Giáo án Hình học 11: Khoảng cách trong không gian

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:32

Thêm vào BST

Báo xấu

23
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo án "Hình học 11: Khoảng cách trong không gian" giúp học sinh nắm được khái niệm khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, từ một điểm đến mặt phẳng và khoảng cách đường thẳng đến mặt phẳng;... Mời quý thầy cô và các em cùng tham khảo giáo án tại đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo án Hình học 11: Khoảng cách trong không gian

BÀI GIẢNG KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững khái niệm khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, từ một điểm đến mặt phẳng và khoảng cách đường thẳng đến mặt phẳng. + Nắm được khái niệm khoảng cách giữa hai đường thẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng. + Nắm vững các tính chất về khoảng cách.  Kĩ năng + Xác định được hình chiếu của một điểm đến đường thẳng và trên mặt phẳng. + Biết cách tính khoảng cách trong từng trường hợp. I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng Cho điểm O và đường thẳng  . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên  . Khi đó khoảng cách OH được gọi là khoảng cách từ điểm O đến  . d  O,    OH . Nhận xét: OH  OM , M   Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng Cho mặt phẳng   và một điểm O. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng   . Khi đó khoảng cách OH được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng   . d  O,     OH . Nhận xét: OH  OM , M    Trang 1
Khoảng cách từ một đường thẳng tới một mặt phẳng Cho đường thẳng  và mặt phẳng   song song với nhau. Khi đó khoảng cách từ một điểm bất kì trên  đến mặt phẳng   được gọi là khoảng cách giữa đường thẳng  và mặt phẳng   . d  ,     d  M ,    với M   Khoảng cách giữa hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng   và    song song với nhau. Khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia được gọi là khoảng cách giữa hai mặt phẳng   và    . d    ,      d  M ,      d  N ,    với M    , N     . Khoảng cách giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng chéo nhau a,b. Độ dài đoạn vuông góc chung MN của a và b được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b. d  a, b   MN . TOANMATH.com Trang 2
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Khoảng cách từ điểm đến d  O,    OH đường thẳng Khoảng cách từ điểm đến mặt d  O,     OH phẳng d   ,     d  M ,    Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng d    ;      d  M ;     Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song M    Khoảng cách giữa hai đường d  a, b   MN thẳng chéo nhau TOANMATH.com Trang 3
