Giáo án Đại số lớp 11: Giới hạn dãy số

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:37

Thêm vào BST

Báo xấu

20
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo án "Đại số lớp 11: Giới hạn dãy số" được biên soạn dành cho các bạn học sinh lớp 11 tham khảo để hiểu được khái niệm kiới hạn dãy số. Biết được một số định lí giới hạn của dãy số, cấp số nhân lùi vô hạn. Mời quý thầy cô và các em cùng tham khảo giáo án tại đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo án Đại số lớp 11: Giới hạn dãy số

GIỚI HẠN BÀI GIẢNG GIỚI HẠN DÃY SỐ Mục tiêu  Kiến thức + Hiểu được khái niệm giới hạn của dãy số. + Biết được một số định lí giới hạn của dãy số, cấp số nhân lùi vô hạn.  Kĩ năng + Áp dụng khái niệm giới hạn dãy số, định lí về giới hạn của dãy số vào giải các bài tập. + Biết cách tính giới hạn của dãy số. + Biết cách tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn. Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Định nghĩa dãy số có giới hạn 9 1.1. Định nghĩa: Ta có nói rằng dãy số  un  có giới Nhận xét: hạn 0 (hay có giới hạn là 0) nếu với mỗi số dương a) Dãy số  un  có giới hạn 0 khi và chỉ khi dãy số nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ  u  có giới hạn 0. n một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối b) Dãy số không đổi  un  , với un  0 có giới hạn nhỏ hơn số dương đó. 0. Khi đó ta viết: lim un  0 hoặc un  0. (Kí hiệu “ lim un  0 ”, đọc là dãy số  un  có giới n  hạn là 0 khi n dần đến vô cực). 1.2. Một số dãy số có giới hạn 0 thường gặp Dựa vào định nghĩa, người ta chứng minh được rằng: 1 a) lim  0; n 1 b) lim  0; n 1 c) lim 3  0; n d) Dãy số không đổi  un  với un  0 có giới hạn 0. e) Nếu q  1 thì lim q n  0. Định lí sau đây thường được sử dụng để chứng minh một số dãy số có giới hạn 0. Cho hai dãy số  un  và  vn  . Nếu un  vn với mọi n và lim vn  0 thì lim un  0. 2. Dãy số có giới hạn hữu hạn Nhận xét: 2.1. Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn - Dãy số  un  có giới hạn là số thực L, khi và chỉ Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số  un  có giới hạn là khi khoảng cách từ điểm un đến điểm L là un  L số thực L nếu lim  un  L   0. gần 0 bao nhiêu cũng được miễn là chọn n đủ Khi đó ta viết lim un  L hoặc un  L. lớn. Tức là khi biểu diễn các số hạng trên trục số Tức là lim un  L  lim  un  L   0. ta thấy khi n tăng thì các điểm un tụ tại quanh điểm L. 2.2. Các định lý cơ bản về giới hạn hàm số - Có những dãy số không có giới hạn hữu hạn. Định lí 1: Giả sử lim un  L. Khi đó: TOANMATH.com Trang 2
