Giáo án Đại số lớp 11: Giới hạn hàm số

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:53

Thêm vào BST

Báo xấu

24
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo án "Đại số lớp 11: Giới hạn hàm số" được biên soạn dành cho các bạn học sinh lớp 11 nắm được khái niệm giới hạn hàm số, trình bày được tính chất và các phép toán về giới hạn hàm số. Mời quý thầy cô và các em cùng tham khảo giáo án tại đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo án Đại số lớp 11: Giới hạn hàm số

CHUYÊN ĐỀ BÀI GIẢNG GIỚI HẠN HÀM SỐ Mục tiêu  Kiến thức + Nắm được khái niệm giới hạn của hàm số. + Nắm được các tính chất và các phép toán về giới hạn của hàm số.  Kĩ năng + Biết cách tìm giới hạn của hàm số tại một điểm. + Vận dụng được các quy tắc tìm giới hạn của hàm số. + Thực hành khử một số hạng vô định cơ bản. I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm 1. Giới hạn hữu hạn tại một điểm Định nghĩa 1 Các giới hạn đặc biệt Cho khoảng  a; b  và một điểm x0 . Hàm số y  f  x  +) lim C  C , với C là hằng số bất kỳ. x  x0 xác định trên  a; b  hoặc trên  a; b  \  x0  . Ta nói rằng +) f  x  là hàm số quen thuộc (đa thức, phân hàm số f  x  có giới hạn là số thực L khi x dần đến thức hữu tỉ, cân lượng giác) xác định trên  a; b  x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số  xn  trong chứa x thì lim f  x   f  x  . 0 0 x  x0 tập hợp  a; b  \  x0  mà lim xn  x0 ta đều có lim f  xn   L . Khi đó ta viết lim f  x   L hay f  x   L khi x  x0 x  x0 . 2. Giới hạn vô cực Ta nói hàm số y  f  x  có giới hạn dương vô cực khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số  xn  sao cho xn  x0 thì f  xn    . Kí hiệu lim f  x    . x  x0 Tương tự ta cũng có định nghĩa giới hạn âm vô cực lim f  x    . x  x0 3. Giới hạn hàm số tại vô cực Các giới hạn đặc biệt Định nghĩa 2 Trang 1
Giả sử hàm số y  f  x  xác định trên khoảng  C lim C  C ; lim  0 với C là hằng số. x  x  x  a;   . Ta nói rằng hàm số f  x  có giới hạn là số  lim x k   với k nguyên dương; x  thực L khi x   nếu với mọi dãy số  xn  :  xn   a lim x k   với k là số nguyên dương lẻ, và xn   thì f  xn   L . x  lim x k   với k nguyên dương chẵn. Kí hiệu: lim f  x   L . x  x  Các giới hạn lim f  x   L . x  Các giới hạn lim f  x   ; lim f  x    và x  x  lim f  x   L được định nghĩa tương tự. x  4. Một số định lí về giới hạn hữu hạn Định lí 1 Giả sử lim f  x   L, lim g  x   M . Khi đó x  x0 x  x0 a) lim  f  x   g  x    L  M . x  x0 b) lim  f  x  .g  x    L.M . x  x0 f  x L c) lim   M  0 . x  x0 g  x M d) lim f  x   L . x  x0 e) Nếu f  x   0, lim f  x   L thì lim f  x  L . x  x0 x  x0 f) lim 3 f  x  3 L . x  x0 g) Nếu c là một hằng số thì lim cf  x   cL . x  x0 Quy tắc 1 Cho lim f  x   ; lim g  x   L  0 . Ta có: x  x0 x  x0 lim f  x  Dấu của L lim  f  x  .g  x   x  x0 x  x0     +     Quy tắc 2 TOANMATH.com Trang 2
