Giáo án Giải tích 12: Chuyên đề 2 bài 4 - Phương trình mũ và bất phương trình mũ

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:35

Thêm vào BST

Báo xấu

18
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo án "Giải tích 12: Chuyên đề 2 bài 4 - Phương trình mũ và bất phương trình mũ" được biên soạn nhằm giúp các em học sinh nắm được cách giải một số dạng phương trình mũ. Biết được cách giải một số dạng bất phương trình mũ. Mời quý thầy cô và các em cùng tham khảo giáo án tại đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo án Giải tích 12: Chuyên đề 2 bài 4 - Phương trình mũ và bất phương trình mũ

CHUYÊN ĐỀ 2. BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH MŨ – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Mục tiêu  Kiến thức + Biết được cách giải một số dạng phương trình mũ. + Biết được cách giải một số dạng bất phương trình mũ.  Kĩ năng + Giải được một số phương trình mũ và bất phương trình mũ đơn giản bằng các phương pháp đưa về cùng cơ số, logarit hóa, đặt ẩn phụ, tính chất của hàm số. + Nhận dạng được các loại phương trình mũ và bất phương trình mũ. I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Phương trình mũ a x = b + Nếu b  0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x  log a b . + Nếu b  0 thì phương trình vô nghiệm. Đặc biệt: Phương trình a x  a y  x  y (biến đổi về cùng cơ số). Dạng 1: Phương trình có dạng a    a   . f x g x + Nếu a  1 thì a    a   nghiệm đúng với mọi x. f x g x + Nếu 0  a  1 thì f  x   g  x  . f  x Dạng 2: Phương trình có dạng a  b (với 0  a  1, b  0 ) a f  x   b  f  x   log a b. 2. Bất phương trình mũ Dạng 1: Bất phương trình có dạng a    a   . 1 f x g x + Nếu a  1 thì 1  f  x   g  x  . + Nếu a  1 thì (1) nghiệm đúng x  . + Nếu 0  a  1 thì 1  f  x   g  x  . f  x Dạng 2: Bất phương trình có dạng a  b (với b  0 ). (2) + Nếu a  1 thì  2   f  x   log a b. + Nếu 0  a  1 thì  2   f  x   log a b. Dạng 3: Bất phương trình có dạng a f  x   b.  3 + Nếu b  0 thì (3) nghiệm đúng x  . + Nếu b  0, a  1 thì  3  f  x   log a b. TOANMATH.com Trang 1
+ Nếu 0  a  1 thì  3  f  x   log a b. SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA b0 Phương trình có nghiệm x  log a b ax  b b0 Phương trình vô nghiệm Phương trình nghiệm đúng với mọi PHƯƠNG a 1 x TRÌNH MŨ a f  x a g  x a  1, a  0  f  x  g  x f  x g  x a a 0  a 1 a f  x b a f  x   b  f  x   log a b b0 a 1 a f  x   b  f  x   log a b a f  x  b b  0 a f  x   b  f  x   log a b 0  a 1 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Tìm điều kiện để f  x  có b0 nghĩa f  x a b 0  a 1 a f  x   b  f  x   log a b b0 a 1 a f  x   b  f  x   log a b TOANMATH.com Trang 2
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1. Phương trình mũ Bài toán 1. Biến đổi về dạng phương trình cơ bản Ví dụ mẫu 2  x4 1 Ví dụ 1. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 2 x  là 16 A. 0. B. 2. C. 6. D. 1. Hướng dẫn giải 2  x4 1 1  x 1 Cách 1: Ta có 2 x   x 2  x  4  log 2  x2  x  0   . 16 16 x  0 Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là 1. 2  x4 x  0 Cách 2: Ta có: 2 x  2 4  x 2  x  4  4  x 2  x  0   .  x 1 Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là 1. Chọn D. x 2 12 3  25   27  Ví dụ 2. Tổng các nghiệm của phương trình 0, 6   x   là  9   125  1 A. -8. B. . C. 1. D. 0. 