Kỹ thuật điều khiển & Điện tử<br />
<br />
GIẢI BÀI TOÁN PHÁT HIỆN TRONG MẠNG RADAR NHIỀU VỊ<br />
TRÍ XỬ LÝ PHÂN TÁN KHI CÁC ĐÀI RADAR TRONG MẠNG<br />
CHỊU ẢNH HƯỞNG CỦA NHIỄU TƯƠNG QUAN PHÂN BỐ<br />
LOGNORMAL<br />
Nguyễn Đức Minh*1, Bùi Thị Dân1, Phạm Văn Hùng2<br />
Tóm tắt: Bài báo trình bày việc giải bài toán phát hiện trong mạng radar nhiều vị<br />
trí xử lý phân tán trong trường hợp các đài radar thành phần trong mạng chịu ảnh<br />
hưởng của nhiễu tương quan phân bố LogNormal. Tính toán và khảo sát chất lượng<br />
phát hiện của mạng phụ thuộc vào mức độ tương quan giữa các đài radar thành phần<br />
trong mạng. Cách giải được sử dụng ở đây là cách tính trực tiếp các tích phân xác<br />
suất sau khi có được hàm mật độ xác suất nhiều chiều của phân bố LogNormal. Việc<br />
biểu diễn hàm mật độ xác suất nhiều chiều của phân bố LogNormal được thực hiện<br />
thông qua các tham số của một phân bố Chuẩn. Mạng radar được xem xét có cấu<br />
hình song song gồm 3 đài radar và một trung tâm hợp nhất, các đài radar hoạt động<br />
tại cùng một ngưỡng và quy luật hợp nhất được sử dụng là quy luật AND, OR và K/N.<br />
Kết quả cho thấy với mô hình nhiễu tương quan LogNormal quy luật hợp nhất OR ít<br />
chịu ảnh hưởng hệ số tương quan hơn các quy luật khác và xác suất phát hiện của<br />
hệ thống tăng khi âm và giảm mạnh khi dương.<br />
Từ khóa: Radar; Nhiễu tương quan; Phân bố LogNormal.<br />
<br />
1. MỞ ĐẦU<br />
Mạng radar nhiều vị trí xử lý phân tán (NVTXLPT) có các ưu điểm rõ ràng về việc đáp<br />
ứng được nhu cầu tăng cao số đài radar trong mạng nhằm bảo đảm khả năng sống sót, tốc độ<br />
xử lý thông tin tại trung tâm hợp nhất được nâng lên, chiếm ít băng thông đường truyền hơn<br />
so với hệ thống radar đơn đài hoặc mạng radar nhiều vị trí xử lý tập trung. Hơn nữa, hiệu<br />
năng của hệ thống mạng radar xử lý phân tán còn có thể được cải tiến khi thay đổi các cấu<br />
trúc mạng khác nhau. Vì vậy, đây đang là lĩnh vực nghiên cứu về radar rất được quan tâm<br />
trong vài chục năm gần đây. Đã có nhiều nghiên cứu về vấn đề này, đặc biệt là trường hợp<br />
khi các đài radar trong mạng chịu ảnh hưởng của nhiễu tương quan [1], [2], [4], [6], [7], [8],<br />
[9]...v.v... Bài toán phát hiện luôn là một bài toán quan trọng trong lĩnh vực radar, tuy nhiên,<br />
đối với mạng radar nhiều vị trí xử lý phân tán chịu ảnh hưởng của nhiễu tương quan thì đây<br />
là một bài toán khó và không có lời giải tổng quát. Các công trình đã công bố trong và ngoài<br />
nước mới chỉ giải được bài toán phát hiện trong mạng radar NVTXLPT khi hệ thống chịu<br />
ảnh hưởng của nhiễu tương quan có phân bố thống kê Gauss mà chưa giải được cho các<br />
trường hợp nhiễu tương quan có các phân bố thống kê khác như phân bố Student-t, Laplace<br />
hay LogNormal.<br />
Một trong những khó khăn chung gặp phải khi giải bài toán phát hiện trong trường hợp<br />
này chính là việc biểu diễn các hàm mật độ xác suất liên kết của các phép quan sát từ các đài<br />
radar thành phần với các mô hình phân bố thống kê khác nhau và tính toán đối với các phân<br />
bố thống kê nhiều chiều. Điều này dẫn đến số lượng đài radar trong mạng ở các mô hình<br />
được nghiên cứu đã công bố thường ít do khó khăn về việc biểu diễn hàm mật độ xác suất và<br />
tính các tích phân xác suất. Trong [1] tác giả cũng đã đề cập đến nhiễu tương quan có mô<br />
hình phân bố Laplace, tuy nhiên, số đài radar trong mạng vẫn bị hạn chế ở 2 đài. Những<br />
đóng góp chính của bài báo này là việc giải thành công bài toán phát hiện trong mạng radar<br />
NVTXLPT khi các đài radar thành phần trong mạng chịu ảnh hưởng của nhiễu tương quan<br />
phân bố LogNormal và việc đưa ra các khuyến nghị khi xây dựng mạng radar NVTXLPT<br />
sau khi thực hiện khảo sát, đánh giá chất lượng phát hiện của mạng phụ thuộc vào mối tương<br />
<br />
<br />
110 N. Đ. Minh, B. T. Dân, P. V. Hùng, “Giải bài toán phát hiện … phân bố LogNormal.”<br />
Nghiên cứu khoa học công nghệ<br />
<br />
quan giữa các đài radar thành phần trong mạng. Mô hình toán học của bài toán phát hiện<br />
