Giáo trình Giải tích 2 - Huỳnh Thế Phùng

Chia sẻ: Dinh Tuan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:42

Thêm vào BST

Báo xấu

579
lượt xem 70
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình "Giải tích 2" do Huỳnh Thế Phùng biên soạn cung cấp cho người đọc các kiến thức: Tích phân, dãy hàm và chuỗi hàm, không gian Rn. Hy vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên khối ngành Tự nhiên và những ai quan tâm dùng làm tài liệu học tập và nghiên cứu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Giải tích 2 - Huỳnh Thế Phùng

GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH II Huỳnh Thế Phùng, Khoa Toán, ĐHKH Huế Ngày 26 tháng 9 năm 2006
1 Mục lục Chương 1 Tích phân 3 1.1. Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2. Điều kiện khả tích. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3. Tính chất của tích phân xác định. . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Cách tính tích phân xác định. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1. Nguyên hàm - Công thức Newton Leibnitz. . . . . . . . . . . . 6 1.2.2. Phương pháp đổi biến số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3. Phương pháp tích phân từng phần. . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Tích phân suy rộng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1. Tích phân suy rộng với cận vô hạn. . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2. Tích phân suy rộng với cận hữu hạn. . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Ứng dụng của tích phân xác định. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.1. Tính diện tích hình phẳng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.2. Tính độ dài đường cong phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.3. Tính thể tích vật thể. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.4. Tính diện tích mặt tròn xoay. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5. Thực hành tính toán trên Maple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5.1. Xấp xỉ diện tích hình thang cong. . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Rb 1.5.2. Tính tích phân xác định a f (x)dx . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5.3. Ứng dụng tích phân xác định. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5.4. Tìm nguyên hàm của hàm y = f (x) . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Chương 2. Dãy hàm và Chuỗi hàm 19 2.1. Dãy hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.1. Các định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.2. Tính chất của dãy hàm hội tụ đều. . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 2.2. Chuỗi hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.1. Định nghĩa - Các tiêu chuẩn hội tụ. . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.2. Tính chất của chuỗi hội tụ đều. . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.3. Chuỗi lũy thừa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.4. Khai triển một hàm thành chuỗi lũy thừa. . . . . . . . . . . . 24 2.3. Chuỗi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.1. Chuỗi lượng giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.2. Chuỗi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.3. Sự hội tụ của chuỗi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4. Thực hành tính toán trên Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4.1. Tính giới hạn của dãy hàm và tổng của chuỗi hàm . . . . . . . 29 2.4.2. Khai triển một hàm thành chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Chương 3. Không gian Rn 32 3.1. Không gian vectơ Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.1.2. Tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1.3. Độ dài vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2. Hàm khoảng cách và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.1. Hàm khoảng cách trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.2. Sự hội tụ của dãy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.3. Tôpô trên Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3.1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3.2. Tập liên thông - Tập compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.4. Thực hành tính toán trên Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4.1. Vec-tơ và ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4.2. Các phép toán trên vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.4.3. Các phép toán trên ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.5. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Chương 1 TÍCH PHÂN 1.1. Tích phân xác định 1.1.1. Định nghĩa Giả sử [a, b] là một đoạn hữu hạn trong R. Ta chia đoạn này thành các đoạn con bởi các điểm chia a = x0 < x1 < · · · < xn = b. Lúc đó tập hợp P = {x0 , x1 , · · · , xn } được gọi là một phân hoạch của đoạn [a, b]. Ta dùng ký hiệu P[a, b] để chỉ tập hợp tất cả các phân hoạch của đoạn [a, b]. Một phân hoạch Q ∈ P[a, b], với Q = {y0 , y1 , · · · , yk }, được gọi là thô hơn phân hoạch P (hay P là mịn hơn Q) nếu Q ⊂ P , tức là với mọi j, tồn tại i sao cho yj = xi . Độ mịn của phân hoạch P thường được đặc trưng bởi giá trị δ(P ) = max{xi − xi−1 | 1 ≤ i ≤ n}. Dễ thấy rằng δ(P ) ≤ δ(Q) nếu P mịn hơn Q. Giả sử f là một hàm bị chặn trên [a, b]. Với mỗi phân hoạch P = {x0 , x1 , · · · , xn } của đoạn [a, b] ta đặt Mi := sup{f (x) | x ∈ [xi−1 , xi ]}, mi := inf{f (x) | x ∈ [xi−1 , xi ]}; 1 ≤ i ≤ n. Lúc đó, các tổng n X n X S ∗ (f ; P ) := Mi (xi − xi−1 ), S∗ (f ; P ) := mi (xi − xi−1 ) i=1 i=1 lần lượt được gọi là tổng Darboux trên và tổng Darboux dưới của f trên [a, b] tương ứng với phân hoạch P .