2 Hướng dẫn giải x 2 12 3 x 2 x 2  24 9  25   27  3 5  3 Ta có: 0, 6  x     .     9   125  5 3 5 x 24  2 x 2 9 24  x  2 x 2 9  x3  3 3 3  3  3   .          2 x 2  x  24  9   5. 5 5 5 5 5 x    2 1 Vậy tổng các nghiệm là . 2 Chọn B. 2 2 Ví dụ 3. Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 3.5x  2 x 1  5.32 x  x 1 là 1 3 3 1 A.  . B. . C.  . D. . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải 2 2 x 2  x 1 x  2 x 2 1 2 x 2  x 1 5x 2 x 1 5 5 5 Ta có: 3.5  5.3  2 x 2  x 1     3 3 3 3 TOANMATH.com Trang 3
x 0  2 x  x  1  1   2 . x  1  2 1 Vậy tổng các nghiệm là . 2 Chọn D.     x2  x 2 x3  2 Ví dụ 4. Gọi T là tích tất cả các nghiệm của phương trình 3  2 2  3 2 2 . Tìm T. A. T  0. B. T  2. C. T  1. D. T  1. Hướng dẫn giải    1   1 Nhận xét: 3  2 2 3  2 2  1  3  2 2   3 2 2 , nên 3 2 2 3  2 2        x2  x  2 x3  2 x2  x  2 2  x3  3 2 2  3 2 2  3 2 2 x  0  x  x2  2 x  x  x  x  0   2 3 . 3 2  x  1  5  2 Do đó tích tất cả các nghiệm là 0. Chọn A. Bài toán 2. Phương trình theo một hàm số mũ Phương pháp giải Chú ý: Ta có thể đặt ẩn phụ sau khi đưa được về phương trình chứa một hàm số mũ. Ta thường gặp các dạng sau: 2 f  x f  x  m.a  n.a  p0 1  p  0 , trong đó a.b  1 . Đặt t  a   , t  0 suy ra b    . f  x f  x  m.a  n.b f x f x t f  x f  x a  n.  a.b  2 f  x 2 f  x 2 f  x  m.a  p.b  0 . Chia hai vế cho b và đặt    t  0. b  Ẩn phụ không hoàn toàn: Đặt a x  t khi đó phương trình mới chứa cả x và t. Ta coi t là ẩn; x là tham số, tìm mối quan hệ x và t. Ví dụ mẫu 2 2 Ví dụ 1. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình 4 x  5.2 x  4  0 là A. 3. B. 2. C. 4. D. 1. Hướng dẫn giải Đưa phương trình ban đầu về dạng phương Ta có: 4 x  5.2 x  4  0   22   5.2 x  4  0 2 2 x2 2 2 trình bậc hai ẩn 2 x . TOANMATH.com Trang 4
 2x  1  x2  0  x0 2   2 x2 x2  2  5.2  4  0   2  2  .  2 x  4  x  2  x   2 Chọn A. Ví dụ 2. Phương trình 31 x  31 x  10 có hai nghiệm x1 ; x2 . Khi đó giá trị biểu thức P  x1  x2  2 x1 x2 là A. 0. B. -6. C. -2. D. 2. Hướng dẫn giải Đưa phương trình ban 3  10  3.3  x  10  3.  3 x   10.3x  3  0 1 x 1 x 2 Ta có: 3 3 x đầu về dạng phương 3 trình bậc hai ẩn 3x.  3x  3  x 1  x 1 . Vậy P  2. 3   x  1  3 Chọn C.     Nhận xét: x x Ví dụ 3. Tích các nghiệm của phương trình 2 1  2  1  2 2  0 là A. 2. B. -1. C. 0. D. 1.  2 1  2 1  1 Hướng dẫn giải 1  2 1  2 1 Ta có  2 1   2 1  1  2 1  1 2 1 nên phương trình thành Đưa phương trình ban x đầu về dạng phương       2  1  2 1  2 2  0   2 1   2 2 x x x      2 1 1  0 trình bậc hai ẩn  2 1    x 2 1 .    x 2 1  1 2  x 1    .  2  1 x  1 x   2 1  Vậy tích các nghiệm của phương trình là -1. Chọn B. Ví dụ 4. Gọi S là tổng tất cả các nghiệm của phương trình 3.4 x 1  11.6 x  2.9 x  0. . Tìm S. A. S  1  log 2 3. B. S  1  log 3 2. C. S  1  2 log 2 2. D. S  1. 3 Hướng dẫn giải Ta có: 3.4 x 1  11.6 x  2.9 x  0  12.4 x  11.6 x  2.9 x  0 Chia 2 vế cho 4 x đưa về phương trình bậc hai ẩn TOANMATH.com Trang 5
