Giáo trình Cơ sở Toán học: Phần 1 - Nguyễn Gia Định

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:91

Thêm vào BST

Báo xấu

22
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Cơ sở Toán học: Phần 1 cung cấp cho người đọc những kiến thức như: Lôgic toán và tập hợp; ánh xạ; quan hệ. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Cơ sở Toán học: Phần 1 - Nguyễn Gia Định

Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o ®¹i häc huÕ tr−êng ®¹i häc khoa häc nguyÔn gia ®Þnh gi¸o tr×nh C¥ Së TO¸N HäC {a,b,c} {a,b} {a,c} {b,c} {a} {b} {c} ∅ huÕ − 2005
`. ´ - A LO I NOI D` U ˆ Nh˜.ng ngu.`.i m´.i b˘ t d` u nghiˆn c´.u to´n hoc thu.`.ng cam thˆ y kh´ xˆy u o o a ¯ˆ ´ a e u a . o ’ ´ a o a du .ng th´i quen ph´t biˆ u mˆt c´ch ch˘t ch˜ nh˜.ng y kiˆn muˆn tr` b`y, kh´ o a e’ o a a e u ´ e ´ ´ o ınh a o . . . hoc tˆp c´c phu .o.ng ph´p lˆp luˆn d ung d ˘ n v` kh´ n˘ m d u.o.c c´c kh´i niˆm co. ´ ´ . a a . a a . a ¯´ . ¯a a o a ¯ . a a e . ’ ’ ban cua to´n hoc. Nh˜ a u.ng kh´ kh˘n n`y du.`.ng nhu. b˘ t nguˆn t`. chˆ : mˆt l` o a a o ´ a ` u o o ˜ o a . . khˆng d u . o ¯ .o.c luyˆn tˆp vˆ lˆgic to´n, mˆt chu d` nghiˆn c´.u c´ch lˆp luˆn suy e a ` o e a o ’ ¯ˆ e e u a a a . . . . . diˆn ´p dung v`o viˆc ch´.ng minh c´c d inh l´ to´n hoc; hai l` do thiˆu c´c kh´i ˜ a e . a e . u a ¯. y a . a ´ e a a niˆm co ’ e . ban v` c´c phu.o.ng ph´p d` ng trong l´ thuyˆt tˆp ho.p m` ng`y nay a a a u y ´ . e a a a . . thu o.`.ng d u.o.c ´p dung trong moi ng`nh to´n hoc v` d` ng l`m co. so. dˆ khai ph´ ¯ . a a a ’ ¯e ’ . . . a u a a v` gia a ’ i th´ c´c kh´i niˆm co ’ ıch a a e . ban cua to´n hoc (nhu. ´nh xa, quan hˆ, ...); ba ’ a a e . . . . l` do khˆng n˘ m d u.o.c nh˜.ng kh´i niˆm co. ban cua d ai sˆ tr`.u tu.o.ng, mˆt chu a o ´ a ¯ . u a e . ’ ’ ¯. o u ´ . o . ’ ¯ˆ ¯ e a e’ d` d ang ph´t triˆ n manh m˜ v` c´ anh hu ’ e a o ’ .o.ng dˆn moi ng`nh to´n hoc kh´c, cu ¯e´ a a a . . . . ’ a a ´ u ¯. o ’ a a ´ thˆ qua c´c cˆ u tr´ c d ai sˆ cua c´c tˆp ho o e .p sˆ quen thuˆc (nhu. tˆp c´c sˆ tu. ´ o a a o . ´ . . . . nhiˆn, tˆp c´c sˆ nguyˆn, tˆp c´c sˆ h˜.u tı, tˆp c´c sˆ thu.c v` tˆp c´c sˆ ph´.c). e a a o . ´ e . ´ a a o u ’ a a o . a a a o u . ´ . ´ Du.o.c su. d ˆng viˆn manh m˜ cua c´c d` ng nghiˆp trong c´c Khoa To´n- - . . ¯o . e . e ’ a ¯ˆ o e . a a Co .-Tin hoc, Cˆng nghˆ Thˆng tin v` Vˆt l´ (Tru.`.ng Dai hoc Khoa hoc-Dai hoc o e o a a y o - . . - . . . . . . Huˆ ´), c´c Khoa To´n v` Tin hoc (Tru.`.ng Dai hoc Su. pham-Dai hoc Huˆ) v` e a a a . o - . . . - . . ´ e a ` ’ a d ˘c biˆt do nhu cˆu hoc tˆp cua c´c sinh viˆn trong Dai hoc Huˆ o a ¯a e a - . . ´ e ’ . c´c Khoa . . . a . e n´i trˆn, ch´ ng tˆi manh dan viˆt gi´o tr` Co ’ o e u o ´ a e ınh . so. To´n hoc, trong khi trˆn thi a e . . . . .`.ng s´ch c´ kh´ nhiˆu t`i liˆu liˆn quan dˆn hoc phˆn n`y (nhu.ng d u.o.c tr` tru o a o a ` a e e e ¯e´ . `a a ¯ . ınh . b`y tan man v` r`.i rac). Diˆu m` ch´ ng tˆi mong muˆn l` c´c kiˆn th´.c cua a ’ . a o . - `e a u o ´ o a a ´ e u ’ ` hoc phˆn n`y phai d u . ¯ a a ’ ¯ .o.c d u.a v`o d` y d u, cˆ d ong, ch´ x´c, cˆp nhˆt v` b´m a ¯ˆ ¯ ’ o ¯ . a ınh a a a a a . . . e ` ¯a . s´t theo yˆu cˆu d `o tao sinh viˆn c´c ng`nh To´n, Vˆt l´, Cˆng nghˆ Thˆng tin a a e a a a a y o . e . o .`.ng d ai hoc v` cao d ˘ng. V´.i su. nˆ ’ ’ . ´ v` mˆt sˆ ng`nh k˜ thuˆt kh´c cua c´c tru o a o o a y a. a ’ a ¯. . a ¯a o . o lu.c hˆt m` cua ban thˆn, ch´ ng tˆi thiˆt ngh˜ d ˆy c`n l` t`i liˆu tham khao . ´ e ınh ’ ’ a u o ´ e ı ¯a o a a e . ’ tˆt cho c´c gi´o viˆn giang day hoc phˆn Nhˆp mˆn Dai sˆ hay Co. so. To´n hoc o´ a a e ’ . . ` a a . o - . o ´ ’ a . Nˆi dung cua t`i liˆu n`y d u.o.c bˆ tr´ trong 6 chu.o.ng. Trong c´c phˆn cua o . ’ a e a ¯ . o ı . ´ a ` a ’ ˜ mˆ i chu o .o.ng c´ nhiˆu th´ du cu thˆ minh hoa cho nh˜.ng kh´i niˆm c˜ ng nhu. o ` e ı . . e’ u a e u . . nh˜u.ng kˆt qua cua ch´ ng. Cuˆi cua mˆ i chu.o.ng l` nh˜.ng b`i tˆp d u.o.c chon loc ´ e ’ ’ u ´ o ’ ˜ o a u a a ¯ . . . . . dˆ dˆn kh´ b´m theo nˆi dung cua chu.o.ng d ´ v` liˆn sau d ´ l` c´c l`.i giai t` ˜ ¯e u e ´ o a o ’ ¯o a ` e ¯o a a o ’ . -o a a .o.ng vˆ Lˆgic to´n v` tˆp ho.p, Anh xa, Quan hˆ, Sˆ tu. ` o ´ ’ cua ch´ ng. D´ l` c´c chu u e a a a . . . . ´ e o . ´ ´ .u tı, sˆ thu.c v` sˆ ph´.c, Da th´.c. nhiˆn v` sˆ nguyˆn, Sˆ h˜ ’ o . a o u e a o e o u ´ ´ - u Ch´ ng tˆi xin chˆn th`nh c´m o.n c´c d` ng nghiˆp d ˜ d ˆng viˆn v` g´p y u o a a a a ¯ˆ o e ¯a ¯o . . e a o ´ cho cˆng viˆc viˆ o e . ´t gi´o tr` Co. so. To´n hoc n`y v` l`.i c´m o.n d ˘c biˆt xin e a ınh ’ a . a a o a ¯a. e . d`nh cho Khoa To´n-Co a a .-Tin hoc (Tru.`.ng Dai hoc Khoa hoc-Dai hoc Huˆ) vˆ su. o - . . - . . ´ ` . e e . . gi´ p d ˜. qu´ b´u v` tao d iˆu kiˆn thuˆn lo.i cho viˆc xuˆ t ban gi´o tr` n`y. u ¯o y a a . ¯` e e . a . . e . ´ a ’ a ınh a Typeset by AMS-TEX
T´c gia mong nhˆn d u.o.c su. chı gi´o cua c´c d` ng nghiˆp v` d ˆc gia vˆ a ’ a ¯ . . . ’ a ’ a ¯ˆ o e a ¯o . . ’ `e nh˜ u.ng thiˆu s´t kh´ tr´nh khoi cua cuˆn s´ch. ´ e o o a ’ ’ ´ o a o -o ´ ´ ´ a e ˆ -o Cˆ Dˆ Huˆ, At Dˆu Trong Dˆng (2005) . . ˜ -. Nguyˆn Gia Dinh e 2
. . CHU O NG I: ˆ ´ ` ˆ . LOGIC TOAN VA TAP HO P . . ˆ ´ 1.1. LOGIC TOAN. 1.1.1. Mˆnh d` v` c´c ph´p to´n lˆgic: e. ¯ˆ a a e e a o 1.1.1.1. Mˆnh d` : Mˆnh d` l` mˆt cˆu phan ´nh mˆt d iˆu d ung ho˘c sai, ch´. e. ¯ˆe e ¯ˆ a o a . e . ’ a o ¯ ` ¯´ . e a . u khˆng pha u ¯´ o ’ i v`.a d ung v`.a sai. u Th´ du: ı . 1) Sˆ 35 chia hˆt cho 5: mˆnh d` d ung. ´ o ´ e e . ¯ˆ ¯´ e 2) M˘t tr` a o.i quay quanh tr´i d ˆ t: mˆnh d` sai. a ¯a ´ e ¯ˆ e . . 3) Tam gi´c ABC c´ 3 g´c vuˆng: mˆnh d` sai. a o o o e . ¯ˆe 4) 2 < 5: mˆnh d` d ung. e . ¯ˆ ¯´ e ’ a ’ C´c cˆu hoi, cˆu cam th´n, cˆu mˆnh lˆnh, ... v` n´i chung c´c cˆu khˆng a a a a e. e . a o a a o ` .c tˆ kh´ch quan d` u khˆng d u.o.c coi l` ’ a nh˘ m phan ´nh t´ d ung sai cua thu e a a ınh ¯´ ’ . ´ ¯ˆ e o ¯ . a mˆnh dˆ e . ¯e `. Trong lˆgic mˆnh d` , ta khˆng quan tˆm dˆn cˆ u tr´ c ng˜. ph´p c˜ ng nhu. o e. ¯ˆ e o a ¯e a ´ ´ u u a u y ngh˜ nˆi dung cu ´ ıa o . e ¯ˆ a . e ’ a ¯e ´ ınh ¯´ ’ a mˆnh d` m` chı quan tˆm dˆn t´ d ung sai cua mˆ i mˆnh ’ ˜ . o e d` . ¯ˆe Dˆ chı c´c mˆnh d` chu.a x´c d inh, ta d` ng c´c ch˜. c´i: p, q, r, ... v` goi -e ’ a ’ e. ¯ˆ e a ¯. u a u a a . ch´ ng l` c´c biˆn mˆnh d` . Ta quy u o u a a ´ e e ¯ˆ e .