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng Phương pháp giải Bài toán: Xác định khoảng cách từ điểm O đến Ví dụ. Khối chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông mặt phẳng  P  . cân tại B và AB  a, SA   ABC  . Góc giữa cạnh bên SB và mặt phẳng  ABC  bằng 60O . Tính khoảng cách từ A đến  SBC  . Hướng dẫn giải Ta có AH  SB; AH  BC  AH   SBC  Bước 1. Xác định hình chiếu H của O trên   .  AH  d  A.  SBC   . +) Dựng mặt phẳng  P  chứa O và vuông góc với   . +) Tìm giao tuyến   của  P  và   . +) Kẻ OH    H    . Khi đó d  O;     OH . Bước 2. Tính OH. Tam giác SAB vuông tại A nên Lưu ý: Tính chất của tứ diện vuông. 1 1 1 a 3 2  2 2  AH  AH SA AB 2 Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O.  OA  OB; OB  OC; OC  OA và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng  ABC  . 1 1 1 1 Khi đó ta có 2    . OH OA OB OC 2 2 2 TOANMATH.com Trang 4
Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết khối chóp S . ABC có thể tích bằng a 3 . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBC  . Hướng dẫn giải Gọi I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên BC và SI. Ta có AI  BC ; SA  BC  AK   SBC   AK  d  A,  SBC   . a2 3 Ta có V  a 3 ; S ABC   SA  4a 3. 4 Trong tam giác vuông SAI, ta có 1 1 1 4a 195 2  2  2  AK  . AK SA AI 65 Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy là hình chữ nhật với AD  a 3 . Tam giác A ' AC vuông cân tại A’ và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết rằng A ' A  a 2 . Tính khoảng cách từ D’ đến mặt phẳng  A ' ACC ' Hướng dẫn giải Trong  A ' AC  , kẻ A ' I  AC. Vì  A ' AC    ABCD  và  A ' AC    ABCD   AC nên A ' I   ABCD  . Vì DD ' AA ' nên DD '   A ' ACC '  d  D ',  A ' AC    d  D,  A ' AC   Kẻ DH  AC. Ta có AC  A ' A 2  2a  CD  a. a 3 Suy ra d  D,  A ' AC    DH  . 2 Bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1: Mệnh đề nào sau đây đúng? TOANMATH.com Trang 5
A. Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng  P  bằng độ dài đoạn AH với H là một điểm bất kì trên mặt phẳng  P  . B. Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng  P  bằng độ dài đoạn AH với AH   P  . C. Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng  P  là độ dài nhỏ nhất của đoạn AH. D. Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến mặt phẳng  P  bằng độ dài đoạn AH với H là hình chiếu vuông góc của A trên  P  . Câu 2: Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  , ABC là tam giác đều cạnh a, SA  2a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  bằng 57 a 57a 2 57 a 57 a A. B. C. D. 3 6 3 12 Câu 3: Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  , ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA  2a . Khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SAB  bằng 3a 3a A. a B. 2a C. D. 3 2 Câu 4: Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  , ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA  2a . Gọi M là trung điểm BC. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng  SAB  bằng a 3a 3a A. B. a C. D. 2 4 2 Câu 5: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang,    90o , BA  BC  a; AD  2a . ABC  BAD Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc tạo bởi giữa SC và  SAD  bằng 30o . Khoảng cách từ A đến  SCD  bằng a A. a B. a 2 C. D. a 3 2 Câu 6: Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  , ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA  2a . Gọi G là trọng tâm ABC . Khoảng cách từ G đến mặt phẳng  SBC  bằng 57 a 57a 2 57 a 57 a A. B. C. D. 3 6 9 18 Câu 7: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành với BC  a 2,  ABC  60o . Tam giác SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng  SAB  bằng a 6 a 2 2a 6 A. B. C. a 2 D. 2 2 3 Câu 8: Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  , ABC là tam giác vuông tại B, BC  2a . Khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SAB  bằng TOANMATH.com Trang 6
3a 3a A. a B. C. 2a D. 2 4 Câu 9: Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  , ABC là tam giác vuông tại B, AB  a, BC  2a . Biết góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng  ABC  bằng 45o . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  bằng a 2 a 3 a 3 a 6 A. B. C. D. 2 2 3 3 Câu 10: Cho hình chóp S . ABC có SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  , ABC là tam giác vuông tại B, AB  a, BC  2a, SA  a . Gọi G là trọng tâm tam giác SAB. Khoảng cách từ G đến mặt phẳng  SAC  bằng 2 5a 2 5a 4 5a 6 5a A. B. C. D. 5 15 15 5 Câu 11: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  BCD  bằng a 6 a 3 2a 6 a 6 A. B. C. D. 2 3 3 3 Câu 12: Cho tứ diện đều ABCD, biết khoảng cách A đến mặt phẳng  BCD  bằng a 6 . Diện tích tam giác ABC bằng 9 3a 2 3 3a 2 7 3a 2 9 3a 2 A. B. C. D. 4 4 4 2 Câu 13: Cho hình chóp S . ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  , ABCD là hình vuông cạnh a. Biết góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng  ABCD  bằng 60o . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SCD  bằng 3a 3a 3a A. B. C. a D. 4 2 6 Câu 14: Cho hình chóp S . ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  , ABCD là hình vuông cạnh a, SA  a 3 . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBD  bằng 3a 2a 21a 21a A. B. C. D. 4 2 3 7 Câu 15: Cho hình chóp S . ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  , ABCD là hình chữ nhật với AB = a, BC= 2a, SA=3a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) bằng 6a 3 21a 5a 21a A. B. C. D. 7 7 7 7 TOANMATH.com Trang 7
Câu 16: Cho hình chóp S . ABCD có  SAB  và  SAD  cùng vuông góc với mặt phẳng  ABCD  , ABCD là hình vuông cạnh a, SA  a 3 . Khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SBD  bằng 3a 2a 21a 21a A. B. C. D. 4 2 3 7 Câu 17: Cho hình chóp S . ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  , ABCD là hình vuông tâm O có cạnh a. Biết góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABCD  bằng 60o . Khoảng cách từ O đến mặt phẳng  SBC  bằng 3a 3a 3a A. B. C. a D. 4 2 6 Câu 18: Cho hình chóp S . ABCD có  SAB  và  SAD  cùng vuông góc với mặt phẳng  ABCD  , ABCD   120o , biết SC hợp với đáy một góc 45o . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng là hình thoi cạnh a, BAD  SCD  bằng 3a 2a 21a 21a A. B. C. D. 4 2 3 7 Câu 19: Cho hình chóp S . ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  , SA  a, ABCD là hình thoi cạnh a,  ABC  60o . Gọi G là trọng tâm tam giác SBC. Khoảng cách từ G đến mặt phẳng  SCD  bằng 3 21a 2 21a 21a 21a A. B. C. D. 7 7 21 7 Câu 20: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng a, SA   ABCD  và SA  a 3 . Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng  SBC  bằng a 3 a 3 a 2 A. B. C. D. a 2 4 2 Câu 21: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng a, SA   ABCD  và SA  a 3 . Khoảng cách từ trong tâm G của SAB đến mặt phẳng  SAC  bằng a a 2 a 2 a 2 A. B. C. D. 2 4 6 3 Câu 22: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SA   ABCD  , AC  a và AB  a 3 . Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  SAB  bằng a 3 a 6 A. a 2 B. a C. D. 2 3 Câu 23: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau, AB  a, AC  b, AD  c . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  BCD  bằng TOANMATH.com Trang 8
1 1 1 1 1 A. B.   C. a 2  b2  c 2 D. 1 1 1 a 2 b2 c2 a  b2  c2 2   a 2 b2 c2 Câu 24: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  a, BC  a 3, SA   ABCD  . Góc giữa SC và mặt đáy bằng 45o . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SCD  bằng a 21 2a 21 A. a 2 B. C. D. a 3 6 7 Câu 25: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABCD là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên SB vuông góc mặt phẳng  ABC  và SB  2a . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng  SAM  bằng a 5 a 2a 17 A. B. C. a 5 D. 5 2 17 Câu 26: Cho lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác vuông cân tại A với AB  AC  3a . Hình chiếu vuông góc của B ' lên mặt đáy là điểm H thuộc BC sao cho HC  2 HB . Biết cạnh bên của lăng trụ bằng 2a. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng  B ' AC  bằng 2a 3a 3 a A. B. a 3 C. D. 3 2 2 Câu 27: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' có cạnh bằng a. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng  A ' CD  bằng a 3 a a 2 A. a 2 B. C. D. 2 2 2 Câu 28: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có AB  a, BC  2a, BB '  a 3 . Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng  ACC ' A ' bằng a 5 2a 5 A. B. a C. D. 2a 2 5 Câu 29: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng   60o , SO   ABCD  , SO  a . Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng  SBC  bằng a, BAD a a 3 a 3 a 39 A. B. C. D. 2 4 2 13 Câu 30: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng   60o , SO   ABCD  , SO  a . Khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng  SBC  bằng a, BAD a a 3 a 3 a 39 A. B. C. D. 2 4 2 13 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN 1-D 2-B 3-D 4-C 5-A 6-D 7-A 8-C 9-A 10-B 11-D 12-A 13-B 14-D 15-A 16-D 17-A 18-D 19-C 20-B TOANMATH.com Trang 9
