Giáo trình Hàm biến phức: Phần 2

Chia sẻ: Lê Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:94

Thêm vào BST

Báo xấu

135
lượt xem 43
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 2 giáo trình "Hàm biến phức" trình bày một số vấn đề chọn lựa từ hàm chỉnh hình, hàm nhiều biến phức. Nội dung của cuốn sách không chỉ cho các sinh viên năm thứ hai, thứ ba của khoa Toán các trường Đại học Sư phạm và Đại học Khoa học Tự nhiên mà còn là tài liệu thiết thực đối với các học viên cao học chuyên ngành Lý thuyết hàm. Các nghiên cứu sinh chuyên ngành Lý thuyết hàm có thể tìm thấy ở đây những kiến thức cần thiết cho sự học tập và nghiên cứu của mình.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Hàm biến phức: Phần 2

Phan // MỘT S Ố V Ấ N Đ Ề CHỌN LỰA TỪ HÀM CHỈNH HÌNH Phần li và phần IU nằm ngoài phạm vi chương trình giảng dạy hàm biên phức cho sinh viên năm thứ 2 khoa Toán các trường Đại học Sư phạm. Các vấn đề được lựa chọn ỏ phân li đều là những kết quả rất sâu sắc, rất bản chất của hàm một biến phức. Bài ỉ ĐỊNH LÝ MONTEL (NGUYÊN LÝ COMPACT) 1.1. Một s ố định nghĩa Già sử D là một miền trong c và H(D) không gian vectơ các hàm chỉnh hình trên nó, Định nghĩa ỉ. H ọ h à m F c H(D) được gọi là bị chận đểu t r ê n các t ậ p compact nếu sup{|f(z)| :z G K. í e F} < 00 với m ọ i compact K e ! ) Định nghĩa 2. H ọ hàm F c H(D) được gọi là đống liên tục trên các tập compact nếu v ớ i mọi tập compact K c D và với mọi £ > 0 tổn tại ỗ = (K,£) > 0 sao cho 185
|f(z) - f(z')| < t với mọi z, z £ K mà |z - z'l < Ỗ. 1.2. Một sô bổ đê Bổ đe 1. Mọi họ F c H(D) bị chặn đều trên các tập compact là đ ổ n g liên tục trên các tập compact. Chứng minh. Già sử K là compact tuy ý trong D và Ì d = — d(K,('iD) > 0. Tập hợp các đ i ể m của D mà khoảng cách từ chúng tới K không vượt quá 2d được ký hiệu là B. Hiển nhiên B là tập compact. Theo g i ả t h i ế t ta tìm được M > 0 đế sup{|f(z)| : f 6 F, z E B} sỉ M Ta sẽ chứng minh r ng với m ọ i z > 0, với m ọ i cặp điểm d í Ì Z ] , Z-, £ K m à | Z [ — z 1 2 < ỗ, ỏ = min J d, ^7 | £ bất đảng thức sau được thực h i ệ n |f(zj) - f(z )|2 < £ với m ọ i f s F. Thật vậy theo c ô n g thức tích p h â n Cauchy á p d ụ n g cho mọi f e F trong hình tròn D(z f . 2d) c B ta có f(z) = ủ .. í Do đó |f(z,) - f(z,)| = Ì M | z j -z \2ĩc.2d 2 M I M á Z * ủ 2^d = d I ' -2 A < d * " 186