´.c viˆt p = 1 khi p l` mˆnh d` d ung v` ´ e a e ¯ˆ ¯´ e a . . p = 0 khi p l` mˆnh d` sai. C´c gi´ tri 0 v` 1 goi l` c´c gi´ tri chˆn l´ cua c´c a e . ¯ˆe a a . a . a a a . a y ’ a mˆnh d` . e . ¯ˆ e George Boole d ˜ nghiˆn c´.u phu.o.ng ph´p tao ra c´c mˆnh d` m´.i b˘ ng ¯a e u a . a e . ¯ˆ o a e ` c´ch tˆ ho.p t`. mˆt ho˘c nhiˆu mˆnh d` d ˜ c´. C´c mˆnh d` m´.i d u.o.c goi l` a ’ o . u o . a . `e e . ¯ˆ ¯a o a e e . ¯ˆ o ¯ . e . a c´c mˆnh dˆ u a e . ` ph´.c ho.p, ch´ ng d u.o.c tao ra t`. c´c mˆnh d` hiˆn c´ b˘ ng c´ch ¯e . u ¯ . . u a e . ¯ˆ e o a e . ` a d` ng c´c ph´p to´n lˆgic. u a e a o 1.1.1.2. Ph´p phu d inh: Phu d .nh cua mˆnh d` p , k´ hiˆu l` p, d oc l` “khˆng e ’ ¯. ’ ¯i ’ e ¯ˆ . e y e a ¯. a . o p”, l` mˆnh d` sai khi p d ung v` d ung khi p sai. a e . ¯ˆe ¯´ a ¯´ Ph´p phu d .nh trong lˆgic mˆnh d` ph` ho.p v´.i ph´p phu d .nh trong ngˆn e ’ ¯i o e . ¯ˆ u . e o e ’ ¯i o . thˆng thu.`.ng, ngh˜ l` ph` ho.p v´.i y ngh˜ cua t`. “khˆng” (“khˆng phai”). ng˜ o u o ıa a u . o ´ ıa ’ u o o ’ . ´ a o o ’ Th´ du: 1) p: “9 l` mˆt sˆ le” (D ı . - ), p: “9 khˆng l` mˆt sˆ le” (S). o . ´ a o o ’ 2) p: “v´o.i moi sˆ thu.c x, y, (x + y)2 < 0” (S), p: “tˆn tai sˆ thu.c ´ . ` ´ . . o o . o 2 x, y, (x + y) ≥ 0” (D - ). 1.1.1.3. Ph´p hˆi: Hˆi cua hai mˆnh d` p, q, k´ hiˆu l` p ∧ q, d oc l` “p v` q”, e o . o ’ . e . ¯ˆ e y e a . ¯. a a l` mˆt mˆnh d` d ung khi ca p lˆ n q c` ng d ung v` sai trong c´c tru.`.ng ho.p c`n a o . e . ¯ˆ ¯´ e ’ ˜ a u ¯´ a a o . o lai. . Ph´p hˆi ph` ho.p v´.i y ngh˜ cua liˆn t`. “v`” cua ngˆn ng˜. thˆng thu.`.ng. e o . u . o ´ ıa ’ e u a ’ o u o o ı . a o´ e o ´ Th´ du: 1) p: “2 l` sˆ nguyˆn tˆ” (D a - ) v` q: “2 l` sˆ ch˜n” (D) th` p ∧ q: “2 l` ´ a o a - ı a ´ o ´ sˆ nguyˆn tˆ v` l` ch˘ e o a a a ˜n” (D). - 3
2) Mˆnh d` “Sˆ π l´.n 3 v` l` mˆt sˆ h˜.u tı” (S) l` hˆi cua hai mˆnh d` e . ¯ˆ o e ´ o . ´ a a o o u ’ a o ’ . e . ¯ˆ e ´ o .n ho.n 3” (D) v` “Sˆ π l` mˆt sˆ h˜.u tı” (S). - ´ a o o u ’ “Sˆ π l´ o a o . ´ e e ’ e’ 1.1.1.4. Ph´p tuyˆ n: Tuyˆ n cua hai mˆnh d` p, q, k´ hiˆu p ∨ q, d oc l` “p ’ e. ¯ˆ e y e . ¯. a ho˘c q”, l` mˆt mˆnh d` sai khi ca p lˆ a . a o . e . ¯ˆe ’ ˜n q d` u sai v` d ung trong moi tru.`.ng a ¯ˆ e a ¯´ . o .p c`n lai. ho o . . Ph´p tuyˆ n u.ng v´.i liˆn t`. “ho˘c” trong ngˆn ng˜. thˆng thu.`.ng theo ngh˜ e ’ e ´ o e u a . o u o o ıa khˆng loai tr` o o u., c´ ngh˜ l` mˆnh d` “p ho˘c q” d ung khi v` chı khi ´ nhˆ t mˆt ıa a e ¯ˆ e a ¯´ a ’ ıt a ´ o . . . . trong hai mˆnh d` p v` q d ung. e . ¯ˆe a ¯´ Th´ du: 1) p: “3 nho ho.n 5” (D) v` q: “3 b˘ ng 5” (S) th` p ∨ q: “3 nho ho.n ı . ’ - a ` a ı ’ . ` ho˘c b˘ ng 5” (D). a a - 2) p: “Paris l` thu d ˆ nu.´.c Anh” (S) v` q: “6 l´.n ho.n 8” (S) th` p ∨ q: a ’ ¯o o a o ı a ’ ¯o “Paris l` thu d ˆ nu o .´.c Anh ho˘c 6 l´.n ho.n 8” (S). a o . e e’ . e’ 1.1.1.5. Ph´p tuyˆ n loai: Tuyˆ n loai cua hai mˆnh d` p, q, k´ hiˆu p ⊕ q, d oc . ’ e ¯ˆ . e y e. ¯. l` “p ho˘c q (nhu a a .ng khˆng ca hai)”, l` mˆt mˆnh d` d ung khi chı c´ mˆt trong o ’ a o e ¯ˆ ¯´ e ’ o o . . . . hai mˆnh dˆ e . ` p v` q l` d ung v` sai trong moi tru.`.ng ho.p c`n lai. ¯e a a ¯´ a . o . o . Ph´p tuyˆ n loai u.ng v´.i liˆn t`. “ho˘c” trong ngˆn ng˜. thˆng thu.`.ng theo e e ’ . ´ o e u a . o u o o ngh˜ loai tr`√ ıa . u.. √ Th´ du: p: “ 2 l` mˆt sˆ h˜.u tı” (S) v` q: “ 2 l` mˆt sˆ vˆ tı” (D) th` p ⊕ q: √ ı . . ´ a o o u ’ a a o o o ’ - . ´ ı .u tı ho˘c l` mˆt sˆ vˆ tı” (D). “ 2 l` mˆt sˆ h˜ ’ a a o o o ’ - . ´ a o o u . . ´ 1.1.1.6. Ph´p k´o theo: Mˆnh d` k´o theo p ⇒ q, d oc l` “p k´o theo q” hay e e e . ¯ˆ e e ¯. a e ”nˆu p th` q”, l` mˆt mˆnh d` sai khi p d ung v` q sai v` d ung trong c´c tru.`.ng ´ e ı a o . e . ¯ˆe ¯´ a a ¯´ a o .p c`n lai. ho o . . Trong ph´p k´o theo n´i trˆn, p d u.o.c goi l` gia thiˆt, c`n q d u.o.c goi l` kˆt e e o e ¯ . . a ’ ´ e o ¯ . . a e ´ luˆn. a . V` ph´p k´o theo xuˆ t hiˆn o. nhiˆu no.i trong c´c suy luˆn to´n hoc, nˆn c´ ı e e ´ e ’ a . `e a a . a . e o . d u.o.c d` ng dˆ diˆn d at mˆnh d` p ⇒ q. Du.´.i d ˆy l` mˆt sˆ th´ ` u thuˆt ng˜ ¯ . u ¯e ˜ ¯ . ’ e nhiˆ e a . u e ¯ˆ . e o ¯a a o o ı . ´ du thu o .`.ng g˘p nhˆ t. a a´ . . ´ – “Nˆu p th` q”, e ı – “p k´o theo q”, e – “T` u . p suy ra q”, a ¯` e ¯ ’ ¯e o – “p l` d iˆu kiˆn d u dˆ c´ q”, e . ’ a ¯` e ` ¯e o – “q l` d iˆu kiˆn cˆn dˆ c´ p”. e . a ’ Th´ du: 1) “Nˆu hˆm nay tr`.i n˘ ng, ch´ ng tˆi s˜ d i ra b˜i biˆ n” l` mˆt mˆnh ı . ´ e o o a´ u o e ¯ a e ’ a o . e . ` k´o theo v` d u . dˆ e ¯e a ¯ .o.c xem l` d ung tr`. phi hˆm nay tr`.i thu.c su. n˘ ng, nhu.ng a ¯´ u o o ´ . . a ch´ ng tˆi khˆng d i ra b˜i biˆ u o o ¯ a e ’n. 2) “Nˆu hˆm nay l` th´. hai th` 3 + 5 = 7” l` mˆt mˆnh d` k´o theo v` l` ´ e o a u ı a o . e . ¯ˆ e e a a d ung v´ ¯´ o .i moi ng`y tr`. th´. hai. a u u . Trong suy luˆn to´n hoc, ch´ ng ta x´t c´c ph´p k´o theo thuˆc loai tˆ ng a . a . u e a e e o . . o’ .n trong ngˆn ng˜. thˆng thu.`.ng. Kh´i niˆm to´n hoc vˆ ph´p k´o theo qu´t ho a o u o o a e. a . ` e e e d ˆc lˆp v´ ¯o a o .i mˆi quan hˆ nhˆn - qua gi˜.a gia thiˆt v` kˆt luˆn. ´ o e a ’ u ’ ´ e a e ´ a . . . . 4
Khˆng may, cˆ u tr´ c nˆu - th` d u.o.c d` ng trong nhiˆu ngˆn ng˜. lˆp tr` o ´ a u e ´ ı ¯ . u ` e o u a . ınh a o ´ lai kh´c v´ a .i cˆ u tr´ c d u.o.c d` ng trong lˆgic to´n. Da sˆ c´c ngˆn ng˜. lˆp tr` u ¯ . u o a - ´ o a o u a ınh . . ch´ u .a nh˜.ng cˆu lˆnh nhu. nˆu p th` S (if p then S), trong d ´ p l` mˆt mˆnh d` u a e ´ e ı ¯o a o e ¯ˆ e . . . c`n S l` mˆt d oan chu o a o ¯ . .o.ng tr` (gˆm mˆt ho˘c nhiˆu lˆnh cˆn phai thu.c hiˆn). ınh ` o o a ` e e . `a ’ e . . . . . Khi thu .c hiˆn mˆt chu.o.ng tr` g˘p nh˜.ng cˆ u tr´ c nhu. vˆy, S s˜ d u.o.c thu.c e o ınh a u a´ u a e ¯ . . . . . . . hiˆn nˆu p l` d ung, trong khi d ´ S s˜ khˆng d u.o.c thu.c hiˆn nˆu p l` sai. e e . ´ a ¯´ ¯o e o ¯ . . e e . ´ a 1.1.1.7. Ph´p tu.o.ng d u.o.ng: Mˆnh d` “p tu.o.ng d u.o.ng q”, k´ hiˆu l` p ⇔ q, e ¯ e . ¯ˆ e ¯ y e a . l` mˆt mˆnh d` d ung khi p v` q c´ c` ng gi´ tri chˆn l´ v` sai trong c´c tru.`.ng a o . e . ¯ˆ ¯´ e a o u a . a y a a o .p c`n lai. ho o . . Dinh ngh˜ cua ph´p tu.o.ng d u.o.ng ph` ho.p v´.i y ngh˜ cua cum t`. “khi -. ıa ’ e ¯ u . o ´ ıa ’ . u a ’ ´ e a ’ e ´ v` chı khi” hay “nˆu v` chı nˆu” cua ngˆn ng˜ o ’ o u . thˆng thu.`.ng. Trong to´n hoc, o a . mˆnh d` “p tu e ¯ˆ e .o.ng d u.o.ng q” c´ thˆ diˆn d at du.´.i dang: “d iˆu kiˆn cˆn v` d u ¯ o e ˜ ¯. ’ e o . ¯` e e ` a a ¯’ . . ’ dˆ c´ p l` c´ q”. ¯e o a o Th´ du: 1) Diˆu kiˆn cˆn v` d u dˆ ABC cˆn l` hai g´c o. d ´y cua n´ b˘ ng ı . - ` e e ` . a a ¯ ’ ¯e ’ a a o ’ ¯a ’ o a` nhau. 2) Dˆ u b˘ ng xay ra trong bˆ t d ˘ng th´.c Cauchy ´ ` a a ’ ´ ’ a ¯a u √ a1 + a2 + · · · + an n a1 a2 . . . a n ≤ n a ’ khi v` chı khi a1 = a2 = · · · = an . ¯a a ’ a . ’ a Sau d ˆy l` bang chˆn tri cua c´c ph´p to´n lˆgic n´i trˆn. e a o o e p q p p∧q p∨q p⊕q p⇒q p⇔q 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1.1.1.8. C´c ph´p to´n lˆgic v` c´c ph´p to´n bit: C´c m´y t´ d` ng a e a o a a e a a a ınh u ’ ’ ˜ c´c bit dˆ biˆ u diˆn thˆng tin. Mˆt bit c´ hai gi´ tri l` 0 v` 1. Y a ¯e e e o o . o a . a a ´ ngh˜ cua t`. ıa ’ u n`y b˘ a a ´t nguˆn t`. binary digit (sˆ nhi phˆn). Thuˆt ng˜. n`y do nh` Thˆng kˆ ` u o o´ . a a . u a a ´ o e . o ´ hoc nˆ e’i tiˆng John Turkey d u.a ra v`o n˘m 1946. Bit c˜ ng c´ thˆ d u.o.c d` ng dˆ ¯ a a u o e ’ ¯ . u ¯e ’ ’ ˜ e a . a y e u ’ ’ ¯e e ˜ biˆ u diˆn gi´ tri chˆn l´. Ta s˜ d` ng bit 1 dˆ biˆ u diˆn gi´ tri d ung v` bit 0 dˆ e e a . ¯´ a ¯e’ e’ ˜ biˆ u diˆn gi´ tri sai. e a . Ta s˜ d` ng c´c k´ hiˆu NOT, AND, OR, XOR thay cho c´c ph´p to´n e u a y e . a e a −, ∧, ∨, ⊕ nhu . thu.