21-C 22-D 23-A 24-C 25-D 26-B 27-D 28-C 29-B 30-C Lời giải chi tiết Câu 2. Gọi M là trung điểm BC, H là hình chiếu vuông góc của A trên SM  BC  AM Ta có:   BC   SAM    SBC    SAM  .  BC  SA  AH   SBC   d  A;  SBC    AH . a 3 Ta có AM  . 2 Xét SAM vuông tại A có 1 1 1 1 4 19 a 57 2  2  2  2 2  2  AH  . AH AS AM 4a 3a 12a 6 Câu 3. Do SA   ABC    SAB    ABC  . Dựng CN  AB  CN   SAB   d  C ;  SAB    CN . a 3 Do ABC đều cạnh a nên CN  . 2 a 3 Vậy d  C ;  SAB    . 2 Câu 4. Do SA   ABC    SAB    ABC  . Dựng CN  AB  CN   SAB   d  C ;  SAB    CN . a 3 Do ABC đều cạnh bằng a nên CN  . 2 Do M là trung điểm BC nên 1 a 3 d  M ;  SAB    d  C ;  SAB    . 2 4 Câu 5. Gọi E là trung điểm AD. Khi đó ABCE là hình vuông cạnh a. Suy ra CE  AD . Lại có CE  SA .    Do đó CE   SAD   CSE SC ,  SAD    30o. Lại có: SC.sin 30o  CE  a  SC  2a. TOANMATH.com Trang 10
ABC vuông cân tại B nên AC  a 2. Ta có SA  SC 2  AC 2  a 2. 1 Do CE  AD nên ACD vuông tại C  AC  CD. 2 Dựng AF  SC. SA.SC a 2.a 2 Ta có: d  A,  SCD    AF    a. SC 2a Câu 6. Gọi M là trung điểm BC, H là hình chiếu vuông góc của A trêm SM.  BC  AM Ta có:   BC   SAM    SBC    SAM  .  BC  SA  AH   SBC   d  A;  SBC    AH . Xét SAM vuông tại A có 1 1 1 a 57 2  2  2  AH  . AH AS AM 6 GM 1 Do G là trọng tâm ABC nên  . MA 3 1 57 a Suy ra d  G;  SBC    d  A;  SBC    . 3 18 Câu 7. Dựng SH  AB. Do  SAB    ABCD  nên SH   ABCD  . Dựng CK  AB . Vì CK  SH nên CK   SAB  . Do CD AB nên d  D,  SAB    d  C ,  SAB    CK 3 a 6  BC sin 60o  a 2.  . 2 2 Câu 8. Do SA   ABC  nên  SAB    ABC  . Mặt khác do BC  AB  BC   SAB  . Suy ra d  C ;  SAB    CB  2a. Câu 9. Do SA   ABC  nên AB là hình chiếu vuông góc của SB trên  ABC    SB;  ABC    SBA   45o. Vậy SAB vuông cân tại A  SA  AB  a. TOANMATH.com Trang 11
Dựng AH  SB , ta có:  SAB    SBC   AH   SBC   d  A;  SBC    AH . Xét SAB vuông tại A nên 1 1 1 a 2 2  2  2  AH  . AH AS AB 2 Câu 10. Do SA   ABC  nên  SAC  ABC  . Trong mặt phẳng  ABC  , dựng BH  AC. Ta có BH   SAC  . Suy ra d  B;  SAC    BH . Xét ABC vuông tại B nên 1 1 1 2 5a 2  2  2  BH  . BH BA BC 5 NG 1 Do G là trọng tâm SAB nên  . NB 3 1 2 5a Suy ra d  G;  SBC    d  A;  SBC    . 3 15 Câu 11. Gọi M là trung điểm CD và H là hình chiếu vuông góc của A trên BM. CD  AM Ta có:   CD   ABM   CD  AH 1 . CD  BM Tương tự, ta chứng minh được BC  AH  2  . Tự 1 và  2  suy ra AH   BCD  . Suy ra d  A;  BCD    AH và H là trọng tâm BCD. Xét ABH vuông tại H có a 6 AH  AB 2  BH 2  . 3 Nhận xét: Trong tứ diện đều, hình chiếu vuông góc của một đỉnh trên mặt phẳng đối diện là trực tâm (trọng tâm) của mặt đó. Câu 12. Gọi M là trung điểm CD và H là hình chiếu vuông góc của A trên BM. Áp dụng kết quả câu 11, ta có d  A;  BCD    AH và H là trọng tâm BCD. Xét ABH vuông tại H: AH 2  AB 2  BH 2 TOANMATH.com Trang 12
2 2 3   AH  AB   . 2 2 AB  3 2  2  6a 2  AB 2  AB  3a. 3 3  3a  2 9 3a 2 Vậy S ABC   . 4 4 Câu 13. Do SA   ABCD  nên AB là hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng  ABCD    SB;  ABCD    SBA .  BC  SA Ta có:   BC   SAB    SAB    SBC  .  BC  AB   a 3. Xét SAB vuông tại A : SA  AB tan SBA Dựng AH  SD  AH   SCD   d  A;  SCD    AH . 1 1 1 3a Xét SAD vuông tại A : 2  2  2  AH . AH AS AD 2 a 3 Do AB CD nên d  B;  SCD    d  A;  SCD    . 2 Câu 14.  BD  OA Gọi O là tâm hình vuông ABCD    BD  SA  BD   SAO    SBD    SAO  . Dựng AK  SO  AK   SBD  . Suy ra d  A;  SBD    AK . 1 1 1 21a Xét SAO vuông tại A : 2  2  2  AK  . AK AS AO 7 Câu 15. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BD.  BD  SA Ta có:   BD   SAH    SBD    SAH  .  BD  AH Dựng AK  SH  AK   SBD  . Suy ra d  A;  SBD    AK . 1 1 1 Xét SAH vuông tại A : 2  2  AK AS AH 2 1  1 1  6a  2  2  2   AK  . AS  AB AD  7 TOANMATH.com Trang 13