được trình bày trong phần 2, những biến đổi toán học và biểu diễn hàm mật độ xác suất của<br />
phân bố LogNormal nhiều chiều được trình bày trong phần 3. Kết quả giải cụ thể bài toán và<br />
những mô phỏng, nhận xét được thực hiện ở phần 4 của bài báo.<br />
2. MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA BÀI TOÁN PHÁT HIỆN TRONG MẠNG RADAR<br />
NVTXLPT TRONG TRƯỜNG HỢP CÁC ĐÀI RADAR THÀNH PHẦN CHỊU<br />
ẢNH HƯỞNG CỦA NHIỄU TƯƠNG QUAN PHÂN BỐ LOGNORMAL<br />
Xét một mạng radar NVTXLPT có cấu hình song song với một trung tâm hợp nhất FC<br />
(Fusion Center) như hình vẽ-1. Các đài radar trong mạng sẽ truyền quyết định nhị phân<br />
của mình tới trung tâm hợp nhất, dựa trên các quyết định này tại trung tâm hợp nhất với<br />
quy luật hợp nhất cho trước sẽ đưa ra quyết định cuối cùng về việc có hay không có mục<br />
tiêu. Giả thiết rằng các đài radar không liên lạc với nhau và trung tâm hợp nhất không<br />
phản hồi lại các đài radar thành phần. Tín hiệu truyền từ các đài radar về trung tâm hợp<br />
nhất trên các kênh truyền không chịu ảnh hưởng của nhiễu. Ký hiệu Zi là tín hiệu thu nhận<br />
của đài radar thứ i trong mạng. Đài radar thứ i sẽ ra quyết định sơ bộ ui i zi về sự có<br />
mặt hay không có mặt của mục tiêu. Các đài radar thành phần trong mạng gửi quyết định<br />
ui của mình về trung tâm hợp nhất. Trên cơ sở các quyết định thành phần<br />
U uu , u2 ,..., uN trung tâm hợp nhất đưa ra quyết định cuối cùng U 0 0 U về sự có<br />
mặt H1 U 0 1 hay không có mặt H 0 U 0 0 của mục tiêu.<br />
Z1 Z2 ZN<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Đài Đài -------- Đài<br />
radar 1 radar 2 - radar N<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
u1 u2 - - - - - - - - uN<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Trung tâm hợp<br />
nhất<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
U<br />
0<br />
<br />
Hình 1. Mạng radar phân tán có cấu hình song song với một trung tâm hợp nhất.<br />
Các quan sát của từng đài radar được biểu diễn bởi Zi (i=1, 2, .., N), trong đó:<br />
ni díi gi¶ thuyÕt H 0<br />
Z <br />
i<br />
ni S díi gi¶ thuyÕt H1<br />
<br />
Và ni là nhiễu, các đài radar trong mạng sử dụng phép kiểm định tỷ số hợp lý<br />
(Likelyhood Ratio Test – LRT) của riêng mình và đưa ra một quyết định riêng ui , trong đó:<br />
<br />
0 khi kh«ng ph¸t hiÖn môc tiªu<br />
ui <br />
1 khi ph¸t hiÖn cã môc tiªu<br />
<br />
<br />
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 57, 10 - 2018 111<br />
Kỹ thuật điều khiển & Điện tử<br />
<br />
Trung tâm hợp nhất sử dụng các quyết định riêng rẽ từ các đài radar thành phần và thực<br />
hiện một phép kiểm định tỷ số phù hợp nhất để đưa ra quyết định cuối cùng về việc có hay<br />
không có mục tiêu. Tỷ số hợp lý ở trung tâm hợp nhất được viết dưới dạng như sau:<br />
H1<br />
P(u | H1 ) P(u1, u2 ,..., uN | H1 )<br />
( u) (1)<br />
P(u | H 0 ) P(u1, u2 ,..., uN | H 0 ) <br />
H 0<br />
<br />
Trong đó, là ngưỡng phát hiện tại trung tâm hợp nhất. Ngưỡng này được xác định bởi<br />
yêu cầu về xác suất báo động lầm của hệ thống radar. Bài toán của chúng ta chính là việc<br />
thực hiện kiểm định tỷ số hợp lý ( u) . Phương trình (1) có thể được viết lại dưới dạng:<br />
<br />
<br />
( u) <br />
<br />
u1 ...<br />
u2 uN<br />
PZ Z<br />
1 2 ... Z1<br />
( Z1 , Z 2 ,..., Z N | H 1 )d Z d Z ...d Z<br />
1 2 N<br />
<br />
(2)<br />
...<br />
u1 u2 uN<br />
PZ Z<br />
1 2 ... Z1<br />
( Z1 , Z 2 ,..., Z N | H 0 )d Z d Z ...d Z<br />
1 2 N<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Trong đó, u1 , u2 ,..., uN trong tích phân ở công thức trên biểu diễn không gian hay vùng<br />
lấy tích phân tùy thuộc vào việc ui 1 hay ui 0 .<br />
Trong bài báo này nhóm tác giả nghiên cứu trường hợp mạng gồm 3 đài radar giống<br />
nhau và hoạt động tại cùng một ngưỡng t, mô hình mục tiêu ổn định (Swerling 0) với mức<br />
tín hiệu S, các đài radar cùng chịu ảnh hưởng của nhiễu tương quan đều có hệ số tương<br />