`.ng d u.o.c l`m trong c´c ngˆn ng˜. lˆp tr` kh´c nhau. o ¯ . a a o u a ınh a . Thˆng tin thu o o .`.ng d u.o.c biˆ u diˆn b˘ ng c´ch d` ng c´c xˆu bit, d ´ l` d˜y ¯ . e’ ˜ a e ` a u a a ¯o a a ´ c´c sˆ 0 v` 1. Khi d ˜ l`m nhu e a a o a ¯a a . thˆ, c´c ph´p to´n trˆn c´c xˆu bit c˜ ng c´ thˆ ´ e a e a a u o e ’ .o.c d` ng dˆ thao t´c c´c thˆng tin d ´. Ta c´ thˆ mo. rˆng c´c ph´p to´n bit du . ¯ u ¯e ’ a a o ¯o ’ o e ’ o a e a . .i c´c xˆu bit. Ta d inh ngh˜ c´c OR bit, AND bit v` XOR bit d ˆi v´.i hai xˆu t´ a a o ¯. ıa a a ´ ¯o o a 5
` e a a a a o a ’ bit c´ c` ng chiˆu d`i l` c´c xˆu c´ c´c bit cua ch´ ng l` c´c OR, AND v` XOR o u u a a a ’ a cua c´c bit tu.o.ng u.ng trong hai xˆu tu.o.ng u.ng. ´ a ´ Th´ du: ı . xˆu 1 a 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 xˆu 2 a 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 OR bit 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 AND bit 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 XOR bit 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1.1.2. Su. tu.o.ng d u.o.ng lˆgic cua c´c cˆng th´.c: . ¯ o ’ a o u Trong lˆgic mˆnh d` , ngu o o e ¯ˆe .`.i ta d u.a ra kh´i niˆm cˆng th´.c, tu.o.ng tu. nhu. ¯ a e o u . . . kh´i niˆm biˆ a e . e’u th´.c trong to´n hoc. u a . -. 1.1.2.1. Dinh ngh˜ ıa: 1) C´c biˆ a ´n mˆnh d` p, q, r, ... l` c´c cˆng th´.c, e e . ¯ˆ e a a o u 2) Nˆ ´u P, Q l` c´c cˆng th´.c th` P , P ∧ Q, P ∨ Q, P ⊕ Q, P ⇒ Q, P ⇔ Q l` e a a o u ı a c´c cˆng th´ a o u .c, 3) Chı chˆ p nhˆn c´c cˆng th´.c d u.o.c th`nh lˆp b˘ ng viˆc ´p dung mˆt sˆ ’ a ´ a a o . u ¯ . a a a . ` e a . . . ´ o o h˜ u.u han c´c quy t˘ c 1)-2). ´ . a a 1.1.2.2. Dinh ngh˜ Cˆng th´.c A goi l` h˘ ng d ung nˆu A nhˆn gi´ tri 1 v´.i -. ıa: o u . a a ` ¯´ ´ e a. a . o . e a . a y o e o ’ a . ’ moi hˆ gi´ tri chˆn l´ c´ thˆ c´ cua c´c biˆn mˆnh d` c´ m˘t trong A. ´ e e. ¯ˆ o a e . Cˆng th´ o u.c A goi l` h˘ ng sai nˆu A nhˆn gi´ tri 0 v´.i moi hˆ gi´ tri chˆn l´ a ` a ´ e a a . o . . . e a . a y . o e ’ c´ cua c´c biˆn mˆnh d` c´ m˘t trong A. Khi d ´ ta goi A l` mˆt mˆu c´ thˆ o ’ a ´ e e . ¯ˆ o a e . ¯o . a o . a thuˆa’n. Mˆt cˆng th´.c khˆng phai l` h˘ ng d ung, c˜ ng khˆng phai l` mˆu thuˆ n o o . u o ’ a a ` ¯´ u o ’ a a a’ .o.c goi l` tiˆp liˆn. du . ¯ ´ . a e e 1.1.2.3. Dinh ngh˜ Hai cˆng th´.c A v` B d u.o.c goi l` tu.o.ng d u.o.ng lˆgic, -. ıa: o u a ¯ . . a ¯ o ´ a o ` k´ hiˆu A ≡ B, nˆu A ⇔ B l` mˆt h˘ ng d ung. Hˆ th´ y e e .c A ≡ B c`n d u.o.c goi l` . . a ¯´ e u . o ¯ . . a ’ mˆt d ˘ng th´ o ¯a u.c. . 1.1.2.4. C´c tu.o.ng d u.o.ng lˆgic co. ban: a ¯ o ’ 1) Luˆt d` ng nhˆ t: a ¯ˆ . o a´ p ∧ 1 ≡ p, p ∨ 0 ≡ p. a . ´ 2) Luˆt nuˆt: o p ∧ 0 ≡ 0, p ∨ 1 ≡ 1. a u ¯a . ’ 3) Luˆt l˜ y d ˘ng: p ∧ p ≡ p, p ∨ p ≡ p. 6
a . ’ ¯i 4) Luˆt phu d .nh k´p: e p ≡ p. 5) Luˆt giao ho´n: a . a p ∧ q ≡ q ∧ p, p ∨ q ≡ q ∨ p. 6) Luˆt kˆt ho.p: . ´ a e . (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r), (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r). . a ´ 7) Luˆt phˆn phˆi: a o p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r), p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r). 8) Luˆt De Morgan: a . p ∧ q ≡ p ∨ q, p ∨ q ≡ p ∧ q. 9) Mˆt sˆ tu.o.ng d u.o.ng tiˆn ´ . ´ o o ¯ e ıch: . p ∧ p ≡ 0, p ∨ p ≡ 1, p ⇔ q ≡ q ⇔ p, p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p), p ⇔ q ≡ p ⇔ q, (p ⇒ q) ≡ (p ∨ q), (p ⇒ q) ≡ (q ⇒ p). 1.1.3. Suy luˆn to´n hoc: a. a . 1.1.3.1. Suy luˆn diˆ a. ˜n dich: Suy luˆn l` r´ t ra mˆt mˆnh d` m´.i t`. mˆt hay e . a a u . o . e ¯ˆ o u o . e . nhiˆ ` u mˆnh d` d ˜ c´. e e . ¯ˆ ¯a o e Phˆn t´ c´c suy luˆn trong ch´.ng minh to´n hoc, ngu.`.i ta thˆ y mˆ i ch´.ng a ıch a a . u a . o ´ a ˜ o u minh bao gˆ ` m mˆt sˆ h˜ o o o ´ u .u han bu.´.c suy luˆn d o.n gian. Trong mˆ i bu.´.c suy o a ¯ ’ ˜ o o . . . luˆn d o.n gian d ´, ta d ˜ “ngˆm” vˆn dung mˆt quy t˘ c suy luˆn tˆ ng qu´t dˆ a ¯ . ’ ¯o ¯a ` a a. . o . ´ a a o . ’ a ¯e ’ u . c´c mˆnh d` d ˜ d u.o.c th`.a nhˆn l` d ung (tiˆn d` , d inh l´, d inh ngh˜ gia t` a e ¯ˆ ¯a ¯ . e u a a ¯´ e ¯ˆ ¯.e y ¯. ıa, ’ . . e ’ thiˆt) c´ thˆ r´ t ra mˆt mˆnh d` m´ ´ o e u o e ¯ˆ o e .i. Ngu.`.i ta goi c´c mˆnh d` xuˆ t ph´t d ˜ o ´ . . . a e . ¯ˆ a e a ¯a du . ¯ .o.c th`.a nhˆn l` d ung l` c´c tiˆn d` , c`n mˆnh d` m´.i d u.o.c r´ t ra (nh`. vˆn u a a ¯´ a a ` ¯ˆ o e e e ¯ˆ o ¯ . u e o a . . . . ´ dung c´c quy t˘ c suy luˆn tˆ a a a o . ’ng qu´t) goi l` hˆ qua lˆgic cua c´c tiˆn d` . Ph´p a . a e . ’ o ’ a ` ¯ˆ e e e suy luˆn nhu. thˆ goi l` suy luˆn diˆn dich hay goi t˘ t l` suy diˆn. a . ´ e . a a. ˜ . e ´ . a a ˜ e 1.1.3.2. Dinh ngh˜ Gia su. A1 , A2 , . . . , An , B l` nh˜.ng cˆng th´.c. Nˆu tˆ t -. ıa: ’ ’ a u o u ´ ´ e a ca c´c hˆ gi´ tri chˆn l´ cua c´c biˆn mˆnh d` c´ m˘t trong c´c cˆng th´.c d ´ ’ a e a . a y ’ a . e´ e. ¯ˆ o a e . a o u ¯o l`m cho A1 , A2 , . . . , An nhˆn gi´ tri 1 c˜ ng d` ng th`.i l`m cho B nhˆn gi´ tri 1, a a . a . u ¯ˆ o o a a. a . t´.c l` A1 ∧ A2 ∧ . . . ∧ An ⇒ B l` mˆt cˆng th´.c h˘ ng d ung, th` ta goi B l` hˆ u a a o o . u a ` ¯´ ı . a e . ’ o ’ u o ` qua lˆgic cua A1 , A2 , . . . , An . Khi d ´ ta c˜ ng n´i r˘ ng c´ mˆt quy t˘ c suy luˆn ¯o a o o . ´ a a . t`. c´c tiˆn d` A1 , A2 , . . . , An t´.i hˆ qua lˆgic B cua ch´ ng. u a ` ¯ˆ e e o e . ’ o ’ u 7
Quy t˘ c suy luˆn d ´ d u.o.c k´ hiˆu l`: ´ a a ¯o ¯ . y e a . . A1 , A1 , . . . , An . B 1.1.3.3. Mˆt sˆ quy t˘c suy luˆn thu.`.ng d`ng: o o . ´ ´ a a . o u p 1) ´ . (Quy t˘ c cˆng). a o p∨q p∧q 2) ´ (Quy t˘ c r´ t gon). a u . p p, p ⇒ q 3) ´ ´ a (Quy t˘ c kˆt luˆn - Modus ponens). a e . q p ⇒ q, q 4) (Quy t˘ c kˆt luˆn ngu.o.c - Modus tollens). ´ ´ a a e . . p p ⇒ q, q ⇒ r 5) a´ (Quy t˘ c tam d oan luˆn). ¯ . a . p⇒r p ⇒ q, q ⇒ p 6) (Quy t˘ c d u.a tu.o.ng d u.o.ng v`o). ´ a ¯ ¯ a p⇔q p ∨ q, p 7) ´ ’ (Quy t˘ c t´ch tuyˆ n). a a e q p ⇒ r, q ⇒ r 8) ´ ’ ’ ´ (Quy t˘ c t´ch tuyˆ n gia thiˆt). a a e e p∨q ⇒r p ⇒ q, p ⇒ r 9) ´ . ´ a (Quy t˘ c hˆi kˆt luˆn). a o e . p⇒q∧r q⇒p 10) ´ ’ ¯’ (Quy t˘ c phan d ao). a p⇒q p ⇒ q, p ⇒ q 11) (Quy t˘ c phan ch´.ng). ´ a ’ u p Th´ du: ı . 1) Cho: Nˆu tr`.i mu.a (p) th` sˆn u.´.t (q) ´ e o ı a o (d ung) ¯´ o.i d ang mu.a Tr` ¯ (d ung) ¯´ Kˆt luˆn: Sˆn u.´.t ´ . e a a o (d ung). ¯´ ´ e ´ o ¯ˆ ¯ı ı ` 2) Cho: Nˆu hai g´c d oi d ’nh (p) th` b˘ ng nhau (q) a (d ung) ¯´ o ` A v` B khˆng b˘ ng nhau a a (d ung) ¯´ ´ . e a a o ¯o ¯’´ Kˆt luˆn: A v` B khˆng d ˆi d ınh (d ung). ¯´ 3) Cho: Moi h` vuˆng d` u l` h` thoi (p ⇒ q) . ınh o ¯ˆ a ınh e (d ung) ¯´ Moi h` thoi c´ c´c d u.`.ng ch´o vuˆng g´c (q ⇒ r) . ınh o a ¯ o e o o (d ung) ¯´ Kˆt luˆn: Moi h` vuˆng d` u c´ c´c d u o ´ . e a .`.ng ch´o vuˆng g´c (p ⇒ r) . ınh o ¯ˆ o a ¯ e e o o (d ung). ¯´ 8