 lim un  L và 3 un  3 L . Chẳng hạn dãy số  1  , n tức là dãy số:  Nếu un  0, n  * thì L  0 và lim un  L . 1;1; 1;1;... Định lí 2: Giả sử lim un  L;lim vn  M và c là một - Nếu C là hằng số thì lim C  C. hằng số. Khi đó  lim  un  vn   L  M .  lim  un  vn   L  M .  lim  un .vn   L.M .  lim  cun   cL. un L  lim  (nếu M  0 ). vn M Định lí 3 (Nguyên lí kẹp giữa): Cho ba dãy số  un  ,  vn  ,  wn  và số thực L. Nếu un  vn  wn với mọi n và lim un  lim wn  L thì lim vn  L. Định lí 4:  Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn.  Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn. 2.3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Khái niệm: Cấp số nhân gọi là lùi vô hạn nếu có công bội q thỏa mãn điều kiện q  1. Tổng các số hạng: u1 S  u1  u2  u3  ...  u1  u1q  u1q 2  u1q 3  ...  , 1 q  q  1 . 3. Dãy số có giới hạn vô cực Nhận xét: Nếu lim un   thì lim  un   . 3.1. Định nghĩa dãy số có giới hạn vô cực Chú ý: Định nghĩa:  Các dãy số có giới hạn là  hoặc  được  Ta nói rằng dãy số  un  có giới hạn là  nếu với gọi chung là các dãy số có giới hạn vô cực hay mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy dần đến vô cực. số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số  Dãy số có giới hạn là số thực L được gọi là dãy dương đó. số có giới hạn hữu hạn. Khi đó ta viết lim un   hoặc un  . Nhận xét:  Ta nói rằng dãy số  un  có giới hạn là  nếu với Từ định nghĩa, ta có kết quả sau: a) lim n   . mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, b) lim n  . TOANMATH.com Trang 3
kể từ một số hạn nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm c) lim 3 n  . đó. d) lim n k    k  0  . Khi đó ta viết lim un   hoặc un  . e) lim q n    q  1 . 1  Định lí: Nếu lim un   thì lim  0. un 3.2. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực Quy tắc 1  Nếu lim un  ;lim vn   thì lim  un .vn    .  Nếu lim un  ;lim vn   thì lim  un .vn   .  Nếu lim un  ;lim vn   thì lim  un .vn   .  Nếu lim un  ;lim vn   thì lim  un .vn   . Quy tắc 2  Nếu lim un  ;lim vn  L  0  khi L  0 thì lim  un .vn    .  khi L  0  Nếu lim un  ;lim vn  L  0  khi L  0 thì lim  un .vn    .  khi L  0 Quy tắc 3 Nếu lim un  L  0 , lim vn  0 thì un  khi vn  0, n  Khi lim un  L  0  lim  . vn  khi vn  0, n un  khi vn  0, n  Khi lim un  L  0  lim  . vn  khi vn  0, n 3.3. Một số kết quả Mở rộng: qn n qn nk a) lim   và lim n  0 , với q  1. Ta có lim   và lim  0 , với q  1 và k n q nk qn b) Cho hai dãy số  un  và  vn  , là một số nguyên dương.  Nếu un  vn với mọi n và lim un   thì lim vn  . un  Nếu lim un  L   và lim vn   thì lim  0. vn TOANMATH.com Trang 4
 Nếu lim un   (hoặc  ) và lim un  L   thì lim  un  vn    (hoặc ). SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA DÃY SỐ Dãy số  un  có giới hạn 0 nếu với mọi Định nghĩa CÓ GIỚI HẠN 0 số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đôi nhỏ hơn số dương đó. 1 lim  0  k  0 nk Trường hợp lim q n  0 với q  1 thường gặp Cho hai dãy số  un  và  vn   un  vn   lim un  0 lim vn  0 TOANMATH.com Trang 5
