Giáo trình Giải tích lồi: Phần 2

Chia sẻ: Lê Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:135

Thêm vào BST

Báo xấu

100
lượt xem 29
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tiếp nối phần 1, phần 2 giáo trình gồm nội dung chương 4 - Dưới vi phân và chương 5 - Bài toán cực trị. Giáo trình này dành cho các học viên cao học, nghiên cứu sinh và sinh viên toán của các trường đại học. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Giải tích lồi: Phần 2

loi Chương IV D Ư Ớ I V I PHÂN 4.1. ĐẠO HÀM T H E O PHƯƠNG Giả sử f là h à m xác định trên không gian lồi địa p h ư ơ n g Hausdortf X |/(;r)| < +00. Đ i n h nghĩa 4.1. Dạo hàm của hàm f theo "phương (ỉ tại , i \ ký hiệu là f'(x; d), được định nghĩa là giới hạn sau: ỉ (.r; d) := l i m -y A 1.0 Ả nến giới hạn này t ồ n t ạ i (có t h ề hữu hạn hoặc ± o o ) . Nhận xét ị.Ì /'(.(•;.) là h à m thuần nhất dương. Thật vậy, VA > 0, { ỉ + /
10") Mênh đề 4.1. G i ã sir ọ là h à m l ồ i c h í n h t h ư ờ n g t r ê n R. K h i (ló, ỳ có đ ạ o h à m p h á i -p'Ạ-) t ạ i m ọ i đ i ể m của. domxp. Đồm* t h à i . -p' (t) + l à h ù m k h ô n g g i ả m và. n h ậ n giá t r ị hữu hạn khi / 6 iiitỊdoiìì^). Chứ nọ mãnh L ấ y tị < / 3 . v ớ i / 1 , í 2 £ domọ. B ơ i vì h à m y l ồ i v à : ' 3 - í , cho urn: ti — t l t:i — tị l ị — 'I ^Ơ2)-y-(M < >W)-*>(*i) < y g ự a ) - ^ ) . /a - f , /3 - í Ì ( ) ) D o f l ỏ V ( V i t e < / o m ^ ^ A c (lạo h à m p h á i ý?+(f) '. ý>+(f) = ^ (/; 1) = l i m í . A|0 A
106 Hơn nữa, v ớ i fi,Í2 £ domip v à 0 < ỗ < í 2 — í Ì , t ừ (4.1) ta nhận đirợc: y+Ci) S ị < v ơ a ) - y ( * i ) < y(*2 + A ) - y ( t )2 Í2 - í Ì A v+ơi) < V+(*2), tức là < j 3 + ( . ) không giầm v à |y?+(í)| < +oo khi í G intịdonvp). • Đ i n h l ý 4 . 1 . G i ả sử / là h à m lồi chính thường trên -Ý. K h i đ ó , / có đạo h à m theo phương t ạ i mọi đ i ể m X € dom f . Đồng t h ờ i , _ • f(x + X d ) - f { x ) n f ị {x\d) = mĩ f . (4.2) A>0 A Chứng minh Lấy X G domf, d e X. Đ t if(t) := f ( x + td). Khi đó, if là h à m lồi chính t h ư ờ n g trên R và 0 €E dơrrup. Mệnh đ ề 4.1 chỉ ra đạo h à m phải ¥>+(()) tồn t ạ i . Đồng t h ờ i , ¥>'+(0) = /'(*;
107 Nhận xét ị.2 Nếu / l à l ồ i c h í n h t h ư ờ n g t r ê n x,x G dom/, thì f'{x,.) là h à m l ồ i . T h ậ t v ậ y , l ấ y di, (Ỉ2 € X, ta có: /(x+J(di + d 2 ) ) - f ( x ) f'(x\di + d ) = lim 2 MO A / ( | ( T + Adi) + è(g + A r f 2 ) ) - / ( » ) é = 2 lim — ĂỊo A /(g + A 0 : XXQ G lĩ. D O / liên t ụ c t ạ i đ i ể m Axo, v ớ i m ọ i e > 0 , t ồ n t ạ i l â n c ậ n V của Xx 0 sao cho: |/(x)-/(Axo)|
