Giáo trình Hàm biến phức: Phần 1

Chia sẻ: Lê Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:186

Thêm vào BST

Báo xấu

270
lượt xem 63
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 1 giáo trình "Hàm biến phức" trình bày cơ sở của hàm biến phức. Phần này gồm 5 chương: Số phức và dãy số phức, hàm số biến số phức, hàm chỉnh hình, lý thuyết tích phân hàm chỉnh hình, chuỗi Taylor và lý thuyết thặng dư.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Hàm biến phức: Phần 1

ĐẠI HỌC VINH THƯ V I Ệ N ỉH U Ê • L Ẻ M Ậ U H A I 515.9 NG-K/01 DT. 000091 ềSÊPt 1ỊXỊ a Nội NHÀ XUẤT BẢN Đ Ạ I H Ọ C Q U Ố C GIA HÀ
NGUYỄN V Ă N KHUÊ - LÊ MẬU HẢI HÀM BIÊN PHỨC NHÀ XUÁT BẢN Đ Ạ I H Ọ C Quốc GIA HÀ NỘI - 2001
Chịu trách nhiệm xuất bản : Giám đốc NGUYỄN VĂN THỎA Tổng biên tập NGUYỄN THIỆN GIÁP Người nhận xét: PGS. T S K H Đ ỗ ĐỨC T H Á I PGS. TS NGUYỄN T H Ủ Y THANH TS BÙI ĐẮC TẮC Biên tập và sửa bài: ĐO PHU Trình bày bìa: NGỌC ANH HÀM BIÊN PHỨC Mã s ố : 01.19.ĐH2001 - 345.2001 In 1000 cuốn, tại Nhà in Đại học Quốc gia Hà Nội. Số xuất bản : 41/345/CXB. số trích ngang 1 0 4 KHXB In xong và nộp lưu chiểu Quí 11/2001
MÚC L Ụ C Trang LÒI NÓI Đ Ầ U 7 Phần ì. CO SÒ CỦA HÀM BIẾN PHỨC Chương ì. SỖ PHỨC VÀ DÃY s ố PHỨC 9 § 1. Số phức 9 § 2. Dãy và chuỗi số phức 20 § 3. Tôpô trên mặt phang phức 24 Chương li. HÀM SÒ B I Ể N số PHỨC 37 § 1. H à m biến phức 37 § 2. Chuỗi hàm '41 § 3. Định nghĩa các hàm sơ cấp 51 Chương ỈU. HÀM CHỈNH HÌNH 58 § 1. Khái niệm hàm chỉnh hình 58 § 2. H à m phân tuyến tính 71 § 3. Một số hàm sơ cấp khác 79 § 4. Khái niệm vé diện Riemann 86 Chương IV. L Y T H U Y Ế T TÍCH PHÀN HÀM CHỈNH HỈNH-... 94 § 1. Tích phân phức 94 § 2. Các định lý Cauchy về tích phân các hàm chỉnh hình trên đường cong đóng loi § 3. Lý thuyết Cauchy 108 3
§.4. M ộ t số định lý quan trọng của hàm chỉnh hình . .113 § 5. H à m điếu hòa 121 Chương V. C H U Ỗ I T A Y L O R VÀ LÝ T H U Y Ế T T H Ả N G D ư . . 131 § 1. Chuỗi Taylor 131 § 2. Chuỗi Laurent 138 § 3. Thăng dư của hàm chỉnh hình và áp dụng của nó 150 § 4. Thặng dư logarit và áp dụng của nó 154 § 5. H à m điề u hòa 165 Phần li. MỘT SỐ VẤN ĐÊ CHỌN LỊÍA TỪ HÀM CHỈNH HÌNH . Bài ỉ. Đ Ị N H LÝ M O N T E L (NGUYÊN LÝ C O M P A C T ) 185 Bài 2. Đ Ị N H LÝ Á N H X Ạ R 1 E M A N N 190 Bài 3. K H Ô N G Đ I Ể M CỦA CÁC HÀM CHỈNH HÌNH 193 Bài 4. C Õ N G THảC JENSEN - Đ Ị N H LÝ co BẢN T H ả NHẤT NE V A N U N A 203 Bài 5. Đ Á N H GIA MOĐƯN TRÊN VÀ D Ư O l C Ủ A HÀM CHỈNH HÌNH 212 Bài 6. Độ TẢNG C Ủ A HÀM NGUYÊN 226 Phần IU. HÀM NHIÊU BIẾN PHỨC Bài ì. K H Ô N G GIAN EUCLIDE c n VÀ CÁC M I Ề N ĐON GIẢN 232 § 1. Không gian Euclide phức 232 n s 2. Các miên đơn giản trong c 233 n § 3. P h â n hoạch đơn vị trong c 235 Bài 2. H À M C H Ỉ N H HÌNH N H I Ề U BIẾN 241 4
§ 1. Khái niệm chỉnh hỉnh 241 § 2. Các tính chất đơn giản của hàm chỉnh hỉnh . . . . 243 § 3. Miễn hội tụ của chuỗi lũy thừa 247 Bài 3. Đ Ị N H LÝ HARTOGS 251 Bài 4. P H Ư Ớ N G T R Ì N H C A U C H Y - RI E M A N N VÀ MÒ RỘNG CHỈNH HÌNH 256 § 1. Sơ lược vé dạng vi phân trên c 256 § 2. Dạng tích phân Cauchy suy rộng 258 § 3. Phương trình Cauchy-Riemann không thuồn nhất . 260 § 4. Mở rộng chỉnh hình 265 Bài 5. M I Ề N CHÌNH HÌNH VÀ L Ồ I CHÌNH HÌNH 266 § 1. Miễn chỉnh hình 266 § 2. Miến lồi chỉnh hình 276 Bài ó. M I Ề N GIÀ L Ồ I . , 273 § 1. Hàm đa điểu hoa dưới 273 § 2. Bao đa điều hòa dưới 274 5