Dãy số có giới hạn Định nghĩa Dãy số  un  có giới hạn là số thực L nếu hữu hạn lim  un  L   0 lim  un  vn   L  M lim  un .vn   L.M Phép tính giới hạn lim  cun   cL un L Các định lí lim   M  0 vn M Cho ba dãy số  un  ,  vn  ,  wn  Nguyên lí un  vn  wn Nếu  kẹp giữa lim un  lim wn  L Thì lim vn  L Tổng của cấp số u1 nhân lùi vô hạn S  u1  u1q  u1q 2  q1q 3  ...  1 q  q  1 TOANMATH.com Trang 6
Dãy số Dãy số  un  có giới hạn là  nếu với mỗi số dương tùy ý cho có giới hạn vô cực trước, mọi số hạng của dãy kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó. Định nghĩa Dãy số  un  có giới hạn là  nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó. 1 lim un  , lim vn    lim  un .vn    lim un  , lim vn    lim  un .vn    lim un  , lim vn    lim  un .vn    lim un  , lim vn    lim  un .vn    2 lim un     khi L  0   lim  un .vn    . lim vn  L  0   khi L  0 Định nghĩa lim un     khi L  0   lim  un .vn    . lim vn  L  0   khi L  0 3 un  khi vn  0, n lim un  L  0  lim  . vn  khi vn  0, n lim un  L  0 lim vn  0 un  khi vn  0, n lim un  L  0  lim  . vn  khi vn  0, n TOANMATH.com Trang 7
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Dãy số có giới hạn bằng định nghĩa Bài toán 1. Chứng minh dãy số có giới hạn 0 bằng định nghĩa Phương pháp giải Cách 1: Áp dụng định nghĩa. Ví dụ: Chứng minh các dãy số  un  sau đây có Cách 2: Sử dụng các định lí sau: giới hạn là 0. 1  Nếu k là số thực dương thì lim k  0.  1 n n sin 4n a) un  . b) un  . 3n  2 n3  Với hai dãy số  un  và  vn  . hướng dẫn giải nếu un  vn với mọi n và lim vn  0 và lim un  0. a) Với mỗi số dương  tùy ý cho trước, ta có  Nếu q  1 thì lim q n  0.  1 n 1 1 un     3n  2 3n  2 3n 1 1   n    2 . 3  1 Đặt n0  1    thì n0  * và un   , n  n0 .  3  Vậy lim un  0. b) Ta có n  * thì sin 4n 1 1 1 sin 4n  1  un     . n3 n3 n n Áp dụng cho định lí “Nếu k là một số thực dương 1 1 cho trước thì lim k  0 ” ta được lim  0. n n Từ đó suy ra lim un  0. Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Chứng minh các dãy số  un  sau đây có giới hạn là 0.  1 n 1  sin n 4 1 a) un  . b) un  n 1  . 4n  5 2 5n 1 hướng dẫn giải 1  sin n 4 2 2 1 a) Ta có n  * thì sin n 4  1  un     . 4n  5 4n  5 4n 2n TOANMATH.com Trang 8
1 1 Áp dụng định lí “Nếu k là một số thực dương cho trước thì lim k  0 ” ta được lim  0. Từ đó suy ra n n lim un  0.  1 n 1 1 1 1 1 1 b) Ta có un  n 1  n 1  n 1  n 1  n 1  n 1  n , n  . 2 5 2 5 2 2 2 n 1 1 Vì lim n  lim    0. 2 2 Từ đó suy ra lim un  0. Bài toán 2. Giới hạn của dãy số có số hạng tổng quát dạng phân thức Phương pháp giải Để tính giới hạn của dãy số có số hạng tổng quát 1 Ví dụ: Chứng minh rằng: lim  0. un n 1 dạng phân thức: lim . vn Hướng dẫn giải  Nếu un ; vn là hàm đa thức theo biến n thì chia cả Ta có 0  1 1 1  và lim  0. n 1 n n tử số và mẫu số cho n p , trong đó p là số mũ lớn Từ đó suy ra điều cần chứng minh. 1 nhất. Sau đó áp dụng: lim k  0 (với k  0 ). n  Nếu un ; vn là hàm số mũ thì chia cả tử và mẫu cho a n với a là cơ số lớn nhất. Sau đó sử dụng công thức: lim q n  0 với q  1. Chú ý: Thông thường, ta sẽ biến đổi các dãy số tổng quát về dãy số có giới hạn 0 quen thuộc như trên. Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0. a) un   2n  3  2n .  b) un   n2  n2 .  Hướng dẫn giải        2 2 a) Ta có 2n  3  2n 2n  3  2n  2n  3 2n 3 3  2n  3  2n  . 2n  3  2n 3 3 3 3 3 Mà    và lim  0. 2n  3  2n 2n  2n 2 2 n n n Từ đó suy ra điều cần chứng minh. TOANMATH.com Trang 9
b) Ta có  n2  n2   n  2  n  2   n  2   n  2  4 4  n2  n2  . n2  n2 4 2 2 Mà  và lim  0. n2  n2 n2 n2 Từ đó suy ra điều cần chứng minh. Ví dụ 2: Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau có giới hạn 0. n cos cos n 5 . a) un  . b) un  n4 4 n n sin  1 n cos n 5 . c) un  . d) un  n 1 1, 01 2 n Hướng dẫn giải cos n 1 1 1 a) Ta có   và lim  0. Từ đó suy ra điều cần chứng minh. n4 n4 n n  1 n cos n cos n 1 1 1 b) Ta có  2  2  2 và lim 2  0. n 1 2 n 1 n 1 n n Từ đó suy ra điều cần chứng minh. n cos n n c) Ta có 5  1   1  và lim  1   0 (do 1  1 ).     4n 4n  4  4 4 Từ đó suy ra điều cần chứng minh. n sin n n 5 1  1   1  d) Ta có    và lim  1, 01   0. 1, 01 1, 01  1, 01  n n   Từ đó suy ra điều cần chứng minh. Ví dụ 3: Chứng minh rằng các dãy số sau có giới hạn bằng 0. 2n  3n an a) lim  0. b) lim  0. 4n n! hướng dẫn giải n n 2n  3n 2 3 2 3 a) Ta có lim n  lim    lim    0  0  0 (do  1 và  1 ). 4 4 4 4 4 Từ đó suy ra điều cần chứng minh. b) Gọi m là số tự nhiên thỏa m  1  a . Khi đó với mọi n  m  1. TOANMATH.com Trang 10
m nm an a a a a a a  a  Ta có 0   . ... . ...  .  . n! 1 2 m m  1 n m!  m  1  nm m  a  a m an Mà lim    0 và  a . Từ đó suy ra lim  0.  m 1 m! n! n Ví dụ 4. Cho dãy số  un  với un  . 3n un 1 2 a) Chứng minh rằng  với mọi n. un 3 n 2 b) Chứng minh rằng 0  un    với mọi n. 3 c) Chứng minh rằng dãy số  un  có giới hạn 0. Hướng dẫn giải un 1  n  1   n  n  1 2n 2 a) Với mọi n ta có  :     . un  3n 1   3n  3n 3n 3 ta được điều phải chứng minh. n 2 b) Sử dụng phương pháp quy nạp toán học chứng minh 0  un    ; n * 3 1 2  n  1 ta có 0  u1   , suy ra (*) đúng với n  1. 3 3 k k 2  Giả sử (*) đúng với n  k tức là 0     . Ta phải chứng minh (*) đúng với n  k  1. Thật vậy, 3k  3  k k 1 k 1 2 2 2 2 uk 1  k 1  0 . Mặt khác uk 1  uk  uk 1  .      . 3 3 3 3 3 Ta được điều phải chứung minh. n n 2 2 c) Do 0  un    mà lim    0 nên lim un  0. 3 3 Ta được điều phải chứng minh. CHÚ Ý: MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI NHANH Quy ước: Trong máy tính không có biến n nên ta 1 Ví dụ 1. Tính giới hạn sau: lim . ghi x thay cho n. n 1 Ghi nhớ cách nhập giá trị của x. Hướng dẫn giải  x   thì ta nhập x  9999999999 (10 số 9) Cách bấm máy:  x   thì ta nhập x  9999999999 (10 số 9)  Nhập vào máy tính biểu thức sau:  Đề bài yêu cầu tính lim  un  thì ta hiểu rằng, biến TOANMATH.com Trang 11