4 Ta gọi tích phân trên và tích phân dưới của hàm f trên đoạn [a, b] lần lượt là các giá trị sau Z + Z − ∗ f (x)dx := inf S (f ; P ), f (x)dx := sup S∗ (f ; P ). [a,b] P ∈P [a,b] P ∈P Mệnh đề sau cho ta một đánh giá về các đại lượng này Mệnh đề 1.1. Nếu hàm f bị chặn dưới bởi m và bị chặn trên bởi M trên đoạn [a, b], thì Z − Z + m(b − a) ≤ f (x)dx ≤ f (x)dx ≤ M (b − a). [a,b] [a,b] Để chứng minh định lý này ta cần các bổ đề sau Bổ đề 1.1. Giả sử P, Q ∈ P[a, b] sao cho Q ⊂ P . Lúc đó S∗ (f ; Q) ≤ S∗ (f ; P ) ≤ S ∗ (f ; P ) ≤ S ∗ (f ; Q). Bổ đề 1.2. Với mọi P, Q ∈ P[a, b], ta luôn có S∗ (f ; P ) ≤ S ∗ (f ; Q). Ta nói hàm f là khả tích Riemann trên đoạn [a, b] nếu Z + Z − f (x)dx = f (x)dx. [a,b] [a,b] Lúc đó, ta ký hiệu giá trị chung này bởi Z b f (x)dx a và gọi là tích phân của hàm f trên đoạn [a, b]. Z a Trong trường hợp a = b dễ thấy f (x)dx = 0. Ngoài ra, nếu b < a ta định a nghĩa Z Z b a f (x)dx := − f (x)dx. (1.1) a b Ví dụ 1.1. Z b + Hàm hằng f (x) = c khả tích Riemann trên mọi đoạn và cdx = c(b − a). a + Hàm Dirichlet ( 1 nếu x ∈ Q, f (x) := 0 nếu x ∈ R \ Q không khả tích trên mọi đoạn [a; b] với a < b.
5 1.1.2. Điều kiện khả tích. Định lý 1.2. Hàm bị chặn f trên [a, b] là khả tích khi và chỉ khi, với mọi ² > 0, tồn tại một phân hoạch P ∈ P[a, b] sao cho S ∗ (f ; P ) − S∗ (f ; P ) < ². Hệ quả 1.1. Mọi hàm liên tục trên [a, b] đều khả tích. Hệ quả 1.2. Mọi hàm bị chặn, liên tục trên [a, b], ngoại trừ một số hữu hạn điểm, đều khả tích. Hệ quả 1.3. Mọi hàm xác định và đơn điệu trên [a, b] đều khả tích. Định lý 1.3. Một hàm f bị chặn trên [a, b] là khả tích khi và chỉ khi lim (S ∗ (f ; P ) − S∗ (f ; P )) = 0. δ(P )→0 Giả sử P = {x0 , x1 , · · · , xn } là một phân hoạch của đoạn [a, b]. Ta chọn tập các điểm T = {t1 , t2 , · · · , tn } với ti ∈ [xi−1 , xi ] và lập tổng n X S(f ; P, T ) = f (ti )(xi − xi−1 ). i=1 Hệ quả 1.4. Hàm f khả tích trên [a, b] khi và chỉ khi giới hạn sau tồn tại không phụ thuộc vào T : lim S(f ; P, T ). δ(P )→0 1.1.3. Tính chất của tích phân xác định. Định lý 1.4. Nếu f , g là các hàm khả tích trên đoạn [a, b] và λ là một số thực thì các hàm f ± g, λ.f cũng khả tích và ta có Z b Z b Z b a) (f (x) ± g(x))dx = f (x)dx ± g(x)dx; a a a Z b Z b b) λf (x)dx = λ f (x)dx. a a Định lý 1.5. Cho hàm f bị chặn trên đoạn [a, b] và c ∈ (a, b). Lúc đó f khả tích trên [a, b] khi và chỉ khi f khả tích trên cả hai đoạn [a, c], [c, b], hơn nữa, Z b Z c Z b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. (1.2) a a c Thật ra, bằng cách sử dụng (1.1), công thức (1.2) vẫn còn đúng với các vị trí khác của a, b, c.