2x x x 6x 9x 3 3 3  12  11. x  2. x  0  2.    11.    12  0 là   . 4 4 2 2 2   3 x    4  x  log 3 4  x   log 2 4  2    2  3 .  3 x 3       x 1  x 1   2 2 Vậy S  1  2 log 2 2. 3 Chọn C.    3  5  x x Ví dụ 5. Phương trình 3  5  3.2 x có hai nghiệm x1 ; x2 . Giá trị biểu thức A  x12  x22 bằng bao nhiêu? A. 9. B. 13. C. 1. D. 2. Hướng dẫn giải Ta có 1 1 3 5 3 5 3 5  3 5  3 5  3 5    Nhận xét 3  5 3  5  4  2 .  2 1 2    .     2  2  2  x x 2x x  3 5   3 5   3 5   3 5  Chia 2 vế cho 2 x đưa về Do đó:       3     3.    1  0  2   2   2   2  phương trình bậc hai ẩn x  3  5  x 3  5  3 5     là   .  2  2  x 1  2    .  x  1 x  3  5  3  5     2  2 Vậy A  2. Chọn D. a a Ví dụ 6. Tổng tất cả các nghiệm thực 3.4 x   3 x  10  .2 x  3  x  0 là S  log 2 , với là phân số tối b b giản. Giá trị của a  b bằng A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Hướng dẫn giải 3.4 x   3 x  10  .2 x  3  x  0  3.  2 x    3 x  10  .2 x  3  x  0 2 Đặt 2 x  t  t  0  , phương trình trở thành 3t 2   3x  10  t  3  x  0 Ta xem đây là phương trình bậc hai theo ẩn là t  2 x và tham số x. TOANMATH.com Trang 6
 1  1  t  2x  Giải phương trình theo tham số x ta được  3  3  x  t  3  x  2  3  x * Giải phương trình (*), ta có: 2 x  x  3  0 . Đặt f  x   2 x  x  3, f '  x   2 x ln 2  1  0, x   nên phương trình f  x   0 có tối đa một nghiệm. Mà f 1  0 nên phương trình f  x   0 có nghiệm duy nhất x  1 . 1 1 2 Tóm lại phương trình có nghiệm x1  log 2 ; x2  1 nên S  log 2  1  log 2 . 3 3 3 Do đó a  2, b  3 suy ra a  b  5. Chọn D. Bài toán 3. Lấy logarit hai vế Phương pháp giải Cho 0  a  1 và x, y  0 ta có x  y  log a x  log a y f  x 0  a  1, b  0  Phương trình a b .  f  x   log a b  Phương trình a f  x  b g  x   log a a f  x   log a b g  x   f  x   g  x  .log a b hoặc log b a f  x   log b b g  x   f  x  .log b a  g  x  . Ví dụ mẫu 2 Ví dụ 1. Gọi S là tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 7 x .3 x  1 . Tìm S. A. S  log 7 3. B. S  log 3 7. C. S  log 2 3. D. S  log 3 2. Hướng dẫn giải Ta có: Lấy logarit cơ số 3 2  2  2 7 x .3 x  1  log 3 7 x .3 x  log 3 1  log 3 7 x  log 3 3 x  0 hoặc cơ số 7 hai vế. x  0  x .log 3 7  x  0  x  x log 3 7  1  0   2 .  x  1  log 7 3  log 3 7 Vậy tổng các nghiệm là S  log 7 3. Chọn A. 2 x 1 Ví dụ 2. Phương trình 3x.5 x  15 có một nghiệm dạng x   log a b , với a, b là các số nguyên dương lớn hơn 1 và nhỏ hơn 8. Giá trị của P  a  2b bằng bao nhiêu? TOANMATH.com Trang 7
A. P  8. B. P  5. C. P  13. D. P  3. Hướng dẫn giải 2 x 1 2 x 1 x 3 .5 x x 1  x 1  Ta có: 3x.5 x  15   1  3x 1.5 x  1  log 3  3x 1.5 x   0 3.5   x 1 x 1  log3 3x 1  log 3 5 x  0  x 1  .log 3 5  0 x  1   x 1   x  1 .  1  .log 3 5   0   .  x   x   log 3 5 Vậy a  3, b  5 suy ra a  2b  13. Chọn C. Bài toán 4. Đặt nhân tử chung Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 2.11x  253x  23x  2 là A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Hướng dẫn giải Ta có: 2.11x  253x  23 x  2  2.11x  11x.23x  23x  2  0  2 11x  1  23x 11x  1  0   2  23x 11x  1  0  11x  1  0 (vì 2  3x  0, x   )  x  0. Chọn A. 2 2 x x Ví dụ 2. Phương trình 2 x  4.2 x  2 2 x  4  0 có số nghiệm nguyên dương là A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Hướng dẫn giải 2 2 2 2 x x Ta có: 2 x  4.2 x  22 x  4  0  2 x  x.22 x  4.2 x x  22 x  4  0  2 x  x.  2 2 x  4    2 2 x  4   0   2 2 x  4  2 x 2  2 x  1  0  22 x  4  2x  2  x 1  2  2  .  2 x x  1 x  x  0 x  0 Vậy phương trình có một nghiệm nguyên dương. Chọn B. Bài toán 5. Phương pháp hàm số TOANMATH.com Trang 8