Bổ đẽ 2. G i ả sử dãy các hàm chinh h ì n h { f } c Bí.D) bị n c h ặ n đ ê u t r ê n các tập compact hôi tụ t r ê n m ộ t tập con E c D n à o đó t r ù m ậ t t r o n g D K h i đó d ã y { f } h ộ i t ụ đ ể u t r ê n các n t ậ p compact t r o n g D. Chứng minh. Cố định tập K compact trong D. Vì dãy { f } bị chặn đều nên theo B ổ đ è Ì nó đống liên tục. Vì thế với t ậ p compact B = {z E D: d(z,K) < d(K,(')D)/2} ta tìm được ỗ > 0 sao cho \w - w\ < I với mọi Z|, z 7 G B. |zj - z | 2 < ỗ và mọi n Ỉ5 1. Với mỗi z G K ta tìm được z* G E n B sao cho Iz - z* I < ỗ. Sau đó ta tìm N để |f (z ) - n f (z )| m < — với m ọ i lì, n i > N. Ó Khi đó |f (z) - n f (z) ị m |f (z) - f (z*)| + n n |f (z*) - f ( z * ) | n m + |f (z*) - m f (z)| m < I + I + I = e với mọi n. m > N và mọi z G K Từ đõ theo tiêu chuẩn Cauchy dãy { f } hội t ụ n đều trên K. Do K là compact tuy ý, dãy { f } hội tụ đ ề u t r ê n n các t ậ p compact. 1.3. Định lý Montel (nguyên lý compact) Định lý. G i ả sử D là một miền trong c và F c H(D). Khi đ ó F bị chặn đểu trên các tập compact nếu và ch nếu mọi dãy {f } n c F chứa một dãy con {f } n hội tụ đều trên các tập compact. 187
Chứng minh. Điêu kiện cần. Giả sử F bị chặn đểu trên các tập compact và ự i là dãy tuy ý trong F. Lấy tuy ý tập đếm được trù mặt E = {(íị. a , 2 ...} trong D. Theo Bổ đề Ì dãy { f j đổng liên tục n vi t h ế theo Bổ đế 2 chì cần tìm một dãy con của { f } hội tụ n trên E. Đạu tiên do dãy số f j i K j ) . ĩ-ỊÌc-Cị), . . . , f „,... bị chặn ta có t h ể tìm được dãy con hội tụ của nó. f f n j ( « l ) . n p ( « l ) . •• Như vậy từ dãy hàm f^z), fp(z), ... ta có dãy con f> J (z), f' ( Z ) , ... (1) p Tiếp theo từ dãy số f f a n , («2). •••» n ( 2 ) > p - Ta lại có t h ể tìm được dãy con hội tụ của nó và như vậy ta lại được dãy hàm ỉ2 (z). ... , ĩị (z) , ... "Ì "p mà nó là dãy con của dãy (Ì). Cứ thế tiếp tục ta thu được dãy các dãy hàm 188
z f z n ( ) . p - f z f z f z n , ( )> n ( ) 2 n ( ). p - • • (3) ^(2), fỤz), .... f Ụ z ) , ... trong đó mọi dãy sau là dãy con của dãy trước. Bàng cách áp dụng phương pháp đường chéo Cantor ta có thể chọn dãy đường chéo (z), ị (z), 2 ..., fPp ( z ) , ... (4) Dãy này hội tụ t ạ i mọi điểm của E. Vì theo sự xây dựng với m ọ i q cho trước khi p đủ lớn dãy (4) là dãy con của dãy f^(z), f2 (z), 2 .... f^ (z), p ... Diêu kiện dù. Giả sử K là compact bất kỳ trong D chỉ cần chứng minh Va G K 3 r > 0 sao cho sup ( | f ( t ) | : t G K n D(a, rì, V f e F} < 00 Trong t r ư ờ n g hợp ngược l ạ i , t ổ n t ạ i a G K sao cho với m ọ i n > Ì tổn tại f n e F và t n e K n D(a, - ) với | f ( t ) | n n -ĩ- n. Với n thay đổi ta được {f } c n F và bởi giả thiết có dãy con { f } hội tụ đều trên mọi compact của n D. Đặc biệt nó phải hôi t u đều trên K = {t a} và do đó nó phải bi chán đểu trên k đó. Điều này không xảy ra vì |f n (t )| n ặ n.. —* 00. 189