6 Định lý 1.6. Giả sử f và g là các hàm khả tích trên đoạn [a, b]. Lúc đó, Rb a) Nếu f ≥ 0 thì a f (x)dx ≥ 0. Rb Rb b) Nếu f ≥ g thì a f (x)dx ≥ a g(x)dx. Hệ quả 1.5. Giả sử f khả tích trên [a, b] sao cho m ≤ f (x) ≤ M với mọi x ∈ [a, b]. Lúc đó Z b m(b − a) ≤ f (x)dx ≤ M (b − a). a Hệ quả 1.6 (Định lý giá trị trung bình). Giả sử f là hàm liên tục trên [a, b]. Lúc đó tồn tại c ∈ (a, b) sao cho Z b f (x)dx = f (c)(b − a). a Định lý 1.7. Nếu f khả tích trên [a, b] thì |f | cũng khả tích. Lúc đó ¯Z b ¯ Z b ¯ ¯ ¯ f (x)dx ¯≤ |f (x)|dx. ¯ ¯ a a 1.2. Cách tính tích phân xác định. 1.2.1. Nguyên hàm - Công thức Newton Leibnitz. Cho hàm f bị chặn, khả tích trên đoạn [a, b]. Lúc đó, với mỗi t ∈ [a, b], f khả tích trên [a, t]. Ta định nghĩa hàm Z t Φ(t) := f (x)dx, t ∈ [a, b]. a Định lý sau cho ta thấy các tính chất quan trọng của hàm Φ. Định lý 1.8. a) Hàm Φ liên tục trên [a, b]. b) Nếu f liên tục tại x0 ∈ [a, b] thì Φ khả vi tại điểm đó và Φ0 (x0 ) = f (x0 ), ở đây, nếu x0 trùng với a hoặc b thì đạo hàm của Φ được hiểu là đạo hàm một phía. Ta định nghĩa nguyên hàm của một hàm f trên khoảng [a, b] là một hàm F khả vi và có đạo hàm đúng bằng f trên khoảng đó. Dễ thấy rằng nếu f có một nguyên hàm là F trên một khoảng thì nó sẽ có vô số nguyên hàm trên khoảng đó; hơn nữa, tất cả các nguyên hàm của f đều có dạng F (x) + C, với C là hằng số tuỳ ý. Từ Định lý 1.8 ta nhận được các hệ quả sau
7 Hệ quả 1.7. Mọi hàm liên tục trên một khoảng (đóng hoặc mở) đều có nguyên hàm trên khoảng đó. Hệ quả 1.8 (Công thức Newton-Leibnitz). Nếu f là hàm liên tục trên [a, b] và F là một nguyên hàm bất kỳ của f thì Z b ¯b ¯ f (x)dx = F (x)¯ := F (b) − F (a). a a Công thức Newton-Leibnitz có một tiện lợi là cho chúng ta một cách tính chính xác giá trị tích phân xác định của một hàm không cần thông qua phép tính giới hạn nếu đoán nhận được nguyên hàm của nó. Để minh hoạ cho điều đó ta xét ví dụ sau Ví dụ 1.2. Z 1 Z b Z e 2 1 1 x dx = ; sin(x)dx = cos(a) − cos(b); dx = 1. 0 3 a 1 x 1.2.2. Phương pháp đổi biến số. Định lý 1.9. Giả sử hàm x = ϕ(t) thoả mãn a) ϕ(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [α, β], b) ϕ(α) = a, ϕ(β) = b, ϕ(t) ∈ [a, b] với mọi t ∈ [α, β]. Khi đó, nếu f liên tục trên [a, b] thì Z b Z β f (x)dx = f [ϕ(t)]ϕ0 (t)dt. a α Ví dụ 1.3. Z π Z 0 Z π 2 n π n 2 cos (x)dx = cos ( − t)(−1)dt = sinn (t)dt. 0 π 2 2 0 Đặc biệt, Z π Z π Z π 2 2 2 2 1 2 π cos (x)dx = sin (x)dx = dx = . 0 0 2 0 4 Z 2 √ Z π q Z π 2 2 4 − x2 dx = 2 4 − 4 sin (t)2 cos(t)dt = 4 cos2 (t)dt = π. 0 0 0 Định lý 1.10. Cho hàm f liên tục trên [a, b] và phép đổi biến t = ϕ(x) thoả mãn: a) ϕ đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b],