Câu 16.  SAB    ABCD   Ta có:  SAD    ABCD   SA   ABCD  .   SAB   ( SAD)  SA  BD  OA Gọi O là tâm hình vuông ABCD    BD  SA  BD   SAO    SBD    SAO  . Dựng AK  SO  AK   SBD  . Suy ra d  A;  SBD    AK . 1 1 1 21a Xét SAO vuông tại A có 2  2  2  AK  . AK AS AO 7 Do O   SBD  và O là trung điểm AC nên 21a d  C ;  SBD    d  A;  SBD    . 7 Câu 17.  BC  AB Ta có:   BC   SAB   BC  SB.  BC  SA Suy ra   SBC  ;  ABCD    SBA .   a 3. Xét SAB vuông tại A : SA  AB tan SBA Vì BC   SAB  nên  SAB    SBC  . Dựng AH  SB  AH   SBC   d  A;  SBC    AH . Xét SAB vuông tại A nên 1 1 1 3a 2  2  2  AH  . AH AS AB 2 Do C   SBC  và O là trung điểm AC nên 1 3a d  O;  SBC    d  A;  SBC    . 2 4 Câu 18.  SAB    ABCD   Ta có:  SAD    ABCD   SA   ABCD  .   SAB    SAD   SA   60o. Tam giác ABC cân tại B và BAC Suy ra ABC , ACD đều. TOANMATH.com Trang 14
Vậy  SC ;  ABCD    SCA   45o  SA  AC  a. CD  AM Gọi M là trung điểm của CD    CD   SAM  . CD  SA Dựng AH  SM  AH   SCD   d  A;  SCD    AH . Xét SAM vuông tại A: 1 1 1 21a 2  2  2  AH  . AH AS AM 7 21a Do AB / /  SCD  nên d  B;  SCD    d  A;  SCD    . 7 Câu 19. ABC cân tại B và  ABC  60o  ABC , ACD đều. Gọi M là trung điểm CD  CD  AM . Mà CD  SA nên CD   SAM  . Dựng AH  SM  AH   SCD   d  A;  SCD    AH . Xét SAM vuông tại A: 1 1 1 21a 2  2  2  AH  . AH AS AM 7 21a Do AB   SCD   d  B;  SCD    d  A;  SCD    . 7 GS 2 Gọi N là trung điểm BC nên  . NS 3 2 Suy ra d  G;  SCD    d  N ;  SCD   3 2 1 1 21a  . d  B;  SCD    d  A;  SCD    . 3 2 3 21 Câu 20. Ta có  SAB   BC   SAB    SBC  theo giao tuyến SB. Kẻ AH  SB nên d  A,  SBC    AH . Vì OA   SBC   C nên d  O,  SBC   CO 1   d  A,  SBC   CA 2 1  d  O,  SBC    d  A,  SBC   2 1 a 3  d  O,  SBC    AH  . 2 4 TOANMATH.com Trang 15
Câu 21. Gọi M là trung điểm của AB. d  G ,  SAC   GS 2 Vì MG   SAC   S  nên   d  M ,  SAC   MS 3 2  d  G,  SAC    d  M ,  SAC   . 3 Ta có: BO  AC và BO  SA  BO   SAC  . Mặt khác: BM   SAC    A . Suy ra: 1 1 a 2 d  M ,  SAC    d  B,  SAC    BO  2 2 4 2 a 2 a 2  d  G,  SAC    .  . 3 4 6 Câu 22. Kẻ CH  AB  H  AB  . Do CH  SA  SA   ABC   nên CH   SAB  . Suy ra d  C ,  SAB    CH . Xét ABC vuông tại C có: BC  AB 2  AC 2  a 2; 1 1 1 3 2  2  2  2. CH AC BC 2a a 6 Vậy d  H ,  SBC    AH  . 3 Câu 23. Kẻ AK  BC  K  BC  và AH  DK  H  DK  . Do BC  DA  do AD   ABC   nên BC   DAK  . Suy ra AH  BC. Do AH  DK nên AH   BCD   d  A,  BCD    AH . Xét ABC vuông tại A có: 1 1 1 1 1 2  2  2  2  2. AK AB AC a b Xét ADK vuông tại A có: 1 1 1 1 1 1 2  2  2  2  2  2. AH AK AD a b c TOANMATH.com Trang 16