Cho lim f  x   L; lim g  x   0; L  0 . Ta có: x  x0 x  x0 f  x Dấu của L Dấu của g  x  lim x  x0 g  x +    +     Giới hạn một bên 1. Giới hạn hữu hạn Định nghĩa 1 Giả sử hàm số f  x xác định trên khoảng  x0 ; b  ,  x0    . Ta nói rằng hàm số f  x  có giới hạn bên phải là số thực L khi x cần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số  xn  thuộc khoảng  x0 ; b  mà lim xn  x0 ta đều có lim f  xn   L . Khi đó ta viết lim f  x   L hoặc f  x   L khi x  x0 x  x0 . Định nghĩa 2 Chú ý: Giả sử hàm số f  x xác định trên khoảng a) lim f  x   L  lim f  x   lim f  x   L . x  x0 x  x0 x  x0  a; x0  ,  x0    . Ta nói rằng hàm số f  x  có giới b) Các định lí về giới hạn của hàm số vẫn đúng hạn bên trái là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại khi thay x  x0 bởi x  x0 hoặc x  x0 . điểm x0 ) nếu với mọi dãy  xn  thuộc khoảng  a; x0  mà lim xn  x0 ta đều có lim f  xn   L . Khi đó ta viết lim f  x   L hoặc f  x   L khi x  x0 x  x0 . 2. Giới hạn vô cực a) Các định nghĩa lim f  x   , lim f  x    , x  x0 x  x0 lim f  x    và lim f  x    được phát biểu x  x0 x  x0 tương tự Định nghĩa 1 và định nghĩa 2. b) Các chú ý 1 và 2 vẫn đúng nếu thay L bởi  hoặc  . TOANMATH.com Trang 3
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm giới hạn của hàm số bằng cách thay trực tiếp Phương pháp giải Nếu f  x  là hàm số sơ cấp xác định tại x0 thì Ví dụ: Giới hạn lim  x 2  2 x  4  có giá trị là bao x 1 lim f  x   f  x0  . nhiêu? x  x0 Hướng dẫn giải Do hàm số f  x   x 2  2 x  4 xác định tại điểm x0  1 , nên giới hạn này bằng f  1 .  lim  x 2  2 x  4   7 . x 1 Ví dụ mẫu x 2  3x  5 Ví dụ 1: Giới hạn lim có giá trị là bao nhiêu? x 2 3x  1 Hướng dẫn giải x 2  3x  5 7 Cách 1: lim  . x2 3x  1 5 x 2  3x  5 Cách 2: Nhập máy tính như sau , bấm CACL, nhập giá trị của 3x  1 x  2 và ta sẽ nhận được đáp án. 2 tan x  1 Ví dụ 2: Tìm giới hạn của hàm số B  lim .  sin x  1 x 6 Hướng dẫn giải  2 tan  1 2 tan x  1 6 4 36 Ta có B  lim   .  sin x  1  9 x 6 sin  1 6 2 f  x 1 Ví dụ 3: Cho lim f  x   3 . Tìm giới hạn A  lim . x 2 x2 f 2  x   1 Hướng dẫn giải 2 f  x   1 2.3  1 7 Ta có A  lim   . x2 f 2  x   1 32  1 10 x3  4 x Ví dụ 4: Tìm các giới hạn lim . x 2  2 x  1  x3  2  TOANMATH.com Trang 4
Hướng dẫn giải x3  4 x 23  4.2 Ta có lim  0. x 2  2 x  1  x3  2   2.2  1  23  2  Ví dụ 5: Tìm giá trị của tham số m để B  2 với B  lim  x3  2 x  2m 2  5m  5  . x 1 Hướng dẫn giải Ta có B  lim  x3  2 x  2m 2  5m  5   2m 2  5m  4 . x 1 1 Do B  2  2m 2  5m  2  0  m2. 2 Bài tập tự luyện dạng 1 x 1 Câu 1: Giá trị của lim là  x 1 2 x  x  1 2  1 A.  B. 0 C. D.  2 1 Câu 2: Giá trị của lim là  2 x  3x  2  x 1 2 3 1 1 A. 0 B. 1 C. D. 2 8 x3  2 x 2  1 Câu 3: Giá trị của giới hạn lim bằng x 1 3 2 x5  1 1 1 A. 2 B.  C. D. 2 2 2 Câu 4: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim x 2 . cos x  3 x 0 A. Không tồn tại. B. 0 C. 1 D.  3x  m Câu 5: Cho A  lim . Để A  5 , giá trị của m là bao nhiêu? x 2 x  2 10 A. 14 B. 4 C. 3 D. 3 x2  1 Câu 6: Cho hàm số f  x   . Giá trị của lim f  x  là 2 x4  x2  3 x 2 1 5 A. B. không xác định. C. D.  2 33 sin 3 x  1 Câu 7: Kết quả đúng của lim là x  cot 2 x  3 4 2 2 2 2 A.  B. C. D. không xác định. 6 6 TOANMATH.com Trang 5