8 b) Tồn tại hàm g liên tục trên ϕ([a, b]) sao cho f (x) = g(ϕ(x)).ϕ0 (x) với mọi x ∈ [a, b]. Lúc đó Z Z b ϕ(b) f (x)dx = g(t)dt. a ϕ(a) Ví dụ 1.4. Với phép đổi biến t = sin(x), x ∈ [0, π2 ] ta được Z π Z 1 ¯1 π 2 cos(x) dt ¯ dx = = arctan(t)¯ = . 0 1 + sin2 (x) 0 1 + t2 0 4 1.2.3. Phương pháp tích phân từng phần. Định lý 1.11. Nếu f và g là các hàm khả vi liên tục trên đoạn [a, b] thì Z b Z b 0 f (x)g (x)dx = f (b)g(b) − f (a)g(a) − f 0 (x)g(x)dx. a a Ví dụ 1.5. Z e ¯e Z e 1 ¯ ln(x)dx = x ln(x)¯ − x dx = 1. 1 1 1 x 1.3. Tích phân suy rộng. 1.3.1. Tích phân suy rộng với cận vô hạn. Giả sử f là hàm xác định trên khoảng [a, ∞) và khả tích trên mọi khoảng hữu hạn [a, b] với b > a. Lúc đó ta định nghĩa tích phân suy rộng của hàm f trên khoảng [a, ∞) là giới hạn sau Z ∞ Z b f (x)dx := lim f (x)dx. (1.3) a b→+∞ a R∞ Ta nói tích phân suy rộng a f (x)dx là hội tụ nếu giới hạn (1.3) tồn tại hữu hạn, R∞ phân kỳ nếu ngược lại, hội tụ tuyệt đối nếu a |f (x)|dx hội tụ. Tương tự ta có các định nghĩa hội tụ, phân kỳ, hội tụ tuyệt đối của các tích phân suy rộng Z b Z b f (x)dx := lim f (x)dx. −∞ a→−∞ a Z ∞ Z 0 Z ∞ f (x)dx := f (x)dx + f (x)dx. −∞ −∞ 0
9 Nếu F là hàm có giới hạn (có thể bằng vô cùng) khi x → ∞ thì ta ký hiệu giới hạn này bởi F (∞). Vậy F (∞) := lim F (x). x→∞ Từ định nghĩa, ta thấy nếu F là một nguyên hàm của f trên khoảng [a, ∞) thì Z ∞ ¯∞ ¯ f (x)dx = F (∞) − F (a) = F (x)¯ . a a Đẳng thức được hiểu là vế trái tồn tại và bằng vế phải mỗi khi vế phải tồn tại. Ví dụ 1.6. Z ∞ 1 ¯∞ ¯ dx = ln(x)¯ = ∞; (1.4) 1 x 1 Với α 6= −1, ta có Z ¯∞ ( ∞ α+1 ¯ x ¯ ∞ nếu α > −1 xα dx = ¯ = (1.5) 1 α + 1¯ 1 − α+1 nếu α < −1. 1 Z ∞ ¯∞ π 1 ¯ 2 dx = arctan(x) ¯ = . 0 1 + x 0 2 Z ∞ ¯∞ ¯ cos(x)dx = sin(x)¯ ( không hội tụ). 0 0 Sau đây là một số tiêu chuẩn hội tụ của tích phân suy rộng Định lý 1.12 (Tiêu chuẩn Cauchy). Tích phân (1.3) hội tụ khi và chỉ khi ¯Z c ¯ ¯ ¯ ¯ ∀² > 0, ∃M > a, ∀b ≥ M ; ∀c ≥ M : ¯ f (x)dx¯¯ < ². b R∞ Hệ quả 1.9. Nếu tích phân a f (x)dx hội tụ tuyệt đối thì hội tụ. Hơn nữa ¯Z ¯ Z ∞ ¯ ∞ ¯ ¯ f (x)dx¯¯ ≤ |f (x)|dx. ¯ a a Định lý 1.13. Cho f và g là các hàm có tích phân suy rộng hội tụ trên khoảng [a, ∞). Lúc đó, các hàm f ± g, λf (λ ∈ R) cũng có tích phân suy rộng hội tụ trên khoảng đó. Hơn nữa, Z ∞ Z ∞ Z ∞ (f (x) ± g(x))dx = f (x)dx ± g(x)dx, a a a Z ∞ Z ∞ λf (x)dx =λ f (x)dx. a a