1 Vậy d  A,  BCD    AH  . 1 1 1   a2 b2 c2 Câu 24. Vì SA   ABCD  nên  SC ;  ABCD    SCA   45o. Kẻ AH  SD  H  SD 1 . Ta có: CD  AD và CD  SA. Suy ra CD   SAD   CD  AH  2  . Từ (1) và (2) suy ra AH   SCD  . Do đó d  A,  SCD    AH . Xét ABC vuông tại B có: AC  AB 2  BC 2  2a. Xét SAC vuông tại A có: SA  AC.tan 45o  2a. Xét SAD vuông tại A có: 1 1 1 7 2a 21 2  2 2  2  AH  . AH SA AD 12a 7 2a 21 Vậy d  B,  SCD    AH  . 7 Câu 25. Ta có: AM  BC ( ABC đều); AM  SB  do SB   ABC   Do đó AM   SBC  . Trong mặt phẳng  SBM  , kẻ BH  SM . Mà BH  AM nên BH   SAM  . Suy ra d  B,  SAM    BH . Xét SBM vuông tại B có: 1 1 1 1 4 17 2a 17 2  2 2  2  2  2  BH  . BH SB BM 4a a 4a 17 Câu 26. Ta có: BC  3a 2  HB  a 2. Lại có B ' H  BB '2  HB 2  a 2. Dựng HE  AC ; HF  B ' E. Suy ra HF   B ' AC   d  H ,  B ' AC    HF . TOANMATH.com Trang 17
HE CH 2 Ta có    HE  2a. AB BC 3 1 1 1 HE.B ' H 2a Suy ra 2  2   HF   . HF HE B'H2 HE  B ' H 2 2 3 d  B,  B ' AC   BC 3 Mặt khác   . d  H ,  B ' AC   HC 2 3 Do đó d  B,  B ' AC    .HF  a 3. 2 Câu 27. Ta có: AB CD  AB   A ' CD  Khi đó: d  B,  A ' CD    d  A,  A ' CD   Gọi O là tâm hình vuông ADD ' A '. Vì CD  AA ' và CD  AD nên CD   ADD ' A ' . Suy ra CD  AO . Mà AO  A ' D nên AO   A ' CD  . AD ' a 2 Suy ra d  A,  A ' CD    AO   . 2 2 a 2 Vậy d  B,  A ' CD    . 2 Câu 28. Kẻ BH  AC  H  AC  . Lại có BH  AA '  do AA '   ABCD   . Suy ra BH   ACC ' A '  d  B;  ACC ' A '   BH . Xét ABC vuông tại B có: 1 1 1 5 2a 5     BH  . BH 2 AB 2 BC 2 4a 2 5 2a 5 Vậy d  B;  ACC ' A '   . 5 Câu 29. Kẻ OK  BC  BC   SOK  . Trong mặt phẳng  SOK  : Kẻ OH  SK  OH   SBC   d  O,  SBC    OH .   60o nên ABD đều. Vì ABD có AB  AD, BAD a Suy ra BD  a  BO  . 2 TOANMATH.com Trang 18
a2 Suy ra AO  AB 2  BO 2  a 2   a 3. 4 Trong OBC vuông tại O có: 1 1 1 13 a 39 2  2  2  2  OK  . OK OB OC 3a 13 Trong SOK vuông tại O có: 1 1 1 16 a 3 2  2  2  2  OH  . OH OS OK 3a 4 a 3 Vậy d  O,  SBC    OH  . 4 Câu 30. Kẻ OK  BC  K  BC  , OH  SK  H  SK  . Ta có: AD BC  AD   SBC  . Khi đó d  AD,  SBC    d  M ,  SBC   (với M là giao điểm của AD và OK). Kẻ MN OH  N  SK  . Ta có  SOK    SBC  theo giao tuyến SK nên OH   SBC  . Suy ra MN   SBC  . a 3 Suy ra d  AD,  SBC    d  M ,  SBC    MN  2OH  . 2 Dạng 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Bài toán 1. Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau a và b trường hợp a  b Phương pháp giải TOANMATH.com Trang 19
Dựng mặt phẳng   chứa b và vuông góc với a tại Ví dụ. Cho hình chóp S . ABC đáy ABC là tam giác A. vuông tại B, AB  a, BC  2a ; cạnh bên SA vuông Dựng AB  b tại b góc với đáy và SA  2a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC. Hướng dẫn giải AB là đoạn vuông góc chung của a và b.  AB  SA Ta có:  . Suy ra AB là đoạn vuông góc  AB  BC chung của SA và BC. Vậy d  SA, BC   AB  a Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho hình chóp S . ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a; cạnh bên SA vuông góc với đáy; SC hợp với đáy góc 45o . Tính khoảng cách giữa hai dường thẳng SC và BD. Hướng dẫn giải Ta có: AC là hình chiếu vuông góc của SC lên  ABCD  . Suy ra  SC ,  ABCD    SCA   45o.  BD  AC Lại có:   BD  SC.  BD  SA Gọi O  AC  BD . Dựng OH  SC tại H. OH  SC Ta có:  . Suy ra OH la đoạn vuông góc chung của BD và SC. OH  BD Suy ra d  BD, SC   OH . 2a 2 a Xét tam giác OHC vuông tại H có: OH  OC sin 45o  .  . 2 2 2 TOANMATH.com Trang 20