108 Ì Ì Ta có ^-V l à m ộ t l â n c ậ n của .ro v à V.Ỉ' 6 -~v, Ả Á •ƯU-) - f(:ra)\ = Ằ-ìựịXx) - / ( A . r ) | < e. 0 => f liên t ụ c t ạ i .!•(). b) N ế u f liên t ụ c t r o n g l â n c ậ n w c ủ a 0, t h ì theo c h ứ n g n i i n l i p h ầ n a) f liên tục t ạ i m ọ i đ i ể m ciia n ó n K\Y sinh tòi t ậ p w, có the t r ừ ra đ i ể m 0. T a l ạ i c ó K\Y — À" v à t ạ i 0 ta đà giả thiết / liêu t ụ c . V i v ậ y , /' l i ê n t ụ c t r ê n t o à n À". • Đ i n h lý 4.2. G i ả sử ị' l à h à m l ồ i c h í n h t l r ư ờ n g t r ê n À", liên tục tại c á c đ i ề m của tập u c A". Khi đó, à ) N ế u t ạ i đ i ể m ã G À" t h ỏ a m ã n .V + d G ư m à f'(.v;d) hằu hạn, thì f ' ( . ! " . ) liên t ụ c t ạ i m ọ i đ i ể m ciìa. n ó n Kư-X sinh b ở i t ậ p Ự — .T, có t h ể t r ừ r a đ i ế m 0; b) N ế u /' liên tục t ạ i X, t h ì f'(.r;.) hằu hạn v à liên tục t r ê n A". Chúng minh a) T h e o m ệ n h (tề 4.2, t a chì c ầ n c h ứ n g m i n h r ằ n g /'(.(•:.) liên tục t ạ i m o i đ i ể m cùa. t ậ p ự — .{'. T r ư ớ c h ế t t a chì ra f'(.r;.) là. h à m c h í n h thường. Do | / ' ( . r ; r f ) | < + O C , n ô n ,.r e dom/. Từ đ ị n h lý 4.1 ta nliậii được: f ' { x ; d ) < f ( x+ d) - f ( x ) (Ve/ e X ) .
J 09 N(UI 3d J e A ' : / ' ( . / • ; dị ) = - o e . T h e o ( l ị n h lý 2.9, ;(• + (ì e int{đom f ) . D o ( l ó . v á i f > 0 chi n h ò , .ỉ- + (
no 4.2. D Ư Ớ I V I P H Â N G i ả sử f là h à m lồi trên X. Đinh nghĩa 4.2. Phiếm h à m X* G X* được gọi là dưới gradient (subgradient) của h à m / tai X G A ,nếu: - f { ĩ ) >< x*,x - x > (Va,- 6 X ) . Đ i n h nghĩa 4.3. T ậ p t ấ t cả d ư ớ i gradient của / t ạ i X đ ư ợ c gói l à dưới VI phân (subdifferential) của / tai X , ký hiện là Ổ/'(.ĩ), tức là: d f { x ) = {x* e X* : f ( x ) - f ( x ) >< x * , x - x > , Va; e X } . Đ i n h n g h ĩ a 4.4. H à m f được gọilà khả dưới vi phân tại ĩ-, n ế u d f ( x ) Ỷ 0- Đinh lý 4.3. G i ả sử / là h à m lồi chính thường trên X và X G dom/. K h i đó, X* e d f ( X) ^ f'(x; d)>< X*, d> (Vá G i ) . Chứng minh N ế u X * G Ỡ / ( . T ) , t h ì v ớ i m ọ i (ỉ E X , A > 0, t a c ó : /(í + Ac/) - f(x) > \ < x*,d > .
111 T h e o đ ị n h lý 4 . 1 . f có đ ạ o h à m t ạ i í t h e o p h ư ơ n g d, cho nôn: f'( v ; d ) > < x*,đ> . (4.4) N g ư ợ c l ạ i , n ế u (4.4) ( l ú n g , t a l ấ y .V £ À", ã = V — .}•, từ đ ị n h lý 4.1 ta n h ậ n được: < _ ĩ > < / ' í , - : .r - ã-) < f ( x + (X - ĩ ) ) - /(.*•) D o đ ổ . .(•* ẽ ớ / ( . r ) . • H ệ quả 4.3.1. Ỡ/U) = d A f { x ; 0), t r o n g đ ó ỡf/ là d ư ứ i v i p h â n của f ' { x \ d ) theo b i ế n ã. Chúng minh D o /'(.(•;()) = 0. theo đ ị n h lý 4.3, t a c ó : e a/(.r) f'(.r: đ ) - f ' ( x ; Q ) >< x*,(ì > (Ví/ € -Ý) •>•* e O f'(x;0). d • Đ i n h lý 4.4. G i à s ù f l à h à m l ồ i c h í n h t h ư ờ n g t r ê u A" v à .V (E f ( x ) + f*(x*) =< .,*,.«• > . Chúng minh a) Giả s ù :r* e df(.r). K h i đó, / ( • ' • ) - / ( . / • ) > (We-Ý).