n   .  Sau đó bấm CALC, màn hình sẽ xuất hiện như hình bên. Ta hiểu rằng “Bạn muốn gán x bằng bao nhiêu?” Ghi nhớ cách hiển thị kết quả  Nhập: x  9999999999 , sau đó bấm “=”, ta được kết quả:  Gặp hằng số c.10n (trong đó  là số nguyên âm, thông thường   10,   12,...) Ví dụ: 15.1012 là số rất nhỏ và gần bằng 0.  Gặp hằng số c.1010 , c.1020 ,... đọc là (dấu của c) nhân vô cực với c là hằng số (chú ý có thể lớn hơn 10). Ví dụ: 5.1010 là âm vô cực, ghi là ;5.1010 là Kết quả: 1.1010 là một giá trị rất rất nhỏ gần bằng dương vô cực, ghi là  . 1 0. Vậy lim  0. n 1 VÍ DỤ MINH HỌA  1 n Ví dụ 1. Tính giới hạn sau: lim . n5 Hướng dẫn giải Cách bấm máy:  Nhập vào máy tính biểu thức sau:  Sau đó bấm CALC. TOANMATH.com Trang 12
 Nhập x  9999999999 , sau đó bấm “=”, ta được kết quả: Kết quả: 9,999999996.1011 là một giá trị rất nhỏ gần bằng 0.  1 n Vậy lim  0. n5  1 n .cos n Ví dụ 2. Tính giới hạn sau: lim . n 1 2  1 n .cos n  Nếu ta nhập , sau đó CALC như trên máy sẽ báo: MATH ERROR. n 1 2 Hướng dẫn giải Vận dụng định lí 1 nếu un  vn với mọi n và lim vn  0 thì lim un  0.  1 n .cos n cos n 1 1 Ta có đánh giá sau:  2  2 , ta chỉ cần ghi 2 vào máy tính là sẽ tính được. n 1 2 n 1 n 1 n 1 Cách bấm máy:  Nhập vào máy tính biểu thức sau:  Sau đó bấm CALC.  Nhập: x  9999999999 , sau đó bấm “=”, ta được kết quả: TOANMATH.com Trang 13
 1 n 20 .cos n Kết quả: 1.10 là một giá trị rất rất nhỏ gần bằng 0. Vậy lim  0. n 1 2  1 n Ví dụ 3. Tính giới hạn sau lim . 2n  1  1 n  Nếu ta nhập , sau đó CALC như trên máy sẽ báo: MATH ERROR do hàm số mũ tăng rất nhanh 2n  1 nên sẽ không tính được trên máy tính. Trong trường hợp này ta sẽ xử lý như sau: Hướng dẫn giải Cách bấm máy:  Nhập vào máy tính biểu thức sau:  Bấm CALC.  Nhâp: x  100 , sau đó bấm “=”, ta được kết quả: Kết quả: 7,888609052.1031 là một giá trị rất rất nhỏ gần bằng 0.  1 n Vậy lim  0. 2n  1 NHẬN XÉT: Qua 4 ví dụ trên, phần nfao bạn đọc đã hiểu về cách sử dụng máy tính cầm tay (MTCT) để giải các bài toán về dãy số có giới hạn là 0. Có những bài toán sử dụng máy tính và nhập lệnh CALC x  9999999999 sẽ ra luôn kết quả, có những bài toán không ra được ngay, chúng ta cần vận dụng linh hoạt các cách đánh giá cũng như đổi cách bấm máy để ra được kết quả bài toán. Qua đây, đòi hỏi chúng ta TOANMATH.com Trang 14
cần có kiến thức khá chắc chắn về định nghĩa giới hạn dãy số để có thể vận dụng làm các bài tập cho tốt hơn. Bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào có giới hạn 0? n n n  2 5   3    4  n A. un     . B. u   2 . C. un    . D. un     .  2  2 5   4  Câu 2: Dãy số với un   1 .cos 5n có giới hạn bằng 3n 1 1 A. . B. 1. C.  . D. 0. 3 3 n sin Câu 3: Giới hạn lim 6 bằng 3n  1 2 1 1 A. 0. B. 1. C.  . D. . 3 3  1 n 1 Câu 4: Giới hạn lim bằng 3n  5 1 1 1 A. . B.  . C. . D. 0. 