10 Định lý 1.14. Cho f là hàm không âm trên [a, ∞), khả tích trên mọi khoảng [a, b] R∞ Rb với b > a. Lúc đó, a f (x)dx hội tụ khi và chỉ khi tập { a f (x)dx | b > a} bị chặn. Hệ quả 1.10. Cho f , g là các là hàm khả tích trên mọi khoảng R ∞ [a, b] với b > a. Hơn nữa, f (x) ≥ g(x) ≥ 0 với mọi x ∈ [a, ∞). Lúc đó, nếu a f (x)dx hội tụ thì R∞ a g(x)dx cũng hội tụ. Hệ quả 1.11. Cho f , g là các là hàm không âm, khả tích trên mọi khoảng [a, b] với b > a. Hơn nữa, tồn tại giới hạn f (x) lim ∈ (0, ∞). x→∞ g(x) R∞ R∞ Lúc đó, các tích phân a f (x)dx, a g(x)dx đồng thời hội tụ hay phân kỳ. Định lý 1.15. Cho f là hàm không âm, đơn điệu giảm trên [1, ∞). Lúc đó, Z ∞ X∞ f (x)dx và f (n) 1 1 đồng thời hội tụ hoặc phân kỳ. Từ định lý này và từ (1.4)-(1.5) ta suy ra chuỗi số X∞ 1 n=1 nβ hội tụ khi và chỉ khi β > 1. 1.3.2. Tích phân suy rộng với cận hữu hạn. Giả sử f là hàm xác định trên khoảng bị chặn [a, b), khả tích trên mọi khoảng [a, b − ²] với a < b − ² < b nhưng không bị chặn trong lân cận của b (ta nói b là điểm bất thường của f ). Lúc đó ta định nghĩa tích phân suy rộng của hàm f trên khoảng [a, b] là giới hạn sau Z b Z b−² f (x)dx := lim f (x)dx. (1.6) a ²→0+ a Rb Ta nói tích phân suy rộng a f (x)dx là hội tụ nếu giới hạn (1.6) tồn tại hữu hạn, Rb phân kỳ nếu ngược lại, hội tụ tuyệt đối nếu a |f (x)|dx hội tụ. Tương tự ta có các định nghĩa hội tụ, phân kỳ, hội tụ tuyệt đối của các tích phân suy rộng trên [a, b] với a là điểm bất thường hoặc cả a và b đều bất thường: Z b Z b f (x)dx = lim f (x)dx. a ²→0+ a+²
11 Z b Z c Z b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx với c ∈ (a, b). a a c Trường hợp hàm f có điểm bất thường c ∈ (a, b) ta định nghĩa tích phân suy Rb Rc Rb rộng a f (x)dx là tổng của hai tích phân suy rộng a f (x)dx và c f (x)dx Nếu F , một nguyên hàm của f trên khoảng (a, b), có giới hạn (có thể bằng vô cùng) khi x → a (x → b) thì ta cũng ký hiệu giới hạn này bởi F (a) (F (b)). Với cách ký hiệu như vậy ta cũng có công thức Newton-Leibnitz mở rộng: Z b ¯b ¯ f (x)dx = F (b) − F (a) = F (x)¯ . a a Đẳng thức được hiểu là vế trái tồn tại và bằng vế phải mỗi khi vế phải tồn tại. Ví dụ 1.7. Z 1 1 √ ¯¯1 √ dx = 2 x¯ = 2, 0 x 0 Z 1 ¯1 1 ¯ dx = − ln(1 − x)¯ = +∞, 1−x 0 Z0 1 ¯ dx ¯ 1 √ = arcsin(x)¯ = π. 1−x 2 −1 −1 Rb Định lý 1.16. Nếu tích phân a f (x)dx hội tụ tuyệt đối thì hội tụ. Hơn nữa ¯Z b ¯ Z b ¯ ¯ ¯ f (x)dx¯¯ ≤ |f (x)|dx. ¯ a a Định lý 1.17. Cho f là hàm không âm trên [a, b), khả tích trên mọi khoảng [a, b − ²] Rb với a < b − ² < b. Lúc đó, a f (x)dx hội tụ khi và chỉ khi tập hợp sau bị chặn R b−² { a f (x)dx | 0 < ² < b − a}. Hệ quả 1.12. Cho f , g là các là hàm khả tích trên mọi khoảng [a, b − ²] với a < Rb b − ² < b. Hơn nữa, f (x) ≥ g(x) ≥ 0 với mọi x ∈ [a, b). Lúc đó, nếu a f (x)dx hội Rb tụ thì a g(x)dx cũng hội tụ. Hệ quả 1.13. Cho f , g là các là hàm không âm, khả tích trên mọi khoảng [a, b − ²] với a < b − ² < b. Hơn nữa, tồn tại giới hạn f (x) lim ∈ (0, ∞). x→b− g(x) Rb Rb Lúc đó, các tích phân a f (x)dx, a g(x)dx đồng thời hội tụ hay phân kỳ.