quan bằng với mô hình phân bố thống kê LogNormal. Khi đó, ma trận tương quan của<br />
nhiễu tại đầu vào các trạm radar có dạng sau:<br />
1 <br />
1 víi 1 1 (3)<br />
<br />
1 <br />
<br />
Quy luật hợp nhất tại trung tâm được sử dụng là quy luật AND, OR và quy luật K/N.<br />
2.1. Trường hợp FC sử dụng quy luật hợp nhất AND<br />
Với quy luật hợp nhất AND, trung tâm hợp nhất sẽ quyết định có mục tiêu hay giả<br />
thuyết H1 đúng chỉ khi tất cả 3 đài radar đều đưa ra quyết định có mục tiêu. Xác suất báo<br />
động lầm của FC được cho bởi công thức:<br />
PF Pr u1 1, u2 1, u3 1 | H 0 <br />
<br />
(4)<br />
<br />
t t t<br />
P( Z | H 0 )dZ<br />
<br />
Với mỗi xác suất báo động lầm PF PFA cho trước theo yêu cầu ta xác định được các<br />
giá trị tương ứng của t t0 từ việc giải phương trình:<br />
PF Pr u1 1, u2 1, u3 1 | H 0 <br />
<br />
(5)<br />
<br />
t t t<br />
P( Z | H 0 )dZ PFA<br />
<br />
Với giá trị ngưỡng t t0 tìm được, xác suất phát hiện của hệ thống sẽ được được tính<br />
bởi công thức:<br />
<br />
<br />
112 N. Đ. Minh, B. T. Dân, P. V. Hùng, “Giải bài toán phát hiện … phân bố LogNormal.”<br />
Nghiên cứu khoa học công nghệ<br />
<br />
PD Pr u1 1, u2 1, u3 1| H1 <br />
<br />
(6)<br />
<br />
t0 t0 t0<br />
PZ ( Z | H1 )dZ<br />
<br />
2.2. Trường hợp FC sử dụng quy luật hợp nhất OR<br />
Tương tự như với quy luật AND, quy luật hợp nhất OR được sử dụng sẽ quyết định<br />
không có mục tiêu hay chấp nhận giả thuyết H 0 khi cả ba đài radar thành phần đều có<br />
quyết định là không có mục tiêu hay nói cách khác khi đó u1 u2 u3 0 . Xác suất báo<br />
động lầm được tính bởi công thức:<br />
PF 1 Pr u1 0, u2 0, u3 0 | H 0 <br />
t t t<br />
(7)<br />
1 <br />
<br />
P ( Z | H 0 )dZ<br />
<br />
Xác suất phát hiện được tính bởi công thức:<br />
PD 1 Pr u1 0, u2 0, u3 0 | H1 <br />
t0 t0 t0<br />
(8)<br />
=1- PZ Z | H1 dZ<br />
<br />
<br />
2.3. Trường hợp FC sử dụng quy luật hợp nhất K/N<br />
Khi mạng gồm 3 đài radar thì quy luật hợp nhất K/N được sử dụng sẽ quyết định không<br />
có mục tiêu hay chấp nhận giả thuyết H 0 khi cả hai hoặc nhiều hơn hai trong ba đài radar<br />
thành phần đều có quyết định là không có mục tiêu. Xác suất báo động lầm của trung tâm<br />
hợp nhất được cho như công thức sau:<br />
PF Pr u1 1, u2 1, u3 0 | H 0 Pr u1 1, u2 0, u3 1 | H 0 <br />
Pr u1 0, u2 1, u3 1 | H 0 Pr u1 1, u2 1, u3 1 | H 0 <br />
t t <br />
<br />
P (Z | H )dZ P (Z | H )dZ <br />
t t <br />
Z 0<br />
t t<br />
Z 0 (9)<br />
<br />
t <br />
<br />
P (Z | H )dZ P (Z | H )dZ<br />
t t<br />
Z 0<br />
t t t<br />
Z 0<br />
<br />
<br />
<br />
Do các đài radar được coi là giống nhau, mối tương quan giữa các đài radar là tương<br />
quan đều nên phép quan sát của các đài radar là đối xứng, do vậy, thứ tự lấy tích phân<br />
trong công thức (9) có thể được thay đổi. Ta có thể viết lại công thức (9) như sau:<br />
t <br />
<br />
PF 3 P ( Z | H )dZ P ( Z | H )dZ<br />
t t <br />
Z 0<br />
t t t<br />
Z 0<br />
(10)<br />
<br />
Xác suất phát hiện được tính bởi công thức:<br />
<br />
<br />
<br />
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 57, 10 - 2018 113<br />
Kỹ thuật điều khiển & Điện tử<br />
<br />
PD Pr u1 1, u2 1, u3 0 | H 1 Pr u1 1, u2 0, u3 1 | H 1 <br />
Pr u1 0, u2 1, u3 1 | H 1 Pr u1 1, u2 1, u3 1 | H 1 <br />
t0 t0 <br />
<br />
(11)<br />
P ( Z | H )dZ P ( Z | H )dZ <br />
t0 t0 <br />
Z 1<br />
t0 t0<br />
Z 1<br />
<br />
<br />
<br />
t0 <br />
<br />
<br />
t0 t0<br />
PZ ( Z | H 1 )dZ P ( Z | H )dZ<br />
t0 t0 t0<br />
Z 1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Hay PD có thể được viết lại thành:<br />
t0 <br />
<br />
PD 3 P ( Z | H )dZ P ( Z | H )dZ<br />
t0 t0 <br />
Z 1<br />
t0 t0 t0<br />
Z 1<br />
(12)<br />
<br />
<br />
Trong cả 3 trường hợp trên đại lượng PZ ( Z | H 0 )dZ chính là hàm mật độ xác suất<br />
trong phép quan sát của các đài radar dưới giả thuyết H 0 - không có mục tiêu.<br />
PZ ( Z | H1 )dZ là hàm mật độ xác suất trong phép quan sát của các đài radar dưới giả<br />
thuyết H1 - có mục tiêu. Cả hai xác suất này là một hàm của các hệ số tương quan .<br />