LÒI NÓI Đ Ầ U Giáo trình "Hàm biên phúc" dược biên soạn chủ yêu dành cho sinh viên khoa Toán các trường Đại học Sư phạm. Năm chương dầu của giáo trinh, như thông lệ dành cho việc trình bày những kiên thức cơ bàn của lý thuyế t hàm chinh hình một biế n phức: khái niệm và các tính chất sa cáp cùa hàm chỉnh hình, lý thuyế t tích phán Cauchy, lý thuyế t chuỗi và thặng dư. Khác với một số giáo trình hàm bi ế n ohức trước dây, do có tính đến sỏ phát triển sau này của chuyên ngành Lý thuy ế t hàm, chúng tôi trinh bày thêm một phần lý thuyế t hình học mà sẽ dược tiế p tục ỏ phần hai của giáo trinh "Hàm chình hình một biên phức". Đó là nguyên lý Argument và định lý Rouché, nguyên lý bảo tôn miên, định lý lỉu nait, V.U.. Phàn thú hai của giáo trinh là một số ván dè dược lỏa chọn dóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu sâu vè hàm chỉnh hình. Nó bao gồm: định lý Montel, dinh lý Riemann, dinh lý Weiestrass vẽ sỏ tồn tại hàm nguyên với dãy không điểm cho trước cũng như định lý Mittag - Leffler vè sỏ tòn tại cùa hàm phân hình với phàn chính đã cho. Người học còn âm tháy ở đây các kế t quà vè đánh giá môdun trên và dưới dối với các hàm chỉnh hình bời dinh lý Carathéodory, Schottky, Landau, phragmen - Lindelof và Carton. Các kế t quả vẽ khảo sát độ tăng của hàm nguyên, công thức Jensen và định lý cơ bản thứ nhốt cùa Nevanlina về đảnh giá tổng số không điềm và cỏc điềm của hàm phân hình cũng được dưa ra trong phân này. Phần này 7
dược dùng như một tài liệu hữu ích cho việc dạy chuyên dê ỏ năm thứ ba. Tuy vậy. nó là tài liệu tham khảo và nâng cao thật bồ ích cho những ai muốn đi sâu. tìm hiểu môn học này. Phàn cuối của giáo trình là các kiến thức nhập môn về hàm nhiều biến phức. Bao gôm trong đó, ngoài các kiến thức ban dầu về hàm nhiều biến phức, còn phải kề đến định lý cơ bản Hartogs về tính chờnh hình của hàm chờnh hình theo từng biến, về việc giải phương trình 9 và sự thiết lập mối liên hệ giữa miền chinh hình, miên lòi chờnh hình và miền giả lồi. Thiết nghờ ràng, nội dung của cuốn sách không chi cho các sinh viên năm thứ hai, thứ ba của khoa Toán các trường Dại học Sư phạm và Dại học Khoa học Tự nhiên mà còn là tài liệu thiết thực đối với các học viên cao học chuyên ngành Lý thuyết hàm. Các nghiên cứu sinh chuyên ngành Lý thuyết hàm có thề tìm thấy ỏ dãy những kiến thức cần thiết cho sự học tập và nghiên cứu của mình. Cuốn sách lăn dầu tiên xuất bản nên không tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi mong nhận được sự góp ý của bạn dọc. Các tác giả 8
Phần I Cơ sỏ CỦA HÀM BIỂN PHỨC Chương ỉ S Ố PHỨC VÀ DÃY S Ố PHỨC §1. S Ố PHỨC Ta biết rằng trường số thực R nhận được bàng cách làm "đấy" trường số hữu tỷ Q, mà nó được xâ\ dựng từ vành số nguyên z. Việc làm đấy xuất phát từ sự nghiên cứu các phương trình đại số với hệ số hữu tỷ và giới hạn của dãy các số hữu tỷ. Tuy nhiên trường R vẫn không đấy đủ, bểi vì ngay cả phương trình đơn giản X 2 + Ì = 0 (1) cũng không có nghiệm trong R. Còn trong giải tích nếu chỉ giới hạn trong R người ta không thể giải thích được vì sao hàm Ì f(x) = — — Ì + X 2 không thể khai triển được thành chuỗi lũy thừa trên toàn bộ đường thẳng. Với lý do trên. buộc ta phải đi tỉm kiếm trường K nào đ ó chứa R như một trường con sao cho tối thiểu phương trình (1) 9