1.1.3.4. Suy luˆn nghe c´ l´: Suy luˆn nghe c´ l´ l` suy luˆn khˆng theo mˆt a. o y a . o y a a . o o . ´ ’ quy t˘ c suy luˆn tˆ ng qu´t n`o dˆ t` a a o a a ¯e u u ’ . nh˜.ng tiˆn d` d ˜ c´, r´ t ra d u.o.c mˆt kˆt ` ¯ˆ ¯a o u e e ¯ . o e ´ . . luˆn x´c d inh. Nˆu c´c tiˆn d` d` u d ung th` kˆt luˆn r´ t ra khˆng ch˘ c ch˘ n a a ¯. . e a ` ¯ˆ ¯ˆ ¯´ ´ e e e ı e ´ a u . o ´ a ´ a a ’ o ınh a . d ung, m` chı c´ t´ chˆ t du ¯ a ¯´ ´ . d o´n, gia thuyˆt. ’ ´ e Trong to´n hoc c´ hai kiˆ a . o e’u suy luˆn nghe c´ l´ thu.`.ng d` ng, d ´ l` a. o y o u ¯o a – Ph´p quy nap khˆng ho`n to`n, e . o a a – Ph´p tu e .o.ng tu.. . Th´ du: 1) T` ¯. ı . u . d inh l´ trong h` hoc ph˘ng: “Hai d u.`.ng th˘ng c` ng vuˆng y ınh . ’ a ¯ o a’ u o g´c v´ o o .i mˆt d u.`.ng th˘ng th´. ba th` song song v´.i nhau”, ch´ ng ta nˆu ra mˆt o ¯ o ’ a u ı o u e o . . . d o´n”: “Hai m˘t ph˘ng c` ng vuˆng g´c v´.i mˆt m˘t ph˘ng th´. ba th` song “du ¯ a a a’ u o o o o a ’ a u ı . . . . song v´.i nhau”. o Dˆy l` mˆt th´ du vˆ ph´p suy luˆn b˘ ng tu.o.ng tu.. -a a o . 0 ı . `1 e e a a . ` . 2) C´c sˆ 2 + 1, 2 + 1, 2 + 1, 2 + 1, 22 + 1 l` nh˜.ng sˆ nguyˆn tˆ. 22 23 4 ´ 2 2 ´ ´ a o a u o e o ´ a Kˆt luˆn: v´ e o .i moi sˆ tu. nhiˆn n, sˆ 22n + 1 l` sˆ nguyˆn tˆ. ´ ´ ´ ´ . . o . e o a o e o Dˆy l` lˆi suy luˆn quy nap khˆng ho`n to`n d ˜ nˆu lˆn bo.i Fermat (1601- -a a o ´ a . . o a a ¯a e e ’ 1665) sau khi d ˜ kiˆ m nghiˆm v´ a o ¯a e ’ e o .i c´c sˆ n = 0, 1, 2, 3, 4. Nhu.ng sau d ´ Euler d ˜ ´ ¯o ¯a . ’ ` chı ra r˘ ng v´ a o.i n = 5, kh˘ng d inh n`y khˆng d ung, ngh˜ l` 225 + 1 khˆng l` sˆ a’ ¯. a o ¯´ ıa a o a o ´ nguyˆn tˆ. e o ´ 3) 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, . . . . Kˆt luˆn: moi sˆ ´ e a . . o ´ nguyˆn du e .o.ng ch˘ n l´.n ho.n 4 l` tˆ ng cua hai sˆ nguyˆn tˆ. ˜ o a a o ’ ’ o´ e o ´ Mˆnh d` n`y mang tˆn l` b`i to´n Goldbach. Da a o e ¯ˆ a . e e a a a - ˆy l` mˆt trong nhiˆu kh˘ng . `e a’ d .nh trong to´n hoc chu ¯ . ¯i a .a d u.o.c ch´.ng minh.u . 4) Phu .o.ng tr` x3 + y 3 = z 3 khˆng c´ nghiˆm nguyˆn, phu.o.ng tr` ınh o o e e ınh . 4 4 4 x + y = z khˆng c´ nghiˆm nguyˆn. Kˆ o o e. e ´t luˆn: phu.o.ng tr` xn + y n = z n e a . ınh khˆng c´ nghiˆm nguyˆn v´.i moi sˆ nguyˆn n > 2. o o e . e o . ´ o e Mˆnh d` n`y d u.o.c nˆu ra bo.i Fermat n˘m 1637, goi l` “d inh l´ cuˆi c` ng e. ¯ˆ a ¯ . e e ’ a . a ¯. y o u ´ cua Fermat”. M˜i dˆn th´ng 5 n˘m 1995, mˆnh d` n`y m´ ¯ . ’ a ¯e ´ a a e ¯ˆ a e o .i d u.o.c ho`n to`n a a . ch´ u .ng minh xong bo.i nh` to´n hoc ngu.`.i Anh tˆn l` Wiles. ’ a a o e a . To´n hoc l` khoa hoc cua suy luˆn diˆn dich. Tˆ t ca c´c vˆ n d` trong to´n a . a . ’ a. ˜ . e ´ a ’ a a ¯ˆ ´ e a ’ ¯ hoc chı d u . .o.c tr` b`y b˘ ng c´c suy luˆn diˆn dich. Tuy nhiˆn, trong qu´ tr` ınh a a ` a a ˜ . e e a ınh . . ph´t minh, s´ng tao to´n hoc, l´ luˆn diˆ . a a . a . y a . ˜n dich g˘ n ch˘t v´.i c´c suy luˆn nghe e ´ a a o a . a . c´ l´. Ta d` ng quy nap khˆng ho`n to`n hay tu o y u o a a .o.ng tu. dˆ nˆu ra c´c gia thuyˆt. ’ e ’ ´ . . ¯e a e Sau d ´ m´ ¯o o .i ch´.ng minh c´c gia thuyˆt n`y b˘ ng diˆn dich. u a ’ ´ e a a ` ˜ . e 1.1.4. C´c phu.o.ng ph´p ch´.ng minh: a a u 1.1.4.1. Ch´.ng minh l` g` Trong suy luˆn diˆn dich, nˆu t`. c´c tiˆn d` u a ı? a. ˜ e . e u a ` ¯ˆ ´ e e ´ e a ` A1 , A2 , . . . , An , ta r´ t ra kˆt luˆn B b˘ ng c´ch vˆn dung nh˜ u a a a u.ng quy t˘ c suy ´ a . . . a o . ’ luˆn tˆ ng qu´t th` ta n´i B l` kˆt luˆn lˆgic cua c´c tiˆn d` A1 , A2 , . . . , An v` a ı o ´ a o a e . ’ a ` ¯ˆe e a suy luˆn d ´ l` ho o a ¯o a . .p lˆgic. Nˆu tˆ t ca c´c tiˆn d` A , A , . . . , A d` u d ung th` e a ’ a ` ¯ˆ 1 2 ´ ´ e e . n ¯ˆ ¯´ e ı ta goi kˆ . e ´t luˆn lˆgic B l` mˆt kˆt luˆn ch´.ng minh v` goi suy luˆn d ´ l` mˆt a o . a o e . ´ a . u a . a ¯o a o . . ch´ u .ng minh. 9
Phˆn t´ c´c ch´.ng minh to´n hoc ta thˆ y mˆ i ch´.ng minh gˆm mˆt sˆ a ıch a u a . a´ ˜ o u ` o . ´ o o h˜u.u han bu.´.c, mˆ i bu.´.c l` mˆt suy luˆn diˆn dich trong d ´ ta vˆn dung mˆt o o˜ o a o a ˜ . e ¯o a o . . . . . . ´ quy t˘ c suy luˆn tˆ ng qu´t. Nhu a a a o ’ a . vˆy, mˆt ch´.ng minh to´n hoc gˆm ba bˆ phˆn o u a `o o a . . . . . . a´ cˆ u th`nh: a 1) Luˆn d` , t´.c l` mˆnh d` cˆn ch´.ng minh. a ¯ˆ u a e . e . ¯ˆ ` e a u 2) Luˆn c´ u a u a u ., t´.c l` nh˜.ng mˆnh d` d u.o.c th`.a nhˆn (d inh ngh˜ tiˆn d` , e ¯ˆ ¯ . e u a ¯. ıa, ` ¯ˆ e e . . . d .nh l´, gia ¯i y e´ ¯ ’ thiˆt) d u . a a .o.c lˆ y l`m tiˆn d` trong mˆ i suy luˆn. ´ ` ¯ˆ e e o˜ a . 3) Luˆn ch´.ng, t´.c l` nh˜.ng quy t˘ c suy luˆn tˆ ng qu´t d u.o.c vˆn dung a. u u a u ´ a a o . ’ a ¯ . a . . ˜ trong mˆ i bu o o .´.c suy luˆn cua ch´.ng minh. a ’ u . 1.1.4.2. Phu.o.ng ph´p ch´.ng minh tru.c tiˆp: Khi ta ch´.ng minh mˆnh d` a u . ´ e u e ¯ˆ . e ` B b˘ ng c´ch vach r˜ B l` kˆt luˆn lˆgic cua nh˜ a a o a e ´ a o ’ u.ng tiˆn d` d ung A , A , . . . , A , ` ¯ˆ ¯´ e e . . 1 2 n ngh˜ l` B l` mˆt kˆt luˆn ch´ ıa a a o e ´ a u.ng minh th` ta n´i l` d ˜ ch´.ng minh tru.c tiˆp ı o a ¯a u e´ . . . mˆnh d` B. e . ¯ˆ e Th´ du: H˜y ch´.ng minh tru.c tiˆp mˆnh d` : “Nˆu n l` mˆt sˆ le th` n2 c˜ ng ı . a u . e´ e . ¯ˆe e´ . ´ a o o ’ ı u l` mˆt sˆ a o o . ´ le”. ’ Gia su. r˘ ng gia thiˆt cua mˆnh d` k´o theo n`y l` d ung, t´.c l` n l` mˆt sˆ ’ ’ a ` ’ ´ e ’ e ¯ˆ e . e a a ¯´ u a a o o . ´ .i k l` mˆt sˆ nguyˆn. T`. d ´ suy ra n2 = 4k 2 + 4k + 1 = ’ le. Khi d ´ n = 2k + 1, v´ ¯o o a o o . ´ e u ¯o 2 2 2(2k + 2k) + 1. Do d ´ n l` mˆt sˆ le. ¯o a o o ’. ´ 1.1.4.3. Phu.o.ng ph´p ch´.ng minh t` phan th´ du: Gia su. ta cˆn ch´.ng a u ım ’ ı . ’ ’ `a u minh mˆnh d` p sai. Nˆu ta t` d u . e ¯ˆ e ´ e ım ¯ .o.c mˆnh d` q, tru.`.ng ho.p d ˘c biˆt cua p l` e ¯ˆ e o e ’ . . . ¯a . . a sai. Khi d ´ q d ung v` p ⇒ q l` d ung. Do d ´ theo quy t˘ e ¯o ¯´ a a ¯´ ¯o ´c kˆt luˆn ngu.o.c th` p a ´ a . . ı l` d ung. T` ¯o a a ¯´ u . d ´ p l` sai. Th´ du: Cho m v` n l` nh˜.ng sˆ kh´c khˆng bˆ t k`. Ch´.ng minh r˘ ng n + m < ı . a a u ´ o a o ´ a y u ` a nm l` khˆng d ung. Chı a a o ¯´ ` a ´ ’ cˆn lˆ y n = m = 1 th` 1 + 1 = 2 > 1.1.