Có thể thấy rằng nhiệm vụ chính của việc giải bài toán phát hiện là tính các tích phân<br />
xác suất trong các công thức (6),(8) và (12). Muốn tính trực tiếp các tích phân này cần<br />
biểu diễn được hàm mật độ xác suất nhiều chiều PZ Z | H 1 của phân bố LogNormal<br />
một cách tường minh, nhóm tác giả sử dụng phương pháp hàm sinh mô men và các phép<br />
biến đổi toán học để biểu diễn hàm mật độ xác suất nhiều chiều của phân bố LogNormal<br />
thông qua các tham số của phân bố Chuẩn như trình bày ở phần 3 sau đây.<br />
3. XÂY DỰNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN PHÁT HIỆN CỦA MẠNG<br />
RADAR NVTXLPT TRONG TRƯỜNG HỢP CÁC ĐÀI RADAR THÀNH PHẦN<br />
CHỊU ẢNH HƯỞNG CỦA NHIỄU TƯƠNG QUAN PHÂN BỐ LOGNORMAL<br />
3.1. Biểu diễn hàm mật độ xác suất của phân bố LogNormal nhiều chiều<br />
X N , <br />
Xét biến ngẫu nhiên phân bố LogNormal có dạng Y e với và lần lượt là<br />
kỳ vọng toán học và phương sai của phân bố Chuẩn. Theo [5] phương sai của nó có dạng:<br />
V ar Y E Y e 1<br />
2<br />
2<br />
<br />
(13)<br />
T<br />
Xét vector ngẫu nhiên Y e X với X X 1 , X 2 ,..., X N , là vector ngẫu nhiên Chuẩn<br />
với kỳ vọng N 1 và ma trận hiệp phương sai N N với N N là một ma trận xác định<br />
dương và do đó nó khả nghịch. Từ [3] hàm mật độ xác suất của vector ngẫu nhiên Chuẩn<br />
X với kỳ vọng toán học μ và phương sai Σ có dạng:<br />
1<br />
1 x μ T Σ1 x μ <br />
fx x e 2<br />
(14)<br />
n<br />
2 Σ<br />
Nhằm xây dựng hàm mật độ xác suất của phân bố LogNormal từ hàm mật độ xác suất<br />
của biến ngẫu nhiên Chuẩn cho trong công thức (14), xem xét phép đổi biến ngẫu nhiên:<br />
nếu Y ( X ) với là một hàm trơn thì:<br />
<br />
<br />
114 N. Đ. Minh, B. T. Dân, P. V. Hùng, “Giải bài toán phát hiện … phân bố LogNormal.”<br />
Nghiên cứu khoa học công nghệ<br />
<br />
fY y f X 1 y . det J 1 ( y ) f X 1 y . J 1 ( y )<br />
Trong đó, J 1 là ma trận Jacobi của phép biến đổi nghịch đảo. Do vậy, với vector<br />
ngẫu nhiên LogNormal Y e X với X N , chúng ta có 1 y ln y và vì<br />
thế ta cũng có:<br />
y11 0 ...0 0<br />
<br />
0 y12 ...0 0 (15)<br />
J 1 y <br />
... ... ... ... <br />
<br />
1<br />
0 0 ...0 yN <br />
Đồng thời:<br />
n<br />
1<br />
det J 1 y y<br />
j 1<br />
1<br />
j <br />
y1 y2 ... y N<br />
(16)<br />
<br />
Cuối cùng ta được hàm mật độ phân bố nhiều chiều của biến ngẫu nhiên phân bố<br />
LogNormal như sau:<br />
n<br />
n2 12 1 T <br />
f Y y 2 det Σ y 1<br />
j exp ln y μ Σ 1 ln y μ (17)<br />
j 1 2 <br />
Các đại lượng đặc trưng cho biến ngẫu nhiên nhiều chiều phân bố LogNormal chính là<br />
kỳ vọng toán học và phương sai. Ứng dụng phương pháp biến đổi thông qua hàm mô men<br />
sinh mà các hàm mô men này lại đã được xác định thông qua hàm mô men sinh của phân<br />
bố Chuẩn:<br />
eTj e j<br />
T T<br />
e j jj 2<br />
E Y j E e E e j M X e j e j<br />
Xj e X 2<br />
e (18)<br />
<br />
Với e j là vector đơn vị cột N 1 có các thành phần khác bằng 0 ngoài thành phần<br />
thứ j 1 . Tương tự thì các mô men bậc 2 sẽ được biểu diễn một cách thuận tiện theo mô<br />
men bậc 1 như sau:<br />
T<br />
<br />
E Y jYk E e j e X k E e j k = E YJ E YK .e jk<br />
X e e x <br />
(19)<br />
<br />
<br />
Do đó: Cov Y j , Yk E Y jYk E Y j E Yk E Y j E Yk e jk<br />
1 (20)<br />
<br />
Dạng công thức (20) giống như công thức (13) tuy nhiên nó được viết lại dưới dạng<br />
vector. Ma trận hiệp phương sai được viết dưới dạng:<br />
<br />
T<br />
V ar y E y E y e 1N N (21)<br />
<br />
Trong đó dấu “ ” biểu diễn toán tử Hadamard (phép nhân từng phần tử của ma trận).<br />
Nếu ta định nghĩa ma trận đường chéo của một vector v như sau:<br />
v1 0 0 <br />
diag vN 1 0 ... 0 (22)<br />
<br />
0 0 vN <br />
<br />
<br />
<br />
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 57, 10 - 2018 115<br />
Kỹ thuật điều khiển & Điện tử<br />
<br />
Khi đó, chúng ta có thể biểu diễn ma trận hiệp phương sai của Y theo dạng nhân các<br />
ma trận thông thường như sau:<br />
V ar y diag E y e 1nn diag E y (23)<br />