Phương pháp giải Sử dụng tính đơn điệu của hàm số: Tính chất 1. Nếu hàm số y  f  x  đồng biến (hoặc nghịch biến) trên  a; b  thì có tối đa một nghiệm của phương trình f  x   k trên  a; b  và f  u   f  v   u  v, u, v   a; b  . Tính chất 2. Nếu hàm số y  f  x  liên tục và đồng biến (hoặc nghịch biến); hàm số y  g  x  liên tục và nghịch biến (hoặc đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f  x   g  x  không nhiều hơn một. Tính chất 3. Nếu hàm số y  f  x  đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D thì bất phương trình f  u   f  v   u  v (hoặc u  v ) , u , v  D. Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Phương trình 3x  5  2 x có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 3. C. 1. D. 2. Hướng dẫn giải Ta có: 3x  5  2 x  3x  2 x  5  0 Đặt f  x   3x  2 x  5, ta có f   x   3x ln 3  2  0, x   nên phương trình f  x   0 có tối đa một nghiệm. Mà f 1  0 nên phương trình f  x   0 có nghiệm duy nhất là x  1. Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm. Chọn C. Ví dụ 2. Phương trình 2 x  5 x  2  5 x có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 3. C. 1. D. 2. Hướng dẫn giải Ta có: 2 x  5 x  2  5 x  5 x  2 x  5 x  2  0 Đặt f  x   5x  2 x  5 x  2, ta có f   x   5x.ln 5  2 x ln 2  5 Xét f   x   0  5 x.ln 5  2 x ln 2  5  0 Ta có f   x   5 x.ln 2 5  2 x ln 2 2  0, x   nên phương trình f   x   0 có tối đa một nghiệm. Vì lim f   x   5 và lim f   x    nên phương trình f   x   0 có duy x  x  nhất một nghiệm x  x0 . Do đó, phương trình f  x   0 có tối đa hai nghiệm. TOANMATH.com Trang 9
 f 1  0 Mà  nên phương trình có hai nghiệm x  0 hoặc x  1.  f  0   0 Chọn D. 3 2 Ví dụ 3. Tổng các nghiệm của phương trình 2 23 x .2 x  210 x  23 x3  10 x 2  x gần bằng số nào dưới đây? A. 0,35. B. 0,40. C. 0,50. D. 0,45. Hướng dẫn giải 3 2 3 2 x Ta có 223 x .2 x  210 x  23x 3  10 x 2  x  223 x  23 x3  x  210 x  10 x 2 Đặt f  t   2t  t , ta có f   t   2t.ln 2  1  0, t  .  x0 Mà f  23 x  x   f 10 x 3 2  nên 23 x  x  10 x   3 2 . x  5  2  23 10 Vậy tổng các nghiệm của phương trình là . 23 Chọn B. Ví dụ 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 3m  27 3 3m  27.2 x  2 x có nghiệm thực? A. 6. B. 4. C. Vô số. D. Không tồn tại m. Hướng dẫn giải Ta có 3 3m  27 3 3m  27.2 x  2 x  27 3 3m  27.2 x  23 x  3m. 1 Đặt 2 x  u , điều kiện: u  0 và 3 3m  27.2 x  v  v 3  3m  27.u.  2 (1) trở thành u 3  27v  3m.  3 Từ (3) và (2) suy ra u 3  27v  v 3  27u   u  v  .  u 2  uv  v 2  27   0  u  v. 2  1  3v 2 Do u  uv  v  4   u  v   2 2  27  0, u , v  , nên  2  4 u 3  27u 3 3m  27u  u  m  , với u  0. 3 u 3  27u Xét hàm số f  u   với u  0. 3 1 Ta có f   u   3  3u 3  27  ; f   u   0  u  3 do u  0. TOANMATH.com Trang 10