Bài 2 ĐỊNH LÝ Á N H X Ạ R I E M A N N 2.1. Đẳng cấu chỉnh hình Ta nhớ lại hai miền D và D* được gọi là đảng cấu chỉnh hình hay tương đương chỉnh hình nếu tổn tại đảng cấu chinh hình từ D lên D*. Tức là tồn tại một song ánh f giữa D và 1 D* sao cho f: D -» D* và r : D* — D là chỉnh hình. Định lý ì. Mọi song ánh chỉnh hình ip từ D lên D* là một đảng cấu chỉnh hình. Chứng minh. Từ nguyên lý bảo toàn miền ta suy ra ìp = (p~ :l D* —* D là liên tục, còn kiểm l ạ i lị' l à chỉnh hình. Muốn vờy đặt E = {z G D:
2.2. Định lý ánh xạ Riemann Định lý 2. Mọi miền đơn liên D * c tương đương chỉnh hình và hình tròn đơn vị u = {|z| < lí Chứng minh. Chọn một điểm UJ , t u y ý không thuộc D. Giả 1 sử F = {ự & H(D) : Ì/ á n h xạ Ì - Ì từ D vào U}. Chúng ta bắt buộc chứng minh ràng tổn tại ự' £ F mà nó ánh xạ D lên u. Đầu tiên chứng minh rằng F ^ ộ. Bởi vì D đơn liên và z - co 0 * 0 trên D, tổn tại ip £ H(D) sao cho ì y> (z) = z - w 0 với z £ D Nếu £>(zj) = y>(z ), 2 thì đổng thời Z] - ty,, =
Giả sử ự' e F, a e u và a Ệ. V'(D). Khi đó y> oựi Q e F v à y> o ự' a k h ô n g có không điểm trong D. V ậ y t h ì t ổ n tại g e H(D) 0 sao cho ỄT — f a ^- Ta thấy rằng g là Ì - Ì (như sự chứng minh F 5* ộ). Vậy thi g E r và nếu Vi = f p o g , ở đây ị3 = g(z ) c thì Vi G F Với ký hiệu to" = s(co) ta cớ ý = í£>_ osog a = ( P _ K O S O ( C ^ O ^ Bởi vì ụ'ị(z ) a = 0, quy tắc đạo hàm hợp cho ta v'(z ) 0 = F'iO^j'iZo) ở đây h =
Lập luận trên suy ra mọi h G Ì với |h'(z )| 0 = rị là đảng cấu cần tỉm. Vậy thì sự chứng minh sẽ được hoàn thành nếu ta chỉ ra h G F sao cho Ịh'ù,)- = lị Bởi vì |í/>(z)| < Ì đối với lị £ F, Định lý Montel chứng tỏ tồn tại dãy ịf } c F hội tụ đểu trên các tập compact tới h mà |ự'' (z )|n 0 -* lị. Chú ý rằng |h'(z )| 0 - lị. Bởi vì ự' (D) n c u với n Sĩ Ì ta có h(D) c u. Định lý ánh xạ mở suy ra h(D) c u. Vậy còn chứng minh h là Ì - ] Cố định hai' đ i ể m khác nhau Zj và z 2 G D; đặt a = h(Zị) và a n = ụ> (Zi) n đổi với n — 1. 2, và giả sử A là hình tròn tâm z 2 sao cho Z] £ a và sao cho h - a không có không điểm trên 3A. Ta có thể tỉm được A như thế bởi vì t ậ p không điểm của h - a không có điểm tụ trong D. Dãy hàm {ự' n - ơ. \n hội tụ đều trên A tới h - a. Ngoài ra các hàm t/' - n rt n không có không điểm trong A, bởi vỉ các hàm này là Ì - Ì và có chì một không điểm Zj. T h e o định lý Hurwitz h - a không có không điếm trong A, đặc biệt h(z ) 2 = h(z ).t Bài 3 KHÔNG ĐIẾM C Ủ A CÁC HÀM CHỈNH HÌNH 3.1. Tích vô hạn