ı 1.1.4.4. Phu.o.ng ph´p ch´.ng minh phan d ao: Gia su. ta cˆn ch´.ng minh a u ’ ¯’ ’ ’ ` a u p ⇒ q. Nˆu ta ch´ e´ u .ng minh d u.o.c q ⇒ p th` theo quy t˘ c phan d ao, ta c´ p ⇒ q ¯ . ı ´ a ’ ¯’ o d ung. Nhu a ¯e u ¯´ . vˆy, dˆ ch´.ng minh p ⇒ q, ta c´ thˆ chuyˆ n sang ch´.ng minh q ⇒ p ’ o e ’ e’ u . a ¯’ l` d u. Th´ du: Cho a l` mˆt sˆ h˜.u tı kh´c 0. Ch´.ng minh r˘ ng nˆu b l` mˆt sˆ vˆ ı . . ´ a o o u ’ a u ` a ´ e a o o o. ´ tı th` ab c˜ ng l` mˆt sˆ o ’ ’ ı u a o o . ´ vˆ tı. m Ta viˆt a = , v´.i m, n l` hai sˆ nguyˆn kh´c 0. Nˆu ab l` sˆ h˜.u tı th` ta ´ e o a ´ o e a e´ ´ a o u ’ ı n k ab kn c´ thˆ viˆt ab = v´.i k, l l` hai sˆ nguyˆn v` l = 0. Khi d ´ b = o e e ’ ´ o a o´ e a ¯o = m/n =k/l l a lm v` suy ra b l` mˆt sˆ h˜.u tı. a . ´ a o o u ’ 1.1.4.5. Phu.o.ng ph´p ch´.ng minh phan ch´.ng: Co. so. lˆgic cua phu.o.ng a u ’ u ’ o ’ ph´p ch´ a u .ng minh phan ch´.ng l` nhu. sau: muˆn ch´.ng minh mˆnh d` p l` d ung, ’ u a ´ o u e ¯ˆ a ¯´ e . ’ ´ ta gia thiˆt p l` sai, t´ a a ¯´ e a u.c l` p l` d ung. Sau d ´ ta ch´.ng minh r˘ ng p ⇒ q l` d ung ¯o u ` a a ¯´ v` q l` d ung. Do d ´ theo quy t˘ a a ¯´ ¯o ´c phan ch´.ng th` p l` d ung. Diˆu n`y dˆ n dˆn a ’ u ı a ¯´ - ` e a a ˜ ¯e ´ mˆu thuˆ a a ’n (luˆt b`i trung). a a . 10
Th´ du: Ch´.ng minh r˘ ng u.´.c sˆ tu. nhiˆn nho nhˆ t kh´c 1 cua mˆt sˆ tu. nhiˆn ı . u ` a o o . ´ e ’ a ´ a ’ . ´ o o . e .n ho.n 1 l` mˆt sˆ nguyˆn tˆ. l´ o a o o. ´ e o ´ ’ ’ Gia su . k l` u.´.c tu. nhiˆn nho nhˆ t kh´c 1 cua sˆ tu. nhiˆn n (n > 1) v` k a o . e ’ ´ a a ´ ’ o . e a ´ ´ ¯o ` . khˆng l` sˆ nguyˆn tˆ. Do d ´ tˆn tai u o o o a o e o o .´.c sˆ m cua k sao cho 1 < m < k. Nhu.ng ´ ’ khi d ´ m c˜ ng l` mˆt u o o ’ ¯o u a o .´.c sˆ cua n. Diˆu n`y mˆu thuˆ n v´.i k l` u.´.c tu. nhiˆn ´ - `e a a ’ a o a o . e . nho a ´ ’ nhˆ t kh´c 1 cua n. a ’ 1.1.4.6. Phu.o.ng ph´p ch´.ng minh x´t tˆt ca c´c tru.`.ng ho.p: Trong a u e a ´ ’ a o . to´n hoc, dˆ ch´ a ’ ¯e u .ng minh mˆnh d` n`o d ´ l` d ung, ta c´ thˆ x´t n´ trong tˆ t ca e ¯ˆ a ¯o a ¯´ e ’ o e e o ´ a ’ . . c´c tru o a .`.ng ho.p c´ thˆ c´. ’ . o e o Th´ du: Ch´ ı . u.ng minh r˘ ng t´ cua 3 sˆ nguyˆn liˆn tiˆp chia hˆt cho 3. ` a ıch ’ ´ o e e ´ e ´ e .i n l` mˆt sˆ nguyˆn, ta viˆt n = 3q + r v´.i q l` mˆt sˆ nguyˆn v` V´o a o o. ´ e ´ e o a o o. ´ e a r = 0, 1, 2. ´ a) r = 0 : n = 3q hay n chia hˆt cho 3, khi d ´ n(n + 1)(n + 2) chia hˆt cho e ¯o ´ e 3. ´ b) r = 1 : n = 3q + 1 hay n + 2 = 3(q + 1) hay n + 2 chia hˆt cho 3, khi d ´ e ¯o n(n + 1)(n + 2) chia hˆ ´t cho 3. e c) r = 2 : n = 3q + 2 hay n + 1 = 3(q + 1) hay n + 1 chia hˆt cho 3, ´ e ´ n(n + 1)(n + 2) chia hˆt cho 3. e 1.1.4.6. Phu.o.ng ph´p ch´.ng minh quy nap: Phu.o.ng ph´p n`y s˜ d u.o.c a u . a a e ¯ . tr` b`y trong Chu ınh a .o.ng IV vˆ “Sˆ nguyˆn v` sˆ tu. nhiˆn”. `e o ´ e a o .´ e ˆ . 1.2. TAP HO P. . . 1.2.1. Tˆp ho.p v` c´ch x´c d inh mˆt tˆp ho.p: a . . a a a ¯. o a . . . 1.2.1.1. Kh´i niˆm tˆp ho a e a .p: Nh˜.ng d ˆi tu.o.ng d u.o.c tu tˆp do mˆt t´ chˆ t u ¯o ´ ¯ . . a o ınh a ´ . . . . . . chung n`o d ´ th`nh lˆp mˆt tˆp ho - a a ¯o a a o a .p. Dˆy khˆng phai l` mˆt d inh ngh˜ m` chı o ’ a o ¯. ıa a ’ . . . . . l` mˆt su o ’ a o . . mˆ ta cho ta mˆt h` anh tru.c quan cua kh´i niˆm d ´. o ınh ’ ’ a e ¯o . . . . . mˆ ta mˆt tˆp ho.p c´c d ˆi tu.o.ng du.a trˆn mˆt kh´i niˆm tru.c quan vˆ Su o ’ o a a ¯o ´ e o a e ` e . . . . . . . . . o ¯o ´ mˆt d ˆi tu . .o.ng n`o d ´ d ˜ d u.o.c nh` to´n hoc ngu.`.i Du.c Georg Cantor d u.a ra a ¯o ¯a ¯ . a a o -´ ¯ . . lˆn d` u tiˆn v`o n˘m 1895. L´ thuyˆt h` th`nh t` ` ¯ˆ a a e a a y ´ e ınh a u. kh´i niˆm tru.c quan d ´ a e ¯o . . ’ a cua tˆp ho ¯a a ¯e.p d ˜ dˆ n dˆn nh˜.ng nghich l´ ho˘c c´c mˆu thuˆ n lˆgic nhu. nh` triˆt ˜ ´ u y a a a a’ o a e ´ . . . . hoc ngu o .`.i Anh Bertrand Russell d ˜ chı ra n˘m 1902. Nh˜.ng mˆu thuˆ n lˆgic ¯a ’ a u a a ’ o . d ´ c´ thˆ a ¯o o e ’ tr´nh d u.o.c b˘ ng c´ch xˆy du.ng mˆt l´ thuyˆt tˆp ho.p xuˆ t ph´t t`. ¯ . ` a a a . o y . ´ a e . . ´ a a u nh˜ u.ng gia thiˆt co. ban, goi l` c´c tiˆn d` . Tuy nhiˆn, ch´ ng ta s˜ d` ng phiˆn ’ ´ e ’ . a a e ¯ˆ e e u e u e ba’ n ban d` u cua Cantor, d u.o.c goi l` l´ thuyˆt tˆp ho.p ngˆy tho., ch´. khˆng ¯ˆa ’ ¯ . . a y ´ a e . . a u o ph´t triˆ n phiˆn ban tiˆn d` cua l´ thuyˆt n`y, bo.i v` tˆ t ca c´c tˆp ho.p d u.o.c a e’ e ’ e ¯ˆ ’ ye ´ e a ´ ’ ı a ’ a a . . ¯ . xem x´t trong t`i liˆu n`y c´ thˆ xu. l´ phi mˆu thuˆ n b˘ ng c´ch d` ng l´ thuyˆt e a e a o e ’ y . ’ a ’ ` a a a u y e´ ban d` u cua Cantor. ¯ˆa ’ C´c vˆt hay d ˆi tu.o.ng th`nh lˆp mˆt tˆp ho.p goi l` c´c phˆn tu. cua tˆp a a . ¯o ´ . a a . o a . . . . a a ` a ’ ’ a . .p d ´. ho ¯o . 11
Trong ngˆn ng˜. thˆng thu.`.ng, ngu.`.i ta d` ng nh˜.ng t`. nhu.: nh´m, to`n o u o o o u u u o a ’ . ’ ` ¯a thˆ , tˆp thˆ , ch` m, bˆy, d `n, ... dˆ n´i vˆ mˆt tˆp ho e a e u a ’ ¯e o ` o a e . . .p n`o d ´. a ¯o . Mˆt tˆp ho o a .p thu.`.ng d u.o.c k´ hiˆu bo.i c´c ch˜. c´i in hoa: A, B, C, D, o ¯ . y e ’ a u a . . . . E, X, Y , Z, ... Phˆn tu ’ a `a ’ . cua tˆp ho.p thu.`.ng d u.o.c k´ hiˆu bo.i c´c ch˜. c´i in o ¯ . y e ’ a u a . . . thu o .`.ng: a, b, c, d, x, y, z, ... Th´ du: ı . 1) Tˆp ho.p c´c sˆ tu. nhiˆn, k´ hiˆu N. a. . a o . ´ e y e . 2) Tˆp ho a o a .p c´c sˆ nguyˆn, k´ hiˆu Z. ´ e y e . . . 3) Tˆp ho.p c´c sˆ h˜.u tı, k´ hiˆu Q. a. . ´ a o u ’ y e . 4) Tˆp ho.p c´c sˆ thu.c, k´ hiˆu R. a. . a o . ´ y e . 5) Tˆp ho.p c´c sˆ ph´.c, k´ hiˆu C. a. . a o u ´ y e . 6) Tˆp ho.p c´c d iˆ m trˆn m˘t ph˘ng. a. . a ¯e ’ e a . ’ a 7) Tˆp ho a a .p c´c nghiˆm thu.c cua phu.o.ng tr` sin 3x − sin x + sin 2x = 0. e ’ ınh . . . . 8) Tˆp ho a a .p c´c sinh viˆn n˘m th´. nhˆ t ng`nh tin hoc cua tru.`.ng Dai hoc e a u a´ a ’ o - . . . . . Khoa hoc. . K´ hiˆu: y e . – Dˆ chı a l` mˆt phˆn tu. cua tˆp ho.p A, ta viˆt a ∈ A v` d oc l` “a thuˆc -e ’ a o ’ . ` a ’ ’ a . . ´ e a ¯. a o . A” hay “a l` phˆn tu ’ aa ` a ’ . cua tˆp ho.p A”. . . – Dˆ chı b khˆng phai l` mˆt phˆn tu. cua tˆp ho.p A, ta viˆt b ∈ A ho˘c -e ’ ’ o ’ a o . ` a ’ ’ a . . ´ e / a . b∈A v` d oc l` “b khˆng thuˆc A” ho˘c “b khˆng phai l` mˆt phˆn tu ’ a a ¯. a o o a o ’ a o ` a ’. cua tˆp . . . . ho.p A”. . 1.2.1.2. Tˆp ho.p rˆ ng: Tˆp ho.p khˆng ch´.a phˆn tu. n`o goi l` tˆp rˆ ng, k´ a. . ˜ o a . . o u ` a ’ a . a a o . ˜ y hiˆu ∅. e . Th´ du: Tˆp ho.p c´c nghiˆm thu.c cua phu.o.ng tr` x2 + 1 = 0 l` tˆp ho.p rˆ ng. ı . a. . a e . . ’ ınh a a . . o ˜ 1.2.1.3. C´ch x´c d inh mˆt tˆp ho.p a a ¯. o a . . . 1. Liˆt kˆ tˆt ca c´c phˆn tu. cua tˆp ho.p: Theo c´ch n`y, dˆ x´c e. e a ´ ’ a `a ’ ’ a. . a a ¯e a ’ d .nh mˆt tˆp ho ¯i o a .p n`o d ´ ta liˆt kˆ d` y d u tˆ t ca c´c phˆn tu. cua n´. a ¯o e e ¯ˆ ¯ ’ a ’ a a ´ ` a ’ ’ o . . . . Th´ du: 1) Tˆp ho ı . a .p 4 sˆ nguyˆn du.o.ng d` u tiˆn d u.o.c viˆt l`: ´ o e ¯ˆ a e ¯ . ´ e a . . {1, 2, 3, 4}. 