Suy ra min f  u   54. Do đó có vô số giá trị nguyên của m để phương trình  0;  có nghiệm thực. Chọn C. Bài toán 6. Phương trình chứa tham số Phương pháp giải Ví dụ 1. Cho phương trình 4 x  m.2 x 1  2m  0. Biết rằng khi m  m0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  3. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. m0 là số nguyên âm. B. m0 là số nguyên tố. C. m0 là số lẻ. D. m0 là số chính phương. Hướng dẫn giải Bước 1. Đặt t  a  t  0  , chuyển phương trình Ta có: x ban đầu về phương trình ẩn t. 4 x  m.2 x 1  2m  0.   2 x   2m.2 x  2m  0 1 2 Đặt t  2 x , t  0, phương trình thành t 2  2mt  2m  0  2  . Bước 2. Sử dụng định lý Vi-ét về điều kiện có Ta thấy rằng ứng với một giá trị t  0 ta tìm được nghiệm và mối quan hệ giữa các nghiệm để giải một nghiệm x nên để phương trình có hai nghiệm quyết. x1 , x2 thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt t2  t1  0 đồng thời x1  x2  3  2 x1  x2  23  t1.t2  8. Từ đó, ta có điều kiện   0  4m 2  8m  0    S  0   2m  0  m  4. P  8    2m  8 Vậy m0  4 là một số chính phương. Chọn D. Ví dụ 2. Tìm m để phương trình Bài toán: Tìm tham số m để phương trình có TOANMATH.com Trang 11
nghiệm thuộc  x1 ; x2  ta giải như sau: 9 x  2.3x  3  m  0 có nghiệm thuộc  0;   . Bước 1. Đặt t  a x , t  0 Đặt 3x  t ,  t  0  . Vì x   0;   nên t  1;   . vì x   x1 ; x2   t   a x1 ; a x2  . Bước 2. Chuyển về phương trình ẩn t, cô lập m Phương trình trở thành: chuyển về dạng f  t   m t 2  2t  3  m  0  m  t 2  2t  3. Bước 3. Xét hàm f  t  : tìm đạo hàm, lập bảng Xét hàm số f  t   t 2  2t  3 trên khoảng 1;   . biến thiên và đưa ra kết luận. Có f   t   2t  2  0  t  1. Ta có bảng biến thiên t 1  f  t  +  f t  2 Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy m  2 thỏa mãn yêu cầu đề bài. Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 4 x  m.2 x  2m  5  0 có hai nghiệm trái dấu? A. Vô số. B. 0. C. 1. D. 4. Hướng dẫn giải Ta có 4 x  m.2 x  2m  5  0   2 x   m.2 x  2m  5  0 2 Đặt t  2 x , t  0, phương trình thành t 2  mt  2m  5  0  2  . Đặt f  t   t 2  mt  2m  5 Nhận xét rằng với một giá trị t  0 ta tìm được một nghiệm x nên để phương trình có hai nghiệm x1  0  x2 thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt t2  t1  0 đồng thời t1  1  t2 (vì 2 x1  20  2 x2 ). Từ đó, ta có:   2 m 2  8m  20  0    0  m  4  2 m  5   0   P  0   5 2m  5  0 m 5      2   m  4.  S  0  m0  2 m0 1. f  t   0 1. 1  m  2m  5   0     m4 Vậy chỉ có một giá trị nguyên của tham số m thỏa đề. Chọn C. TOANMATH.com Trang 12
Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình 2 x  3  m 4 x  1 * có nghiệm duy nhất? A. 3. B. Vô số. C. 1. D. 2. Hướng dẫn giải t 3 Đặt t  2 x , t  0, phương trình *  t  3  m t 2  1  m  1 . t2 1 t 3 Xét hàm số f  t   xác định trên tập D   0;   . t2 1 1  3t 1 Ta có f   t   . Cho f   t   0  1  3t  0  t  . t 2  1 t2 1 3 Bảng biến thiên 1 x  0  3 y + 0  10 y 3 1 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với 1  m  3 hoặc m  10 phương trình có nghiệm duy nhất nên có hai giá trị nguyên của tham số m. Chọn D. Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình 2.4 x 1  5.2 x 1  m  0, * có nghiệm? A. 3. B. 0. C. 1. D. 4. Hướng dẫn giải x 1 1 Đặt t  2 , điều kiện t  vì x  1  1. 2 Khi đó *  2t 2  5t   m. 1  Xét hàm số y  2t 2  5t trên  ;   . 2  5 Ta có y  4t  5. Cho y  0  4t  5  0  t  . 4 1 5 x   2 4 y + 0  TOANMATH.com Trang 13