x3  x 2 Câu 8: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim x 1 x 1 1 x A. 1 B. 1 C. 0 D.  Câu 9: Nếu lim f  x   5 thì lim 13  4 f  x   bằng bao nhiêu? x 2 x 2 A. 17 B. 1 C. 9 D. 7  x 2  x  2  4 3 2 x3  5 x  1  a a Câu 10: Cho lim    ( là phân số tối giản; a, b là số nguyên dương). x 1  x2  2  b b   Tính tổng L  a 2  b 2 . A. 6 B. 36 C. 7 D. 37  2 x  1  3x  5  1 Câu 11: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f    x  2; x   . Giá trị của xlim f  x  là  x  2  2x 1  2  4 1 3 2 A. B. C. D. 3 5 2 3 Câu 12: Cho lim f  x 1  1 , tính I  lim  x2  x  f  x   2 . x 1 x 1 x 1 x4 4 4 A. I   B. I  C. I  4 D. I  5 5 5 0 Dạng 2: Tìm giới hạn của hàm số dạng vô định 0 0 Đây là dạng toán vô cùng quan trọng về tìm giới hạn của hàm số. Việc tìm giới hạn dạng vô định là bài 0 P  x toán tìm giới hạn của hàm số dạng hữu tỉ L  lim trong đó Q  x0   0 và P  x0   0 . x  x0 Q  x Phương pháp giải Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn. x2  2 x  1 Ví dụ: Tính giới hạn lim . Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân liên hợp ở tử x 1 2x  2 và mẫu đưa về dạng 1. Hướng dẫn giải Chú ý: 0 Ta thấy khi thay x0  1 thì bài toán có dạng , 0  Nếu tam thức bậc hai ax 2  bx  c có hai nghiệm như vậy ta nhóm nhân tử chung  x  1 của cả tử và x1 , x2 thì ax 2  bx  c  a  x  x1  x  x2  . mẫu để triệt tiêu sau đó đưa về dạng bài toán 1 để  a n  b n   a  b   a n 1  a n  2b  ...  ab n  2  b n 1  . tìm kết quả. Trường hợp 1.  x  1 2 x2  2 x  1 P  x Cách 1: lim  lim 2x  2 x 1 2  x  1 L  lim với P  x0   Q  x0   0 và P  x  , x 1 x  x0 Q  x TOANMATH.com Trang 6
Q  x  là các biểu thức chứa căn cùng bậc. x 1  lim  0. x 1 2 Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân liên hợp ở tử x2  2 x  1 và mẫu đưa về dạng 1. Cách 2: Bấm máy tính như sau: CACL 2x  2 x  1  109 và nhận được đáp án. Cách 3: Dùng chức năng lim của máy Vinacal Chú ý: Ta có thể MTCT để tìm các giới hạn 1. Sử dụng MTCT với chức năng của phím CALC. x2  2 x  1 570ES Plus: lim 2 x  2 x 1109 2. Dùng chức lim của máy Vinacal 570ES Plus. Trường hợp 2. 3 4x 1  x  2 Ví dụ: Tìm giới hạn L  lim . x 7 4 2x  2  2 P  x L  lim với P  x0   Q  x0   0 và P  x  là x  x0 Q  x Hướng dẫn giải biểu thức chứa căn không đồng bậc. 3 4x 1  x  2 L  lim x 7 4 2x  2  2 Giả sử: P  x   m u  x   n v  x  với  3 4x 1  3 x  2 3  m u  x0   n v  x0   a .  lim  4 4   lim  A  B  .  2x  2  2 2 x  2  2  x 7 x 7 Ta phân tích P  x    m   u  x  a  a  n v  x .  Ta có 3 4x 1  3 Chú ý: Ta hoàn toàn có thể dùng cách đặt ẩn phụ A 4 2x  2  2 với những bài toán căn bậc cao. Trong nhiều trường hợp việc phân tích như trên 2  4 2x  2  2  4  2x  2 2 4   64 .  