Ta đã biết rằng tập hợp các không điếm của hàm chỉnh hỉnh khác constant trên miền D không có điếm tụ trong D. Mục đích chính ở đây là xây dựng hàm chỉnh hình f nhận tập không có điểm tụ trong D như là tập các không điểm của nó. Nếu A = {a } n không có điểm tụ trong D, để xây dựng hàm f như thế đầu tiên với mỗi n ta lấy một hàm f n G H(D) mà no' chỉ có không điểm là a n và sau đó xét giới hạn của tích 193
khi n —* 00. Với lý do n h ư v ậ y trước h ế t ta h ã y n ó i v ề tích vô h ạ n . Định nghĩa 1. G i ả sử { u } là m ộ t d ã y số phức n Pn = (Ì + Uj) ... (Ì + u ) n (1) và tồn t ạ i p = limPn n-*00 Khi đ ó ta v i ế t p = n (Ì + Un) (2) n-1 Các số p n được g ọ i là c á c tích riêng của tích vô h ạ n ( 2 ) . Sau n à y t a sẽ n ó i r ằ n g tích vô h ạ n ( 2 ) h ộ i t ụ n ế u d ã y { p } h ộ i n tụ. Bổ đê ỉ. N ế u U 1 ; ...,U N là c á c số phức v à n ế u N N PN = n (Ì + « n ) . PN = n (Ì + KI) 3 n-l n-1 thì SỈ e x p ( | u j | + ... + |u |)N (4) và |PN - li < PN - Ì (5) Chứng minh. T ừ b t đẳng thức Ì + X =s e x v ớ i m ọ i X > ọ, ta co' N N u PN = n (Ì + l nl) < nexp|u | n n-1 n-1 exp(|u,| + ... + |u |)N 194
Đó chính là bất đ ẳ n g thức (4). Với N = Ì, (5) là h i ể n nhiên. Giả sử (5) đã được chứng minh cho tới N - 1. K h i đó I P N - li = I P N - I í j F % ) - li = |(PN 1 - 1 1 , ] + U N ) + U N I í |p N . ị - li (Ì + |u |) N + |u | N í | ( P N - I - Ì'KI + |u | N + |u | N = pjj - Ì Định lý ỉ. Giả sử { u } là N dãy các hàm bị chặn trên tập s 00 sao cho chuỗi 2 u l n( )l s hội tụ đểu trên s. K h i đó tích n=l f(s) = n ( Ì + u (s)) n (6) n=l hội tụ đểu trên s và f(s ) Q = 0 với s, c nào đó thuộc s nếu và chi nếu tổn tại n để u (s ) n D = - 1. Ngoài ra, nếu {n 1 ; n , 2 . . - , } là một hoán vị bất kỳ của {Ì, 2, ...} t h ỉ f(s) = n (Ì + u (8)) (7) K k=i oe Chứng minh. Giả thiết suy ra rằng 2) Iu (s)ị n bị chặn trên n=l s vì t h ế theo B ố đề Ì ta có sup{|p (s)| N : s e s, N ^ 1} = c < 00. Giả sử {n,, n , 2 ...,} là một hoán vị tuy ý của {Ì, 2, ...,}. Ì Cho 0 < £ < -. Lấy N 0 đê 00 2 |u (s) I n < £ với mọi s E s. ( 8 ) N = N „ 195
Nếu N & N Q và nếu M đủ lớn sao cho {Ì, 2, N} c {n„ n , 2 .... n } M và nếu qiv](s) ký hiệu tích riêng thứ M của tích (7), thì q M - PN = PN Í 1 n (Ì u + n,.) - l \ , 9 i n >N, k Vậy thì (8) và bổ đề chứng tỏ ràng £ |q M - PNI * IPNI (e - 1) * 2Ịp |£ N í 2Ce . (10) Nếu n = k (k = Ì, 2, ...), thì q k M = P N và (10) suy ra dãy { p } hội tụ đều trên s tới f. Ngoài N ra IPM - PNI * 2|PN Ì £ v ớ i M > N o (li) Vì t h ế | p | M =ĩ (Ì - 2 £ ) | p N |. Vậy thì |f(s)| =í (Ì - 2e) | p N (s)| với mọi s E s. (12) Bất đẳng thức này chứng tò f(s) = 0 khi và chi khi P N (s) = 0. Cuối cùng từ (10) ta suy ra rằng dãy {qiv]} hội tụ tới cùng giới hỉn của dãy { p } . N Định lý 2. Giả sử 0 sỉ u n < 1. Khi đó 00 °° n (Ì - u ) n > 0 nếu và chỉ nếu 2 u n < °°- n=l n-1 Chứng minh. Nếu P N = (Ì - Uj) ... (Ì - U ), N thì Pj > p 2 oe às ... 