25 8 y 2  25 Do đó phương trình có nghiệm khi m  . 8 Chọn A. Bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1: Giá trị của tham số k để hai phương trình 3x  30  x 1 và x  k  0  2  có nghiệm chung là A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. 3 9 x  4 Câu 2: Phương trình 3x  81 có bao nhiêu nghiệm? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.      12 có bao nhiêu nghiệm? x x Câu 3: Phương trình 6  35 6  35 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 4: Phương trình 2 x  2.5 x  40000 có bao nhiêu nghiệm nguyên? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 5: Phương trình 3 x 2  666661 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 6: Phương trình 4 x  10.2 x  16  0 có bao nhiêu nghiệm? A. 1. B. 4. C. 3. D. 2. 2  4 x 5 Câu 7: Cho phương trình 3x  9. Tổng các lập phương các nghiệm thực của phương trình là A. 28. B. 27. C. 26. D. 25. 2 3 x 8 Câu 8: Cho phương trình 3x  92 x 1 , khi đó tập nghiệm của phương trình là  5  61 5  61  A. S  2;5 . B. S   ; .  2 2   5  61 5  61  C. S   ; . D. S  2; 5 .  2 2  x 1 1 Câu 9: Phương trình 3  9.   x  4  0 có bao nhiêu nghiệm âm? 3 A. 1. B. 3. C. 0. D. 2. 28 x4 2 Câu 10: Cho phương trình 2 3  16 x 1. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Tổng các nghiệm của phương trình là một số nguyên. B. Tích các nghiệm của phương trình là một số âm. C. Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ. TOANMATH.com Trang 14
D. Phương trình vô nghiệm. Câu 11: Phương trình 28 x .58 x  0, 001. 105  2 2 1 x có tổng các nghiệm là A. 7. B. -7. C. 5. D. -5. Câu 12: Phương trình 9 x  5.3x  6  0 có nghiệm là A. x  1, x  log 2 3. B. x  1, x  log3 2. C. x  1, x  log3 2. D. x  1, x   log3 2. Câu 13: Cho phương trình 4.4 x  9.2 x1  8  0. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Khi đó, tích x1.x2 bằng A. -1. B. 2. C. -2. D. 1. Câu 14: Cho phương trình 4 x  41 x  3. Khẳng định nào sau đây sai? A. Phương trình đã cho tương đương với phương trình: 4 2 x  3.4 x  4  0. B. Phương trình có một nghiệm. C. Nghiệm của phương trình là luôn lớn hơn 0. D. Phương trình vô nghiệm. Câu 15: Nghiệm của phương trình 2 x  2 x 1  3x  3x 1 là 3 2 A. x  log 3 . B. x  1. C. x  0. D. x  log 4 . 2 4 3 3 Câu 16: Nghiệm của phương trình 6.4  13.6  6.9  0 là x x x 2 3 A. x  0;1 . B. x   ;  . C. x  1;0 . D. x  1;1 . 3 2 Câu 17: Nghiệm của phương trình 12.3x  3.15 x  5 x1  20 là A. x  log 5 3  1. B. x  log 3 5. C. x  log 3 5  1. D. x  log 3 5  1. Câu 18: Phương trình 9 x  5.3x  6  0 có tổng các nghiệm là 2 3 A. log 3 6. B. log 3 . C. log 3 . D.  log 3 6. 3 2 Câu 19: Phương trình 5 x  251 x  6 có tích các nghiệm là  1  21   1  21   1  21  A. log 5  B. log5  C. 5. D. 5 log 5   2  .  2  .  2  .          2  3 x x Câu 20: Phương trình 7  4 3  6 có nghiệm là A. x  log 2 3 2.   B. x  log 2 3. C. x  log 2 2  3 .   D. x  1. 2 2 2 3 x  2 6 x 5 3 x 7 Câu 21: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 4 x  4x  42 x  1. A. x  5; 1;1; 2 . B. x  5; 1;1;3 . C. x  5; 1;1; 2 . D. x  5; 1;1; 2 .       10  x x x Câu 22: Phương trình 3 2 3 2 có bao nhiêu nghiệm thực? TOANMATH.com Trang 15