không đi đến kết quả ta phải phân tích như sau: n u  x  m v  x  3  4 x  1 2  33 4x 1  9  27 x  2 3   n u  x  m  x    m v  x  m  x  B 4 2x  2  2 trong đó m  x   c .  4 2x  2  2  4  2x  2 2 4 8.  2  x2 3  3 64 8 8 L  lim  A  B     . x 7 27 3 27 Ví dụ mẫu x3  3x 2  2 Ví dụ 1: Tìm giới hạn A  lim . x 1 x2  4x  3 Hướng dẫn giải x3  3x 2  2  x  1  x 2  2 x  2  x2  2 x  2 3 Ta có A  lim  lim  lim  x 1 x 2  4 x  3 x 1  x  1 x  3 x 1 x3 2 TOANMATH.com Trang 7
x4  5x2  4 Ví dụ 2: Tìm giới hạn B  lim . x2 x3  8 Hướng dẫn giải Ta có B  lim x4  5x2  4  lim  x 2  1 x2  4  x2 x3  8 x 2 x 3  23  lim x 2  1  x  2  x  2   lim x 2  1  x  2   1. x 2  x  2  x2  2 x  4 x2 x  2x  4 2 1  5 x   1  6 x  3 4 Ví dụ 3: Tìm giới hạn C  lim . x 0 x Hướng dẫn giải 1  5 x   1  6 x  3 4 Ta có C  lim x 0 x 1  5 x  1  6 x  3 4 1 1  lim  lim x 0 x x 0 x 5 x 1  5 x   1  5 x   1 12 x  3 x  1 1  6 x   1 2 2  lim    lim   x 0 x x 0 x  lim 5 1  5 x   1  5 x   1  lim12  3 x  1 1  6 x   1  39 . 2 2 x 0   x 0   Ví dụ 4: Tìm giới hạn D  lim 1  x 1  2 x 1  3x   1 . x 0 x Hướng dẫn giải Ta có D  lim 1  x 1  2 x 1  3x   1  lim 6 x3  11x 2  6 x  6 . x 0 x x 0 x xn  1 Ví dụ 5: Tìm giới hạn A  lim x 1 xm 1  m, n  *  . Hướng dẫn giải Ta có  x  1  x n1  x n 2  ...  x  1 x n 1  x n  2  ...  x  1 n A  lim  lim  .   x 1 x  1 x m 1  x m  2  ...  x  1  x1 x m1  x m2  ...  x  1 m Sau đây chúng ta sẽ tìm một số giới hạn liên quan đến biểu thức chứa dấu căn. Nguyên tắc cơ bản của dạng bài tập này là nhân lượng liên hợp để đưa về đa thức. Ngoài cách đó chúng ta có thể chuyển về đa thức khi thực hiện đặt ẩn phụ tùy bài cụ thể: Ví dụ 6: Tìm giới hạn I  lim 2  3x  1  1 . x 0 x TOANMATH.com Trang 8
A. 6 B. 3 C. 6 D. 0 Hướng dẫn giải Ta có I  lim 2  3x  1  1   lim 6x  lim 6  3. x 0 x x 0  3x  1  1  x 0 3x  1  1 x 2  3x Ví dụ 7: Tìm giới hạn K  lim . x 0 4x 1 1 Hướng dẫn giải  x  3  4x 1 1  3. Ta có K  lim x 0 4 2 3x  1  4 Ví dụ 8: Giới hạn lim có giá trị bằng bao nhiêu? x 5 3 x  4 Hướng dẫn giải Ta có lim 3x  1  4  lim  3 x  1  16  3  x  4   x 5 3  x  4 x 5 9   x  4   3 x  1  4    lim  3 3  x  4   18   9 . x 5 3x  1  4 8 4 3 x 1 1 Ví dụ 9: Tìm giới hạn lim . x 2 x2 Hướng dẫn giải 3 x 1 1 x2 Ta có lim  lim x 2 x2 x 5  x  2  3  x  1 2  3 x 1 1  1 1  lim  . x 5  x  1  3 x  1  1 3 3 2 Bằng phương pháp tương tự ta làm một số các bài toán mở rộng sau đây 1 4x  3 1 6x Ví dụ 10: Tìm giới hạn M  lim . x 0 x2 Hướng dẫn giải 4 x  1   2 x  1 3 1  6 x   2 x  1 Ta có M  lim 2  lim x 0 x x 0 x2 4 8 x  12  lim  lim x 0 4 x  1  2 x  1 x 0 3 1  6 x  2   2 x  1 3 1  6 x   2 x  1 2  2  4  2 . TOANMATH.com Trang 9