5 5 3   1  n Câu 5: Giới hạn lim  2   là  n2    1 A. 2. B. . C. 0. D. 1. 2 n2  n  3 Câu 6: Giới hạn lim bằng n 3  2n 1 1 1 A. . B. 0. C. . D.  . 3 2 2 Câu 7: Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào có giới hạn 0?  1  1 .cos n . n n sin n cos 2n n2  2 (1): ; (2): ; (3): ; (4): ; (5): n5 n5 n 1 n  n  1 n2  2 A. (1), (2), (3), (4). B. Chỉ (2), (3). C. (1), (2), (3), (5). D. Chỉ (1), (5). Câu 8: Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0? cos n 1 2n  1 1 A. . B. . C. . D. . n n n n Câu 9: Xét các câu sau: n 1 (1) Ta có lim    0; 3 TOANMATH.com Trang 15
1 (2) Ta có lim  0 , với k là số nguyên tùy ý. nk A. Cả hai câu đều đúng. B. Cả hai câu đều sai. C. Chỉ (1) đúng. D. Chỉ (2) sai. un  m,  m  1 Câu 10: Cho dãy số  un  được xác định  n . 2 un 1  2 un  1 , n   n * Tham số m để dãy số  un  có giới hạn bằng 0 là A. m  1. B. m  2. C. m  3. D. m  4. Dạng 2: Dãy số có giới hạn hữu hạn Bài toán 1. Sử dụng định nghĩa chứng minh rằng lim un  L Phương pháp giải Ta đi chứng minh lim  un  L   0. 3n  1 3 Ví dụ: Chứng minh rằng lim  . 2n  1 2 Hướng dẫn giải 3n  1 Đặt un  , ta có nhận xét: 2n  1  3  3n  1 3  5 lim  un    lim     lim  0.  2  2n  1 2  2n  1 3 Do đó lim un  . Ta được điều phải chứng minh. 2 Ví dụ mẫu n2  n Ví dụ 1: Chứng minh rằng lim  1. n2  1 Hướng dẫn giải n2  n  n2  n   n 1  Đặt un  , ta có thể nhận xét lim  u n  1  lim  2  1  lim  2   0. n 1 2  n 1   n 1 Do đó lim un  1 . Ta được điều phải chứng minh. Bài toán 2: Chứng minh một dãy số có giới hạn Phương pháp giải Sử dụng nguyên lí kẹp: Ví dụ: Chứng minh các giới hạn sau: Cho ba dãy số  un  ,  vn  ,  wn  và số thực L.   n3  a) lim  3   1. Nếu un  vn  wn với mọi n và  n 1 lim un  lim wn  L thì lim vn  L. TOANMATH.com Trang 16
 n 2  3n  2  1 b) lim   .  2n  n  2 2 hướng dẫn giải  n3  1 a) Ta có lim  3   1   lim 3 .  n 1  n 1 1 1 1 xét dãy un   un  3  3  vn , n và n 1 3 n 1 n 1 1 lim vn  lim  0 nên lim 3  0. n 3 n 1   n3  Do đó lim  3   1.  n 1 Ta được điều phải chứng minh.  n 2  3n  2 1  5n  4 b) Ta có lim     lim .  2n  n 2  2n 2  n  2 2 5n  4 Xét dãy un  2  2n 2  n  5n  4 5n  4 5 1  un     2  vn , n. 2  2n  n  2 2 4n 4n n 5 1 3 Mà lim vn  lim  lim 2  0 nên lim  0. 4n n 2  3n 2  n   n 2  3n  2  1 Do đó lim   .  2n  n  2 2 Ta được điều phải chứng minh. Ví dụ mẫu  3.3n  sin 3n  Ví dụ 1: Chứng minh có giới hạn: lim    3.  3n  Hướng dẫn giải  3.3n  sin 3n    sin 3n  Ta có lim  n  3   lim  n .  3   3  n n sin 3n 1  1  1   sin 3n  Ta lại có n  n    n và lim    0 , nên lim  n   0. 3 3 3 3  3   3.3n  sin 3n  Do đó lim    3. Ta được điều cần phải chứng minh.  3n  TOANMATH.com Trang 17