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 2 2 Câu 23: Cho phương trình 2cos x  4.2sin x  6. Phương trình có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 2. C. 4. D. Vô số nghiệm. Câu 24: Phương trình x.2 x  x 2  2  2 x 1  3x có tổng các nghiệm bằng bao nhiêu? A. 0. B. 4. C. 3. D. 2.       7 x x x Câu 25: Phương trình 5 2 3 2 có bao nhiêu nghiệm? A. 4. B. 0. C. 3. D. 2. Câu 26: Phương trình 32 x  2 x  3x  1  4.3 x  5  0 có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm? A. 1. B. 2. C. 0. D. 3. 2 Câu 27: Phương trình 2 x 3  3x 5 x  6 có hai nghiệm x1 , x2 trong đó x1  x2 hãy chọn phát biểu đúng? A. 3 x1  2 x2  log 3 54. B. 2 x1  3 x2  log 3 8. C. 2 x1  3 x2  log3 54. D. 3 x1  2 x2  log 3 8. Câu 28: Phương trình 4sin x  4cos x  2 2  sin x  cos x  có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn  0;15 ? 2 2 A. 3. B. 1. C. 2. D. 3. 2 Câu 29: m là tham số thay đổi sao cho phương trình 9 x  4.3x 1  27 m 1 có hai nghiệm phân biệt. Tổng hai nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu? A. 1. B. -3. C. 2. D. -4.    2  3 x x Câu 30: Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 2  3  m có hai nghiệm phân biệt? A. m  2. B. m  2. C. m  2. D. m  2. Câu 31: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình 2 x 2 4 2    2 2 x  2   2 x 2 x 2 1 2 2 3  1. Khi đó, tổng hai nghiệm bằng? A. -2. B. 2. C. 0. D. 1. 2 x 2m Câu 32: Tìm tập nghiệm S của phương trình 3x 1.5 xm  15, m là tham số khác 2. A. S  2; m log 3 5 . B. S  2; m  log 3 5 . C. S  2 . D. S  2; m  log 3 5 . 2 3 Câu 33: Biết rằng phương trình 3x 1.25 x 1  có đúng hai nghiệm x1 , x2 . Tính giá trị của 25 P  3x1  3x2 . 26 26 A. P  . B. P  26. C. P  26. D. P  . 5 25   x  1 có bao nhiêu nghiệm? 2 2 Câu 34: Phương trình 2 x 1  2 x x A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. TOANMATH.com Trang 16
Câu 35: Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2017sin x  2017 cos x  cos 2 x trên đoạn  0;  . 2 2   3 A. T  . B. T  . C. T  . D. T  . 4 2 4   x 2  1 3x 1  1 có đúng hai nghiệm phân biệt. Tổng lập phương 2 1 Câu 36: Biết rằng phương trình 3x hai nghiệm của phương trình bằng A. 2. B. 0. C. 8. D. 8. Câu 37: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 9 x  2.3x 1  m  0 có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  1. A. m  6. B. m  3. C. m  3. D. m  1. Câu 38: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 4 x  m.2 x 1  2m  0 có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  2. A. m  4. B. m  3. C. m  2. D. m  1. Câu 39: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 2017 2 x 1  2m.2017 x  m  0 có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  1. A. m  0. B. m  3. C. m  2. D. m  1. Câu 40: Cho phương trình  m  116 x  2  2m  3 4 x  6m  5  0 với m là tham số thực. Tập các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu có dạng  a; b  . Tính P  ab. 3 5 A. P  4. B. P  4. C. P   . D. P  . 2 6 Câu 41: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình 9 x   m  1 3x  2m  0 có nghiệm duy nhất. A. m  5  2 6. B. m  0; m  5  2 6. C. m  0. D. m  0; m  5  2 6. 2 2  2 x 1 2 x 2 Câu 42: Cho phương trình 4 x  m.2 x  3m  2  0 với m là tham số thực. Tìm các giá trị của m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt. A. m  1. B. m  1; m  2. C. m  2. D. m  2. 2 2 5 x 6 Câu 43: Cho phương trình m.2 x  21 x  2.265 x  m với m là tham số thực. Có tất cả bao nhiêu giá trị của m để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 44: Cho phương trình 251 1 x 2   m  2  51 1 x 2  2m  1  0 với m là tham số thực. Số nguyên dương m lớn nhất để phương trình có nghiệm là A. m  20. B. m  35. C. m  30. D. m  25. Dạng 2: Bất phương trình mũ TOANMATH.com Trang 17
