như cây c i, th c v t, mây, và các hi n tư ng th i ti t, nh ng th đó vư t ra ngoài toán h c c đi n. Đ n nh ng năm 70s khi Benoit Mandelbrot gi i thi u m t môn hình h c m i, m t tr t t n d u trong cái h n đ n và có th vi t công th c đ mô t chúng như hình đám mây, bông hoa và cà cây c i, k c b não con ngư i cũng có th dùng công th c đ mô t (hình 1.10) Câu h i l n đ t ra là. T i sao đ n t n nh ng năm 1970 chúng ta m i bi t đ n nó. Trư c khi ngư i ta vi t cu n sách “Fractals hình h c 19