1  ax 2  bx  2 Ví dụ 11: Cho biết lim  c , với c là một số nguyên và a, b   . x 1 4 x3  3x  1 2 Phương trình ax 4  2bx 2  c  1  0 có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm trên  ? Hướng dẫn giải Ta có 4 x 3  3 x  1   2 x  1  x  1 . 2 1 Suy ra phương trình  1  ax 2   bx  2   0 phải có nghiệm kép là x  2 . 2 1   a  b 2  x 2  4bx  3  0 có nghiệm kép x  2     a  b  0 2 a  b  0 2   4    16b 2  4  a  b 2  .3  0  a  b 2   b 2  a  b  3 .   3 2  2 1 1  4 2  1 2  a  b    2  4.b. 2  3  0 1  b .    4.b.  3  0   3 2 2 Thử lại đúng. Vậy a  b  3 . 3  2 x  1 2 1  3x 2  3x  2 1  3x 2   3x  2  Khi đó lim  lim 4 x3  3x  1  2 x  1  x  1 1 1 2 x x 2 2 3  lim1  2 . x 2  2  1  3 x  3 x  2  x  1 Suy ra c  2 . Vậy ta có phương trình 3 x 4  6 x 2  3  0 có nghiệm x  1 . Sau đây chúng ta sẽ làm một số bài toán mang tính tổng quát n 1  ax  1 Ví dụ 12: Tìm giới hạn B  lim x 0 x  n  * , a  0  . Hướng dẫn giải Cách 1: Nhân liên hợp  n 1  ax  1  n 1  ax  n 1  n 1  ax  n2   ...  n 1  ax  1 Ta có B  lim x 0 x  n 1  ax  n 1  n 1  ax  n2  ...  n 1  ax  1  a a B  lim  . 1  ax   n 1  ax  n x 0 n n 1 n2  ...  n 1  ax  1 Cách 2: Đặt ẩn phụ TOANMATH.com Trang 10
t n 1 Đặt t  n 1  ax  x  và x  0  t  1 . a t 1 t 1 1 a  B  a lim  a lim  a lim n 1 n  . t 1 t 1 n t 1  t  1  t  t  ...  t  1 n 1 n t 1 t  t  ...  t  1 n m 1  ax  n 1  bx Ví dụ 13: Tìm giới hạn N  lim . x 0 x Hướng dẫn giải m 1  ax  1 n 1  bx  1 a b Ta có N  lim  lim   . x 0 x x 0 x m n n 1  ax  1 Ví dụ 14: Tìm giới hạn A  lim m với ab  0 . x 0 1  bx  1 Hướng dẫn giải n 1  ax  1 x a m am Áp dụng bài toán trên ta có A  lim .lim m  .  . x 0 x x  0 1  bx  1 n b bn 1  ax 3 1  bx  1 Ví dụ 15: Tìm giới hạn B  lim với ab  0 . x 0 x Ta có 1  ax 3 1  bx  1  1  ax  3 1  bx  1    1  ax  1  3 1  bx  1 1  ax  1 a b B  lim 1  ax  lim B  . x 0 x x  0 x 2 3 1  ax 3 1  bx 4 1  cx  1 Ví dụ 16: Tìm giới hạn B  lim với ab  0 . x 0 x Hướng dẫn giải Ta có 1  ax 3 1  bx 4 1  cx  1  1  ax 3 1  bx  4  1  cx  1  1  ax  3   1  bx  1   1  ax  1 . 1  cx  1 1  bx  1 1  ax  1   4 3 B  lim 1  ax 3 1  bx  lim 1  ax  lim x 0 x x  0 x x  0 x c b a B   . 4 3 2 1  mx   1  nx  n m Ví dụ 17: Tìm giới hạn L  lim . x 0 x2 Hướng dẫn giải 1  nx   1  mnx  1  mx   1  mnx   mn  n  m  . m n Ta có L  lim 2  lim x 0 x x  0 x2 2 TOANMATH.com Trang 11
Ví dụ 18: Tìm giới hạn K  lim 1  x 1  x  ...1  x  . 3 n 1  x  x 1 n 1 Hướng dẫn giải 1 1 Ta có K  lim  . x 1 1  x   3 x 2  3 x  1 ...   n x n 1  ...  1  n! n  2 x  1 3x  1 4 x  1  1 Ví dụ 19: Tìm giới hạn F  lim . x 0 x Hướng dẫn giải Đặt y  n  2 x  1 3x  1 4 x  1  x  0 thì y  1 . Ta có n  2 x  1 3x  1 4 x  1  1  y  1 . Lại có lim yn 1  lim  2 x  1 3x  1 4 x  1  1  9 . x 0 x x 0 x y 1 yn 1 9 Do đó F  lim  lim  . x 0 x x  0 x  y  y  ...  y  1 n n 1 n2 Để tiếp tục ta xét một số bài toán tìm giới hạn của hàm ẩn và giới hạn có tham số sau. Ví dụ 20: Cho lim f  x 1  1 . Tính I  lim  x2  x  f  x   2 . x 1 x 1 x 1 x 1 Hướng dẫn giải Ta có lim x 2  x f  x  2  lim x 2  x   f  x   1  x 2  x  2 x 1 x 1 x 1 x 1   x 2  x   f  x   1   lim   x  2   5 . x 1  x 1    Ví dụ 21: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a  b  2020 và x 2  ax  1  bx  1 lim  1010 . Tìm a, b. x 0 x Hướng dẫn giải Ta có lim x 2  ax  1  bx  1  lim  x 2  ax  1   bx  1 x 0 x x 0 x x 2  ax  1  bx  1   x2   a  b  x x   a  b a b  lim  lim  . x 0 x  x 2  ax  1  bx  1  x 0 x  ax  1  bx  1 2 2 TOANMATH.com Trang 12