Bài toán 3. Tính giới hạn của dãy số bằng các định lí về giới hạn Phương pháp giải Ta lựa chọn một trong hai cách: Ví dụ: Tìm các giới hạn sau: 4n 2  n  2 a) lim . 2n 2  n  1 2 3 1  b) lim  2n  1  2  2 .  n  2 n n  3 n  1  hướng dẫn giải Cách 1: Đưa dãy số cần tìm giới hạn về tổng, hiệu,  1 2 n 2  4   2  tích, thương của những dãy số mà ta đã biết giới a) lim 4n  n  2  lim  2 n n  2n  n  1 2  1 1  hạn. n2  2   2   n n  Ta có các kết quả sau: 1 2 1. lim C  C , với C là hằng số. 4   2  lim n n . 2. Kết quả trong định lí 1. 1 1 2  2 n n 3. Kết quả trong định lí 2. Mà  1 1   lim  2   2   n n  1 1  lim 2  lim  lim 2  2  0  0  2  0 . n n  1 2 1 2 lim  4   2   lim  4   lim  lim 2   n n  n n  4  0  0  4 4n 2  n  2 4 Nên lim   2. 2n 2  n  1 2 Chú ý: Như vậy, để tính các giới hạn trên chúng ta đã thực hiện phép chia cả tử và mẫu cho bậc cao a nhất của n và sử dụng kết quả lim  0 với k  0. nk 2 3 1  a) lim  2n  1  2  2   n  2 n n  3 n  1  3  2n  1  2n  1 . 2 2  lim 2  lim 2 n  2n n  3n  1 Mà TOANMATH.com Trang 18
2  1 3 2   3  2n  1 2 n 3.22  lim 2  lim    12. n  2n 2 1 1 n 2  1  2n  1 2 2  22 n  lim 2     4. n  3n  1 1  3  1 1 n n2 Cách 2: Sử dụng nguyên lí kẹp giữa. Nên 2 3 1   lim  2n  1  2  2   12  4  8.  n  2n n  3n  1  Chú ý: Như vậy, để tính các giới hạn trên chúng ta đã thực hiện phép tách thành các giới hạn nhỏ. Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tìm các giới hạn sau: 9n 2  2n  3n 3 4 n 5  4n  2 a) lim . b) lim . 4n  3 2 4 n5  3n Hướng dẫn giải 2 2 n 9  3n 9 2 3 9n 2  2n  3n n 2 n 90 3 0 a) lim  lim  lim    0. 4n  3 4n  3 3 40 4 4 n 4 2 3  3 n  4n  2 4 5 4 n n  3 00  3. 4 5 b) lim  lim 2 4 n5  3n 3 20 2 2 4 n ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau: a) lim  4n 2  2n  2n .  b) lim   n 2  2n  3  3 n 2  n 3 . hướng dẫn giải a) lim   4n 2  2n  2n  lim 4n 2  2n  4n 2 4n  2n  2n 2  lim  2n 1  2n  1   1  2n  1 1 1  lim   . 1 1 0 1 2 1 1 2n b) lim  n 2  2n  3  3 n 2  n3  lim     n 2  2n  3  n  lim n  3 n 2  n3 .  TOANMATH.com Trang 19
Mà 3 2  lim   n 2  2n  3  n  lim n 2  2n  3  n 2 n 2  2n  3  n  lim n 2 3  2 11  1. 1  2 1 n n n3   n 2  n3    lim n  3 n 2  n3  lim    2 n 2  n. 3 n 2  n3  3 n 2  n3 1 1 1  lim   . 1  1  2 111 3 1 3 1   3 1  n  n  Vậy lim   1 2 n 2  2n  3  3 n 2  n 3  1   . 3 3 Chú ý: Để tính các giới hạn trên trước tiên chúng ta cần sử dụng phép nhân liên hợp để khử dạng    k và .  Ví dụ 3: Tìm các giới hạn sau: 3n  2.5n 1  2  22  ...  2n a) lim . b) lim . 7  3.5n 1  3  32  ...  3n hướng dẫn giải n 3 3n  2.5n   2 02 2 5 a) lim  lim   n   7  3.5 n 1 7.0  3 3 7.    3 5 n 1 n 1 2 1 1  2  22  ...  2n 2n 1  1     3 3 b) lim  lim n 1  lim 2.   n 1  0. 1  3  32  ...  3n 3 1 1 1   2 3 Chú ý: Để tính các giới hạn trên chúng ta đã thực hiện phép chia cả tử và mẫu cho cơ số cao nhất và sử dụng kết quả lim q n  0 với q  1. Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau:  1 1 1  a) lim    ...  .  1.3 3.5  2n  1 2n  1   1  1  1  b) lim 1  2  1  2  ...  1  2  .  2  3   n  Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 20