Bài toán 1. Biến đổi về dạng bất phương trình cơ bản Ví dụ mẫu   x1 Ví dụ 1. Giải bất phương trình 3 1  42 3 Hướng dẫn giải Ta thấy a  3  1  0;1 nên ta có: x  1  log 3 1  4  2 3   x  1  2  x  1. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là  ;1 Chọn D. Ví dụ 2. Tập nghiệm của bất phương trình 2 2 x 1  22 x  2  22 x 3  448 là  9 9   9  9  A.  ;  . B.  ;   . C.  ;   . D.   ;   .  2  2   2  2  Hướng dẫn giải 1 2x 1 2x 1 2x 7 Ta có: .2  .2  .2  448  .22 x  448  22 x  512 2 4 8 8 9  2 x  log 2 512  2 x  9  x  . 2 Chọn B. Ví dụ 3. Tập nghiệm của bất phương trình 2 x  2 x  2  2 x  4  3x  3x  2  3x  4 là  13   13  A. T   ;log 2  . B. T  log 2 ;   .  3 3   3 3   13   13  C. T   ;log 2  . D. T   log 2 ;   .  3 3   3 3  Hướng dẫn giải x 2 x 91  2  13 Ta có: 2  4.2  16.2  3  9.3  81.3  21.2  91.3  x  x x x x x x    . x x 3 21  3  3 2 13 Vì cơ số a    0;1 nên bất phương trình thành x  log 2 . 3 3 3 Chọn A. 2x     x Ví dụ 4. Tập nghiệm của bất phương trình 5 2 x1  52 là A.  ; 1   0;1. B.  1; 0. C.  ; 1   0;   . D.  1;0  1;   . Hướng dẫn giải      1 Ta thấy 52 5  2 1 5  2  52 nên bất phương trình thành TOANMATH.com Trang 18
2x     x 5 2 x 1  5 2 . 1 Vì cơ số a  5  2   0;1 nên 2x 2x x2  x  1  x  0 1   x  x0 0 . x 1 x 1 x 1  x 1 Chọn D. Bài toán 2. Bất phương trình theo một hàm số mũ Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Bất phương trình 5.4 x  2.25x  7.10 x  0 có bao nhiêu nghiệm nguyên? A. 2. B. 3. C. 0. D. 1. Hướng dẫn giải Ta có: 5.4 x  2.25 x  7.10 x  0 2x x 25 x 10 x 5 5  5  2. x  7. x  0  2.    7.    5  0 4 4 2 2 x 5 5  1      0  x  1. 2 2 Vậy bất phương trình có hai nghiệm nguyên. Chọn A. 2 2 x Ví dụ 2. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 4 2 x  5.4 x  4 2 x 1  0 là A. 2. B. 4. C. 0. D. 1. Hướng dẫn giải    5.4 x .4 x  4.  4 x   0 2 2 2 2 2 2 x Ta có: 4 2 x  5.4 x  42 x 1  0  4 x   2 2 2 x x  4x  5.4 x 40  4x x  1 2  x2  x  0  2  2  4 x  x  4 x  x  2  x0  x 1  .  x  1   x2 Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 2. Chọn A. 4 x  3.2 x 1  8 Ví dụ 3. Bất phương trình  0 có bao nhiêu nghiệm nguyên âm? 2 x 1  1 A. 2. B. -1. C. 0. D. 1. TOANMATH.com Trang 19
Hướng dẫn giải  2 x   6.2 x  8 2 4 x  3.2 x 1  8 Ta có: 0 0 2 x 1  1 2.2 x  1 t 2  6t  8 x Lập bảng xét dấu của f  t   , 2  t. 2t  1 1 x  2 4  2 VT  + 0  0 + Từ bảng xét dấu ta có:  2x  4 2  x 2  6.2 x  8  0  1   x2 2.2 x  1   2x  2  1  x  1.  2  Vậy bất phương trình không có nghiệm nguyên âm. Chọn C. 1 1 Ví dụ 5. Bất phương trình x 1  có tập nghiệm dạng S   a; b    a;   với a  0 . Giá trị 5 1 5  5x tổng a  b là A. 2. B. 3. C. 0. D. 1. Hướng dẫn giải 1 1 1 1 5  5 x  5.5 x  1 Ta có:     0  0 5 x 1  1 5  5x 5.5 x  1 5  5 x  5.5x  1 . 5  5x  5  5 x  5.5 x  1 6  6.5 x   0  0  5.5x  1 . 5  5x   5.5x  1 .  5  5x  Đưa vế trái về dạng một ẩn chứa 5x sau đó xét dấu t 2  6.t Lập bảng xét dấu f  t   ,5 x  t.  5.t  1 .  5  t  1 x  1 5  5 VT  + 0  +  5x  5 6  6.5x  x 1 Từ bảng xét dấu ta có  0  1  . 5.5  1 .5  5  x x   5  1  1  x  0  5 x Vậy a  1, b  0  a  b  1. Chọn D. Bài toán 3. Lấy logarit hai vế TOANMATH.com Trang 20