112 ==> < x \ x > - / ( * ) >< x*,x > -f(:r) (V.r € A ' ) < .;•*,.(• > - f ( . r ) > s u p { < .(•*,.;• > -/(./•)} J' = /*(**). (4.Õ) s M ặ t k h á c . theo b ấ t đ ẳ n g t h ứ c Y o u n g - F(Tiehc l. - f i x ) . (4.Ĩ) b ) G i ả sir (4.7) đ i í n g . T ừ b ấ t đ ẳ n g thức Y o u n g - Fonohel. v ớ i Ả > 0, d G À", t a có: f ( x + Xd)>< v*..r + Xd> _ ( < > -/(.ĩ-)). =» ^—; > ị = < . r , í / > / V : rf) > < .«•*, í/ > (Ví/ G À") =» x * e d f ự ) ( đ ị n h lý 4.3). • Ví dụ ị.ỉ Cho h à m siffine /(.!•) = < .r*,.r > + a (** e A'*.n e /?). K h i đ ó , ỡ / ( . r ) = {.í*} (V.r G A ' ) .
113 Ví dụ 4.2 Cho h à m chì /'(•'•) = ^(-l-*!), t r o n g đ ó A là t ậ p l ồ i k h á c 0. K h i (ló. v á i J" G -4. e ỡ()(.r\A) ố(.v\A) > ố ị.rĩ Á)-Ị- < x \ x - ĩ > (V;r e À") < tf*,.T - X >< 0 (V.Ĩ 6 A). Đ i ê u n à y c ó nghĩa là X* là. v é c t ơ p h á p t u y ế n c ủ a .4 t ạ i ã'. N h ư v ậ y , ỡồ(.r|-4.) là. ncSn p h á p t u y ế n cùa. A t ạ i X : T ỡ*(:r|.-i) = A (ã-|.4). Chú ý: v ớ i .ĩ- ị .4, dổ(x\A) = 0. w dụ 4.3 G i à s ư A ' là k h ô n g g i a n B a n a c h , f ( x ) = \\x a) V ớ i .í' / 0 . ta có: d f ( x ) = {x* € A ' * : = 1,< í ' , ! > = T h ậ t v ậ y , n ế n .(•* t h o a m â n < .Ỉ:*,.Ì' > = ||.ỉ'|| v à ||.r*|| = Ì , thì: < , • * . . : > < | | ; | | | k * ] | = ||c|| (V--6-Y). < | | í NI jr* e ỡ/(:c).
Ngirực l ạ i , n ế u X* e d f { x ) , t h ì : - I k l l = n o n - l l - H I > < **,0 - .í- > = - < x\x >, 11*11 = ||2a:|| - 11*11 > < X*,2.r - X > = < .v\ X > . \\x\\ = . (4.8) V ớ i ; G X A > Ũ , t a có: ||A.r + . * - | | - 1 1 * 1 1 > < * : * , ( A c + .r)-.r> = < X*,ẰZ > = > II*- + | | | - Ỉ I W I ^ < ^ Z > . Cho A —> co, t a n h ậ n đ ư ợ c : 11-11 > (Vre-Y). => 1 1 * * 1 1 < Ì- N h ư n g lia:*li k h ô n g t h ể < Ì , b ổ i vì n ế u < Ì thì: || I < Ì => < > < Đ i ê u n à y m â u t h u ẫ n v ớ i (4.8). Vì v ậ y , lịa'*li = 1.