có nghiệm, ớ đây, ta nói R là t r ư ờ n g con của K nếu c á c phép t o á n t r ê n R được cảm sinh bởi các phép t o á n t r ê n K. 1.1. Xây dựng trường số phức Trước hết, ta hãy phác thảo con đường tim kiếm trường c 2 chứa R như một trường con mà phương trình X + 1 = 0 có nghiệm trong nó. Nếu c là một trường như vậy, thì c phải có một phần tử i để í = -1. Vì R c c nên c chứa tất cả các phẩn tử dạng a + ib; a, b £ R Vì vậy, m ộ t cách tằ nhiên ta h ã y x é t t ậ p c các cặp số thằc z = (a, bì: c = {(a, b) : a, b £ R} Sau đó đưa vào quan hệ bằng nhau và các phép toán sao chỏ với c h ú n g c trở thành một trường chứa R như một trường con (qua phép đổng nhất nào đó). Các p h é p toán n à y được dẫn dắt từ các phép toán của trường R với c h ú ý i = - 1: (i) Quan hệ b ả n g nhau: (a, b) = (c, d) «=> a = c và b = d. (li) Phép cộng: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). (iii) Phép nhân: (a. b) . (c, d) = (ác - bd, ad + be). Định lý 1. T ậ p hợp c với quan h ệ b ằ n g nhau, các p h é p cộng và n h â n x á c định nhu í rèn lập t h à n h một trường thỏa m ã n các điêu kiện sau: 10
1) R chứa trong c lib í một trường con (qua đổng nhất a e ít với (a, 0) G C). 2) Tổn tại nghiệm của phương trình X + Ì = 0 trong c Chứng minh: 1) (i) Hiển nhiên với phép cộng (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) c lập thành nhóm c ộ n g giao h o á n với p h á n tử không là (0, 0) và phẩn tử đối của (a, b) là (-a, -b). (li) T i ế p ' theo với phép nhân (a, b) . (c, d) = (ác - bd. ad + be) tập c* các phấn tử khác không của c lập thành nhổm nhân giao hoán với phần tử đơn vị là ti, 0) và phần tử nghịch đồo của (a, b) e c* là a — í k \ 2 2 2 2 V a + b ' a + bl ' (iii) Cuối cùng phép cộng và phép nhân trong c thỏa mãn luật phân phối vốn có trong R. ••.«. (3)[(a, b) + (c, d't'j = (a, p)(a + c, b +• d) = (a (a + c) - /ỉ(b ả), a (b + d) + ộ (a + b)) — (aa + ác - fib - ị3d. ab + aà + Ịi-A + Ịic) - tea - fib, ah + /3a) + (ác - /xỉ, rtd + /Se) = (a, /3)(a, b) + (a, /3)(c, d). Hiển nhiên qua đồng nhất a = (a, 0), a G R, R được chứa trong c như một trường con. li
2 2) Bởi vì (0. Ì) = ( - 1 . 0) = -] nên i = (0, 1) là nghiệm của phương trình X + Ì = 0. Định nghĩa 1. T r ư ờ n g c được xây dựng n h ư trên được gọi là trường các số phức. còn m ọ i phần tử của c được gọi là số phức. Số i É c gọi là dơn vị ảo cùa c. Bời vì: (a. b) = Ca, 0) + (0, b) = a + b (0, 1) = a + bi n ê n mọi số 'phức z G c ta viết duy nhất dưới dạng z = a + ib với a, b £ R Dạng trên được gọi là dạng dại số của số phức z, các sô thực a. b lần lượt được gọi là phần thực và phần ảo của z. Ký hiệu a = Rez, b = Imz. Cho z = a + ib G c. Khi đó z = a - ib e c được gọi là số phức liên hợp của số phức z. Các đ ả n g thức sau được suy ra từ đậnh nghĩa z = Z VzeR.cC; z = z Vz G C; = ZỊ "Ỉ" z -) z Ị T Z2 } 2 2 z . Z = a + b 5= 0 ; = z^2 Zj Z2 và vậy thì Iz = Xi VA e R, Vz G c. 12