2) Tˆp ho a a .p c´c ch˜. c´i trong bang ch˜. c´i tiˆng Anh d u.o.c viˆt l`: u a ’ u a e ´ ¯ . ´ e a . . {a, b, c, . . . , z}. 3) Tˆp ho a o a .p c´c sˆ tu. nhiˆn ch˘ n d u.o.c viˆt l`: ´ . e ˜ a ¯ . ´ e a . . {0, 2, 4, 6, . . . , 2n, . . . }. Ch´ y r˘ u´ a ` ng khi liˆt kˆ c´c phˆn tu. cua mˆt tˆp ho.p ta khˆng quan tˆm dˆn e e a . `a ’ ’ o a . . . o a ¯e ´ u . tu. cua ch´ ng. th´ . ’ u ’ o 2. Chı r˜ thuˆc t´ o ınh d ˘c tru.ng cua c´c phˆn tu. cua tˆp ho.p. Ta . ¯a . ’ a `a ’ ’ a. . ’ c´ thˆ x´c d .nh mˆt tˆp ho o e a ¯i o a .p b˘ ng c´ch chı r˜ c´c t´ chˆ t chung cua c´c phˆn ` a a ’ o a ınh a ´ ’ a `a . . . . cua tˆp ho.p d ´ dˆ sau d ´ du.a v`o c´c t´ chˆ t n`y ta c´ thˆ kh˘ng d inh tu ’ a ’ ’ ´ ’ ’ . . ¯o ¯ e ¯o . a a ınh a a o e a ¯. ´ mˆt d ˆi tu . o ¯o .o.ng n`o d ´ c´ l` mˆt phˆn tu. cua tˆp ho.p d ´ hay khˆng. C´c t´ a ¯o o a o `a ’ ’ a . . . . ¯o o a ınh ´ chˆ t nhu a . a a . vˆy goi l` thuˆc t´ d ˘c tru.ng cua c´c phˆn tu. cua tˆp ho.p. o ınh ¯a ’ a `a ’ ’ a . . . . . Th´ du: Tˆp ho a o o ı . a .p c´c u.´.c sˆ nguyˆn du.o.ng cua 24 l`: ´ e ’ a . . 12
A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} v` d u.o.c viˆt lai l`: a ¯ . ´ e . a A = {n ∈ N : n|24}. .`.ng ho.p tˆ ng qu´t, nˆu tˆp ho.p X l` tˆp ho.p tˆ t ca c´c phˆn tu. ’ ´ . ´ ` Trong tru o . o a e a . a a . . a ’ a a ’ x, sao cho x c´ t´ chˆ t T th` ta viˆt: o ınh a ´ ı ´ e X = {x | x c´ t´ chˆ o ınh a ´t T } ho˘c X = {x : x c´ t´ chˆ t T }. a. o ınh a ´ 1.2.1.4. Gian d` Venn: C´c tˆp ho.p c˜ ng c´ thˆ d u.o.c minh hoa b˘ ng h` ’ ¯o ˆ a a . . u o e ¯ . ’ . ` a ınh v˜ nh` u e o . d` ng gian d` Venn, do nh` to´n hoc ngu.`.i Anh John Venn lˆn d` u tiˆn ’ ¯ˆ o a a o ` ¯ˆ a a e . du ¯ .a ra v`o n˘m 1881. Trong c´c gian d` Venn, tˆp ho.p v˜ tru U - tˆp ho.p ch´.a a a a ’ ¯ˆ o a u . a u . . . . ´ a ’ a ¯o tˆ t ca c´c d ˆi tu . ´ .o.ng d ang x´t - d u.o.c biˆ u diˆn b˘ ng mˆt h` ch˜. nhˆt. Bˆn ¯ e ¯ . e’ ˜ ` e a o ınh u a e . . trong h` ch˜ınh u . nhˆt n`y, nh˜.ng miˆn ph˘ng gi´.i han bo.i c´c d u.`.ng cong kh´p a a u `e ’ a o . ’ a ¯ o e . . c˘ t d u.o.c d` ng dˆ biˆ u diˆn c´c tˆp ho.p. Dˆi khi c´c d iˆ m d u.o.c ’ e ’ -o ’ ¯ . k´ khˆng tu a ¯ . ın o . ´ u ¯e ˜ a a e . . a ¯e d` ng dˆ e u ¯e ’ biˆ u diˆn c´c phˆn tu. cua tˆp ho.p. C´c gian d` Venn thu.`.ng d u.o.c ’ ˜ a e `a ’ ’ a . . a ’ ¯ˆ o o ¯ . d` ng dˆ u ¯e ’ chı ra mˆi quan hˆ gi˜.a c´c tˆp ho.p. ’ o´ e u a a . . . 1.2.1.5. D.nh ngh˜ Cho A l` mˆt tˆp ho.p. Nˆu c´ ch´ x´c n phˆn tu. phˆn -i ıa: a o a . . . ´ e o ınh a ` a ’ a biˆt trong A, v´ e o.i n l` mˆt sˆ nguyˆn khˆng ˆm, th` ta n´i r˘ ng A l` mˆt tˆp a o o ´ e o a ı o a ` a o a . . . . h˜.u han v` n l` ban sˆ cua A. Ban sˆ cua A d u.o.c k´ hiˆu l` |A|. Mˆt tˆp ho.p u . a a ’ o ’ ´ ’ o ’ ´ ¯ . y e a . o a . . . d u.o.c goi l` vˆ han nˆu n´ khˆng phai l` h˜.u han. ¯ . . a o . ´ e o o ’ a u . Th´ du: 1) Cho A l` tˆp ho.p c´c ch˜. c´i trong bang ch˜. c´i tiˆng Anh. Khi ı . a a . . a u a ’ u a e ´ d ´ |A| = 26. ¯o 2) Tˆp ho.p c´c sˆ nguyˆn tˆ l` mˆt tˆp ho.p vˆ han. a . . a o ´ ´ e o a o a . . . o . 1.2.2. Tˆp ho.p con v` quan hˆ bao h`m: a . . a e . a -i 1.2.2.1. D.nh ngh˜ Tˆp ho ıa: a .p A d u.o.c goi l` mˆt tˆp ho.p con (hay tˆp con) ¯ . . . . a o a . . . a. cua B, k´ hiˆu A ⊂ B, nˆu mˆ i phˆn tu. cua A l` mˆt phˆn tu. cua B. Nhu. vˆy, ’ y e . ´ e o˜ ` a ’ ’ a o . `a ’ ’ a. a ’ A ⊂ B khi v` chı khi v´ o.i moi x ∈ A k´o theo x ∈ B. e . Khi c´ A ⊂ B, ta c`n n´i “A l` mˆt bˆ phˆn cua B” hay “A bao h`m trong o o o a o o a . . . ’ a o ´ B”. Khi d ´ ta c`n viˆt B ⊃ A v` d oc l` “B bao h`m A” hay “B ch´ ¯o e a ¯. a a u .a A”. Quan hˆ “⊂” d u . e ¯ .o.c goi l` quan hˆ bao h`m. C´c hˆ th´.c A ⊂ B, B ⊃ A . . a e. a a e u . du . ¯ .o.c goi l` c´c bao h`m th´.c. a a a u . Nˆu A ⊂ B v` c´ ´ nhˆ t mˆt phˆn tu. thuˆc B nhu.ng khˆng thuˆc A th` ta ´ e a o ıt a ´ o . ` a ’ o . o o. ı n´i A l` mˆt tˆp con thu . o a o a .c su. cua B hay bˆ phˆn thu.c su. cua B. ’ o a ’ . . . . . . . .p N c´c sˆ tu. nhiˆn l` tˆp con thu.c su. cua tˆp ho.p Z c´c ´ . Th´ du: 1) Tˆp ho ı . a . . a o e a a . . . ’ a . . a ´ sˆ nguyˆn. o e 2) Tˆp ho.p c´c h` vuˆng l` tˆp con cua tˆp ho.p c´c h` ch˜. nhˆt, c˜ ng a . . a ınh o a a . ’ a . . a ınh u a u . . l` tˆp con cua tˆp c´c h` thoi. nhu a a ’ a a ınh . . 1.2.2.2. T´ ınh chˆt: V´.i A, B, C l` 3 tˆp ho.p bˆ t k`, ta luˆn c´: ´ a o a a. . ´ a y o o 1) ∅ ⊂ A, 2) A ⊂ A, e´ 3) nˆu A ⊂ B v` B ⊂ C th` A ⊂ C. a ı 13
Thˆt vˆy, 1) d u.o.c suy ra t`. mˆnh d` “x ∈ ∅ ⇒ x ∈ A” l` luˆn luˆn d ung a a . . ¯ . u e. ¯ˆ e a o o ¯´ (do “x ∈ ∅” l` sai). 2) d u . a ¯ .o.c suy ra t`. mˆnh d` “x ∈ A ⇒ x ∈ A” l` luˆn luˆn u e ¯ˆe a o o . ´ d ung. Cuˆi c` ng 3) d u . ¯´ o u ¯ .o.c suy ra t`. t´ d ung cua mˆnh d` “(x ∈ A ⇒ x ∈ u ınh ¯´ ’ e ¯ˆ e . B ∧ x ∈ B ⇒ x ∈ C) ⇒ (x ∈ A ⇒ x ∈ C)” 1.2.2.3. Tˆp ho.p l˜y th`.a: Cho X l` mˆt tˆp ho.p. Tˆp l˜ y th`.a cua X, k´ a . . u u a o a . . . a u . u ’ y X hiˆu P(X) hay 2 , l` tˆp ho o e a a .p gˆm tˆ t ca c´c tˆp con cua X, t´.c l` ` ´ ’ a a a ’ u a . . . . P(X) = {A | A ⊂ X}. Th´ du: 1) V´.i X = {a, b, c} th` ta c´ ı . o ı o P(X) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, X}. 2) P(∅) = {∅}, P({∅}) = {∅, {∅}}. 1.2.2.4. Dinh ngh˜ Hai tˆp A v` B d u.o.c goi l` b˘ ng nhau, k´ hiˆu A = B, -. ıa: a . a ¯ . . a `a y e . ´ nˆu A ⊂ B v` B ⊂ A. e a Th´ du: V´.i A = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} v` B = {n ∈ N : n|30} th` ta c´ A = B. ı . o a ı o 1.2.3. C´c ph´p to´n tˆp ho.p: a e a a . . -. 1.2.3.1. Dinh ngh˜ Ho ıa: . .p cua hai tˆp ho.p A v` B, k´ hiˆu l` A ∪ B (d oc l` ’ a a y e a ¯. a . . . .p B”), l` tˆp ho.p gˆm c´c phˆn tu. thuˆc ´ nhˆ t mˆt trong hai tˆp ho.p “A ho . a a . . ` o a `a ’ o ıt a . ´ o . a . . .c l` A, B, t´ a u A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}. Th´ du: 1) V´.i A = {a, b, c, d} v` B = {c, d, e, f }, ta c´ A ∪ B = {a, b, c, d, e, f }. ı . o a o 2) V´ o.i A = {x ∈ N | x chia hˆt cho 2} v` B = {x ∈ N | x chia hˆt cho 3}, ´ e a ´ e ta c´ A ∪ B = {x ∈ N | x chia hˆ o ´t cho 2 ho˘c 3}. e a . 1.2.3.2. Dinh ngh˜ Giao cua hai tˆp ho.p A v` B, k´ hiˆu l` A ∩ B (d oc l` -. ıa: ’ a . . a y e a . ¯. a “A giao B”), l` tˆp ho ` a a .p gˆm c´c phˆn tu. v`.a thuˆc A v`.a thuˆc B, t´.c l` o a ` a ’ u o u o u a . . . . A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}. Hai tˆp ho.p d u.o.c goi l` r`.i nhau nˆu giao cua ch´ ng l` tˆp ho.p rˆ ng. a. . ¯ . . a o ´ e ’ u a a. . o ˜ Th´ du: 1) V´.i A = {a, b, c, d} v` B = {c, d, e, f }, ta c´ A ∩ B = {c, d}. ı . o a o 2) V´o .i A = {x ∈ N | x chia hˆt cho 2} v` B = {x ∈ N | x chia hˆt cho 3}, ´ e a ´ e o ´ ta c´ A ∩ B = {x ∈ N | x chia hˆt cho 6}. e a .p c´c sˆ h˜.u tı v` tˆp ho.p c´c sˆ vˆ tı l` hai tˆp con r`.i nhau 3) Tˆp ho a o u ’ a a´ ´ a o o ’ a a o . . . . . ’ a cua tˆp ho .p R c´c sˆ thu.c. ´ a o . . . 1.2.3.3. Dinh ngh˜ Hiˆu cua hai tˆp ho.p A v` B, k´ hiˆu l` A \ B hay A − B, -. ıa: e ’ . a . . a y e a . l` tˆp ho o a a .p gˆm c´c phˆn tu. thuˆc A nhu.ng khˆng thuˆc B, t´.c l` ` a ` a ’ o o o u a . . . . A \ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}. / 14