115 ì)) V ớ i X = 0. ta có: ỡ/(0) = {.!'* < ./•*.- >} = {.,•* e -V* : ||.r*|| < 1} = - ơ , ( 0 . 1) ( h ì n h cần đ e m v i d ó n g t r o n g A"*). Trường hợp riciig: X = lì. /(.ỉ-) = ị-í-Ị. V(Vi .(• 7^ 0 : / là h à m k h á v i , v à : 1 a/(.r) = {1,-r ,-}. Ycri .r = 0 : ỡ / ( 0 ) = {£ e lì: I-| >< z > . Ve e 7?} = ttei?:KI - / ( ( ) ) = 0 r e Ã'
116 - G i ả sử Ba1 £ -Ý sao cho: < X*,XI > - / ( X i ) > 0. Khi đó, r(x*)>snp{-f(\x )}l x>0 = SUpA[< .T*,Xi > -/(.Ti)] À>0 = +00. / * chỉ nhận hai giá trị 0 v à +00. { 0, nếu X* € +00, nếu X* ị domf*, domf*. Đề ý rằng: h à m chỉ của tập A là đóng khi và chì khi A đóng. Do / * là h à m đóng, nên dom f* đóng. • M ê n h đ ề 4.4. G i ả sử / là h à m lồi đ ó n g thuần nhất d ư ơ n g . Khi đó, f ( x ) = sup{< x*,x > : X * (E domf*}. Chứng minh
117 T h e o đ ị n h lý 3.6, / = /**. M ặ t khác, / • = 6{.\dơmf*) ( m ệ n h đ ề 4.3). V ì vậy, f ( x ) = f**(x) = s u p { < x*,x > -ỗ(x*\domf*)} ì* = s u p { < ;r*,.T > : X* G domf*}. • Đ ị n h l ý 4 . 5 . G i ả sử f'(x;.) là h à m đ ó n g . K h i đ ó , d f { x ) Ỷ 0 v à Vf/ : X* e clơm(f'(x; .))*}. (4.8) T h e o m ệ n h đ ồ 4.3, Ị 0, n ế u X* G c / ơ m ( / ' ( . ĩ - ; . ) ) * , (/'(*;.))*(*•)=< • ~ [ + o o , n ê u .r* £ dơm(f(x; .))*. Mặt khác. ư'(.r;.))%*•*) = s u p { < x * , d > -/'(*;d)}. (í GÃ' Vì vậy, € dom(f'(x:.))* 0 > < ÍT*,í/ > - / ' ( . T ; d) (Ví/ G À")
118 Gỡ./•(.(•) ( đ ị n h lý 4.3). Ị D o (ló. df(:r) = (ioniịf'(.h.)ì*. v à Ví/ e X , f'(.v:d) = s u p { < .v*.d > : .(•* G a / ( . r ) } . • ị M ê n h đ ề 4.5. Già. s ư / là h à m l ồ i c h í n h t h ư ờ n g t r ô n R". K h i đó, a / ( a - ) 7^ 0 (V.i- e riịdom/)). Chúng minh í Từ các đ ị n h lý 2.11 và 4.2 suy ra: v ớ i ;(• G ri((ìuiìi f). 1 hàm f ( à ; . ) h ữ u h ạ n t r ê n k h ô n g g i a n con a f f ( d o i i i f ) — .V. T h e o đ ị n h lý 3.4, ( f (.?•; . ) ) * l à h à m c h í n h t h ư ờ n g , cho nên dom(f'{x: .))* ^ 0. T h e o c h ứ n g m i n h đ ị n h lý 4.5, < x*,d> (VdeX). ì D o .ỉ"* liên t ụ c . l i ê n / ' ( . ! • ; . ) n ử a liên t ụ c d ư ớ i t ạ i 0. ị li ị ị
119 b ) G i ả sử /' n ữ a liên tục d ư ớ i t ạ i 0. Nlnr vậy, / ' ( . r ; . ) l à h à m l ồ i t h u ầ n n h ấ t d ư ơ n g , đ ó n g . Do đ ó , / ' ( . ĩ ; 0 ) = 0 v à f ( . ĩ ; . ) k h ô n g t h ề n h ậ n g i á t r ị — oo. T h e o đ ị n h lý 3.4, (f(z;.))* là h à m chính thường. Vậy. doinị f{x: . ) ) * Ỷ 0- Theo c h ứ n g m i n h đ ị n h lý 4.5, t a có: dom(f(x-.))* =df(x). D Vì vậy, df{x) Nhận xét ị.3 Nếu X ị dotnf, thì d f ( x ) = 0. T h ậ t v ậ y , X* G d f ( x ) k h i v à chỉ k h i / ( - ) - ĩ ( x ) >< x \ z - X > (Ve e X ) . (4.9) N ế u z G domf, t h ì (4.9) k h ô n g t h ể t h ỏ a m â n k h i f ( x ) — +oo, tức là khi X Ệ dom/. Nhắc lại: h à m / đ ư c gọi là khả vi Gâteaux t ạ i ã; G X , n ế u 3x* € -Ý*, sao cho v ớ i m ọ i á € A", f ( x + td) = f ( x ) + t< x*,d> +o(t). (4.10) K h i đ ó , t a gọi ;C* là đ ạ o h à m G â t e a u x của / t ạ i X : = .r*. Đ i n h lý 4.6. G i ả sử f l à h à m l ồ i t r ê n X. K h i đó,