1.2. Mặt phăng phức Giả sử trẽn mặt phảng Ít cho một hệ tọa độ vuông góc 2 xOy. Như v ậ y , mỗi đ i ể m M e K được xác định b ờ i hoành độ X v à tung độ V của nó. Điều này cho phép ta lập được tương ứng Ì - Ì giữa các điểm của mặt phang R" với các sò phức z G C: M(x, VI G R 2 H-> X f iy = z G c Mặt phảng R c ù n g với một tương ứng như vậy được gọi là mặt phàng phức. Như vậy m ộ t điểm M(x, y) G K" có t h ể được coi là một sự phức nếu đồng nhất nó với z = X + iv. 1.3. M ô đ u n và Argument của sô phức Ta đã biết m ỗ i sự thực X G R tương ứng v ớ i một sô thực không âm |xj được g ọ i là giá trị tuyệt dối của x: . . Ị X nếu X Si 0 ỉ —X nếu X < 0 Giá trị tuyệt đ ự i này có các tính chất hiển nhiên sau (liên hệ với các phép toán của trường sự thực Rì: (i) IX Ị & 0 Vx e R và Ị XI = 0 «=>x = 0; (li) |xy| = |x||y|; (iii) |x + y| « IX Ị + ly Ị. Bây giờ ta muựn mở rộng hàm trị sự tuyệt đựi này thành một hàm m à sẽ gọi là hàm môdun từ c tói R m à các t í n h chất tương tự như trên còn được giữ nguyên đựi với các sự phức. Muựn v ậ y , v ớ i m ỗ i sự z = X + iy e c ta đặt IzI = v~x" + y" = if7, . Z và gọi là môdun của z. 13
|z| c h ẳ n g qua là khoảng cách từ điểm M i x . y) fc R tương ứng với z đ ế n gốc tọa độ 0(0, 0). Các khẳng định sau tương tự như (í) -ỉ- (iii) suy trực tiếp từ định nghĩa trên: a) I z I 5* 0 Vz e c và IzI = 0 z = 0; b) |zj z | 2 = IZ ỊL |z |; 2 c) |Z| + z | 2 í |Zị| + |z |. 2 Ngoài ra: d) Môđun của mọi số thực X G R chính l à t r ị số tuyệt đ ố i của nó; e> |zỊ = |z| = "Vzz Vz G c. Bây giờ ta chuyển sang định nghĩa argument của một số phức z = X + iy / 0. Muốn vậy chú ý ràng với r = Ịz| ta có ^ + -) = Ì ri \ xi Vì vậy t ồ n t ạ i duy n h ấ t số thực Ỷ (0 $
Rõ ràng đ ố i với mọi argument Ý cùa z tổn t ạ i số nguyên k sao cho = Ì ta được công thức Moivre sau {camp + isiny)" = cosnf + isirmyj, Vn 5 Ì (M) Công thức Moivre còn đúng với ri = 0 và n là số nguyên âm. Với n = 0 (M) là hiển nhiên vì í cosy? + isiny>)° = Ì = cosO + isinO. 15
Nếu k là số nguyên âm, đặt k = -n, n £ N , ta có (cosy + isiny) (cosy + isin) Ì Ì (cosnyj + i s i n n c p f cosn 'P + isĩ nny? cosny - i sinny> (cosny + isinny?) (cosny — i s i n n y ) cosny - isinny? = cosky + isinky?. Vậy [costp ỉsĩny>) = cosmp + isinny?, Vn G z. Để kết thúc mục này, ta giải thích ý nghĩ a h ì n h học của Ì p h é p nghịch đảo X + iy * 0. Đẩu tiên giả sử IzỊ < 1. Ta kè đường vuông góc với tia Oz t ạ i z (ta đổng nhất z với đ i ể m M i x . y)) c á t đường tròn đơn vị [ịz| = 1} t ạ i £. T ừ t, kẻ đường tiếp tuyến với đường t r ò n đơn vị này. Giả sử tiếp tuyến cắt tia Oz t ạ i cu. H i ể n nhiên argtó = argz, = (hình 1). 2 Hình Ì 16
Số liên hợp cư đó là -- (đối xứng với OI qua trục thực). z Nếu |z| > Ì phép dựng được tiến hành theo thứ tự ngược lại xuất phát từ z. 1.5. Dạng mũ của số phức Với mọi s ố thực ! - y> ) e 2 2 iíP ở đây: Zj = />J e'^l; z 2 = />2 e 2; z = />< Từ (1) ta có Ì cosy (E) SĨTiíp 2i V Công thức (E) được gọi là công thức Euler.
1.6. Phép khai căn một s ố phức Cho n là số tự nhiên và z G c. Ta nói tư là c â n bậc n của z nếu co" = z. Với z * 0, đ ặ t z = re f ] và co = J ° e . ,v K h i đó Từ đó ta có p = ì~r