Nˆu B ⊂ A th` ta k´ hiˆu A \ B = CA B hay B khi A d ˜ d u.o.c x´c d inh r˜ ´ e ı y e . ¯a ¯ . a ¯ . o a . ¯o a ` a u ’ v` goi d ´ l` phˆn b` cua B trong A. Hiˆu d ˆi x´.ng cua hai tˆp ho.p A v` B, k´ hiˆu l` A ⊕ B, l` tˆp ho.p d u.o.c . ´ e ¯o u ’ a. . a y e a . a a. . ¯ . x´c d .nh bo a ¯i ’.i A ⊕ B = (A \ B) ∪ (B \ A) = {x | (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ B)}. / / Th´ du: 1) V´.i A = {a, b, c, d} v` B = {c, d, e, f }, ta c´ A \ B = {a, b}, B \ A = ı . o a o {e, f } v` A ⊕ B = {a, b, e, f }. a 2) V´.i A = {x ∈ R | x < 1} = (−∞, 1), ta c´ CR A = {x ∈ R | x ≥ 1} = o o [1, +∞). 1.2.3.4. C´c h˘ ng d ˘ng th´.c tˆp ho.p co. ban: Mˆ i tˆp con cua mˆt tˆp a ` a ¯a ’ u a . . ’ ˜ . o a ’ o a . . .p d u.o.c tu.o.ng u.ng v´.i mˆt t´ chˆ t (mˆnh d` ) x´c d inh n´ trˆn tˆp ho.p d ˜ ho ¯ . ´ o o ınh a ´ e ¯ˆ a ¯. e o e a . . . . . ¯a cho. V´.i tu.o.ng u.ng n`y, c´c ph´p to´n tˆp ho.p d u.o.c chuyˆ n sang c´c ph´p to´n o ´ a a e a a . . ¯ . e’ a e a o ’ ¯i lˆgic: phu d .nh tu .o.ng u.ng v´.i phˆn b` , tuyˆ n tu.o.ng u.ng v´.i ho.p, hˆi tu.o.ng ´ o ` a u e’ ´ o . o . u ´.ng v´.i giao, tuyˆ n loai tu.o.ng u.ng v´.i hiˆu d ˆi x´.ng. o e’ ´ o e ¯o u ´ . . T`. c´c tu.o.ng d u.o.ng lˆgic co. ban trong 1.1.2.4, v´.i A, B, C l` c´c tˆp con u a ¯ o ’ o a a a . ’ a u . ` cua tˆp v˜ tru U , ta c´ c´c h˘ ng d ˘ng th´ a o a a ¯a ’ .c tˆp ho.p co. ban du.´.i d ˆy (lu.u y u . ’ o ¯a ´ . . ` ng mˆnh d` x ∈ ∅ c´ gi´ tri chˆn l´ 0 v` mˆnh d` x ∈ U c´ gi´ tri chˆn l´ 1). r˘ a e . ¯ˆe o a . a y a e . ¯ˆe o a . a y 1) Luˆt d ˆ a ¯o . ´ ` ng nhˆ t: a A ∩ U = A, A ∪ ∅ = A. a . ´ 2) Luˆt nuˆt: o A ∩ ∅ = ∅, A ∪ U = U. a u ¯a . ’ 3) Luˆt l˜ y d ˘ng: A ∩ A = A, A ∪ A = A. 4) Luˆt b` : a u . A = A. 5) Luˆt giao ho´n: a . a A ∩ B = B ∩ A, A ∪ B = B ∪ A. 6) Luˆt kˆt ho.p: . ´ a e . A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C, A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C. . a ´ 7) Luˆt phˆn phˆi: a o A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). 15
8) Luˆt De Morgan: a . A ∩ B = A ∪ B, A ∪ B = A ∩ B. 1.2.3.5. Biˆ u diˆn c´c tˆp ho.p trˆn m´y t´ e’ ˜ e a a . . e ` a ¯e e a ınh: C´ nhiˆu c´ch dˆ biˆ u diˆn o e ’ ’ ˜ e c´c tˆp ho a a .p trˆn m´y t´ e a ınh. Mˆt phu o .o.ng ph´p l` lu.u tr˜. c´c phˆn tu. cua tˆp a a u a ` a ’ ’ a . . . . ho .p theo c´ch khˆng s˘ p th´. tu.. Tuy nhiˆn, nˆu d iˆu d ´ d ˜ l`m d u.o.c, th` viˆc a o ´ a u . e ´ ¯ ` ¯o ¯a a ¯ . e e ı e . . t´ ho.p, giao ho˘c hiˆu cua hai tˆp ho.p s˜ rˆ t mˆ t th`.i gian, v` mˆ i ph´p t´ ınh . a . e . ’ a . . e a ´ a ´ o ı o ˜ e ınh d ´ d `i hoi mˆt lu.o.ng t` kiˆm rˆ t l´.n d ˆi v´.i c´c phˆn tu.. Ta s˜ c´ o. d ˆy mˆt ¯o ¯o ’ o. . ım e ´ a o ¯o o a ´ ´ ` a ’ e o ’ ¯a o. phu .o.ng ph´p lu.u tr˜. c´c phˆn tu. b˘ ng c´ch d` ng su. s˘ p t` y y c´c phˆn tu. cua a u a `a ’ ` a a u ´ a u ´ a `a ’ ’ . tˆp v˜ tru. Phu.o.ng ph´p biˆ u diˆn tˆp ho.p n`y s˜ l`m cho viˆc t´ nh˜.ng tˆ a u . . a e’ ˜ a e . . a e a e ınh u . o’ ho .p cua c´c tˆp ho.p tro. nˆn dˆ d`ng ho.n. ’ a a ’ e ˜ a e . . . ’ ’ . Gia su a . tˆp v˜ tru U l` h˜.u han (v` c´ k´ thu.´.c ho.p l´ d ˆi v´.i dung u . a u a o ıch o ´ . . y ¯o o .o.ng bˆ nh´.). Tru.´.c hˆt, h˜y chı r˜ su. s˘ p t` y y c´c phˆn tu. cua U , ch˘ng lu . o o o e ´ a ’ o . a ´ u ´ a ` a ’ ’ ’ a . . ’ ˜ a e . ’ han a1 , a2 , . . . , an , sau d ´ biˆ u diˆn tˆp con A cua U b˘ ng mˆt xˆu bit c´ d ˆ ¯o e ` a o a . o ¯o . d`i n, trong d ´ bit th´ a ¯o u . i o. xˆu n`y l` 1 nˆu a ∈ A v` l` 0 nˆu a ∈ A. ’ a a a ´ i e a a ´ i / e Dˆ nhˆn d u.o.c c´c xˆu bit cho c´c ho.p, giao v` hiˆu d ˆi x´.ng cua hai tˆp -e ’ a ¯ . a a . a . a e ¯o u . ´ ’ a . ho .p, ta s˜ thu.c hiˆn c´c ph´p to´n Boole trˆn c´c xˆu bit biˆ u diˆn hai tˆp ho.p e . e a e a e a a e’ ˜ e a . . . . d ´. T`. d ´ ta c´ xˆu bit d ˆi v´.i ho.p, giao, hiˆu d ˆi x´.ng l` OR bit, AND bit, ¯o u ¯o o a ´ ¯o o . e ¯o u . ´ a XOR bit cua hai xˆu bit biˆ u diˆn hai tˆp ho.p d ˜ cho. ’ a e’ ˜ e a . . ¯a Th´ du: V´ ı . o.i U = {x , x , . . . , x }, A = {x , x , x , x , x }, B = {x , x , x , x , 1 2 n 1 3 5 6 8 2 3 4 6 x9 , x10 }, ta c´: o A 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 B 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 A∩B 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 A∪B 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 A⊕B 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1.2.4. T´ Descartes: ıch 1.2.4.1. Dinh ngh˜ Cho n d ˆi tu.o.ng a1 , a2, . . . , an , ta th`nh lˆp mˆt d ˆi -. ıa: ¯o´ . a a . o ¯o . ´ .o.ng m´.i l` (a , a , . . . , a ), trong d ´ a o. vi tr´ th´. nhˆ t, a o. vi tr´ th´. hai, tu . o a 1 2 ¯o 1 ’ . ı u ´ 2 ’ . ı u a n ’. vi tr´ th´. n v` d u.o.c goi l` bˆ n s˘ p th´. tu.. ..., an o . ı u a ¯ . . a o . ´ a u . Hai bˆ n s˘ p th´. tu. (a1 , a2, . . . , an ) v` (b1 , b2 , . . . , bn ) d u.o.c goi l` b˘ ng o . ´ a u . a ¯ . . a ` a y e ´ nhau, k´ hiˆu (a1 , a2 , . . . , an ) = (b1 , b2 , . . . , bn ), nˆu ai = bi v´ e o.i i = 1, 2, . . . , n. . -a . d u.o.c goi l` c˘p s˘ p th´. tu. hay goi t˘ t l` c˘p. . . a o ` a ’ D˘c biˆt, d˜y c´ hai phˆn tu ¯ . e . a a a . ´ u . ´ . a a a . 16
