Giải tích hàm nâng cao2.

Chia sẻ: Thi Marc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

61
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhà nước thống nhất quản lý mọi hoạt động ngân hàng, có chính sách để động viên các nguồn lực trong nước là chính, tranh thủ tối đa nguồn lực ngoài nước, phát huy sức mạnh tổng hợp của các thành phần kinh tế, bảo đảm vai trò chủ đạo và chủ lực của các tổ chức tín dụng nhà nước trong lĩnh vực tiền tệ và hoạt động ngân hàng, giữ vững định hướng xã hội chủ nghĩa, chủ quyền quốc gia...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giải tích hàm nâng cao2.

Giải tích hàm nâng cao 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. ---------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------- Bổ đề 1 (dung lượng của tập hợp lồi) Giả sử C là tập hợp lồi, mở, chứa véctơ không của không gian định chuẩn E. (x  E ) p ( x )  inf{   0, 1x C } Khi đó hàm p thỏa 1) p ( x )   p (x ),   0 2) p (x  y )  p (x )  p ( y ) 3) toà taï M sao cho: ni a) (x  E ) 0  p ( x )  M || x || b ) C  { x  E : p (x )  1} 41 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. ---------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------- Chứng minh bổ đề 1 1) p ( x )   p ( x ),   0 Neá   0 vaø   x , ta coù u y y x p ( y )  inf{  0 : C }  inf{  0 : C }   y y  inf{  '  0 : C }   inf{ '  0 : ' C }   p ( x ) '   vaä p( x )   p( x ) y 42
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. ---------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------- 2) p(x  y )  p (x )  p ( y ) x , y  E ,   0. Töø vaø (1) (3b), ta coù x 1 p( ) p(x )  1 p (x )   p (x )   y x vaø C C  p( y )   p (x )   tx (1- t ) y Suy ra, (t  [0,1]) C  p(x )   p( y )   p(x )   xy choï t  n ta coù C p ( x )  p ( y )  2 p (x )  p ( y )  2  p (x  y )  p (x )  p ( y )  2  p ( x  y )  p ( x )  p ( y ) 44 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. ---------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------- Chứng minh bổ đề 2 1) Giaû 0 C söû Xeùdung löôï g p cuû C . XeùG  Rx 0 t t n a g : G  R , g (tx 0 )  t Kieå tra g ( x )  p (x ) m Theo ñò lyù nh Hahn-Banach, toà taï f treâ E , khuyeáh cuû g ni n c a sao cho (x  E ) f (x )  p ( x ), f l ieâ tuï do boå 1, 3a) vaø (x 0 )  1. nc ñeà f Töø ñeà, 3b) suy ra (x  C ) f (x )  1 boå 1 46
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. ---------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------- Định lý Hahn-Banach (dạng hình học thứ nhất) Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng, lồi, và rời nhau của không gian định chuẩn E, A là tập mở. Khi đó tồn tại siêu phẳng đóng tách A và B theo nghĩa rộng. 47 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. ---------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------- Chứng minh Đặt C = A\B. 1) Kiểm tra C lồi 2) Kiểm tra C mở 3) Kiểm tra 0 C Theo bổ đề 2) tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E sao cho (z C ) f ( z )  0  (x  A , y  B ) f ( x )  f ( y ) Cố định   R , với sup f (x )    inf f ( y ) y B x A Khi đó siêu phẳng của phương trình { f ( x )  } tách A và B theo nghĩa rộng. 48
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. ---------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------- Định lý Hahn-Banach (dạng hình học thứ hai) Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng, lồi, và rời nhau của không gian định chuẩn E, A là tập mở. Khi đó tồn tại siêu phẳng đóng tách A và B theo nghĩa rộng. 49 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. ---------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------- Chứng minh Vôù   0, ñaëA  A  B (0, ) i t B  B  B ( 0, ) 1) Kiểm tra A vaø  lồi. B 2) Kiểm tra A vaø  mở, không trống. B 3) Kiểm tra A vaø  rời nhau. B Khi đó tồn tại siêu phẳng của phương trình { f ( x )  } tách A và B theo nghĩa rộng. (x  A , y  B , z  B (0,1)) f (x   z )    f ( y   z )  f ( x )   || f ||   f ( y )   || f || Vậy { f ( x )   } ;f  0 tách A và B theo nghĩa hẹp. 50
3. Định lý Banach - Steihauss. ---------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------- Bổ đề Baire Cho X là không gian mêtrix đủ, không trống.  Giả sử x n n1 là dãy các tập hợp đóng sao cho  X n  X n 1 Khi đó tồn tại n0 sao cho int X n  0. 0 51 3. Định lý Banach - Steihauss. ---------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------- Định lý Banach - Steihauss Cho E, F là hai không gian Banach. T i i I là họ các toán tử tuyến tính liên tục từ E vào F sao cho sup ||T i (x ) || . i I Khi đó sup ||T i ||L ( E ,F )  . i I 52