Giả thiết các biến ngẫu nhiên phân bố Chuẩn có ma trận hiệp phương sai Σ là đối<br />
xứng, ma trận hiệp phương sai của vector ngẫu nhiên LogNormal được cho dưới dạng (17)<br />
cũng là ma trận đối xứng. Vector kỳ vọng của biến ngẫu nhiên phân bố LogNormal được<br />
cho dưới dạng công thức (21) và hoàn toàn được xác định thông qua j và jj của vector<br />
ngẫu nhiên phân bố Chuẩn. Giả thiết ma trận tương quan của vector ngẫu nhiên Y có dạng:<br />
1 nÕu j=k<br />
C orr Y j , Yk jk (24)<br />
nÕu j k<br />
Cov Y j , Yk <br />
Mặt khác, C orr Y j , Yk (25)<br />
Var Y j Var Yk <br />
Thay các giá trị từ công thức (20) vào (25) ta được:<br />
jk<br />
e 1<br />
C orr Y j , Yk (26)<br />
jj<br />
e 1 ekk 1<br />
Giả sử rằng vector ngẫu nhiên Chuẩn là đồng nhất (có cùng kỳ vọng và phương sai) thì<br />
khi đó: jj kk 2 với mọi j và k và:<br />
jk<br />
e 1<br />
C orr Y j , Yk 2<br />
(27)<br />
e 1<br />
Do vậy:<br />
<br />
2<br />
jk ln 1 e 1 <br />
(28)<br />
<br />
Khi đó ma trận Σ của vector X có dạng:<br />
<br />
<br />
2 khi i=j<br />
ij (29)<br />
2<br />
<br />
ln 1 e 1 khi i j<br />
Từ đây, ta có mối liên hệ ngược giữa các đại lượng thống kê của hai vector ngẫu nhiên<br />
Chuẩn và LogNormal như trên. Theo phương pháp này, hệ số của vector ngẫu nhiên Y<br />
phụ thuộc vào (27) và điều kiện để cho Σ tồn tại trên chính là:<br />
x<br />
<br />
2<br />
2<br />
e x 1<br />
<br />
e 2<br />
<br />
2<br />
1<br />
(30)<br />
e 1 e 1<br />
Với x là hệ số tương quan của vector ngẫu nhiên X. Dễ thấy hàm số (30) luôn đồng<br />
1 ... x x <br />
... ... .... ... <br />
biến với mọi nên nếu xét : Σ 2 (31)<br />
x ... 1 x <br />
<br />
x ... x 1 <br />
<br />
<br />
116 N. Đ. Minh, B. T. Dân, P. V. Hùng, “Giải bài toán phát hiện … phân bố LogNormal.”<br />
Nghiên cứu khoa học công nghệ<br />
N 1<br />
Ta sẽ có Σ 2 1 x 2<br />
1 ( N 1) x . Vậy để Σ xác định trên thì điều<br />
kiện cần phải có được là: 1 ( N 1) x 0 hay nói cách khác:<br />
1<br />
x (32)<br />
N 1<br />
Kết hợp công thức (30) và (32) ta có mối quan hệ giữa và x như sau:<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
e <br />
2<br />
<br />
2<br />
N 1<br />
1<br />
(33)<br />
e 1<br />
Ta có thể thấy với cách xây dựng này thì các công thức (30), (32), (33) chính là các<br />
điều kiện ràng buộc giữa hai tham số và x cần phải thỏa mãn.<br />
T<br />
Giả sử vector X X 1 , X 2 , X 3 với X j N 0, 2 , j 1, 2,3 thì khi đó, hàm<br />
mật độ xác suất liên kết của 3 biến ngẫu nhiên có phân bố LogNormal được khai triển theo<br />
công thức (17) có dạng:<br />
fY ( y ) A.e B (34)<br />
Với :<br />
2<br />
A 3<br />
4 1 3 2 1y1 y2 y3<br />
2<br />
(35)<br />
B<br />
1 ln y12 2 ln y2 ln y3 ln y1 1 ln y22 2 ln y2 ln y3 ln y32 1<br />
2 2 1 1 2<br />
Với trường hợp 3 biến ngẫu nhiên thì ma trận tương quan của vector Y có dạng:<br />
1 <br />
C orr Y 1 (36)<br />
<br />
1 <br />
1 x x <br />
Ma trận tương quan vector X có dạng: C orr X x 1 x (37)<br />
<br />
x x 1 <br />
3.2. Áp dụng giải bài toán phát hiện trong mạng radar nhiều vị trí xử lý phân tán<br />
Khi mạng gồm có 3 đài radar thành phần, FC sử dụng quy luật hợp nhất AND và với<br />
công thức hàm mật độ xác suất của phân bố LogNormal có dạng như ở (34), ta có PD được<br />
cho bởi:<br />
<br />
PD Pr u1 1, u2 1, u3 1| H1 P(Z | H1 )dZ<br />
t0 t0 t0<br />
(38)<br />
<br />
D<br />
C.e<br />
t0 S t0 S t0 S<br />
dz1dz2dz3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 57, 10 - 2018 117<br />
Kỹ thuật điều khiển & Điện tử<br />
<br />
Với t t0 tìm được khi giải phương trình PF=PFA với PFA là xác suất báo động lầm<br />
theo yêu cầu và C, D lần lượt được cho như sau:<br />
2<br />
C 3<br />
4 1 3 2 1z1z2 z3<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
D<br />
1 ln z12 2 ln z2 ln z3 ln z1 1 ln z22 2 ln z2 ln z3 ln z32 1<br />
2 2 1 1 2<br />
(39)<br />
Tương tự như vậy, khi FC sử dụng quy luật hợp nhất OR ta có PD được tính:<br />
PD 1 Pr u1 0, u2 0, u3 0 | H1 <br />
t0 t0 t0<br />
<br />
=1- PZ Z | H1 dZ (40)<br />
<br />