55 P N > 0. Vi t h ế tồn tỉi p = lim P . N Nếu 2 u n < °°> N n-1 theo Định lý Ì ta có p > 0. Mặt khác N p < PN = ri-1 ri (Ì - u n) < e x p[- u l - U 2 - - - U N1 00 u và vế phải tiến đến không khi N —» 00, nếu 2 n = °°- n-1 196
Dinh lý 3. G i ả sử các h à m chỉnh hình f . n n = 1. 2, .... trên miền D k h ô n g đổng nhất bằng k h ô n g và chuỗi Su- f (z)| n (13) n= Ì hội tụ đều trên m ọ i compact trong D. Khi đó tích f(z) = n f (z) n (14) hội tụ đểu trên các tập các compact tới hầm f 6 H(D). Ngoài ra X m f z m(f,z) = 2 ( n ; ) với z G D (15) ri-! ở đây m(f;z) ký h i ệ u bội của không điểm z của f (nếu f(z) * 0 ta coi m(f;z) = 0). Chứng minh. Phẩn thứ nhất của định lý được suy ra từ Định lý Ì với u (z) n = 11 - f (z) I. n Để chứng minh phẩn thứ (2) trước hết từ (13) ta suy ra rằng mọi điểm thuộc D có một lân cận V và N đ ể f n không có khùng điểm t r o n g V với n > N . Theo Định lý Ì số không điểm của trong V (kể cả bội) bằng tổng số không điểm trong V của fị f . N Vậy thi (15) là được chứng minh 3.2. Định lý phân tích YVeierstrass Định nghĩa 2. Đặt E (z) Q = Ì, và đối với p = Ì, 2, ... r V- zP, E (z) n = (Ì - z) exp ỉ z + — + ... + —ị p 1 2 D 197
Những h à m này được đ ư a ra bởi Weierstrass và được gọi là các nhân tử sơ cấp. C á c n h â n tử n à y chỉ có không điểm tại z = 1. BỔ đê 2. V ớ i m ọ i | z | í Ì và p = ạ Ì , 2. ... li - Ep(z)| í |z|^' Chứng minh. Bất đẳng thức là h i ể n nhiên với p = 0. Đ ố i với p 2í Ì ta có - E'p(z) = z'exp .ịz + 2 + p Vậy thì - E'p(z) có k h ô n g điểm bậc p tại z = 0 và khai triển của n ó theo l ũ y th a của z có h ệ sô thực không âm. Bởi vì Ì - Ep(z) = - Ị E' ( )d p n n hàm Ì - Ep(z) có k h ô n g điểm bậc p + Ì tại z = 0, và n ế u Ì - E (z) p
Định lý 4. Giả sử {-/ ỉ là dãv các số phức khác không với |z | n — » 0 0 khi ti —» =o. Nếu {p Ị n bì mội dãy số nguyên không âm sao cho H P n Ễ ( f ) < - (1) ; n-l < đối với mọi r > 0 (ở đây r r = |z |), n thi tích vô hạn p(z) = E (2) n ộ, ^(ỉ) xác định một hàm nguyên p(z) có không điểm tại mọi z n và chỉ tại đó. Một cách chính xác, nếu a là một số phức xuất hiện m lần (0 í ni < 00) trong dãy z n thi p có không bậc m tại a. Điểu kiện (1) luôn luôn được thoa mãn khi p n - n - 1. Chứng minh. Trước hết nếu p = n - í thỉ (1) được thoa mãn bởi vì 0 < r/r n < 1/2 với n đủ lớn. Bây giờ cố định r > 0. Nếu |z| Sr. Bổ đề 2 suy ra rằng / z \ I I / z\ 11+n / r \ 1+n Ì - E V z ;)M(t)r*(t) khi r n s r (mà nó thoả mãn với ri đ ủ lớn). Vi thế từ (Ì) chuỗi z \ , 2 I Ì - En Pn V znr n=l • ' hội tụ đều trên mọi tập compact trong mặt phảng. Định lý 3 chứng tỏ tích vò hạn li É p í —ì hội tụ tới hàm n n—Ì nguyên p(z) thoả mãn yêu cầu. 199
Định tỷ 5 (Weiersfrass). Giả sử f là h à m nguyên với f(0) 7± 0 và g i ả sử Z j . z->, .... là n h ữ n g k h ô n g đ i ể m của f ( k h ô n g điểm bội m xuất hiện m lần). K h i đó tổn tại hàm nguyên g và dãy các số nguyên không âm { p } sao n cho (3) Chứng minh. G i ả sử p là tích vô hạn xác định trong Định lý 4 với {p } là dãy các số nguyên không âm thoa mãn (1) (r n = |z |). n Khi đó f/p là hàm nguyên không có không điểm. g Bởi vì c đơn liên nên f/p = e đ ố i với h à m nguyên g nào đó. Vậy thứ (4) Định lý 6. G i ả sử A là t ậ p con k h ô n g có đ i ể m t ụ trong m i ề n D và giả sử mỗi a G A tương ứng với m ộ t số nguyên dương mía). K h i đo' t ồ n tại f G H(D) sao cho tất cả các không điểm của f là trong A và ngoài ra f có k h ô n g đ i ể m bậc m(a) t ạ i mọi a G A. Chứng minh. Khi D = c đo' c h í n h là Định lý 4. Vi vậy ta chứ cần xét trường hợp D ^ c Giả sử {a } n là dãy thành lập từ A sao cho a xuất hiện m(a) l ầ n trong dãy đó với m ọ i a E A. Vì Í)D ^ (p với m ỗ i a n ta tứm đ i ể m ị3 n Ệ. D sao cho |yS n - a\ n s: \Ị3 - a \ n với m ọ i ịi ế D. Khi đó \ịin - a\ n 0 khi n ^ 00. vì A k h ô n g co' đ i ể m tụ trong D. Ta kiểm lại rằng hàm f(z) thỏa mãn đòi h ỏ i của định lý. 200
Thật vậy đ ặ t r n = 2|a n - Ịi \. n G i ả sử K là tập compact tuy ý trong D . Bởi vì r n —* 0 tổn tại N ao cho |z - />' | n > r n với mọi z £ K và mọi n > N. Khi đó A liI Ì 9 In mã nõ suy ra răng a n - K Ì - E„ 2 n - /3 n ỉ)" với mọi n > N và moi z G K. n-A,. t a s u r a r Áp d ụ n g Định lý 3 t ớ i f ( z ) n = E n Ị —ZTÕ~) > y ^ng z • ~ Pn' tích vô h ạ n [Ị E n hội tụ đều trên m ọ i compact trong n-l D tới f G H(D) mà nó thoả mãn đòi hỏi của định lý. Định lý 7. M ọ i h à m phân hình trên miền D có t h ỗ v i ế t như t h ư ơ n g của hai hàm chỉnh hình trên D. Chứng minh. Cho f một hàm phân hình trên D . G i ả sử A là tập tất cả các cực điỗm của f và g i ả sử mỗi a G A, mía) ký hiệu bậc của cực—điỗm a. Theo Định lý 6 ta tỉm được hàm h E H(D) sao cho tập các không điỗm của h chứa trong A và h có không điỗm bậc m(a) tại mọi a G A. Đ ặ t g = Ai. Những điỗm bất thường của g là trong A và thực chất chúng là các g điỗm thường. Vì vậy g e H(D) và ĩ 201