12 1.4. Ứng dụng của tích phân xác định. 1.4.1. Tính diện tích hình phẳng. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f1 (x); y = f2 (x); x = a và x = b được tính theo công thức sau: Z b S := |f2 (x) − f1 (x)|dx. a 1.4.2. Tính độ dài đường cong phẳng Cho C là đường cong phẳng có phương trình tham số ( x = ϕ(t); t ∈ [α, β]. y = ψ(t), Trong đó, ϕ và ψ là các hàm khả vi liên tục trên [α, β]. Độ dài đường cong C lúc đó được tính bằng công thức sau: Z βp l(C) = ϕ0 (t)2 + ψ 0 (t)2 dt. α Trường hợp đường cong là đồ thị hàm y = f (x) trên đoạn [a, b] thì độ dài đường cong lúc đó là: Z bp l(C) = 1 + f 0 (x)2 dx. a 1.4.3. Tính thể tích vật thể. Công thức tổng quát. Cho (T ) là một vật thể trong không gian nằm gọn giữa hai mặt phẳng x = a và x = b (a < b). Giả sử với mỗi t ∈ [a, b] mặt phẳng x = t cắt vật thể (T ) theo một thiết diện có diện tích S(t). Nếu S(t) là hàm liên tục trên đoạn [a, b] thì thể tích vật thể (T ) được tính bởi công thức: Z b V (T ) = S(t)dt. a Trường hợp vật thể tròn xoay. Giả sử vật thể (T ) được tạo thành khi quay hình phẳng D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b; 0 ≤ y ≤ f (x)} quanh trục Ox. Lúc đó, với mỗi t ∈ [a, b] diện tích thiết diện là S(t) = πf (t)2 . Do đó, nếu f là hàm liên tục thì tích phân vật thể (T ) được tính bởi Z b V (T ) = π f (t)2 dt. a
13 1.4.4. Tính diện tích mặt tròn xoay. Giả sử F là mặt được tạo thành khi quay cung C = {(x, f (x)) | a ≤ x ≤ b} quanh trục Ox. Lúc đó, nếu cung C trơn, tức hàm f khả vi liên tục, diện tích của mặt F được tính bởi công thức: Z b ¯ ¯p S(F) = 2π ¯f (x)¯ 1 + f 2 (x)dx. a 1.5. Thực hành tính toán trên Maple. 1.5.1. Xấp xỉ diện tích hình thang cong. Trước khi thực hành các phép tính tích phân chúng ta nên trở lại khảo sát việc xấp xỉ diện tích hình thang cong bởi tổng diện tích của các hình chữ nhật. Ta đã biết, nếu f khả tích (và đặc biệt là liên tục) thì các phân hoạch đều vẫn cho những xấp xỉ tốt. Maple cho phép chúng ta dùng một trong ba lệnh rightbox/leftbox/middlebox để minh hoạ việc xấp xỉ đều một hàm f trên đoạn [a, b]. Cụ thể, Cú pháp: [> rightbox(f(x), x=a..b, n, ’shading’=m1, color=m2); (tương tự, leftbox, middlebox) Lệnh này minh hoạ việc xấp hình thang cong giới hạn bởi các đường y = f (x), y = 0, x = a và x = b bằng một xấp xỉ đều gồm n hình chữ nhật có đáy bằng nhau (= (b − a)/n) và chiều cao của mỗi hình bằng giá trị hàm f tại mút phải của mỗi đoạn (đối với leftbox là mút trái và middlebox là điểm giữa). m1 là màu tô các hình chữ nhật còn m2 là màu vẽ đường cong (điều này chỉ được thấy trên màn hình, trong giáo trình này chỉ thấy màu đen). Mặc định n = 4. Chú ý rằng, trước khi thực hiện lệnh này cần khởi động gói lệnh student. Ví dụ: [> with(student); [> leftbox(exp(x)-2*x∧2, x=-1..1, ’shading’=cyan, color=green); Kết quả cho ở Hình 4.1. [> middlebox(exp(x)-2*x∧2, x=-1..1, 10, ’shading’=red, color=blue); Rb 1.5.2. Tính tích phân xác định a f (x)dx Cú pháp: [> int(f(x), x=a..b); (nếu dùng Int thì cho công thức hình thức) Ví dụ: [> int(x∧2, x=-1..2); 3
14 1 0.5 –1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1 –0.5 –1 –1.5 Hình 1.1: Xấp xỉ tích phân xác định bởi 4 hình chữ nhật 1 0.5 –1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1 –0.5 –1 –1.5 Hình 1.2: Xấp xỉ tích phân xác định bởi 10 hình chữ nhật [> int(sin(x)/x, x=0..2); Si(2) Rt sin(x) Điều này có nghĩa là máy đã định nghĩa một hàm mới Si(t) = 0 x dx. Muốn tính xem Si(2) bằng bao nhiêu ta viết tiếp [> evalf(%,20); 1.6054129768026948486 Lệnh này có nghĩa là hãy tính giá trị biểu thức vừa tính với độ chính xác 20 chữ số lẻ (nếu không chỉ định rõ độ chính xác, máy sẽ tính với 10 chữ số lẻ). Lưu ý là câu lệnh tính tích phân xác định ở trên cũng được dùng để tính các tích phân suy rộng. Ví dụ: [> int(1/sqrt(x*(1-x)), x=0..1); π
15 [> int(1/x∧2,x=1..infinity); 1 [> int(1/x∧2,x=0..1); ∞ 1.5.3. Ứng dụng tích phân xác định. a) Tính diện tích hình phẳng. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f (x), y = 0, x = a và x = b ta tính tích phân xác định trên đoạn [a, b] của hàm |f (x)| (ký hiệu là abs(f(x)). Còn muốn tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f (x), y = g(x), x = a và x = b ta dùng lệnh [> int(abs(f(x)-g(x)), x=a..b); b) Tính độ dài đường cong phẳng. Cho đường cong C trong mặt phẳng có phương trình tham số: ( x = u(t), t ∈ [a, b]. y = v(t), Ở đây, u và v là các hàm khả vi liên tục trên đoạn [a, b]. Để tính độ dài của C, trước tiên ta cần tính đạo hàm của u, v, sau đó mới áp dụng công thức được cho ở Mục 1.4.2.. Cụ thể, ta thực hiện ba lệnh [> f(t):=diff(u(t), t); [> g(t):=diff(v(t), t); [> int(sqrt(f(t)∧2+g(t)∧2), t=a..b); c) Tính thể tích hình tròn xoay. Cho hình phẳng S giới hạn bởi các đường y = 0, y = f (x), x = a, x = b. Hình phẳng này quay quanh trục Ox tạo nên vật thể tròn xoay T . Ta có thể dùng công thức trong 4.4.3 để tính thể tích vật thể này. Cụ thể, ta thực hiện lệnh [> Pi*int(f(x)∧2,x=a..b); Ví dụ: Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo ra khi quay cung parabol y = x2 −x, −2 ≤ x ≤ 1 quanh trục Ox. Ta dùng lệnh [> Pi*int((x∧2-x)∧2,x=-2..1); 171 π 10 d) Tính diện tích mặt tròn xoay.