t0 S t0 S t0 S<br />
D<br />
1 C.e dz1dz2dz3<br />
<br />
Khi FC sử dụng quy luật hợp nhất K/N:<br />
t0 <br />
PD 3 PZ ( Z | H1 )dZ PZ (Z | H1 )dZ<br />
t0 t0 t0 t0 t0<br />
(41)<br />
t0 S <br />
D D<br />
3 C.e dz1dz2dz3 C.e dz1dz2dz3<br />
t0 S t0 S t0 S t0 S t0 S<br />
<br />
Như vậy, bài toán phát hiện trong mạng radar nhiều vị trí xử lý phân tán chịu ảnh<br />
hưởng của nhiễu tương quan phân bố LogNormal đã được giải quyết thông qua việc tìm<br />
được công thức tính xác suất phát hiện PD. Việc giải cụ thể bài toán phát hiện của mạng<br />
radar NVTXLPT khi có nhiễu tương quan phân bố LogNormal tác động và các kết quả mô<br />
phỏng cho trường hợp mạng gồm 3 đài radar được trình bày ở phần 4 dưới đây.<br />
4. GIẢI BÀI TOÁN PHÁT HIỆN CỦA MẠNG RADAR NVTXLPT<br />
KHI CÓ NHIỄU TƯƠNG QUAN PHÂN BỐ LOGNORMAL TÁC ĐỘNG<br />
VÀ THẢO LUẬN KẾT QUẢ<br />
4.1. Lưu đồ thuật toán tính toán và các kết quả mô phỏng<br />
Trường hợp mạng gồm có 3 đài radar thành phần và hệ thống chịu ảnh hưởng của<br />
nhiễu tương quan phân bố LogNormal có hệ số tương quan đều bằng ρ, lưu đồ thuật toán<br />
tính toán và mô phỏng được cho như hình vẽ 2 với các bước như sau:<br />
Bắt đầu:<br />
Bước 1: Nhập các tham số đầu vào<br />
- Nhập giá trị của xác suất báo động lầm theo yêu cầu PF A .<br />
- Nhập số trạm radar có trong mạng N.<br />
- Nhập hệ số tương quan đều ρ giữa các đài radar.<br />
<br />
<br />
<br />
118 N. Đ. Minh, B. T. Dân, P. V. Hùng, “Giải bài toán phát hiện … phân bố LogNormal.”<br />
Nghiên cứu khoa học công nghệ<br />
<br />
Bắt đầu<br />
<br />
<br />
<br />
NhËp<br />
N, S, , , PFA<br />
PF A<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
e 2 N 1<br />
1<br />
2<br />
e 1<br />
<br />
<br />
<br />
Đúng<br />
<br />
<br />
TÝnh<br />
2<br />
<br />
<br />
x ln 1 e 1 <br />
<br />
<br />
TÝnh Σ<br />
<br />
Sai<br />
<br />
Gi¶i pt PF t PFA<br />
T×m t0<br />
<br />
<br />
TÝnh<br />
PD t t0 S<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Kết thúc<br />
<br />
Hình 2. Lưu đồ thuật toán.<br />
- Nhập phương sai của phân bố chuẩn N , .<br />
- Nhập giá trị tỷ số tín/tạp SNR ký hiệu S(dB).<br />
Bước 2: Kiểm tra các điều kiện của các tham số đầu vào<br />
1<br />
- Kiểm tra điều kiện với hệ số tương quan của phân bố chuẩn ρx là: x .<br />
N 1<br />
Bước 3:Tính ma trận hiệp phương sai của phân bố Chuẩn: Σ<br />
Tìm ma trận Σ từ công thức (31) . Từ đó tìm được hàm mật độ phân bố xác suất của<br />
phân bố LogNormal.<br />
Bước 4: Giải phương trình PF t PF A tìm t0 .<br />
<br />
Thay hàm mật độ xác suất của phân bố LogNormal vào công thức tính PF . Đối với<br />
mỗi một quy luật hợp nhất AND, OR hay K/N thì phương trình này sẽ khác nhau. Kết quả<br />
của việc giải phương trình này ta tìm được t t0 , đây chính là ngưỡng thỏa mãn PFA<br />
theo yêu cầu.<br />
<br />
<br />
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 57, 10 - 2018 119<br />
Kỹ thuật điều khiển & Điện tử<br />
<br />
Bước 6: Tính PD t t0 S .Tính xác xuất phát hiện PD khi t t0 S .<br />
Kết thúc.<br />
<br />
Phần mềm mô phỏng được sử dụng trong bài báo là Matlab phiên bản 2016a.<br />
4.2. Thảo luận kết quả<br />
Qua các kết quả tính toán và mô phỏng ta thấy rằng: với mạng radar nhiều vị trí xử lý<br />
phân tán có trung tâm hợp nhất dùng quy luật hợp nhất AND khi nhiễu tương quan phân<br />
bố LogNormal thì chất lượng phát hiện của hệ thống cũng phụ thuộc rất lớn vào hệ số<br />
tương quan ρ :<br />
- Khi 0 chất lượng phát hiện của hệ thống cao.<br />
- Khi 0 (trường hợp nhiễu độc lập thống kê) chất lượng phát hiện phù hợp với<br />
những công bố đã có về trường hợp quyết định đưa về từ các đài độc lập thống kê.<br />
- Khi 0 chất lượng phát hiện của mạng giảm đi đáng kể khi ρ tăng.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Hình 3. Phân bố LogNormal, quy luật hợp Hình 4. Phân bố LogNormal, quy luật hợp<br />
nhất AND. nhất OR.<br />
Xác suất phát hiện theo tỷ số tín/tạp (SNR)<br />
1<br />
= -0.2, P FA =10 -4, N = 3, K=2<br />
0.9 = 0.0, P FA =10 -4, N = 3, K=2<br />