x 2  ax  1  bx  1 a b Lại có lim  1010   1010  a  b  2020 . x 0 x 2  a  b  2020 a  2020 Từ đó ta có hệ phương trình   .  a  b  2020 b  0 x 2  mx  n Ví dụ 22: Cho m, n là các số thực khác 0. Nếu giới hạn lim  3 , hãy x 5 x5 tìm mn? Hướng dẫn giải x 2  mx  n Vì lim  3 nên x  5 là nghiệm của phương trình x 2  mx  n  0 x 5 x 5  5m  n  25  0  n  25  5m . x 2  mx  n x 2  mx  5m  25 Khi đó lim  lim  lim  x  5  m   m  10 x 5 x 1 x 5 x5 x 5  m  13  n  40  mn  520 . f  x   16 Ví dụ 23: Cho hàm số y  f  x  xác định trên  thỏa mãn lim  12 . x 2 x2 3 5 f  x   16  4 Tính giới hạn lim . x 2 x2  2x  8 Hướng dẫn giải Theo giả thiết có lim  f  x   16   0  lim f  x   16 . x 2 x2 3 5 f  x   16  4 Ta có lim x2 x2  2x  8  lim  5 f  x   16   64  x  2  x  4   3 5 f  x   16   4 3 5 f  x   16  42  x2 2   5  f  x   16   lim  x  2  x  4   3 5 f  x   16   4 3 5 f  x   16  42  x2 2      f  x   16 5   lim  .   x2  x  4     2  x2 2    3 5 f x  16  4 5 f  x   16  4  3    5 5  12.  . 6    4 3 5.16  16  16  2 3 5.16  16 24   TOANMATH.com Trang 13
Bài tập tự luyện dạng 2 3 x2  4  2 Câu 1: Kết quả đúng của giới hạn lim bằng x2 x2  4 1 5 5 1 A.  B. C.  D. 12 12 12 12 1  x 1 Câu 2: Kết quả đúng của giới hạn lim bằng x 0 x 1 1 A. 0 B.  C.  D. 2 2 x 4  27 x Câu 3: Kết quả đúng của giới hạn lim bằng x 3 2 x 2  3 x  9 A. 7 B. 5 C. 9 D. 3 2 x  3x  1 Câu 4: Tính giới hạn lim , ta được kết quả là x 1 x2 1 4 5 A. 0 B. C. D. 2 3 8 3 x 1 Câu 5: Kết quả đúng của lim bằng x 1 x 3 2 2 2 1 A.  B. C. 0 D. 1 3 3 4 2  x  a 3  a3 Câu 6: Kết quả đúng của giới hạn lim bằng x 0 x A. a 2 B. 2a 2 C. 0 D. 3a 2 x 4  16 Câu 7: Kết quả đúng của giới hạn lim bằng x 2 x 2  6 x  8 A. 14 B. 16 C. 18 D. 12 x4  8x Câu 8: Kết quả đúng của lim bằng x 2 x 3  2 x 2  x  2 21 21 24 24 A.  B. C. D.  5 5 5 5 x2  8  3 Câu 9: Kết quả đúng của lim bằng x 1 1 x  2 2 2 2 2 A.  B. C. D. 2 3 3 x2  x  1 1 Câu 10: Kết quả đúng của lim bằng x 0 3x 1 1 A.  B. C. D. 1 3 6 TOANMATH.com Trang 14
x2  1  1 Câu 11: Kết quả đúng của lim bằng x 0 4  x 2  16 A.  B. 1 C. 4 D. 4 xm  xn Câu 12: Tính giới hạn lim ; m, n   ta được kết quả là x 1 x 1 A.  B. m  n C. m D. mn 2 x  1  3 3x  2 Câu 13: Giới hạn lim bằng x 1 x 1 1 A. 1 B. 0 C.  D. 2 ax  1  1 Câu 14: Giả sử L  lim . Hệ số a bằng bao nhiêu để L  3 ? x 0 2x A. 6 B. 6 C. 12 D. 12 x  1  3 x  19 a a Câu 15: Biết lim  , trong đó là phân số tối giản, a và b là các số nguyên dương. x 8 4 x 8 2 b b Tổng a  b bằng A. 137 B. 138 C. 139 D. 140 x4  a4 Câu 16: Cho a là một số thực khác 0. Kết quả của lim bằng xa xa A. 3a B. 2a 2 C. a 3 D. 4a 3 3 8 x  11  x  7 a a Câu 17: Biết lim  trong đó là phân số tối giản, a và b là các số nguyên dương. x 2 x  3x  2 2 b b Tổng 2a  b bằng A. 68 B. 69 C. 70 D. 71 6 x  