3.3. Định lý Mittag - Leffler Định lý Mittag - Leffler sau đây giống Dinh lý 6 nhưng đối với hàm phân hình. Định lý 8. Giả sử A là tập con không có điểm tụ trong miến D và giả sử mỗi a G A ta có số nguyên dương m(a) và hàm hữu ty. mi''ì PJz) =2 Cị.a (z - « ) " • ' j=I Khi đó tồn tại hàm phân hình f trên D sao cho phẩn chính của nó tại mọi a G A là P, ( và f không có cực điểm ngoài A. Chứng minh. Để đơn giản ta chỊ xét trường hợp D = c Đật Ã n = {z e C: IzỊ € n} và Aj, = A n (A n \A _ị) n Bời vì À không có điểm tụ, Áp là tập hữu hạn với mọi n > 1. Đặt Q (z)n = ỵ p„(z), n = Ì, 2 ... (1) «eA n Do A n là tập hữu hạn, Q n là hàm hữu tỷ. Hiển nhiên tập các cực điểm của Q bao hàm trong A \A _ị.n Đặc biệt Q n chỊnh hình trên A _| n = {z G C: |z| < n - 1}. Bàng cách khai triển Taylor Q n tại 0 £ A _ ] tìm n được: đa thức P n sao cho |Q (z) n - p (z)| n < 2 n với z G A _2 n (2) Ta kiểm lại rằng X f(z) = Qj(z) + ỵ (Q (z) n - p (z)), n z e D (3) n=2 thoa mãn đòi hỏi của định lý. 202
Thật vậy cố định N. Trên A N ta có N+l í = Q, + Ì (Qn p„> + ì Qn - p n ) (4) n=2 li N + 2 Từ (2) mỗi thành phán trong tong cuối cùng trong (4) nhò hơn 2 " trên A ,N chuỗi cuối cung hội íụ đều trên A N tới hàm mà nó chỉnh hình trên A . Vậy thì N hàm f - (Q] + ... + QN+I) chỉnh hình trong A . Như N vá} f có phán chính P, ( t ạ i mọi ớt E A. Bài 4 CÔNG THỨC JENSEN - ĐINH LÝ c ơ BẢN THỨ NHẤT NEVANUNA Bài này được dành cho việc trình bày công thức Jensen về mối liên hệ sâu sác hơn giữa hàm phân hình với các không và cực điếm cểa nó và sau đó là định lý t h ứ ì Nevanlina. 4.1. Đ ị n h lý (công thức Jensen) Giả sử f là hàm phân hình trên một lân cận của |zỊ < R và giả sử a: li í j í M) và b] (] s k 5g N) là các không điểm và cực điểm cểa f trong ị zI < K Khi đó nếu z = re' (0 R) và f(0) * 0, 00, thi Ì - log|f(z)| = f - J log | f ( R R 2 - 2Rrcos(ớ - 203
Chứng minh. Trường hóp 1. G i ả t h i ế t f k h ô n g có k h ô n g v à cực đ i ể m trong UI « R. K h i đ ó logf(z) = logf(o) + } ~Ệàị chỉnh hình trong |z| « R (tức là chỉnh h ì n h trong m ộ t lân c ậ n của |z| < R ) . Theo định lý Cauchy t a có 2 Ì d i * logf(0) = ~ í logf(z)^ = ị - J"logf(Re'\ < Ì và đ i ể m ặ = z thàiủi đ i ể m to = 0. Lưu ý r ng 2 2 deo = _d|_ + zdg = ( R - |z| ) w ỉ - z R - 2 ĨẾ 2 (R - ĩ | ) (I - z) Vì t h ế do Đ ị n h lý Cauchy ta có I f deo Iogf(z) = logh(o) = — J logh(w) — I tui=1 2 2 Ì c v(R - | z | ) u = í log f ( | ) _ ' di (2) [ ở đây Mai) = f(z~ (to)) v ố i | w | < 1. 204