<br />
= 0.3, P FA =10 -4, N = 3, K=2<br />
0.8 = 0.7, P FA =10 -4, N = 3, K=2<br />
<br />
= 0.9, P FA =10 -4, N = 3, K=2<br />
0.7<br />
<br />
<br />
0.6<br />
P D (SNR)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
0.5<br />
<br />
<br />
0.4<br />
<br />
<br />
0.3<br />
<br />
<br />
0.2<br />
<br />
<br />
0.1<br />
<br />
<br />
0<br />
-5 0 5 10 15 20<br />
SNR(dB)<br />
<br />
<br />
<br />
Hình 5. Phân bố LogNormal, quy luật hợp nhất K/N với K=2 và N=3.<br />
Khi trung tâm hợp nhất dùng quy luật hợp nhất OR hệ thống ít chịu ảnh hưởng bởi các<br />
hệ số tương quan của nhiễu phân bố LogNormal như trên hình vẽ 4. Có một điều đặc biệt<br />
<br />
<br />
120 N. Đ. Minh, B. T. Dân, P. V. Hùng, “Giải bài toán phát hiện … phân bố LogNormal.”<br />
Nghiên cứu khoa học công nghệ<br />
<br />
nữa là kể cả khi hệ số tương quan 0 hay 0 thì chất lượng của mạng cũng không<br />
khác nhiều so với trường hợp khi 0 (nhiễu không tương quan). Do vậy, khi nhiễu<br />
tương quan có phân bố LogNormal, trung tâm hợp nhất nên sử dụng quy luật hợp nhất<br />
OR. Khi hệ thống dùng quy luật hợp nhất K/N (K=2 và N=3) hệ thống có chất lượng phát<br />
hiện phụ thuộc nhiều vào các hệ số tương quan của nhiễu phân bố LogNormal. Như trên<br />
4<br />
hình vẽ 5, khi yêu cầu mạng có PD 0,8 ; PF 10 thì với 0,3 tỷ số tín/tạp cần có<br />
là 11(dB). Nếu 0,9 thì tỷ số tín/tạp cần có là gần 15(dB). Còn nếu 0 (nhiễu<br />
không tương quan) thì tỷ số tín/tạp cần có là 8(dB). Như vậy, nhiễu LogNormal khi tương<br />
quan và không tương quan có ảnh hưởng lớn đến chất lượng phát hiện của mạng. Chênh<br />
lệch về tỷ số tín/tạp giữa hai trường hợp này là khá lớn và có thể lên đến 7(dB).<br />
Nhìn chung các kết quả thu được cho thấy khi các đài radar bị ảnh hưởng bởi nhiễu<br />
phân bố LogNormal có hệ số tương quan dương thì chất lượng phát hiện của hệ thống là<br />
ổn định nhất khi sử dụng quy luật hợp nhất OR. Khi hệ số tương quan âm thì chất lượng<br />
phát hiện trong trường hợp quy luật hợp nhất AND là tốt nhất. Chất lượng phát hiện của hệ<br />
thống giảm đi khi mối tương quan giữa các đài radar tăng lên. Hệ thống với quy luật hợp<br />
nhất OR có chất lượng phát hiện ít phụ thuộc vào hệ số tương quan ρ hơn hai quy luật<br />
AND và K/N. Các kết quả thu được phù hợp với lý thuyết, đặc biệt khá tương đồng với<br />
trường hợp nhiễu tương quan phân bố Gauss và phân bố Laplace trong công bố [1].<br />
Phương pháp giải bài toán phát hiện bằng cách biểu diễn hàm mật độ xác suất nhiều chiều<br />
của một phân bố bất kỳ thông qua các tham số của phân bố Chuẩn có thể được áp dụng<br />
cho các phân bố khác như phân bố Laplace. Ưu điểm chính của cách giải này so với công<br />
bố [1] là số đài radar trong mạng có thể được tăng lên nhiều hơn và không bị giới hạn bởi<br />
cách tính trực tiếp tích phân bằng phương pháp tra bảng, đồng thời việc tính toán có thể<br />
thực hiện với quy luật hợp nhất K/N một cách tổng quát mà không chỉ dừng lại ở việc<br />
khảo sát các trường hợp đặc biệt của quy luật này (quy luật AND, OR).<br />
5. KẾT LUẬN<br />
Bài báo đã trình bày cách giải bài toán phát hiện trong mạng radar nhiều vị trí xử lý<br />
phân tán chịu ảnh hưởng của nhiễu tương quan phân bố LogNormal. Với phương pháp giải<br />
bài toán phát hiện bằng cách tính trực tiếp tích phân xác suất mà bài báo đã trình bày hoàn<br />
toàn áp dụng được cho một lớp các bài toán tương tự (mạng chịu ảnh hưởng của nhiễu<br />
tương quan phân bố Laplace, Gauss hay Student-t...). Với các mạng radar nhiều vị trí xử lý<br />
phân tán có trung tâm xử lý dùng các quy luật hợp nhất khác nhau, yêu cầu về tỷ số tín/tạp<br />
để đạt được chất lượng phát hiện như nhau khi hệ thống chịu ảnh hưởng của nhiễu không<br />
tương quan và tương quan là chênh lệch khá lớn (lên đến khoảng 7(dB)). Trong trường<br />
hợp nhiễu tương quan tác động vào mạng radar nhiều vị trí xử lý phân tán thì trung tâm<br />
hợp nhất nên sử dụng quy luật hợp nhất OR. Những kết quả thu được trong bài báo có thể<br />