9  3 27 x  54 a a Câu 18: Biết lim  trong đó là phân số tối giản, a và b là các số nguyên x 3  x  3  x  3x  18 b 2 b dương. Tổng 3x  b bằng A. 57 B. 58 C. 56 D. 55  Dạng 3: Tìm giới hạn của hàm số dạng vô định  f  x Đây là dạng quan trọng của giới hạn hàm số, là lớp các bài toán tìm giới hạn dạng L  lim , trong x  g  x đó f  x  ; g  x    khi x   . Phương pháp giải x4  7 Ví dụ: Tính giới hạn lim . x  x 4  1 TOANMATH.com Trang 15
Hướng dẫn giải 1. Chia tử và mẫu cho x n với n là số mũ cao nhất Cách 1: Chia cả từ và mẫu cho x 4 . của biến ở mẫu (hoặc phân tích thành tích chứa 7 1 4 x4  7 x n nhân tử x rồi giản ước). lim  lim  1. x  x 4  1 x  1 1 4 2. Nếu f  x  hoặc g  x  có chứa biến x trong dấu x căn thì đưa x k ra ngoài dấu căn (với k là mũ cao Cách 2: Bấm máy tính như sau x  7 ; CACL; 4 x4  1 nhất của biến x trong dấu căn), sau đó chia tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x (thường là bậc cao x  10 và nhận được đáp án. 9 nhất ở mẫu). 3. Sử dụng các kết quả sau đây để tính. Các giới hạn đặc biệt: c  lim c  c; lim  0 với c là hằng số và k   . x  x  xk  lim x k   với k nguyên dương; lim x k   x  x  với k lẻ; lim x k   với k chẵn. x  Ví dụ mẫu 2 x  3x 2  2 Ví dụ 1: Tìm giới hạn lim . x  5x  x2  2 Hướng dẫn giải 2 2 3 2 x  3x  2 2 x2  2  3 . Ta có lim  lim x  5 x  x 2  2 x  5  1  2 6 2 x x2  1 Ví dụ 2: Cho hàm số f  x   , tìm giới hạn lim f  x  . 2 x4  x2  3 x  Hướng dẫn giải 1 1  x2  1 x2 x4  0 . Ta có lim  lim x  2 x 4  x 2  3 x  2  1  3 x2 x2 1  3x Ví dụ 3: Tìm giới hạn lim  . x  2x2  3 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 16
1 3 1  3x 3 2 Ta có lim  lim x  . x  2 x 2  3 x   2  3 2 x 3 1  x4  x6 Ví dụ 4: Tìm giới hạn lim . x  1  x3  x 4 Hướng dẫn giải 1 1 x2 3  1 3 1  x4  x6 x6 x2 Ta có lim  lim  1. x  1  x3  x 4 x  1 1 x2  1 x4 x2 x 1 Ví dụ 5: Cho hàm số f  x    2  x  , tìm giới hạn lim f  x  . x  x2  1 4 x  Hướng dẫn giải 1 1 2    x  1 2  x  2 x 1 x 2 x3 x 4  0 . Ta có lim  2  x   lim  lim x  x  x 2  1 x  4 x4  x2  1 x  1 1 1 2  4 x x 3x 2  x5 Ví dụ 6: Tính giới hạn lim . x  x 4  6 x  5 Hướng dẫn giải  3 x  1  3  3x  x 2 5  lim  x  Ta có lim 4   . x  x  6 x  5 x   6 5   1  3    x x4  2 x5  x 4  3 Ví dụ 7: Tính giới hạn lim . x  3x 2  7 Hướng dẫn giải  1 3 x3  2   5  2 x5  x 4  3  x x  Ta có lim  lim   . x  3x 2  7 x   7  3 5   x  3 3x3  1  2 x 2  x  1 Ví dụ 8: Tính giới hạn A  lim . x  4 4x4  2 Hướng dẫn giải 1 1 1 x3 3  x 2  2 3 3x  1  2 x  x  1 3 2 x 3 x x  3 2 . 3 A  lim  lim x  4 4x4  2 x  2 2 x4 4 4 x TOANMATH.com Trang 17