16 Cho mặt tròn xoay F, được tạo thành khi quay cung C = {(x, f (x)) | x ∈ [a, b]} quanh trục Ox. Nếu f khả vi liên tục, ta dùng công thức trong 4.4.4 để tính diện tích của F. Cụ thể, ta thực hiện hai lệnh: [> g(x):=diff(f(x), x); [> 2*Pi*int(abs(f(x))*sqrt(1+g(x)∧2), x=a..b); √ Chẳng hạn, mặt cầu đơn vị là mặt tròn xoay được tạo ra bởi hàm f (x) = 1 − x2 . Ta viết [> f:=x->sqrt(1-x∧2): [> g(x):=diff(f(x),x): > 2*Pi*int(abs(f(x))*sqrt(1+g(x)∧2),x=-1..1); 4π 1.5.4. Tìm nguyên hàm của hàm y = f (x) Ta đã biết một hàm, nếu khả tích, sẽ có vô số nguyên hàm, sai khác nhau bởi các hằng số. Vì vậy chỉ cần biết một nguyên hàm nào đó của nó là đủ. Maple cho phép tìm một nguyên hàm của hàm f (x) thông qua lệnh int Cú pháp: [> int(f(x), x); (Nếu dùng Int sẽ hiển thị công thức hình thức) 1.6. Bài tập 1.1. Giả sử Pn là phân hoạch đều đoạn [0, 1]. Hãy tính các tổng Darboux S ∗ (f ; Pn ), S∗ (f ; Pn ) của hàm f (x) = x2 và tính giới hạn của các tổng này khi n → ∞. 1.2. Khảo sát tính khả tích của các hàm số sau trên [0, 1]: ( ( x; nếu x ∈ [0, 1] ∩ Q, x2 ; nếu x ∈ [0, 1] ∩ Q, g(x) := ; f (x) := 1; nếu x ∈ [0, 1] \ Q. 0; nếu x ∈ [0, 1] \ Q. 1.3. Cho hàm f xác định bởi ( |x2 − 1|; nếu x ∈ [−3, −1] ∪ [1, 2], f (x) := 1; nếu x ∈ (−1, 1). Hàm f có khả tích trên đoạn [−3, 2] hay không? 1.4. Cho hàm f xác định bởi ( |x|; nếu x ∈ [−2, −1] ∪ [1, 2], f (x) := 0; nếu x ∈ (−1, 1). Hàm f có khả tích trên đoạn [−2, 2] hay không?