120 a) Nếu / khả vi Gâteaux t ạ i X với đạo hàm Gâteaux tại X là X* và f khả dtrới vi phân t ạ i X, thì df(x) — {x*}. b) Nếu / là hàm chính thường, liên tục t ạ i .X và df{x) gồm một phần từ duy nhất X*, thì / khả vi Gâteaux t ạ i X Chứng minh a) T ừ (4.10) ta có: f'{x;d) = < f ' G ( x ) , d > = < x*,d > . Do đó, y* e d f ( x ) y * , d > < < x * , d > (Ví/ G -Y) X* - y * , d > > 0 (Ve/ G X ) •4=> X* — y* = 0 hay X* — y* • Vậy df{x) = {x*}. b) Giả sử df(x) = {x*}. Theo định lý 4.2, /'(;?;,) liên tục. Do đó, p(x;, ) là. hàm đóng. Vì vậy, Ve/ £ À", / ' ( ã ; d ) = (/'(
121 Hê quầ 4.6.1. G i ả sử À' l à k h ô n g g i a n B a n a c h , / là h à m l ồ i k h ả v i Frechet t ạ i X G X v ớ i đ ạ o h à m Frechet t ạ i X l à f'{x). Khi đó, d f ( x ) = { f ( x ) } . Đ i n h lý 4.7. G i ả sử / là h à m lồi chính t h ư ờ n g t r ê n k h ô n g g i a n l ồ i đ ị a p h ư ơ n g H a u s d o r f f X, l i ê n t ụ c t ạ i X £ X. Khi đó, d f ( x ) k h á c 0, l ồ i , c o m p á c * y ế u . Đ ồ n g t h ờ i , f ( x ; d) = m a x { < x*,d>: X* € d f ( x ) } Chứng minh a) T a c h ứ n g m i n h d f ( x ) lồi? L ấ y x\,x* 2 6 d f { x ) v à A < Ả(/(x) - f ( x ) ) , < ( l - \ ) x * 2 , x - x > < ( l - X ) ( f ( x ) - f ( x ) ị < Xx* + (Ì - \)x* ,x 2 - X > < f ( x ) - f ( x ) (Va; e X ) . XxỊ + ( Ì — A)a.'2 G d f ( x ) df(x)\òi. b) Chứng m i n h d f ( x ) í 0? T h e o đ ị n h lý 4.2, / ' ( ĩ ; , ) l i ê n t ụ c t r ê n X . D o đ ó , ) ^ 0 ( m ệ n h đ ề 4.6). c) C h ứ n g m i n h d f ( x ) c o m p ă c * y ế u ?
122 Do /'(.ỉ-;. ) liên t ụ c , / ' ( . í - ; , ) l à h à m đ ó n g . T h e o đ ị n h lý 4.5, s u p { < ;r*, ả >: .< f i x + ã) - f i x ) } . ỡ/(;ĩ") Là t ậ p đ ó n g * y ế u t r o n g À"*. => dị'{.ì) compăc *yếu trong A * . • 4.3. C Á C Đ Ị N H LÝ cơ B A N VE D Ư Ớ I V I P H Â N G i à sử X là k h ô n g g i a n l ồ i đ ị a p h ư ơ n g H a i i s d o r f f . M ê n h đ ề 4 . 7 . G i à S\V / l à h à m l ồ i c h í n h t h ư ờ n g t r ê n A" v à A > 0. K h i dó. v.r € X , d ( \ f ) ( . v ) = \ d f ( x ) . Chứng ĩninh
123 V ớ i .r G đom/, đ o / l ồ i cliínli t h ư ờ n g v à A > 0, n ê n A / l ồ i c h í n h t h ư ờ n g và .í- € doni(\f). Đồng t h ờ i , (A/)'(x;.) = A/'(x;-). T ừ đ ị n h lý 4.3 suy r u : d { X f ) ( x ) = Xdf(x). Nếu .T Ệ dom f , t h ì ỡ ( A / ) ( . ì ) = A Ỡ / ( . r ) = 0. o Đ ị n h lý 4.8(Moreau - Rockafelỉar) Già SỪ t i , . . . , f,n là h à m l ồ i c h í n h t h ư ờ n g t r ê n -Ý. K h i d ỏ , v.r € A", + . . . + / , „ )(.r) D ỞMx) + ... + ỡ/ (*). m »11 Hem n ữ a , n ế u t ạ i ( l i ế m X G 1^1 dotnfi, t ấ t cà các hàm í=i A i . . . . , f m l i ê n tục ( c ó t h ổ t r ừ ra m ộ t h à m ) , t h ì : + . . . + /,„ = a/^a-) + . . . + ỡ/ ,(j-). n Chúng ì ninh Ta c h ứ n g m i n h cho t r ư ờ n g h ợ p VI = 2. T r ư ờ n g h ợ p tổng q u á t d ù n g quy nạp. à) Chứng minh: +f>)(.r) D dh(x) + df (x). 2 (4.11)