được dùng làm cơ sở để xây dựng các hệ thống mạng radar nhiều vị trí xử lý phân tán khi<br />
hệ thống chịu ảnh hưởng của nhiễu tương quan phân bố LogNormal. Bài toán có thể được<br />
mở rộng để tiếp tục nghiên cứu cho trường hợp mạng có cấu hình không phải là cấu hình<br />
song song, mối tương quan giữa các đài radar không phải là tương quan đều và các đài<br />
radar là khác nhau cũng như hoạt động tại các ngưỡng khác nhau, số đài radar trong mạng<br />
nhiều hơn.<br />
TÀI LIỆU THAM KHẢO<br />
[1]. Aalo V. and Viswanathan R. (May 1989), "On distributed detection with correlated<br />
sensors: Two examples", IEEE Trans. Aerospace Elect. Syst. 25, pp. 414-421.<br />
<br />
<br />
<br />
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 57, 10 - 2018 121<br />
Kỹ thuật điều khiển & Điện tử<br />
<br />
[2]. Chen H., Varshney P.K., and Chen B. (March 2012), "A novel framework for<br />
distributed detection with dependent observations", IEEE Transactions on Signal<br />
Processing. 60(3), pp. 1409-1419.<br />
[3]. Johnson, Richard A., and Wichern Dean (1992), Applied Multivariate Statistical<br />
Analysis Third Edition ed, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ.<br />
[4]. Kam M., Zhu Q., and Gray W. Steven (July 1992), "Optimal Data Fusion of<br />
Correlated Local Decisions in Multiple Sensor Detection Systems", IEEE Trans.<br />
Aerospace and Electron. Syst. 28. No 3, pp. 916-920.<br />
[5]. Leigh J. and Halliwell (2015), "The Lognormal Random Multivariate", Casualty<br />
Actuarial Society E-Forum.<br />
[6]. Nguyen Kien C., Alpcan T., and Basar T. (2009), Distributed hypothesis testing with<br />
a fusion center: The conditionally dependent case, 2008 47th IEEE Conference on<br />
Decision and Control, IEEE, Cancun, Mexico, pp. 4164-4169.<br />
[7]. Veeravalli V. V. and Unnikrishnan J. (2008), Decentralized Detection with<br />
Correlated Observations, 2007 Conference Record of the Forty-First Asilomar<br />
Conference on Signals, Systems and Computers, IEEE, Pacific Grove, CA, USA.<br />
[8]. Viswanathan R. and Ansari A. (May 1989), "Distributed detection of a signal in<br />
generalized Gaussian noise", IEEE Trans. Acoust., Speech, and Signal Process. 37,<br />
pp. 775-778.<br />
[9]. Xiang Ming (2017), Some new results on distributed Neyman-Pearson detection with<br />
correlated sensor observations, 10th International Conference on Information Fusion<br />
2007, IEEE, Quebec, Que., Canada.<br />
ABSTRACT<br />
TO SOLVE THE PROBLEM OF DETECTION IN MULTI-LOCATION RADAR<br />
NETWORK WHICH AFFECTED BY CORRELATED NOISE<br />
WITH LOG-NORMAL DISTRIBUTION MODEL<br />
In this article, a method for estimating the multivariate probability density<br />
function of the LogNormal distribution, which is used to solve the problem of<br />
detection in multi-location radar networks in the case of being affected by<br />
correlated noise is presented. In the paper. arithmetic-specific calculations with<br />
multi-location radar network that have a parallel configuration consisted of three<br />
radar stations and a fusion center are also performed. Radar stations operate at the<br />
same threshold, and the fused rule is the AND, OR and Majority Logic rules. The<br />
simulation results show that with the correlation model of LogNormal distribution,<br />
the OR rule is less affected by the correlation than other rules and the probability of<br />
detection of the system increases when ρ - correlation coefficient - is negative and<br />
decreases strongly when ρ is positive.<br />
Keywords: Radar; Correlated noise; LogNormal distribution.<br />
<br />
Nhận bài ngày 15 tháng 7 năm 2018<br />
Hoàn thiện ngày 05 tháng 10 năm 2018<br />
Chấp nhận đăng ngày 11 tháng 10 năm 2018<br />
<br />
Địa chỉ: 1 Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông;<br />
2<br />
Học viện Kỹ thuật quân sự.<br />
*<br />
Email: minhnd@ptit.edu.vn.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
122 N. Đ. Minh, B. T. Dân, P. V. Hùng, “Giải bài toán phát hiện … phân bố LogNormal.”<br />