x x2  1  2x  1 Ví dụ 9: Tìm giới hạn A  lim . x  3 2 x3  2  1 Hướng dẫn giải  1 2 1  x 2   1     x x2  1  2x  1  x2 x x2  A  lim  lim   . x  3 2 x3  2  1 x   2 1 x 2  3   3  x x Bài tập tự luyện dạng 3 Câu 1: Giả sử lim f  x   a và lim g  x   b . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? x  x  A. lim f  x  .g  x   a.b B. lim  f  x   g  x    a  b x  x  f  x a C. lim  D. lim  f  x   g  x    a  b x  g  x b x  4 x 2  x  6 64 x 6  x  1 Câu 2: Tìm giới hạn B  lim được kết quả là x  4 x4  3 4 4 A. 4 B. C. 4 D.  3 3 x14  7 Câu 3: Giá trị đúng của lim là x  x14  1 A. 1 B. 1 C. 7 D.  2x  9x2  2 Câu 4: Tìm giới hạn C  lim được kết quả là x  5x  x2  1 5 1 A.  B.  C. D.  4 6 x 2  2020 Câu 5: Cho hàm số f  x   . Kết quả đúng của lim f  x  là 2 x 2019  x 2 x  1 2 A. B. C. 0 D.  2 2 1  3x Câu 6: Tìm giới hạn lim được kết quả x  5 2 x5  3 3 3 A. 5 B. 0 C.  5 D.  2 2 2 x  3 1  x4  x6 Câu 7: Tìm giới hạn D  lim được kết quả x  1  x3  x 4  x  1 3 A.  B.  C. D. 1 2 TOANMATH.com Trang 18
x2  2 x 1 Câu 8: Cho hàm số f  x    2 x  1 . Kết quả của lim f  x  là x 4  3x 2  1 x  A. 0 B. 2 C. 2 D.  x4  x2  3 Câu 9: Tìm giới hạn lim được kết quả x  2 x 4 x2  5 1 1 A. 3 B. C. 1 D.  4 4 x4  8x x  2  1 Câu 10: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của lim x  x 3  2 x 2  x  2 A. 0 B.  C.  D. 1 x2  x  1  2x Câu 11: Tìm giới hạn E  lim được kết quả là x  x 1 A.  B.  C. 1 D. 0 Câu 12: Tìm giới hạn F  lim x  4 x2  1  x  được kết quả là x  3 4 x3  1  2 x 1 1 A.  B.  C. D. 0 4 4 x3  3  2 x 2 Câu 13: Kết quả đúng của lim là x  x 4  x3  x 2  x A. 3 B. 2 C. 1 D.  x 2  3x  1  2 x 2  x  1 Câu 14: Tìm giới hạn M  lim được kết quả là x  x 1 A.  B.  C. 1 D. 1 2x2  3 Câu 15: Tìm giới hạn N  lim được kết quả là 8x  2x   2 x 8x  2 x  4 x  2 x  3 2 3 3 2 3 1 1 A.  B. 0 C. D. 6 12 4 16 x 4  3x  1  4 x 2  2 Câu 16: Tìm giới hạn H  lim được kết quả là x  3x  1 4 4 A.  B.  C. D.  3 3 3 3x3  1  2 x 2  x  1 Câu 17: Tìm giới hạn A  lim được kết quả là x  4 4 x4  2 3 3 2 A.  B.  C.  D. 0 2 TOANMATH.com Trang 19
x x2  1  2x  1 Câu 18: Tìm giới hạn B  lim được kết quả là x  3 2 x3  2  1 4 A.  B.  C. D. 0 3  2 x  1  x  2  3 2020 Câu 19: Tìm giới hạn A  lim được kết quả là x   3  2 x4  1  x 2019 A.  B.  C. 4 D. 0 4 x 2  3x  4  2 x Câu 20: Tìm giới hạn B  lim được kết quả là x  x2  x  1  x A.  B.  C. 2 D. 0 Dạng 4: Tìm giới hạn của hàm số dạng vô định    và 0. Phương pháp giải 1. Tìm giới hạn dạng L  lim  f  x   g  x   , trong Ví dụ: Tìm giới hạn E  lim x  x    x2  x  1  x . đó f  x  ; g  x    , khi x   hoặc Hướng dẫn giải f  x  ; g  x    , khi x   . Đây là giới hạn dạng    , để tính giới hạn này ta nhân liên hợp của tử sau đó chia cả tử và mẫu cho 2. Tìm giới hạn dạng L  lim f  x  .g  x  , trong đó x  x. f  x   0; g  x    , khi x   . Chú ý khi x   thì x  x 2 . x 1 1 Ta có E  lim  . x  x  x 1  x 2 2 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tìm giới hạn F  lim x x   4 x2  1  2 x .  Đây là giới hạn dạng    , để tính giới hạn này ta nhân Hướng dẫn giải liên hợp của tử sau đó chia x 1 Ta có F  lim  . cả tử và mẫu cho x. x  4 x2  1  2 x 4 Chú ý khi x   thì x   x2 . Ví dụ 2: Tìm giới hạn B  lim x  x  x  1 . x   2  Hướng dẫn giải x   Ta có B  lim x  x 2  x  1  lim  x   x 1 x  x  x 1 2 1  . 2 TOANMATH.com Trang 20