1.2.4.2. Dinh ngh˜ T´ Descartes cua n tˆp ho.p A1 , A2 , . . . , An , k´ hiˆu l` -. ıa: ıch ’ a . . y e a . n A1 ×A2 ×· · ·×An hay Π Ai , l` tˆp ho ` a a .p gˆm c´c bˆ n s˘ p th´. tu. (a , a , . . . , a ), ´ i=1 . . o a o . a u . 1 2 n trong d ´ a ∈ A v´ ¯o o.i i = 1, 2, . . . , n, t´.c l` u a i i A1 × A2 × · · · × An = {(a1, a2 , . . . , an ) | ai ∈ Ai , i = 1, 2, . . . , n}. -a D˘c biˆt, khi A1 = A2 = · · · = An = A th` ta k´ hiˆu A1 ×A2 ×· · ·×An = An . . e. ı y e . Th´ du: V´ ı . o .i A = {x, y}, B = {0, 1, 2}, C = {a, b}, ta c´ o A × B × C = {(x, 0, a), (x, 0, b), (x, 1, a), (x, 1, b), (x, 2, a), (x, 2, b), (y, 0, a), (y, 0, b), (y, 1, a), (y, 1, b), (y, 2, a), (y, 2, b)}. 1.2.5. Su. lu.o.ng ho´: . . a 1.2.5.1. Dinh ngh˜ H`m mˆnh d` l` mˆt cˆu ch´.a biˆn v` tro. th`nh mˆnh -. ıa: a e . ¯ˆ a o a e . u ´ e a ’ a e . ¯ˆe e ¯o ` d` khi ta thay biˆn d ´ b˘ ng mˆt phˆn tu . e ´ a o ` a ’ . cu thˆ thuˆc mˆt tˆp ho.p x´c d inh. ’ o o a a ¯. . . . . . Th´ du: 1) P (x): “x l` sˆ nguyˆn tˆ” l` h`m mˆnh d` mˆt biˆn x´c d inh trˆn ı . a o ´ ´ e o a a e . ¯ˆ o e . ´ e a ¯. e tˆp ho a .p N c´c sˆ tu. nhiˆn. a o . ´ e . . ˜ 2) Mˆ i phu o .o.ng tr` l` mˆt h`m mˆnh d` . Ch˘ng han phu.o.ng tr` x2 + ınh a o a e ¯ˆ e ’ a ınh . . . 4x + 3, l` mˆt h`m mˆnh d` mˆt biˆn x´c d inh trˆn tˆp ho a o a e ¯ˆ o e . ´ e a ¯. e a .p R c´c sˆ thu.c. N´ ´ a o . o . . . . ’. th`nh mˆnh d` d ung v´.i x = −1 v` x = −3. tro a e ¯ˆ ¯´ e o a . 3) Bˆ a´t phu.o.ng tr` l` mˆt h`m mˆnh d` . Ch˘ng han bˆ t phu.o.ng tr` ınh a o a . e . ¯ˆ e a’ . ´ a ınh (x − 3)(x + 2) < 0, l` mˆt h`m mˆnh dˆ o a o a . e . ` mˆt biˆn x´c d .nh trˆn tˆp ho.p R c´c ¯e . ´ a ¯i e e a . . a sˆ thu.c. N´ tro. th`nh mˆnh d` d ung v´.i moi x ∈ R, sao cho −2 < x < 3. ´ o . o ’ a e. ¯ˆ ¯´ e o . 4) Phu.o.ng tr` x2 + y 2 = z 2 l` mˆt h`m mˆnh d` ba biˆn. ınh a o a . e . ¯ˆe ´ e 5) X´t cˆu: e a If x > 0 then x := x + 1 Khi g˘p cˆu n`y trong chu.o.ng tr` a a . a ınh, gi´ tri cua biˆn x o. d iˆ m d ´ trong qu´ a . ’ e´ ’ ’ ¯ e ¯o a tr` thu ınh . .c hiˆn chu.o.ng tr` s˜ d u.o.c d ˘t v`o P (x), t´.c l` d ˘t v`o cˆu “x > 0”. e ınh e ¯ . ¯a a u a ¯a a a . . . ´ ¯´ ´ Nˆu P (x) d ung d ˆi v´ e ¯o o .i gi´ tri n`y cua x, th` lˆnh g´n x := x + 1 s˜ d u.o.c thu.c a . a ’ ı e a e ¯ . . . e a a . ’ e a e ´ hiˆn v` gi´ tri cua x s˜ t˘ng lˆn 1. Nˆu P (x) l` sai d ˆi v´ a . ¯o ’ e a ´ ¯o o .i gi´ tri d ´ cua x, th`ı . lˆnh g´n s˜ khˆng d u . e a e o ¯ .o.c thu.c hiˆn v` gi´ tri x khˆng thay d ˆ i. e a a . o ¯o’ . . . Khi tˆ t ca c´c biˆn trong h`m mˆnh d` d` u d u.o.c g´n cho gi´ tri x´c d inh, ´ a ’ a ´ e a e. ¯ˆ ¯ˆ ¯ . a e e a . a ¯. th` mˆnh dˆ . ı e . ` tao th`nh s˜ c´ gi´ tri chˆn l´. Tuy nhiˆn, c`n c´ mˆt c´ch quan ¯e a e o a . a y e o o o a . trong kh´c dˆ biˆn c´c h`m mˆnh d` th`nh c´c mˆnh d` , m` ngu.`.i ta goi l` su. . ’ ´ a ¯e e a a e . ¯ˆ a e a e. ¯ˆ a e o . a . .o.ng ho´. Ta x´t o. d ˆy hai loai lu.o.ng ho´, d ´ l` lu.o.ng t`. phˆ dung v` lu.o.ng lu . a e ’ ¯a a ¯o a . u ’ o . a . . . . tˆn tai. t` ` . u o Cho A l` mˆt tˆp ho.p v` P l` mˆt t´ chˆ t cua c´c phˆn tu. cua A, ngh˜ a o a . . . a a o ınh a ’ a . ´ ` a ’ ’ ıa l` P (x) l` mˆt h`m mˆnh d` x´c d inh trˆn A. X´t tˆp ho a a o a e ¯ˆ a ¯. e e e a .p . . . . AP = {x ∈ A | P (x)}, 17
ngh˜ l` tˆp gˆm c´c phˆn tu. x ∈ A sao cho P (x) d ung. Du.´.i d ˆy l` c´c tru.`.ng ıa a a ` . o a ` a ’ ¯´ o ¯a a a o .p c´ thˆ x˜y ra. ho o e a ’ . 1.2.5.2. Dinh ngh˜ Trong tru.`.ng ho.p AP = A, ngh˜ l` tˆ t ca c´c phˆn tu. -. ıa: o . ´ ıa a a ’ a ` a ’ ’ ¯ˆe ’ a ınh a ´ - iˆu n`y d u.o.c k´ hiˆu l`: cua A d` u thoa m˜n t´ chˆ t P . D ` e a ¯ . y e a . ∀x ∈ A, P (x) hay gon ho.n l` (∀x)(P ), d oc l` “v´.i moi x thuˆc A, x thoa m˜n t´ chˆ t P ”. . a ¯. a o . o . ’ a ınh a ´ K´ hiˆu ∀ (d oc l` “v´ y e ¯. a o .i moi”) d u.o.c goi l` lu.o.ng t`. phˆ dung. ¯ . ’ . . . a . u o . 1.2.5.3. Dinh ngh˜ Trong tru.`.ng ho.p AP = ∅, ngh˜ l` c´ ´ nhˆ t mˆt phˆn -. ıa: o . ´ o ıa a o ıt a . ` a . cua A thoa m˜n t´ chˆ t P . Diˆu n`y d u.o.c k´ hiˆu l`: tu ’ ’ ’ a ınh a ´ - `e a ¯ . y e a . ∃x ∈ A, P (x) hay gon ho.n l` (∃x)(P ), d oc l` “c´ ´ nhˆ t (hay tˆn tai) phˆn tu. x thuˆc A thoa . a ¯ . a o ıt a ´ ` . o ` a ’ o . ’ a ınh a ´ y e ¯ . a o ıt ´ a ` m˜n t´ chˆ t P ”. K´ hiˆu ∃ (d oc l` “c´ ´ nhˆ t” hay “tˆn tai”) d u . o . ¯ .o.c goi l` . . a .o.ng t`. tˆn tai. lu . u ` . o .u y r˘ ng tˆp ho.p A d u.o.c goi l` khˆng gian c´c lu.o.ng t`.. Lu ´ a ` a ¯ . . . . a o a . u 1.2.5.4. Ch´ y: 1) Trong tru.`.ng ho.p AP = ∅, ngh˜ l` khˆng c´ phˆn tu. n`o u ´ o . ıa a o o ` a ’ a ’ ’ a ınh a ´ - ` cua A thoa m˜n t´ chˆ t P . Diˆu n`y ch´ l` mˆnh d` : e a ınh a e . ¯ˆ e (∃x)(P ) v` trong tru.`.ng ho.p n`y AP = A, t´.c l` (∀x)(P ), trong d ´ P k´ hiˆu t´ chˆ t a o . a u a ¯o y e ınh a . ´ khˆng P . Nhu a o . vˆy . (∃x)(P ) ≡ (∀x)(P ). 2) Trong tru.`.ng ho.p AP = A, ngh˜ l` khˆng phai moi phˆn tu. cua A d` u o . ıa a o ’ . ` a ’ ’ ¯ˆ e ’ a ınh a ´ - ` thoa m˜n t´ chˆ t P . Diˆu n`y ch´ l` mˆnh d` : e a ınh a e . ¯ˆ e (∀x)(P ) v` trong tru.`.ng ho.p n`y AP = ∅, t´.c l` (∃x)(P ). Nhu. vˆy a o . a u a a . (∀x)(P ) ≡ (∃x)(P ). Th´ du: 1) X´c d .nh t´ d ung sai cua c´c mˆnh d` sau: ı . a ¯i ınh ¯´ ’ a e . ¯ˆ e (∃x ∈ R) (4x − 3 = −2x + 1) l` mˆnh d` d ung. a e . ¯ˆ ¯´ e (∃x ∈ Q) (x2 = 2) l` mˆnh d` sai. a e . ¯ˆ e (∀x ∈ R)(∀y ∈ R) (x < y) l` mˆnh d` sai. a e . ¯ˆ e (∀x ∈ R)(∃y ∈ R) (x + y = 1) l` mˆnh d` d ung. a e . ¯ˆ ¯´ e 18
2) H˜y biˆ u diˆn cˆu: “Moi ngu.`.i d` u c´ ch´ x´c mˆt ngu.`.i ban tˆt a e’ ˜ a e . o ¯ˆ o ınh a e o . o . ´ o ´ nhˆ t” th`nh mˆt cˆng th´ a a o o u.c (lˆgic). o . ’ ’ Gia su . P (x, y) l` cˆu “y l` ngu.`.i ban tˆt nhˆ t cua x”. Khi d ´ cˆu trong a a a o . o ´ ´ a ’ ¯o a ı . o e ’ dich th`nh: th´ du c´ thˆ . a (∀x) (∃y) (∀z) [P (x, y) ∧ ((z = y) ⇒ P (x, z)]. 3) T`. d .nh ngh˜ vˆ t´ liˆn tuc cua mˆt h`m sˆ tai mˆt d iˆ m, ta c´: h`m u ¯i ıa ` ınh e . e ’ o a . ´ o . o ¯e . ’ o a f x´c d inh trˆn tˆp ho a ¯. e a .p A ⊂ R l` liˆn tuc tai a ∈ A nˆu v` chı nˆu a e . . ´ e a ’ e ´ . . (∀ > 0) (∃δ > 0) (∀x ∈ A) (|x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ). ¯o ` a a ´ a ’ ¯i o o e . . a ’ Khi d ´ b˘ ng c´ch lˆ y phu d .nh ta c´: f khˆng liˆn tuc tai x = b khi v` chı khi (∃ > 0) (∀δ > 0) (∃x ∈ A) (|x − b| < δ ∧ |f (x) − f (b)| ≥ ). ` ˆ . . BAI TAP CHU O NG I . 1. Trong c´c cˆu sau d ˆy, cˆu n`o l` mˆt mˆnh d` ? X´c dinh gi´ tri chˆn l´ a a ¯a a a a o . e . ¯ˆ e a ¯. a . a y cua c´c mˆnh d` d ´. ’ a e . ¯ˆ ¯o e a) Khˆng d u.o.c d i qua. o ¯ . ¯ b) Tˆ o’ng c´c g´c trong mˆt tam gi´c c´ b˘ ng 180o khˆng? a o o . a o a ` o c) x l` mˆt sˆ a o o . ´ le. ’ ´ ´ d) Sˆ 124 chia hˆt cho 4. o e e) 51 chia cho 6 d u.o.c 8 du. 2. ¯ . 2. H˜y d u.a mˆ i mˆnh d` du.´.i d ˆy vˆ dang hˆi ho˘c tuyˆ’n cua c´c mˆnh d` a ¯ ˜ o e . ¯ˆe o ¯a ` . e o . a . e ’ a e . ¯ˆ e do ¯ .n, sau d ´ h˜y t` gi´ tri chˆn l´ cua c´c mˆnh d` d ´. ¯o√ a ım a . a y ’ a e ¯ˆ ¯o e . a) 1 < 3 < 2. π b) | sin 12 | > 1. c) Sˆ 235 chia hˆt cho 5 nhu.ng khˆng chia hˆt cho 2. ´ o e´ o ´ e d) 5 v` 7 l` hai sˆ ’ a a ´ le nguyˆn tˆ c` ng nhau. o e o´ u e) H` thoi ABCD c´ AB = AC v` AD ⊥ BC. ınh o a 3. T` phu d .nh cua c´c mˆnh d` sau: ım ’ ¯i ’ a e . ¯ˆ e a) Khˆng c´ ˆ nhiˆm o. Huˆ. o oo ˜ ’ e ´ e u e ’ b) M` a h` o. TP. Hˆ Ch´ Minh l` n´ng v` n˘ ng. ` o ı a o a a´ c) 4 + 8 = 11. 5 d) 22 + 1 = 4294967297 v` khˆng phai l` mˆt sˆ nguyˆn tˆ. a o ’ a o o . ´ e o ´ 4. H˜y ph´t biˆ’u c´c dinh l´ sau d ˆy du.´.i dang mˆnh d` k´o theo p ⇒ q ho˘c a a e a ¯. y ¯a o . e . ¯ˆ e e a . p ⇔ q. a) G´c ngo`i cua mˆt tam gi´c b˘ ng tˆ ng hai g´c trong khˆng kˆ v´.i n´. o a ’ o. a a ` o’ o o ` o o e 19