17 1.5. Chứng minh tồn tại c ∈ [0, 2] sao cho Z c 1 2 4 dx = . 0 1+x 17 1.6. Chứng minh rằng tồn tại c ∈ [2, 3] sao cho Z c 1 1 3 dx = − . 2 1−x 26 1.7. Sử dụng Hệ quả 1.4 để tính các giới hạn sau n X n X n X 1 1 1 lim ; lim √ ; lim . n→∞ i=1 n+i n→∞ i=1 4n2 − i2 n→∞ i=1 n2 + i2 Rb 1.8. Cho f liên tục, không âm trên [a, b] thoả f (x)dx = 0. Chứng minh f ≡ 0. a Rb 1.9. Giả sử f là hàm liên tục trên [a, b] (a < b) và a f (x)dx = 0. Chứng minh rằng tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f (c) = 0. R1 1.10. Cho hàm f khả vi liên tục trên đoạn [−1, 1] sao cho −1 f (x)dx = 0. Chứng minh rằng tồn tại c ∈ (−1, 1) sao cho f 0 (c) = 0. 1.11. Giả sử f là hàm khả tích trên đoạn [a, b] và g là hàm chỉ khác f tại một số hữu hạn điểm. Chứng minh g cũng khả tích. 1.12. Chứng minh một hàm xác định trên [a, b], có tập các điểm gián đoạn không quá đếm được, thì khả tích Riemann. 1.13. Cho f và g là các hàm khả tích trên [a, b] sao cho g(x) ≥ 0 và m ≤ f (x) ≤ M , với mọi x ∈ [a, b]. Chứng minh rằng tồn tại µ ∈ [m, M ] và c ∈ [a, b] sao cho Z b Z b Z c Z b f (x)g(x)dx = µ g(x)dx = m g(x)dx + M g(x)dx. a a a c Rx 1.14. Cho f liên tục trên [0, 1] và |f (x)| ≤ 0 f (t)dt với mọi x ∈ [0, 1]. Chứng minh f ≡ 0. 1.15. Tìm nguyên hàm của các hàm sau 1 + 3x2 sin(2x) 1 1 1 1 2 2 ; 2 ; sin4 x; 6 ; ; √ x ; √ . x (1 + 2x ) 1 + 2 cos x sin x cos x e −1 1+ 1−x 1.16. Tính đạo hàm của các hàm số Z sin(x)+cos(x) F (x) := arctan(es + s2 + sin(s))ds; x ∈ R. 0 Z ln(x2 +1) G(x) := sin(3 arctan(t) − cos(t) + 5et )dt; x ∈ R. 1
18 1.17. Cho các hàm Z x3 Z x3 1 − cos t sin t F (x) := dt, G(x) := dt. 0 t2 0 t a) Chứng minh F , G là các hàm lẻ , xác định trên R. b) Chứng minh F , G khả vi trên R và tính F 0 , G0 . c) F và G có phải là các hàm đơn điệu hay không? 1.18. Tính các tích phân xác định sau Z 16 Z π 1 1 √ √ dx; dx; 0 x+9+ x 0 1 + sin x Z πp Z ln 3 x √ x e e +1 sin x − sin3 x dx; dx. 0 0 ex + 3 1.19. Cho f là một hàm số dương, liên tục trên [0, 1]. Chứng minh µZ 1 ¶ µZ 1 ¶ 1 f (x)dx dx ≥ 1. 0 0 f (x) 1.20. Khảo sát sự hội tụ và tính (nếu tồn tại) các tích phân suy rộng sau Z +∞ Z +∞ Z π Z +∞ ln x sin x 2 sin x 1 dx; dx; dx; dx; 0 x 1 x2 − π2 cos3 x 1 x ln2 x Z +∞ µ ¶ Z Z Z 1 e ln2 x +∞ 1 1 1 tan dx; dx; 2 dx; dx. 1 x 0 x 1 x −1 0 1 − x2 1.21. Cho Z 1 xn In := √ dx, n ∈ N. 0 1 − x2 a) Tính I0 , I1 . b) Khảo sát sự hội tụ của In . c) Thiết lập mối quan hệ giữa In và In−2 . Từ đó, tính I2 , I3 , · · · . 1.22. Tính các tích phân suy rộng Z π/2 Z π/2 Z 1 x arcsin x ln(sin x)dx; dx; dx. 0 0 tan x 0 x
Chương 2. DÃY HÀM VÀ CHUỖI HÀM 2.1. Dãy hàm. 2.1.1. Các định nghĩa. Cho E là một tập con của R. Dãy hàm trên E là một họ đếm được các hàm (fn )n xác định trên E. Ta nói dãy hàm này hội tụ đơn giản (hay hội tụ điểm) đến một hàm f trên E nếu f (x) = lim fn (x); ∀x ∈ E n→∞ E Lúc đó, ta viết f = lim fn hay fn → f . Như vậy: n→∞ E fn → f ⇐⇒ ∀x ∈ E, ∀² > 0, ∃n0 (², x) ∈ N, ∀n ≥ n0 : |fn (x) − f (x)| < ². Ví dụ 2.1. Dãy hàm: nx fn (x) := nx + 1 hội tụ đơn giản trên tập [0, ∞) đến hàm ( 0 nếu x = 0; f (x) = 1 nếu x = 1. Dãy hàm (fn ) được gọi là hội tụ đều trên E đến hàm f và được ký hiệu là E fn ⇒ f nếu ∀² > 0, ∃n0 (²) ∈ N, ∀n ≥ n0 , ∀x ∈ E : |fn (x) − f (x)| < ². Rõ ràng, một dãy hội tụ đều thì hội tụ. Tuy vậy điều ngược lại không đúng. Thật vậy, ta có thẻ chứng minh được dãy trong Ví dụ 2.1 không hội tụ đều trên [0, ∞) đến hàm f . Định lý sau đây sẽ cho ta một tiêu chuẩn để một dãy hàm là hội tụ đều